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直线与平面垂直的判定导学案055-056


直线与平面垂直的判定
【学习目标】
1. 理解直线与平面垂直的定义; 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用; 一、自主学习 合作探究: 探究 1:直线和平面垂直的概念 问题:如图 10-2,将三角板直立起来,并且让它的一条直角边 BC 落在桌面上,观察 AB 边 与桌面的位置关系呈什么状态?绕着 AB 边转动三角板,边 AB 与 BC 始终垂直吗?在转动

的过程中,把 BC 看作桌面上不同的直线,你能得出什么结论吗? A

C

B

新知 1: 如果直线 l 与平面 ? 内的 互相垂直, 记做 .直线 l 叫做 叫 .如图 2.3-2 所示.

都垂直, 就说直线 l 与平面 ? , , 它们的交点 P ?叫

反思:⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直,那么它和这个平面垂直吗? ⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗?你感觉难在哪里? 图 2.3-2 探究 2:直线与平面垂直的判定定理 问题:如图 2.3-3,将一块三角形纸片 ABC 沿折痕 AD 折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌 面上( BD, DC 与桌面接触).观察折痕 AD 与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕 AD 与桌 面垂直呢?

图 2.3-3 结论: 图 2.3-4

反思:⑴折痕 AD 与桌面上的一条直线垂直时,能判断 AD 垂直于桌面吗? ⑵如图 2.3-4,当折痕 AD ? BC 时,翻折后 AD ? ? ,即 AD ? CD, AD ? BD .由此你能得出 什么结论? 新知 2:直线和平面垂直的判定定理: 。 探究 3:直线与平面所成的角

新知 3:如图 2.3-5,直线 PA 和平面 ? 相交但不垂直, PA 叫做平面的 , PA 和平面的 交点 A 叫 ; PO ? ? , AO 叫做斜线 PA 在平面 ? 上的 .平面的一条斜线和它在平 面上的射影所成的锐角,叫这条直线和平面所成的角. P
O

A A

图 2.3-5 直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是 0 °角.线面角的范围是: 。 二、精讲点拨 归纳提升 例 1 如图 2.3-6,已知 a ∥ b , a ? ? ,求证: b ? a .

图 2.3-6 例 2 如图 2.3-7,在正方体中,求直线 A?B 和平面 A?B ?CD 所成的角.

D? A? D
A
图 2.3-7

C?

B?

C

B

三、当堂检测: 1. 直线 l 和平面 ? 内两条直线都垂直,则 l 与平面 ? 的位置关系是( A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.都有可能 2. 已知直线 a , b 和平面 ? ,下列错误的是( ). a / /b ? a ??? A. B. ??b ?? ??a ?b b ??? a ??? a ? b? a / /? ? C. ? ? a ∥ ? 或 a ? ? D. ? ? a∥b b ??? b ???

).

3. a , b 是异面直线,那么经过 b 的所有平面( ). A.只有一个平面与 ? 平行 B.有无数个平面与 ? 平行 C.只有一个平面与 ? 垂直 D.有无数个平面与 ? 垂直 4. 两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线的位置关系是________________. 5. 若平面 ? ∥平面 ? ,直线 a ? ? ,则 a 与 ? _____.
O 是底面的中心, B ?H ? D ?O , 6. 如右下图, 在正方体中, 求证: B?H ? 面 AD ?C . H 为垂足,

D? A? H D B?

C?

C

A

O

B

直线与平面垂直的判定
【学习目标】 1. 熟练掌握直线与平面垂直的判定和性质定理,能够灵活运用; 2. 掌握垂直关系中线线垂直、线面垂直的互化,掌握“平行”与“垂直”关系的相互转换; 3. 能求直线与平面所成的角。 一、课前准备 复习 1:直线与平面垂直的有关结论 ⑴如果一条直线_____________________________,则这条直线和这个平面垂直; ⑵线面垂直的判定定理是_____________________ ; ⑶两条平行线中的一条垂直于一个平面,则______ ; ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则____ 。 复习 2:⑴斜线和平面所成的角怎么作?直线和平面所成的角的范围是_____________; 二、新课导学 ※ 典型例题 。 例 1.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90 , D 为 BB1 的中点。求证:AD⊥平面 A1DC1

例 2.如图,直角三角形 ABC 所在平面外有一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AD 的中点。 求证: (1)SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证 BD⊥平面 SAC。

例 3.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点。求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成 的角的正弦值。

三、课堂小结 1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时,需在平面内找两条相交直线, 证明一条直线同时垂直于这两条相交直线,这是证明线面垂直的常用方法。 2.线线垂直与线面垂直的转化关系。

线面垂直的判定定理

线线垂直

线面垂直的定义

线面垂直

3.解决线面垂直的常用方法: (1)利用勾股定理的逆定理; (2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线; (3)利用线面垂直的定义; (4)利用平行转化,即 a∥b,b⊥c,a⊥c。 4.求斜线与平面所成角的步骤: (1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再 过垂足和斜足作直线, 注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关, 以便计 算。 (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角。 (3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算。 ※ 当堂检测 1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条三角形和三角形的第三边的关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.不确定 2.若斜线段 AB 是它在平面α 上的射影 BO 的 2 倍,则 AB 与平面α 所成的角是( ) A.600 B. 450 C.300 D. 1200 3.如图所示,三棱锥P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=AB,则直线 PB 与平面 ABC 所成的角等 于 .

4.如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2, BC= 2 2 , E,F 分别是 AD,PC 的中点。证明:PC⊥平面 BEF.

四、课后反思


55东北师大附属中学高三第一轮复习教案-轨迹与轨迹方程

导学案 055 是双曲线上不同的两个动点,求直线 A1...求轨迹方程时,一般先观察能否根据条件直接判断轨迹是...=1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的...