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必修四

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必修 4 第一章 三角函数

一、任意角和弧度制
1.任意角 (1)角的概念:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫 做角,射线的起始位置叫做角的始边,终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角 叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角,如果射线没有作任何旋转,则形成零

角. 在坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的终边与 x 轴的正半轴重合,则角的终边在第几象 限,就说这个角是第几象限角. (2)终边相同的角:所有与 α 终边相同的角,连同 α 在内,可构成一个集合

S ? {? ? ? k ?3 6 00 ?? , k ? Z }
(3)坐标轴上的角:

2.弧度制 (1)定义:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. (2)计算:如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么角 α 弧度数的绝对值是

? ?

l r

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其中,α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定. 注意:弧长公式: l ?

? r.
1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

扇形面积公式: S ? (3)换算:360° = 2π 180° =π

1=
1=(
0

? ? 0.01745 180
180

?

) ? 57.30

说明:①180 =π 是所有换算的关键,如 30 ? 式的角当 n=2,3,4,6 时都是特殊角.

180 ? ? 180 m ? , ? ? 45 ;② ? 形 6 6 4 4 n

二、任意角的三角函数
1.任意角三角函数的定义 (1)定义:设 P (x , y)是角 α 终边上任意一点, OP ? r ? 0 ,则有

sin ? ?
(2)三角函数值的符号:

y r

cos ??

x r

tan ??

y x

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口诀:一全二正弦,三切四余弦. 注:一二三四指象限,提到的函数为正值,未提到的为负值. 2.同角三角函数的基本关系 sin2α+cos2α=1

tan ? ?

sin ? cos ?

三、三角函数的诱导公式
1.诱导公式

sin(2k? ? ? ) ? sin? cos(2k? ? ? ) ? cos? tan(2k? ? ? ) ? tan?

sin( ? ? ) ? cos? 2 cos( ? ? ) ? ? sin ? 2
口诀 2:函数名改变,符号看象限.

?

?

四、三角函数的图象与性质

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1.正、余弦函数的图象

2.正、余弦函数的性质

(2)最值 ①y=sin x:当 x ? 2k? ? 当 x ? 2k? ?

?
2

时,取得最大值 1,

3? 时,取得最小值 ? 1. 2

②y=cos x:当 x=2kπ 时,取得最大值 1, 当 x=2kπ+π 时,取得最小值 ? 1. (3)对称性 ①y=sin x:对称轴: x ? k? ?

?
2

,对称中心:(kπ , 0).

②y=cos x:对称轴:x = kπ,对称中心: (k? 3.正切函数的图象与性质

?

?
2

,0) .

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(1)图象 如右图. (2)性质 定义域: x ? k? ? 值域:R. 奇偶性:奇函数 周期性:最小正周期为 π 单调性:在 ( k? ?

?
2

.

?
2

, k? ?

?
2

) 上是增函数.

五、y=Asin(ωx + φ)图象与性质
1.图象 (1)图象变换

注:x 值不需记忆,针对具体问题计算即可,但应注意五个值成等差数列. 2.性质 定义域:R 周期: T ? 值域: [? A, A]

2?

?

振幅:A

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频率: f ?

1 ? . ? T 2?

相位:ωx+φ

初相:φ

单调性:将 ωx+φ 当成一个整体,利用 y=sin x 的单调区间求出.

第二章

平面向量

一、平面向量基本概念
(1)既有大小又有方向的量叫做向量. (2)向量可以用有向线段表示.向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模) , 记作 AB .长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0.长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量. (3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量. 规定:零向量与任一向量平行. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

2.减法 (1)与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作 ?a .零向量的相反 向量仍是零向量. (2)任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a+(- a)=(- a)+a=0.

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(3)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. (4)已知 a,b,在平面内任取一点 O,作 OA ?a ,OB ? b ,则 BA ?a ?b ,即 a ? b 可 以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义. 3.数乘 (1)定义:我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记 作 λa,它的长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ②当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反. (2)运算律 设 λ、μ 为实数,那么 ①λ(μa)=(λμ)a; ②(λ+μ)a=λa+μa; ③λ(a+b)=λa+λb. (3)向量共线条件 a,b 共线(a≠0) ? 有且只有一个实数 λ,使 b=λa.

a=xi+yj, 我们把有序数对(x , y)叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a=(x , y). (2)平面向量的坐标运算 ①设 a=(x1 , y1),b=(x2 , y2),则有 a+b=(x1+x2 , y1+y2) a-b=(x1-x2 , y1-y2)

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λa=(λx1 , λy1) ②设 A(x1 , y1),B(x2 , y2),则有
AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) )

③向量共线的坐标表示 设 a=(x1 , y1),b=(x2 , y2),则有 a,b 共线 ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 . ④中点公式 设 A(x1 , y1),B(x2 , y2),P 为 AB 中点,则对任一点 O,有
OP ? 1 ? x ? x2 y1 ? y2 ? (OA ? OB ) ? ? 1 , . 2 2 ? ? 2 ?

四、平面向量的数量积
1.定义:已知两个非零向量 a,b, 我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积). 2.坐标表示:设 a=(x1 , y1),b=(x2 , y2),则 a· b=x1x2+y1y2. 3.垂直条件:设 a,b 为非零向量,则

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

第三章

三角恒等变换

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一、两角和与差的三角函数
sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ sin(α-β)=sinα cosβ-cosα sinβ cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ

tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

二、二倍角的三角函数
sin2α=2sinα cosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

tan 2? ?

2tan ? 1 ? tan2 ?

补充公式: ① 以下是解题时常用的重要公式,最好记住.


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