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(文数)深圳市2009届高三年级第一次调研考试


绝密★启用前

试卷类型:A

2009 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是 否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校

、 姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码 区,请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。不按要求填涂的, 答案无效。 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案 无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错 涂、多涂的答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考结论: 椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线方程为 x ? a2 b2

a2 a2 ? b2

.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如果复数 (2 ? ai)i(a ? R) 的实部与虚部是互为相反数,则 a 的值等于 A. 2 A. l1 // ? 且 l 2 // ? C. l1 // ? 且 l 2 ? ? B. 1 C. ? 2 B. l1 ? ? 且 l 2 ? ? D. l1 // ? 且 l2 ? ? D. ? 1 2.已知两条不同直线 l1 和 l 2 及平面 ? ,则直线 l1 // l 2 的一个充分条件是

3.在等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , S n 表示数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? A. 18 B. 99 C. 198 D. 297

4. 右图是一个几何体的三视图, 根据图中数

2
1 俯视图

4
正(主)视图

4
侧(左)视图

据,可得该几何体的表面积是 A. 32? C. 12? 5.已知点 P(sin A. B. 16? D. 8?

? 4

3 3 ? , cos ? ) 落在角 ? 的终边上,且 ? ? [0, 2? ) ,则 ? 的值为 4 4 3? 5? 7? B. C. D. 4 4 4

6.按如下程序框图,若输出结果为 170 ,则判断框内应补充的条件为 开始

i ?1

S ?0

S ? S ? 2i


i ?i?2

结果 是

?
C. i ? 9

输出S

A. i ? 5

B. i ? 7

D. i ? 9

7.若平面向量 a ? (?1, 2) 与 b 的夹角是 180 ? ,且 | b |? 3 5 ,则 b 的坐标为 A. (3, ? 6) B. (?3, 6) C. (6, ? 3) D. (?6, 3) 8.若函数 f ( x) ? log a ( x ? b) 的大致图像如右图,其中 a, b 为常数, 则函数 g ( x) ? a ? b 的大致图像是 y y
x

y

1 ?1 o 1 ?1
y

x

y

1 ?1 o 1 ?1
x

1 ?1 ?1
o

1

x

?1

1

o ?1

1
x

?1

1

o ?1

1
x

A.
2

B.
2

C.
2

D.

9. 设平面区域 D 是由双曲线 y ?

x x ? 1 的两条渐近线和椭圆 ? y 2 ? 1 的右准线所围成 4 2 的三角形(含边界与内部) .若点 ( x, y) ? D ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

10.设 f ? x ? ? A. ?

1 x

1? x ,又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , f k ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ? ? , k ? 1, 2,?, 则 f 2009 ? x ? ? 1? x x ?1 1? x B. x C. D. x ?1 1? x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和 选做题两部分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答
2

11.某大型超市销售的乳类商品有四种:纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且纯奶、酸 奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 30 种、10 种、 35 种、 25 种不同的品牌.现采用分 层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本进行三聚氰胺安全检测, 若抽取的婴幼儿奶 粉的品牌数是 7 ,则 n ?
2



12.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围 是 .
0

13.在 Rt?ABC 中,若 ?C ? 90 , AC ? b, BC ? a ,则 ?ABC 外接圆半径 r ?

a 2 ? b2 . 2

运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a, b, c ,则其外接球 的半径 R = .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计 算第一题的得分.
14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点 ? 2 2, 则切线的极坐标方程是 . C

? ?

??

? 作圆 ? ? 4sin ? 的切线, 4?

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是⊙ O 的直径,

P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切
点为 C , PC ? 2 3 ,若 ?CAP ? 30? ,则⊙ O 的 A 直径 AB ? . O B P

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x cos(

?
6

? x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)设 x ? [?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域. 3 2

3

17. (本小题满分 12 分) 先后随机投掷 2 枚正方体骰子,其中 x 表示第 1 枚骰子出现的点数, y 表示第 2 枚骰子 出现的点数. (Ⅰ)求点 P( x, y ) 在直线 y ? x ? 1 上的概率; (Ⅱ)求点 P( x, y ) 满足 y ? 4 x 的概率.
2

18. (本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面 和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (Ⅰ)求证: AF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (Ⅲ)设平面 CBF 将几何体 EFABCD分成的两个锥体的体积分别为 VF ? ABCD ,

VF ?CBE ,求 VF ? ABCD : VF ?CBE .

C

D

B
O

M
E

A

F

4

19.(本题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? x ? 3ax ? bx ,其中 a, b 为实数.
3 2

(Ⅰ)若 f ? x ? 在 x ? 1处取得的极值为 2 ,求 a, b 的值; (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ?? 1, 2? 上为减函数,且 b ? 9a ,求 a 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 如图,两条过原点 O 的直线 l1 , l 2 分别与 x 轴、 y 轴成 30? 的角,已知线段 PQ 的长度 为 2 ,且点 P( x1 , y1 ) 在直线 l1 上运动,点 Q( x2 , y2 ) 在直线 l 2 上运动. (Ⅰ)求动点 M ( x1 , x2 ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过定点 T (0, 2) 的直线 l 与(Ⅰ)中的轨迹 C 交于不同的两点 A 、 B ,且 ?AO B 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

l2

y
30?

P l1
30?

O Q

x

21. (本小题满分 14 分) 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,点 ?a n ?1 , S n ? 在直线

2 x ? y ? 2 ? 0 上.
(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)是否存在实数 ? ,使得数列 ?S n ? ? ? n ? 值;若不存在,则说明理由.

? ?

? 为等差数列?若存在,求出 ? 的 2n ?

??

5

(Ⅲ)求证:

1 n 2?k 1 ?? ? . 6 k ?1 (ak ? 1)( ak ?1 ? 1) 2

参考答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 A 2 B 3 B 4 C 5 D 6 D 7 A 8 B 9 C 10 D

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分. 11. 20 . 12. (0,1) . 13.

a2 ? b2 ? c2 . 2

14. ? cos? ? 2 .

15. 4.

三、解答题:本大题满分 80 分. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x cos(

?
6

? x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)设 x ? [?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域 3 2
2



解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? cos x( 3 cos x ? sin x) ? 3 sin x ? sin x cos x

? 3(cos 2 x ? sin 2 x) ? 2sin x cos x

???????? 3 分 ???? 4 分

? 3 cos2 x ? sin 2 x
6

? 2 sin(2 x ? ) . 3
? f (x) 的最小正周期为 ? .
(Ⅱ)∵ x ? [?

?

???????? 6 分 ???????? 7 分

? ?
3 2 ,

] ,? ?

?
3

? 2x ?

?
3

?

又 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
3

4? , 3

???????? 9 分 ????? 11 分

) ,? f ( x) ? [? 3 , 2] ,

f ( x) 的值域为 [? 3 , 2] .
17. (本小题满分 12 分)

???????? 12 分

先后随机投掷 2 枚正方体骰子,其中 x 表示第 1 枚骰子出现的点数, y 表示第 2 枚骰子 出现的点数. (Ⅰ)求点 P( x, y ) 在直线 y ? x ? 1 上的概率; (Ⅱ)求点 P( x, y ) 满足 y ? 4 x 的概率.
2

解: (Ⅰ)每颗骰子出现的点数都有 6 种情况, 所以基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 个. ???????? 2 分

记“点 P( x, y ) 在直线 y ? x ? 1 上”为事件 A , A 有 5 个基本事件:

A ? {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5)} ,

???????? 5 分 ???????? 6 分

? P( A) ?

5 . 36
2

(Ⅱ)记“点 P( x, y ) 满足 y ? 4 x ”为事件 B ,则事件 B 有 17 个基本事件: 当 x ? 1 时, y ? 1; 当 x ? 2 时, y ? 1, 2 ; 当 x ? 3 时, y ? 1, 2, 3 ;当 x ? 4 时, y ? 1, 2, 3; ???????? 7 分 ???????? 9 分

当 x ? 5 时, y ? 1, 2, 3, 4 ;当 x ? 6 时, y ? 1, 2, 3, 4 . ???????? 11 分

? P( B) ?

17 . 36

???????? 12 分

18. (本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面 和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (Ⅰ)求证: AF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ;
7

C

(Ⅲ) 设平面 CBF 将几何体 EFABCD分成的两个锥体的体积分别 D 为 VF ? ABCD , VF ?CBE ,求 VF ? ABCD : VF ?CBE . (Ⅰ)证明: ?平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,
A
O

B

M
E

F

?CB ? 平面 ABEF ,

? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,??? 2 分
又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ???????? 4 分 ???????? 5 分

? AF ? 平面 CBF 。
(Ⅱ)设 DF 的中点为 N ,则 MN //

1 1 CD ,又 AO // CD , 2 2
?????? 8 分

则 MN // AO , MNAO 为平行四边形,

?OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ?OM // 平面 DAF 。
?????? 10 分 (Ⅲ)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,?平面 ABCD ? 平面 ABEF ,

1 2 ?FG ? 平面 ABCD ,?VF ? ABCD ? S ABCD ? FG ? FG , ???????? 12 分 3 3 ? CB ? 平面 ABEF , 1 1 1 1 ?VF ?CBE ? VC ?BFE ? S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG ,??????? 13 分 3 3 2 6
?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1 .
19.(本小题满分 14 分)
3

???????? 14 分

已知函数 f ?x ? ? x ? 3ax ? bx ,其中 a, b 为实数.
2

(Ⅰ) 若 f ? x ? 在 x ? 1处取得的极值为 2 ,求 a, b 的值; (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ?? 1, 2? 上为减函数,且 b ? 9a ,求 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)由题设可知:

f ??1? ? 0 且 f ?1? ? 2 ,
即?

?????? 2 分 ?????? 5 分 ?????? 6 分

?3 ? 6a ? b ? 0 4 ,解得 a ? , b ? ?5. 3 ?1 ? 3a ? b ? 2
2 2

(Ⅱ)? f ??x ? ? 3x ? 6ax ? b ? 3x ? 6ax ? 9a , 又 f ? x ? 在 ?? 1, 2? 上为减函数,

? f ?? x ? ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立,
即 3x ? 6ax ? 9a ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立.
2

?????? 7 分

8

? f ??? 1? ? 0 且 f ?2? ? 0 ,
?a ? 1 ?3 ? 6a ? 9a ? 0 ? 即? ?? 3 ? a ?1, ?12 ? 12 a ? 9a ? 0 ?a ? 7 ?

?????? 11 分

? a 的取值范围是 a ? 1.
20. (本题满分 14 分)

?????? 14 分

如图,两条过原点 O 的直线 l1 , l 2 分别与 x 轴、 y 轴成 30? 的角,已知线段 PQ 的长度 为 2 ,且点 P( x1 , y1 ) 在直线 l1 上运动,点 Q( x2 , y2 ) 在直线 l 2 上运动. (Ⅰ) 求动点 M ( x1 , x2 ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过定点 T (0, 2) 的直线 l 与(Ⅰ)中的轨迹 C 交于不同的两点 A 、 B ,且 ?AO B 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)由已知得直线 l1 ? l2 , l1 : y ?

3 x, 3

l2

y
30?

P l1
30?

l 2 : y ? ? 3x , ??? 2 分
? P( x1 , y1 ) 在直线 l1 上运动, Q( x2 , y2 ) 直线 l 2 上运动,
? y1 ? 3 x1 , y2 ? ? 3x2 , 3
2 2 2 2

O Q

x

???????? 3 分

由 PQ ? 2 得 ( x1 ? y1 ) ? ( x2 ? y2 ) ? 4 ,

x 4 2 2 2 即 x1 ? 4 x2 ? 4 , ? 1 ? x2 ? 1 , 3 3

2

???????? 5 分

?动点 M ( x1 , x2 ) 的轨迹 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1, 3

???????? 6 分

y T A

(Ⅱ)直线 l 方程为 y ? kx ? 2 ,将其代入 化简得 (1 ? 3k ) x ? 12 kx ? 9 ? 0 ,
2 2

??? 7 分

o
B

x

设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

? ? ? (12 k ) 2 ? 36 ? (1 ? 3k 2 ) ? 0 , ? k 2 ? 1 ,

9

且 x1 ? x2 ? ?

12 kx 9 , , x1 x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

???????? 9 分 ???????? 10 分

? ?AOB 为锐角,? OA ? OB ? 0 ,
即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , ? x1 x2 ? (kx ? 2)( kx2 ? 2) ? 0 , 1

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .
将 x1 ? x2 ? ? 化简得

12 kx 9 代入上式, , x1 x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
???????? 12 分

13 ? 3k 2 13 ? 0 ,? k2 ? . 2 1 ? 3k 3
2

由 k ?1且 k ?
2

39 39 13 , ? 1) ? (1, ) . ????????14 分 ,得 k ? (? 3 3 3

21. (本小题满分 14 分) 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,点 ?a n ?1 , S n ? 在直线

2 x ? y ? 2 ? 0 上.
(Ⅰ) 求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)是否存在实数 ? ,使得数列 ?S n ? ? ? n ? 若不存在,则说明理由. (Ⅲ)求证:

? ?

? 为等差数列?若存在,求出 ? 的值; 2n ?

??

1 n 2?k 1 ?? ? . 6 k ?1 (ak ? 1)( ak ?1 ? 1) 2

解:(Ⅰ)由题意可得:

2a n?1 ? S n ? 2 ? 0.

① ② ???????? 1 分

n ? 2 时, 2a n ? S n?1 ? 2 ? 0.
①─②得 2an?1 ? 2an ? an ? 0 ?

an?1 1 ? ?n ? 2?, an 2
???????? 3 分
n ?1

? a1 ? 1, 2a2 ? a1 ? 2 ? a2 ?

1 2

1 ?1? ? ?a n ?是首项为1 ,公比为 的等比数列,? an ? ? ? . ?????? 4 分 2 ?2?

10

1 2n ? 2 ? 1 . (Ⅱ)解法一:? S n ? 1 2 n ?1 1? 2 1?
若 ?S n ? 则 S1 ? ? ?

?????? 5 分

? ?

? 为等差数列, 2n ?

??

?
2

, S 2 ? 2? ?

?
2
2

, S 3 ? 3? ?

?
23

成等差数列,

?????? 6 分

9? ? 3? 25? 3? 7 25? ? ? 3 9? ? ? S3 ? ? 2? ? ? ? , 2 ? S2 ? ? ? S1 ? ? ? 1? 4 ? 2 8 2 4 8 ? ?2 4 ?
得 ? ? 2. 又 ? ? 2 时, S n ? 2n ? ?????? 8 分

2 ? 2n ? 2 ,显然 ?2n ? 2?成等差数列, 2n
? ? ? 成等差数列. ?????? 9 分 2n ?

故存在实数 ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ?

??

1 2n ? 2 ? 1 . 解法二: ? S n ? 1 2 n ?1 1? 2 1?
? S n ? ?n ?
? ?

?????? 5 分

?
2
n

? 2?

1 2
n ?1

? ?n ?

?
2
n

? 2 ? ?n ? ?? ? 2?

1 . 2n

????? 7 分

欲使 ?S n ? ? ? n ?

? 成等差数列,只须 ? ? 2 ? 0 即 ? ? 2 便可. 2n ? ? ? ? 成等差数列. 2n ?

??

???8 分

故存在实数 ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ? (Ⅲ)?

??

?????? 9 分

1 ? (a k ? 1)( a k ?1 ? 1)

1 ( 1 2
k ?1

? 1)(

1 ? 1) 2k

?

1 1 1 ( ? ) ?? 10 分 k 1 1 2 ?1 ?1 2k 2 k ?1
???? 11 分

??

n 1 2 ?k 1 ) ? ?( ? 1 1 k ?1 ( a k ? 1)( a kt ?1 ? 1) k ?1 ?1 ?1 2k 2 k ?1 n

1 1 1 1 1 ? ) )? ( ? ) ?? ? ( 1 1 1 1 1 1?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 2 22 2 2t 2 k ?1 1 2k 1 1 ? k ? ?? ? 1 1?1 2 ?1 2 ?1 2k

?(

1

?

???? 12 分

11

又函数 y ?

1 2x 在 x ? [1, ? ?) 上为增函数, ? x 1 2 ?1 ?1 2x

21 2k ???? 13 分 ? 1 ? ? 1, 2 ? 1 2k ? 1 2 1 2k 1 1 1 n 2?k 1 ? . ??? 14 分 ? ? ? k ? ? 1? , ? ? 3 2 2 ?1 2 2 6 k ?1 (ak ? 1)( ak ?1 ? 1) 2

12


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