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数列练习题(含答案)以及基础知识点训练篇 2

时间:2015-04-03


数列基础知识点总结
——总结:河南师范大学数学院 毋晓迪

A、1.概念与公式:
①等差数列:1°.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则{an } 称等差数列; 2°.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

②等比数列: 1 ° . 定义若数列 {an }满足

an?1 ,则 {an } 称等比数列; 2 ° . 通项公式: ? q (常数) an a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na1. 1? q 1? q

an ? a1q n?1 ? ak q n?k ; 3°.前 n 项和公式: S n ?
2.简单性质:

①首尾项性质:设数列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an , 1°.若 {an } 是等差数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?; 2°.若 {an } 是等比数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ?
a?b ; 2

2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {an } 是等差数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; 2°. 若 {an } 是等比数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; ④顺次 n 项和性质: 1°.若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 则? a k ,
k ?1 n n

k ? n ?1 2n

?

2n

ak ,

k ? 2 n ?1 3n

?a

3n

k

组成公差为 n2d 的等差数列;

2°. 若 {an } 是公差为 q 的等比数列, 则? a k ,
k ?1

k ? n ?1

? a , ?a
k k ? 2 n ?1

k

组成公差为 qn 的等比数列.(注意:当

q=-1,n 为偶数时这个结论不成立)
⑤若 {an } 是等比数列, 则顺次 n 项的乘积: a1a2 ?an , an?1an?2 ?a2n , a2n?1a2n?2 ?a3n 组成公比这 q n 的等比数列.
1
2

⑥若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n ? na中且S奇 ? S偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、S 偶指所有奇数项、
2

所有偶数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ?
nd . 2

(二)学习要点: 1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差 d≠0 的等差数列的通项公 式是项 n 的一次函数 an=an+b;②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;③公比 q≠1 的等比数列的前 n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学 习是很有帮助的. 2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能 用课外的需要证明的性质解题. 3. 巧设 “公差、 公比” 是解决问题的一种重要方法, 例如: ①三数成等差数列, 可设三数为 “a,a+m,a+2m (或 a-m,a,a+m) ”②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq2(或
a ,a,aq)”③四数成等差数列,可设 q

四 数 为 “ a, a ? m, a ? 2m, a ? 3m(或a ? 3m, a ? m, a ? m, a ? 3m); ” ④ 四 数 成 等 比 数 列 , 可 设 四 数 为 “ a, aq, aq2 , aq3 (或
a a ,? , aq,?aq3 ), ”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验. q3 q

[例 1]解答下述问题: 1 1 1 (Ⅰ)已知 , , 成等差数列,求证: a b c b?c c?a a?b , , (1) 成等差数列; a b c b b b (2) a ? ,? , c ? 成等比数列. 2 2 2 [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决, 1 1 2 a?c 2 ? ? ? ? ? ? 2ac ? b(a① ? c), a c b ac b ② b ? c a ? b bc ? c 2 ? a 2 ? ab b(a ? c) ? a 2 ? c 2 (1) ? ? ? ? a c ac ac 2 2( a ? c ) 2( a ? c ) ? ? . b( a ? c ) b b?c c?a a?b ? , , 成等差数列 ; a b c b b b b2 b (2)(a ? )(c ? ) ? ac ? (a ? c) ? ? (? ) 2 , 2 2 2 4 2 b b b ? a ? ,? , c ? 成等比数列 . 2 2 2 [评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:根据“中项”性质、根据“定义” ① 判断,.

2

(Ⅱ)等比数列的项数 n 为奇数,且所有奇数项的乘积为 1024,所有偶数项的乘积为

128 2 ,求项数 n.
[解析]设公比为 q,?
n ?1 2

a1a3 a5 ? an 1024 ? ?4 2 a2 a4 ? an?1 128 2

? a1 ? q

?4 2

(1)
35 35

而a1a 2 a3 ? a n ? 1024? 128 2 ? 2 2 ? a1 ? q1? 2?3 ? ?(n ? 1) ? 2 2 ? (a1 ? q ?
n ?1 n 2 35 5 35

) ? 2 2 , 将(1)代入得(2 2 ) n ? 2 2 ,

5n 35 ? , 得n ? 7. 2 2 ( Ⅲ ) 等 差 数 列 {an} 中 , 公 差 d ≠ 0 , 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 :

ak1 , ak2 ,?, akn 恰为等比数列 , 其中k1 ? 1, k 2 ? 5, k3 ? 17,
求数列 {k n }的前n项和. [解析]? a1 , a5 , a17 成等比数列 ,? a5 ? a1 ? a17 ,
? (a1 ? 4d ) 2 ? a1 ? (a1 ? 16d ) ? d (a1 ? 2d ) ? 0 ? d ? 0,? a1 ? 2d , ? 数列{a kn }的公比q ? a5 a1 ? 4d ? ? 3, a1 a1

2

? a kn ? a1 ? 3 n ?1 ? 2d ? 3 n ?1
n ?1 由 ①,② 得k n ? 2 ? 3 ? 1,

而a kn ? a1 ? (k n ? 1)d ? 2d ? (k n ? 1)d ② 3n ? 1 ? n ? 3 n ? n ? 1. 3 ?1 [评析]例 2 是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例 3]解答下述问题: (Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去 4,又 成等比数列,求原来的三数. [解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单, 设等差数列的三项分别为 a-d, a, a+d,则有 {k n }的前n项和S n ? 2 ?
2 2 ? ? ?(a ? d )(a ? d ? 32) ? a ?d ? 32d ? 32a ? 0 ? ? ? 2 2 ? ?(a ? 4) ? (a ? d )(a ? d ) ? ?8a ? 16 ? d 8 26 ? 3d 2 ? 32d ? 64 ? 0,? d ? 8或d ? , 得a ? 10或 , 3 9 2 26 338 ? 原三数为2,10,50或 , , . 9 9 9 (Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数.

3

[解析]设此四数为 a ? 15, a ? 5, a ? 5, a ? 15(a ? 15) ,

? (a ? 152 ) ? (a ? 5) 2 ? (a ? 5) 2 ? (a ? 15) 2 ? (2m) 2 (m ? N ? ) ? 4a 2 ? 500 ? 4m 2 ? (m ? a)(m ? a) ? 125, ?125 ? 1 ? 125 ? 5 ? 25, ? m ? a与m ? a均为正整数, 且m ? a ? m ? a, ?m ? a ? 1 ?m ? a ? 2 ?? ?? ?m ? a ? 125 ?m ? a ? 25
解得 a ? 62或a ? 12(不合),?所求四数为 47,57,67,77 [评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数 列的问题中是主要方法.

B、由递推公式求通项公式的方法
一、 an?1 ? an ? f (n) 型数列, (其中 f (n) 不是常值函数) 此 类 数 列 解 决 的 办 法 是 累 加 法 , 具 体 做 法 是 将 通 项 变 形 为 an?1 ? an ? f (n) , 从 而 就 有

a2 ? a1 ? f (1), a3 ? a2 ? f (2),

, an ? an?1 ? f (n ?1). ? f (n ?1) ,进而求解。

将上述 n ? 1 个式子累加,变成 an ? a1 ? f (1) ? f (2) ? 例 1. 在数列 {an } 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? 2n ?1, 求an . 解:依题意有 a2 ? a1 ? 1, a3 ? a2 ? 3 , 逐项累加有 an ? a1 ? 1 ? 3 ?
? 2n ? 3 ?

, an ? an?1 ? 2n ? 3

(1 ? 2n ? 3)(n ? 1) ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? 2n ? 1 ,从而 an ? n2 ? 2n ? 3 。 2 注:在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.

变式练习:已知 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?

1 ,求 {an } 的通项公式。 n(n ? 1)

二、 an?1 ? an ? f (n) 型数列, (其中 f (n) 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法,具体做法是将通项变形为
a a2 ? f (1), 3 ? f (2), a1 a2 an ? f (n ? 1) an?1 an ? f (1) ? f (2) ? a1 ? f (n ? 1) ,进而求解。
an ?1 ? f ( n) , 从 而 就 有 an

,

将上述 n ? 1 个式子累乘,变成

4

1 2n ? 3 ? an ?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 例 2. 已知数列 {an } 中 a1 ? , an ? 3 2n ? 1 a a a 1? 3 1 a 3 a 5 2n ? 3 解:当 n ? 2 时, 2 ? , 3 ? , 4 ? , , n ? , , 将这 n ? 1 个式子累乘,得到 n ? a1 (2n ? 1)(2n ? 1) a1 5 a2 7 a3 9 an?1 2n ? 1 1 1 1 1? 3 1 1 ? ? a1 ,所以 an ? 2 从而 an ? ,当 n ? 1 时, 2 。 ? ? 2 4n ? 1 3 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 3 4n ? 1 注:在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.

变式练习:在数列 {an } 中, an >0, a1 ? 2, nan2 ? (n ?1)an?12 ? an?1an ,求 an . 提示:依题意分解因式可得 [(n ? 1)an?1 ? nan ](an?1 ? an ) ? 0 ,而 an >0, 所以 (n ? 1)an?1 ? nan ? 0 ,即 三、 an?1 ? pan ? q 型数列 此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列,再利用等比数列的性质进行求解,构造的办 法有两种,一是待定系数法构造,设 an?1 ? m ? p(an ? m) ,展开整理 an?1 ? pan ? pm ? m ,比较系数有
pm ? m ? b ,所以 m ? b ,所以 a ? b 是等比数列,公比为 p ,首项为 a ? b 。二是用作差法直 n 1 p ?1 p ?1 p ?1

an ?1 n 。 ? an n ?1

接构造, an?1 ? pan ? q , an ? pan?1 ? q ,两式相减有 an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ,所以 an?1 ? an 是公比为 p 的等 比数列。 例 3. 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,有 an ? 3an?1 ? 2 ,求 {an } 的通项公式。 解法 1:设 an ? m ? 3(an?1 ? m) ,即有 an ? 3an?1 ? 2m 对比 an ? 3an?1 ? 2 ,得 m ? 1 ,于是得 an ? 1 ? 3(an?1 ? 1) ,即
an ? 1 ?3 an ?1 ? 1

所以数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 3 为公比的等比数列 解法 2:由已知递推式,得 an?1 ? 3an ? 2, an ? 3an?1 ? 2,(n ? 2) , a ?a 上述两式相减,得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) ,即 n ?1 n ? 3 an ? an ?1

则 an ? 2 ? 3n?1 ?1 。

因此,数列 {an?1 ? an } 是以 a2 ? a1 ? 4 为首项,以 3 为公比的等比数列。所以 an?1 ? an ? 4 ? 3n?1 ,即 变式练习:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式. 注:根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式. 四、 an?1 ? pan ? f ?n? 型数列(p 为常数) 此类数列可变形为

3an ? 2 ? an ? 4 ? 3n?1 ,所以 an ? 2 ? 3n?1 ?1 。

?a ? an?1 an f ?n? 可用累加法求出,由此求得 an . ? n ? n?1 ,则 ? n n ?1 n ? p p p ?p ?

例 4 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n?1 ,求 an .

5

解 : 将 已 知 递 推 式 两 边 同 除 以 2 n ?1 得
bn ? 5 ? 3n ?1 ? 2 ,从而 an ? 5 ? 3n?1 ? 2n?1 . n 2

an ?1 3 an a 3 ? ? n ? 1 , 设 bn ? n , 故 有 bn ?1 ? 2 ? ? (bn ? 2) , n ?1 n 2 2 2 2 2

注:通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法. 若 f (n) 为 n 的一次函数,则 an 加上关于 n 的一次函数构成一个等比数列; 若 f (n) 为 n 的二次函数 , 则 an 加上关于 n 的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解. 例 5.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1,当n ? 2时, an ?
1 an ?1 ? 2n ? 1, 求an . 2

解 : 作 bn ? an ? An ? B , 则 an ? bn ? An ? B , an?1 ? bn?1 ? A(n ?1) ? B 代 入 已 知 递 推 式 中
1 1 1 1 得: bn ? bn ?1 ? ( A ? 2)n ? ( A ? B ? 1) . 2 2 2 2

?1 A? 2 ? 0 ? ? A ? ?4 ?2 令? ?? ?B ? 6 ? 1 A ? 1 B ?1 ? 0 ? ?2 2

1 这时 bn ? bn ?1 且 bn ? an ? 4n ? 6 2

3 ? 4n ? 6 . 2 2n ?1 注:通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题 得以解决.

显然, bn ?

3

n ?1

,所以 an ?

变式练习: (1)已知 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? 2an ? 2n?1 ,求 an 。 (2)已知数列 {an } ,Sn 表示其前 n 项和,若满足 Sn ? an ? n2 ? 3n ?1 ,求数列 {an } 的通项公式。

?S n ? 1 提示: (2)中利用 an ? ? 1 ,把已知条件转化成递推式。 ?Sn ? Sn?1 , n ? 2
五、 an ?
Aan 型数列( A, B, C 为非零常数) Ban ? C

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数 , 把数列的倒数看成是一个新数列 , 便可顺利地转化为

an?1 ? pan ? q 型数列。
例 6.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ?
2an ,求 an . an ? 2

解:两边取倒数得:

2 1 1 1 1 1 1 n ? ? ,所以 ? ? (n ? 1) ? ? ,故有 an ? 。 n an ?1 an 2 an a1 2 2

2n?1 ? an 变式练习:数列 {an } 中, an?1 ? n?1 , a1 ? 2 ,求 {an } 的通项。 2 ? an
6

六、 an?2 ? pan?1 ? qan 型数列( p, q 为常数) 这种类型的做法是用待定糸数法设 an?2 ? ?an?1 ? ? ?an?1 ? ?an ? 构造等比数列。 例 7.数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a2 ? 3, 且 2an ? an?1 ? an?1 ?n ? N ? , n ? 2? ,求 an .

C、求数列前 n 项和
一. 公式法: 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本 最重要的方法。
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ; ? na1 ? d 2 2 (q ? 1) ? na1 ? n 等比: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ; ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q (2) 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) ; 6

(1) 等差: S n ?

13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [
2

n(n ? 1) 2 ] 2
n?2

例 1. 求和 1 ? x ? x ? ? ? x

( n ? 2, x ? 0 )

二. 分组法:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数 列,然后分别求和,再将其合并即可。 例 2. 求数列 {2 n ? ( 1 ) n ? n} 的前 n 项和
3

三. 错位相减法: (考试重点)主要用于求数列{an〃bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差和等比. 求和时 一般在已知和式的两边都乘以等比数列的公比 q;然后再将得到的式子和原式相减,转化为同倍数的等比数列求 和。 注意事项:1.公比是未知数要讨论当公比 x=1 时的特殊情况;2.错位相减时要注意末项 例 3. 求和: 1 ?

3 4 n ?1 ? 3 ??? n 2 2 2 2
2 3 n?1

例 4. 求和: 1 ? 3a ? 5a ? 7a ? ? ? ?2n ? 1?a

?a ? 0?.

四. 裂项法: 实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.前面剩 几项后面剩倒数第几项,对称性. 例 5.求和

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 1? 2 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

例 6.求数列

五. 并项求和法 (或者奇数项和+偶数项和)一定是正负相间. 例 7. 求和 ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ?

(?1)n (2n ?1)

7

数列部分测试题
一、选择题 1、 如果一个数列既是等差数列, 又是等比数列, 则此数列 (A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 ( (C)存在且唯一 (D)不存在 ( (D) an ? n ? 3 或 an ? 4 ( ) ) ) 2.、 在等差数列 ?an ? 中, 则 ?an ? 的通项公式为 a1 ? 4 ,且 a1 , a5 , a13 成等比数列, (A) an ? 3n ? 1 (B) an ? n ? 3 (C) an ? 3n ? 1或 an ? 4

b 与 c 的等差中项, 3、 已知 a, b, c 成等比数列, 且 x , y 分别为 a 与 b 、 则
(A)

a c ? 的值为 x y

1 2

(B) ? 2

(C) 2

(D) 不确定
2 2

b ,y 三个数 4、 互不相等的三个正数 a, b, c 成等差数列,x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的等比中项, 那么 x , (
(A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 (B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 (

2



5、 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S 2n?1 ? 4n 2 ? 2n ,则此数列的通项公式为 (A) an ? 2n ? 2
2



(B) an ? 8n ? 2

(C) an ? 2 n?1

(D) an ? n 2 ? n ( )

6、 已知 ( z ? x) ? 4( x ? y)( y ? z) , 则 (A) x, y , z 成等差数列 (B) x, y , z 成等比数列 (C)

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z
( )

7、 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? a n ? 1 , 则关于数列 ?an ? 的下列说法中, 正确的个数有

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也 可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 ,? ,前 n 项和为 2 4 8 16 1 1 1 2 2 (A) n ? n ? 1 (B) n ? n ?1 ? 2 2 2
8、 数列 1

( (C) n ? n ?
2



1 ?1 2n

(D) n ? n ?
2

1 2
n ?1

?

1 2
( )

9、若两个等差数列 ?an ? 、?bn ? 的前 n 项和分别为 An 、 Bn ,且满足 (A)

An 4n ? 2 a ? a13 ,则 5 的值为 ? Bn 5n ? 5 b5 ? b13

7 9

(B)

8 7

(C)
2

19 20

(D)

7 8
( )

10、 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n ? 5n ? 2 ,则数列 an 的前 10 项和为 (A)56 (B)58 (C)62 (D)60
n

? ?

11、已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n ? 5 为, 从 ?an ? 中依次取出第 3,9,27,…3 , …项,按原来的顺序排成一个新
8

的数列,则此数列的前 n 项和为





n(3 n ? 13) (A) 2

(B) 3 ? 5
n

3 n ? 10n ? 3 (C) 2

3 n ?1 ? 10n ? 3 (D) 2
( )

12、下列命题中是真命题的是 A.数列 ?an ? 是等差数列的充要条件是 an ? pn ? q ( p ? 0 ) B.已知一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? an2 ? bn ? a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 C.数列 ?an ? 是等比数列的充要条件 an ? abn?1

D.如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? abn ? c (a ? 0, b ? 0, b ? 1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a ? c ? 0 二、填空题 13、各项都是正数的等比数列 ?an ? ,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q = 14、已知等差数列 ?an ? ,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则 15、已知数列 ?an ? 满足 S n ? 1 ?

a1 ? a5 ? a17 = a2 ? a6 ? a18

1 a n ,则 an = 4

16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 三、解答题 17、已知数列 ?an ? 是公差 d 不为零的等差数列,数列 abn 是公比为 q 的等比数列, b1 ? 1, b2 ? 10, b3 ? 46 ,求公比

? ?

q 及 bn 。
18、 已知等差数列 ?an ? 的公差与等比数列 ?bn ? 的公比相等, 且都等于 d (d ? 0, d ? 1) , a1 ? b1 , a3 ? 3b3 , a5 ? 5b5 , 求 a n , bn 。 19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。 20、已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

21、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn 22、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?1.4b2 ?1...4 n
b ?1

? (an ?1)bn (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;
9

数列部分参考答案 一、 选择题 题号 答案 二、填空题 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B

D

C

A

A

A

C

A

D

D

D

D

1? 5 2

14.

26 29

15.

4 1 n (? ) 3 3

16. ? 6 3

三、解答题 17.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d) =a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1〃4 =3d〃4 ,a1+(bn-1)d=3d〃4
n-1 n-1 n-1 n-1
2

∴bn=3〃4 -2 2 2 18.∴ a3=3b3 , ? a1+2d=3a1d , ? a1(1-3d )=-2d ? a5=5b5, ? a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d
4

① ②

1 ? 5d ② 5 5 2 2 1 ,得 =2, ∴ d =1 或 d = ,由题意, d= ,a1=- 5 。 ∴an=a1+(n-1)d= (n-6) 2 ① 5 5 5 1 ? 3d
19.设这四个数为

bn=a1dn-1=- 5 〃 (

5 n-1 ) 5

a , a, aq,2aq ? a q

?a ? ·a ? aq ? 216 则 ?q ?a ? aq ? (3aq ? a) ? 36 ?
③代入②,得 3aq=36,q=2


由①,得 a =216,a=6
3




∴这四个数为 3,6,12,18 a3 2

20.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= 2 20 1 , 解得 q1= , q2= 3, 3 3

q

=

q

, a4=a3q=2q

所以

q

+ 2q=

1 1 n-1 18 3-n 当 q1= , a1=18.所以 an=18×( ) = n-1 = 2×3 . 3 3 3 当 q=3 时, a1= 2 2 n-3 , 所以 an= ×3n-1=2×3 . 9 9

21.解:(I)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2?
又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列
10

∴ an ? 3n?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公差为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得 d1 ? 2, d2 ? 10 ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ? 22(I) :
2

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

an?1 ? 2an ?1(n ? N * ),

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ?1(n ? N * ). 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ? 1)bn .

(II)证法一:

? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0, ④-③,得 ③

① ②

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.



nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。
11


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