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浅谈几何画板在中学数学教学中的应用

时间:2015-04-14


浅谈几何画板在中学数学教学中的应用
摘 要: 《几何画板》是一款功能强大、操作简单的教学软件,是现 代教学软件中的动态几何, 它改变了教师的教法和学生的学法。 用它 能画出图形之间的内在关系, 加深概念的理解和几何关系的应用。 通 过对用《几何画板》作出的图形《y=Asin(wx+f)的图像》 、 《习题》 、 《抛物线的性质》 、 《指数函数与对数函数的图像》 、 《

三角函数的内角 和》 、 《两条直线的平行与垂直的图像》 、 《过圆外一点求圆的切线方程 的图像》 、 《锥体体积的割断方法》 、 《多面体的性质》等在教学中的有 效使用,阐述了《几何画板》在中学数学教学中的应用。 关键字: 几何画板 数教学 多面体 ABSTRACT 《Geometer's Sketchpad》is a powerful instructional software which is easy to operate. It is a kind of dynamic geometry which changed the teaching and studying method in modern instructional softwares. This software can draw up the intrinsic relationship between graphic, deepen understanding of the concept and application of geometric relations. This paper analyses the effective use of graphs which were drawn by 《 Geometer's Sketchpad 》 such as 《 the graph of y=Asin(wx+f) 》 , 《exercise》 《 , the nature of parabola》 《 , the image of exponential function and logarithmic function 》 , 《 the sum of angles of Trigonometric
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立体几何

函数

平面解析几何

平面几何



functions》,《Two straight lines parallel and perpendicular to the image》, 《A little over a circle, the tangent equation of circular images》, 《Cone volume cut method》,《The nature of the polyhedron 》 in teaching, expounds the application of 《Geometer's Sketchpad》 in middle school math teaching. KeyWords: Function Teaching The Geometer's Sketchpad Solid geometry Algebra

Plane Analytic Geometry Polyhedron

Plane geometry

在常规教学中我们用具体的实物培养学生的空间想象能力或老 师用语言讲述数学知识的性质与概念。 学生很难准确地理解抽象的数 学知识,因此有的老师也百思不得其解: “这些内容我重复讲了五、 六遍,学生还是不会运用” ,我想这恐怕是很多老师挂在嘴上的口头 禅。这是因为学生没有了解知识的形成过程,无法把抽象的问题具体 化,因此要培养学生的创造性思维和学生的自主性学习能力,这些又 谈何容易?我们要如何改变数学教学中的这种现象呢?而《几何画 板》恰恰在这些方面有独到的优势,下面我们就阐述《几何画板》在 中学代数教学、立体几何教学、平面几何教学中的应用。

1.几何画板的简介
《几何画板(原名:The Geometer`s Sketchpad) 》全名是《几何 画板—21 世纪的动态几何》是由美国 Key Curriculum Press 公司研 制并出版的几何画图的教学软件。1995 年引入我国且 1996 年开始经 教育部中小学计算机教育研究中心组织课题组研究和推广, 现在已经
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使用得较为普遍。 《几何画板》由菜单和工具栏构成,借助它制作几 何图形无需编写任何程序, 仅用菜单和工具栏制作出非常精美的课件 与任何所需的几何图形,操作简单,所涉及到的术语都是我们经常在 数学教学中用到的术语,如:交点、反射、横坐标、纵坐标、度量、 构造、方程、角度等。 《几何画板》就如动态黑板,所有能在黑板上 画的图像或不能在黑板上画的图像都通过 《几何画板》 准确制作出来, 并比手工作图精确、直观、精美、连续、节省时间、还能通过动画演 示、改变图形、猜测并验证的过程中让学生加深对概念的理解和了解 知识的形成过程,具有抽象问题具体化的功能。 《几何画板》能够满 足中学数学教学的需要, 给老师制作课件与画几何图形提供了有效的 工具。它不仅在数学教学中大显身手,而在物理学与实际生活中也广 泛应用。

2.几何画板的特点
2.1 具有强大的动画功能
在常规教学中以粉笔和直尺为作图工具,在黑板上画出静态的几 何图形, 有时为了节省时间提前把图形画在纸上或在小黑板上带到教 室,学生没有了解到知识的形成过程,因此就觉得数学太抽象、太难 学。而《几何画板》恰恰弥补了这些方面的不足与缺陷,用它在课堂 上有条有序地制作出动态的几何图形, 并且通过拖动几何图形或动画 演示几何图形让学生得出结论或推导出几何关系。

2.2 操作简单
《几何画板》软件的一切制作都只靠工具栏和菜单完成,无需编写
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任何计算机程序, 而且所涉及到的菜单名称都是我们经常在教学中用 到的数学术语,如:度量、方程、垂线、变换、坐标、圆、直线、点、 图表等极为简单。 若会操作 windows 系统的基本操作就能制作出图形 精美的课件或几何图形。 我们不得不承认现在有很多比它更优秀的教 学软件,但那些软件不易学更不易运用。

2.3 具有抽象问题形象化的特点
就如大家所理解的:数学的理论知识往往是抽象的,而用图形把 数学知识表达出来的是直观形象生动的。 《几何画板》在这一方面具 有独到的优势,在传统教学中把静态的几何图形画在黑板上,很容易 掩盖一些重要的知识点。 借助 《几何画板》 画出的图形不仅有动态性, 还具有可操作性,保持几何关系不变的情况下拖动几何图形、动画演 示、观察几何图形的变化情况,学生就很形象、具体、直观地观察到 几何图形的内在关系,从而得出几何规律及相关知识。激发学生的学 习兴趣,使得所学的知识得以应用。

3.几何画板在中学代数教学中的应用
我国著名数学家华罗庚教授说过: “数缺形时少直观,形缺数时难 入微” 。这句话深刻地道出了数学中数与形的依存关系,既是数形结 合的重要性。在中学代数教学中我们可以利用《几何画板》用很短的 时间制作出所需的任何几何图形, 把抽象的数学知识用形象的几何图 形表达出来,具有形象、直观的特点。函数是中学数学中的重要知识 体系,它的概念和应用渗透到中学教学的各个环节。下面以具体的例 子说明《几何画板》软件在中学代数教学中应用。
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二次函数 y=ax2+bx+c 的图像是抛物线(如图 1 所示) ,在二次函 数 y=ax2+bx+c 的图像中的难点是抛物线开口大小和与 x 轴的交点的 个数的变化。我们可以利用《几何画板》把图形画在电脑屏幕上,它 们的变化情况及数量关系都显示在同一个屏幕上, 同学们就很容易得 出“b2-4ac”的值与抛物线与 x 轴的交点个数和“b∕2”的对称轴的 变化规律。我们从上面的图 1 中可以观察到:(1).当 a 点在 x 轴的正 半轴时候,既 a>0 时,抛物线的开口向上的;当 a 点在 x 轴的负半轴 时候,既 a<0 时,抛物线的开口向下的,因此我们得出抛物线的开口 与 a 的大小有关; (2)观察图 2 得出:f(x) =x2+4x 的对称轴为 y=2; g(x)=x2 的对称轴是 y 轴; h(x)=x2+x 的对称轴是 y=1∕2; 因此就得出 二次函数的对称轴是“y=b∕2”;(3)观察图 3 我们得出:f(x) =x2 与 x 轴的距离为 0;g(x)=x2+2 与 x 轴的距离为 2;h(x)=x2+1 与 x 轴 的距离为 1,从而我们得出参数 c 表示函数的顶点到 x 轴的距离;而 且“b2-4ac”决定交点个数与抛物线开口的大小等二次函数地性质。 高中一年级的数学教材下册中三角函数的内容是教学重点, 为了 更好地研究三角函数的图像与周期,振幅等之间关系,可以借助《几 何画板》做动画演示。例如,函数 y=Asin(wx+f)的图像在传统教学
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方法是将 A、w、f 赋予具体的值,再观察各种情况下的函数图像之间 的关系,这样在黑板上画出来的图像既不精确又费时间,更为重要的 一点是学生很难从这些抽象的图像中理解三角函数的这些性质。 而利 用《几何画板》我们可以动态地调整 A 的大小,学生容易发现这一操 作只影响曲线的振幅,而对曲线的周期和首相都没有影响;类似地我 们再调整 w 和 f 的大小, 既可以看出分别改变三角函数的首相和周期 (见图 4) 。 我们在屏幕上画出 f(x)=4sin(2x+4)、 g(x)= sin(2x+1) 、 q(x)= sinx 的图像(见图 5) ,通过观察我们得出 A、 w、 f 分别改 变振幅、首相、周期。从而使整个数学内容变得非常形象直观,快速 灵活,而且使数学教学变得轻松而有效起来。

在学习指数函数与对数函数的概念后, 好多学生都会有一个疑问: 当 a>1 时,指数函数 y=ax 与对数函数 y=log ax 的图像是否有交点? 从课本及各种参考资料给出的同一坐标系内指数函数 y=ax 与对数函 数 y=log ax 的图像看,当 a>1 时,似乎是不相交的。那么究竟会是如 何呢?我们通过《几何画板》可以在同一坐标系内画出指数函数 y=ax 与对数函数 y=log ax(a>0 且 a≠1)的图像,底数 a 是可以变化的。 通过不断改变 a 的值, 再经过仔细观察、 分析并验证我们得出结论为: 当 0<a<1 时, (见图 6)学生很容易观察到指数函数 y=ax 与对数函数
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y=log ax 的图像有且只有一个公共交点;当 a>1 时,结论是如何?通 过画板上显示的图形随 a 值的变化而变化的图像, 可以看出 1<a<1.45 时,指数函数 y=ax 与对数函数 y=log ax 的图像之间有两个交点(见 图 7) ;当 a=1.45 时,指数函数 y=ax 与对数函数 y=log ax 的图像开始 相交(见图 8) ;当 a>1.45 时,指数函数 y=ax 与对数函数 y=log ax 的图像没有相交点(见图 9) ;电脑屏幕上直观、形象地画出动态几 何图形,学生可以通过自己动手操作,得到最终的结论。

方程或不等式解(集)都可以利用《几何画板》画出对应的图形,根 据它们的几何关系最终可以求出所要求的答案,又因为“方程” 、 “函数”和“不等式”之间存在一定的内在关系,在学习或做题过程 中,我们往往会利用这些关系,把问题简化,并最终图像化。通过函 数再《几何画板》上画出的图形的交点的变化情况,解释出问题的性
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质或参数的几何意义,从而得出结论或答案。

4.几何画板在中学几何教学中的应用
4.1 几何画板在中学平面几何教学中的应用
学生最初接触平面几何是在初中时代,按照我国的学生的平均年 龄和思维特征,还是处于形象思维为主的阶段,而且传统的数学教学 只靠一只粉笔加一块黑板,有时老师还带个尺子,在黑板上画图,然 后把抽象的概念一讲,让学生记住。这样单调的教学模式,使很多学 生对数学望而却步,从心理深处对学习数学产生恐惧。原因还是数学 太难、太抽象。而《几何画板》能弥补传统教学中存在的这些不足, 培养学生的学习兴趣,在平面几何教学中起到了关键的作用。 等腰三角形三线合一是初中数学教学的难点,传统教学比较难 发现过程,从而造成学生对其不理解,就觉得: “明明只有一条线, 怎么偏说是三线合一?”这个问题借助几何画板就可以迎刃而解了, 利用 《几何画板》 , 可以在屏幕上作出任意的△ABC 及其<A 的平分线, 边 BC 的高线和中线(如图 10) ,几何关系不变的前提下,不断移动 A 点,仔细观察角平分线、垂直平分线和中线三线重合的过程,而继续 运动,就可以看到一线变三线的过程。经过这样的实验再加上适当的 练习巩固,学生就能够很形象地掌握三角形的这一性质。这样的情景 下学生很直观形象地记住了几何图像并且了解几何关系形成的过程, 从此真正意义上理解了 “等腰三角形三线合一” 究竟是怎么一回事了。 有了这些知识的基础上,我们可以进一步说明在不同的三角形中“三 线”的不同位置。在《几何画板》上画出图 10(任意△ABC)之后,
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我们可以任意拖动△ABC 中的 A 点,就可以得到不同形状的三角形, 因此我们可以推导出:当△ABC 为锐角三角形(等腰三角形)时, “三 线”重合在△ABC 内 (见图 11);当△ABC 为直角三角形的时,中线 和平分线在△ABC 内,而高线与直角边重合(见图 12) ;当△ABC 为 钝角三角形时,中线和角平分线在△ABC 内,而高线在△ABC 的边 AC 的延长线上(见图 13) ;这些内容对于老师而言是简单的而对于学生 而言是复杂的, 熟练掌握这些基础知识之后对于以后在几何图形中加 辅助线解决实际问题有很大的帮助。

在三角形内角和外角的性质的教学过程中,好多老师是先给定性 质和公式,还有一些老师从“实验”的角度入手,把直角三角形的三 个角都剪下,然后拼凑成一个平角来证明三角形的内角和为 180°,
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但我同样做过这样的实验: 把任意三角形的三个内角剪下然后用同样 的方法拼凑在一块,结果是很难得出其内角和为 180°,这个时候学 生不仅不明白为什么三角形的内角和为 180°,而且还会感到一头雾 水,反而更乱,用《几何画板》画出任意△ABC,再度量每一个内角 的度数并求△ABC 的内角和,学生发现它们的和为 180°,然后我们 任意拖动其中任一顶点,使△ABC 的形状和大小都发生改变,同时观 察图形下面赋有各角大小的表格, 不管图像的形状和各内角的大小如 何改变,学生发现每一个内角的大小发生改变,但是它们的和还是 180°(见图 14、图 15、图 16).继续做几次,我们可以得到三角形 内角和的几何规律。除了这些例子以外,我们可以借助《几何画板》 证明或解出平面几何中的任何图形,并用追踪给它以动态演示,既学 生能体验知识形成的全过程,又能“举一反三”地把已掌握的知识体 系应用到学习数学的生涯中,还能引起学生的学习兴趣,学生的主动 性、积极性、创造性得到了极大的发展。对现代教育起到了极大的作 用。现实生活中的例子也证明几何画板在学生发现问题和解决问题, 掌握数学知识上具有不可忽略的贡献。 就像美国的两名初中生, 用 《几 何画板》发现了解决“任意等分线段”的新方法,这种发现是多么伟 大的,多少个数学家都在用一生的时间去研究也没有发现,居然就两 个青年人发现了。这是一个值得大家都思考的问题,同时也用现实为 例证明了《几何画板》为教育起到的贡献。

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4.2 几何画板在中学平面解析几何教学中的应用
平面解析几何的实质是利用代数的方法来研究几何问题的一门数 学学科, 其中最基本的就是求点的轨迹问题或根据轨迹方程求点的位 置关系,通常我们采用的方法是描点法,但这种方法由于描点的数量 有限不能完整地反映轨迹图形的全貌, 既我们抓住了局部而忽略了整 体,无法画出精确的几何图形,这就是传统数学教学中的缺点,为了 解决这些问题,下面我们借助《几何画板》画出直观形象的几何图形 来说明具体问题。 在平面解析几何中“两条直线的平行与垂直”性质时,常规的教 学方法难以显示图形的变化过程, 因此, 传统教学中教师先给定结论, 再用相当长的时间来解释这一过程, 这样把原本简单的知识变为复杂 化,遇到具体的问题时学生感到无从下手,找不着突破口,从而产生 心理压力。 而借助 《几何画板》 我们可以轻松地显示图形的变化过程。 我们一般采用这样的方法来实现这一过程:首先建立坐标系之后,任 意作一条直线和它平行的一条线,再度量出两条直线的方程与斜率 (如图 17) 。在两条直线的几何性质不变的情况,任意拖动这两条直 线,让学生仔细观察这两条直线的方程和斜率的变化情况,重复做几 次类似的动作: 随着直线位置的变化, 直线的方程和斜率都发生变化,
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但我们很容易观察出两条平行直线的内在几何关系:K1=K2,当然在直 线的变化过程中,我们也能发现其中一条直线斜率不存在的情况,即 为 A1B2=A2B1;而两条直线的垂直关系(见图 18) ,首先构造出任一一条 直线和与之垂直的一条直线,同时求出两条直线的斜率和方程,再屏 幕上任意拖动 A、B、C 点中的任一点,我们能观察到两条直线的斜率 都发生变化, 但两条直线斜率之乘积的值是不变的, 既是 tan a1*tan a2=-1 .这样, 《几何画板》又以其极强运算功能和图形图像功能在解 析几何教学中大显身手。

有了两条直线的平行与垂直的性质之后我们可以在实际操作中运用 它.如:(1)我们根据两条平行直线 3x+4y-12=0 和 6x+8y+11=0 轨迹 方程求它们之间的距离。用《几何画板》把抽象的轨迹方程转化为形 象的几何图形(见图 19) ,师生一起回顾两条直线的性质,再通过观 察几何图形让学生自己得出求两天直线间的距离问题的求法。 为了节 省时间可以用度量直接算出距离 EF=3.48 厘米, 且把具体的算法问题 让学生在课下研究。 (2)我们已知 P1(2.1)和 P2(0.-3)两点要我们求 出经过这两点的轨迹方程及斜率。这类问题的运算量很大,我们可以 用《几何画板》根据已知条件画出相应的几何图形(见图 20)再根 据图形求出方程与斜率。得到的方程和斜率分别为 Y=2X-3 和 GH 的斜率
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=2.这样用最短的时间内求出所求的答案,既形象又生动,把数量与 图形有机结合。

用《几何画板》展示直线,圆,圆锥曲线等的方程与图像非常方便。 下面是我们以具体的例子求“过圆外一点求圆的切线方程”的图形, 在《几何画板》上画了半径为 EF 的圆(见图 21) ,再根据条件把切 线画出,然后计算出圆与线构成的角度和切线的方程,这时几何关系 已经确定完毕。根据《几何画板》的动态演示拖动圆的半径 EF 的点 E 和 F 中任意一个点时我们很清楚地观察到在屏幕上发生的变化“根 据半径的不断变化,切线的方程也在变化;圆外一点的两条切线根据 半径不同,会出现平行或相交的现象” 。让学生观察到一切变化和几 何关系形成的过程,老师只需要在必要的时候做一些补充和提醒,学 生就牢牢记住了。另一道题是“求 x2+y2=2 到直线 x-y+4=0 距离最大 值和最小值?” , 我们可以在画板上根据给定的条件画出圆和直线 (见 图 22) ,然后用线段把圆和直线连接,设与直线相交点为 F,通过度 量把 F 的坐标算出来之后, 动点到圆的距离 d(用追踪系统算出距离), 通过观察或根据已学的常识判断出从 F 点到原点距离为最短距离。 观 察(比较长度)或用画板的工具栏里 min 函数和 max 函数求出最短距
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离和最长距离,既是 FO=2.83cm 和 FE=5.66cm。这样原本枯燥无趣的 几何课堂就变的新鲜有趣的探索式的游戏了, 学生对此产生无限的兴 趣。 《几何画板》为教学提供了新的生机,避免了尺规作图的偶然性 (特殊性) ,避免了凭空想象。培养了学生用运动的观点来认识几何 关系,探索几何事实的能力。

平面解析几何教学中,由于受工具,课时等诸多因素的局限,数 与形的结合过程往往不好表现,效果不尽人意,因此我们利用《几何 画板》减少了许多不必要的重复劳动,节省了课堂时间,提高授课质 量,使每一位学生应用《几何画板》现代教学软件的过程中激发求知 欲,获取更多的知识,提高学习效果。

4.3 几何画板在中学立体几何中的应用
中学阶段开设立体几何课程的目的是锻炼学生的空间想象能力, 立体几何是在学生已有的平面几何知识的基础上研究与讨论空间图 形的性质; 初学立体几何时, 大多数学生不具有丰富的空间想象能力, 因此, 常规教学中采用的方法为教师让学生依靠二维平面图形来感知 或想象三维空间图形的,平时遇到问题时老师也只能用语言来解释, 有时拿一些实物解释立体图形,让学生去感悟,逐步培养学生的空间 想象能力。但立体几何中点、线、面太多,学生的思维很难从平面图
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形过渡到立体图形, 二维平面图形也不可能成为三维空间图形的真实 写照。而借助《几何画板》能通过拖动一些点使屏幕上的立体几何运 动起来,几何关系不变的情况下,使原几何图形的位置和形状都发生 改变, 让学生视角地去理解三维空间图形中各个元素之间的位置关系 与数量关系。从而把学生的形象思维与抽象思维巧妙的结合起来. 我们学习多面体时,由于立体几何的面、体、点太多,就很难分 辩出具体是那些面构成这些多面体,如果是正四面体(见图 23) 、正 六面体(见图 24) 、正八面体(见图 25)的时候学生还可以具体算出 是几个面,但如果是正二十面体(见图 27)或大于二十面体的时候 无法在脑海里构造出这些图形,这个时候学生就觉得立体几何太抽 象, 从而失去学习几何的兴趣。 而 《几何画板》 就有动画演示的功能, 我们可以把复杂的图形画在电脑屏幕上然后进行动画演示, 就可以的 观察出多面体的内在性质,有助于培养学生的空间想像能力。

这是一道立体几何中的证明题,已知在棱锥 S—AC 中,SH 是
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高,截面 A1B1C1D1E1 平行与底面,并与 SH 交于 H1。要证明截面 A1B1C1D1E1∽底面 ABCDE.光看题目我们会觉得特别难,无从下手, 但借助《几何画板》把图形画(见图 28)在屏幕上用动画把图形“运 动”起来就很容易找到突破口,通过观察我们得出 A1B1//AB,B1C1//BC,C1D1//CD,D1E1//DE,E1A1//EA 且 ∠ A1B1C1= ∠ ABC, ∠ B1C1D1= ∠ BCD,?. 再联系初中学过的知识很容易得出截面 A1B1C1D1E1∽底面 ABCDE 的结论。

在锥体体积的教学中,我们通过三割锥体的三棱柱的方法, 推导出它的公式,这样图形的变化较大,学生不易理解,我们通 常拿一些棱柱体的模型让学生理解,这样我们能用到的方法只有 一个,而利用《几何画板》在实际的操作中将多种分割方法展现 出来,将小三棱锥一个一个的移出,同时播放多种分割的动画画 面。也可以把小三棱锥补成锥体。就如下面的一组图,先用《几 何画板》画出锥体 A′B′C′__ABC 的图形(见图 30) ,然后把锥 体分割成三个三维体(见图 29) ,它们的顶点和面积相等的图形 底面加以色彩,随着分开—复原—分开的过程中就不难看出三个 图形为相等,因此自然就可以得出推导的结论。这样既形象又生
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动,创设发现问题的良好思维环境,达到激发学生的学习兴趣, 培养积极探索和发现问题的能力。

5.结束语
作为未来新世纪的数学老师,我们在教学的各个环节中面临着很 大的挑战,尤其是了解藏区教育的情况下,怎样提高学生的学习能力 与接受能力,要改变高考考 5、10 分的现象,使学习富有情趣,知识 得以运用,就必须站在问题的角度思考问题,我觉得学生不愿意去学 习数学的根本愿意是无法真正的理解数学知识, 这是因为数学太过于 抽象,常规教学没有办法展示知识的形成过程,只强调理论原理,因 此学生失去学习数学的兴趣。针对这些问题,我们应该学学制造课件 的教学软件,能够让抽象的知识形象化,能让动态的几何图形根据自 己的需求进行动态演示, 原本无从下手的几何例题在形象客观的动态 图形中解出答案。这就是《几何画板》的功能。他操作简单,易学易 用,是学习数学的有力助手。

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参考文献
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答谢
走的最快的总是时间,来不及感叹,大学生活已近尾声,五年多 的努力与付出,随着本次论文的完成,将要划下完美的句号。 首先,我要衷心感谢一直以来给予我无私帮助和关爱的老师们, 特别是我的指导老师格日吉教授, 在此向格日吉教授表示深深的感谢 和崇高的敬意。 同时,论文的顺利完成,离不开其它各位老师、同学和朋友的关 心和帮助。在整个论文写作中,各位老师、同学和朋友积极的帮助我 查资料和提供有利于论文写作的建议和意见,在他们的帮助下,论文 得以不断的完善,最终帮助我完整的写完了整个论文。 最后,也是最重要的,我要感谢我的父母和家人,因为没有他们, 就没有现在站在这里的我, 是他们给以我生命, 给以我上大学的机会, 是他们创就今天的我。对于他们,我充满无限的感激。谢谢大家。

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