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最新6年高考4年模拟分类汇编07第四章 第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式

时间:2011-01-18


第四章
第一节

三角函数及三角恒等变换

三角函数的概念、 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 第一部分 六年高考荟萃

2010 年高考题
一、选择题 1.( 浙江理) (9)设函数 f ( x ) = 4 sin(2 x + 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不存在

1.(2010 浙江理) . 零点的是 (A) [ ?4, ?2 ] 答案 A (B) [ ?2, 0] (C) [ 0, 2] (D) [ 2, 4]

解析:将 f ( x ) 的零点转化为函数 g ( x ) = 4 sin (2 x + 1)与h( x ) = x 的交点,数形结合可知答 案选 A,本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点,突出了对转化思 想和数形结合思想的考察,对能力要求较高,属较难题 3.( (3)已知 sin α = 3.(2010 全国卷 2 文) (A) ?

2 ,则 cos( x ? 2α ) = 3

5 1 1 5 (B) ? (C) (D) 3 9 9 3

【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3, 解析】 本题考查了二倍角公式及诱导公式, SINA=2/3,



cos(π ? 2α ) = ? cos 2α = ?(1 ? 2sin 2 α ) = ?

1 9
)

4.( 福建文) 4.(2010 福建文)2.计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于(

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

【答案】B 【解析】原式= cos 45 =

2 ,故选 B. 2

【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值 5.( 5.(2010 全国卷 1 文) (1) cos 300° =

1

(A) ?

3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

【答案】 C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 cos 300° = cos ( 360° ? 60° ) = cos 60° =

1 2

6.( 6.(2010 全国卷 1 理)(2)记 cos( ?80°) = k ,那么 tan100° =

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 k

C.

k 1? k2

D. -

k 1? k2

二、填空题 ( ( 已知 a 是第二象限的角, π + 2a ) = ? tan( 1. 2010 全国卷 2 理)13) 【答案】 ?

4 , tan a = 则 3



1 2

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生 的计算能力. 【 解 析 】 由 tan(π + 2a ) = ?

4 4 2 tan α 4 得 tan 2a = ? , 又 tan 2a = =? ,解得 2 3 3 1 ? tan α 3 1 1 tan α = ? 或 tan α = 2 ,又 a 是第二象限的角,所以 tan α = ? . 2 2

2.(2010 全国卷 2 文) ( (13)已知α是第二象限的角,tanα=1/2,则 cosα=__________

2 5 5 解析】 【解析】 ? tan α = ?

:本题考查了同角三角函数的基础知识



1 2 5 cos α = ? 2 ,∴ 5

3. ( 2010 全 国 卷 1 文 ) (14) 已 知

α 为 第 二 象 限 的 角 , sin a =

3 , 则 5

tan 2α =

.

2

答案 ?

24 7

【命题意图】 本小题主要考查三角函数值符号的判断、 同角三角函数关系、 和角的正切公式, 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为 α 为第二象限的角,又 sin α = 所 tan(2α ) =

2 tan α 24 =? 2 1 ? tan α 7

3 4 sin α 3 , 所以 cos α = ? , tan α = =? , 5 5 cos α 4

4. ( 2010 全 国 卷 1 理 ) (14) 已 知

α 为 第 三 象 限 的 角 , cos 2α = ?

tan( + 2α ) = 4

π

3 ,则 5

.

三、解答题 1.( 上海文)19.( 1.(2010 上海文)19.(本题满分 12 分) 已知 0 < x <

π
2

,化简:

x π lg(cos x ? tan x + 1 ? 2sin 2 ) + lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 + sin 2 x) . 2 2
解析:原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)?lg(sinx+cosx) =0.
2

3

6.(2010 山东理) ( 山东理)

7.( 湖北理) (本小题满分 12 分) 7.(2010 湖北理) 16. 已知函数 f(x)= cos(

π

π 1 1 + x) cos( ? x), g ( x) = sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

4

2009 年高考题
一、选择题 2..(2009 辽宁理,8)已知函数 f ( x ) =Acos( ω x + ? )的图象如图所示, f ( ) = ?

π

2

2 ,则 3

f (0) =(



A. ? 答案

2 3
C

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

3.(2009 辽宁文,8)已知 tan θ = 2 ,则 sin θ + sin θ cos θ ? 2 cos θ = (
2 2



A. ? 答案

4 3
D

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

4.(2009 全国 I 文,1) sin 585 °的值为

5

A. ? 答案

2 2
A

B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2

5.(2009 全国 I 文,4)已知 tan a =4,cot β = A.

7 11
B

B. ?

7 11

1 ,则 tan(a+ β )= ( 3 7 7 C. D. ? 13 13 12 , 则 cos A = 5 12 D. ? 13



答案

6.(2009 全国 II 文,4) 已知 ?ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

解析:已知 ?ABC 中, cot A = ?

12 π ,∴ A ∈ ( , π ) . 5 2

5 13

cos A = ?

1 1 + tan 2 A

=?

1 5 1 + (? ) 2 12

=?

12 13

故选 D.

7.(2009 全国 II 文,9)若将函数 y = tan(ωx + 后,与函数 y = tan(ωx + A.

π
4

)(ω > 0) 的图像向右平移
) D.

π
6

个单位长度

π

1 6
D

6 1 B. 4

) 的图像重合,则 ω 的最小值为(
C.

1 3

1 2

答案

8.(2009 北京文) α = “ A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 答案 A

π
6

”是“ cos 2α =

1 ”的 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于 基础知识、基本运算的考查. 当α =

π
6

时, cos 2α = cos

π
3

=

2α = 2kπ +

π
3

? α = kπ +

π
6

1 1 ,反之,当 cos 2α = 时, 2 2

(k ∈ Z ) ,
π
6

或 2α = 2kπ ?

π
3

? α = kπ ?

( k ∈ Z ) ,故应选 A.

6

9.(2009 北京理) α = “ ( )

π
6

+ 2kπ (k ∈ Z ) ”是“ cos 2α =

1 ”的 2

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查三角函数的基本概念、 简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基 本运算的考查. 当α =

π

π? π 1 ? + 2kπ (k ∈ Z ) 时, cos 2α = cos ? 4kπ + ? = cos = 6 3? 3 2 ?
1 π π 时,有 2α = 2kπ + ? α = kπ + ( k ∈ Z ) , 2 3 6
? α = kπ ?

反之,当 cos 2α = 或 2α = 2kπ ?

π
3

π

6

( k ∈ Z ) ,故应选 A.
12 ,则 cos A = 5 12 D. ? 13

10.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

5 13

答案:D 解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 5 cos A 12 12 和 B,再由 cot A = = ? , 和 sin 2 A + cos 2 A = 1求得 cos A = ? 选 D sin A 5 13

11.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x ) = sin( x ? A. 函数 f (x ) 的最小正周期为 2 π B. 函数 f (x ) 在区间[0,

π

2

)( x ∈ R ) ,下面结论错误的是 ..

π
2

]上是增函数

C.函数 f (x ) 的图象关于直线 x =0 对称 D. 函数 f (x ) 是奇函数 答案 D 解析∵ f ( x ) = sin( x ?

π
2

) = ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 易错提醒】

7

12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

解析:已知 ?ABC 中, cot A = ?

12 π ,∴ A ∈ ( , π ) . 5 2

12 , 则 cos A = ( ) 5 5 12 C. ? D. ? 13 13

cos A = ?

1 1 + tan 2 A

=?

1 5 1 + (? ) 2 12

=?

12 13

故选 D.

答案 D 13.(2009 湖北卷文) “sin α = A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 由 cos 2a = 故选 A. 14.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 < cos10 < sin168
0 0 0 0

1 1 ”是“ cos 2α = ” 的 ( 2 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 可得 sin 2 a = ± ,故 sin a = 是 sin 2 a = 成立的充分不必要条件, 2 2 2 4


0 0

B. sin168 < sin11 < cos10
0 0

C. sin11 < sin168 < cos10
0 0

0

D. sin168 < cos10 < sin11

0

答案 C 解析 因为 sin160° = sin(180° ? 12° ) = sin12° , cos10° = cos(90° ? 80° ) = sin 80° ,由于正 弦函数 y = sin x 在区间 [0° ,90° ] 上为递增函数,因此 sin11 < sin12 < sin 80 ,即
° ° °

sin11° < sin160° < cos10°
二、填空题 15.(2009 北京文)若 sin θ = ? 答案

4 , tan θ > 0 ,则 cos θ = 5

.

?

3 5

解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.

8

3 3 ? 4? 由已知, θ 在第三象限,∴ cos θ = ? 1 ? sin θ = ? 1 ? ? ? ? = ? ,∴应填 ? . 5 5 ? 5?
2

2

三、解答题 17.(2009 江苏,15)设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; (2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b . 分析 本小题主要考查向量的基本概念, 同时考查同角三角函数的基本关系式、 二倍角的正 弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。

18.(2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12 12分) 12 已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ? ? ) =

π
2

).

10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值. 10 2

解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b = sin θ ? 2 cos θ = 0 ,即 sin θ = 2 cos θ ,代入

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 得 sin θ = ± 2 5 5 , cos θ = . 5 5

2 5 5 π , cos θ = ± ,又 θ ∈ (0, ) , 5 5 2

∴ sin θ =

(2)∵ 0 < ? <

π
2

,0 <θ <

π
2

,∴ ?

π
2

< θ ?? <

π
2

,则

cos(θ ? ? ) = 1 ? sin 2 (θ ? ? ) =

3 10 , 10
9

∴ cos ? = cos[θ ? (θ ? ? )] = cos θ cos(θ ? ? ) + sin θ sin(θ ? ? ) =

2 . 2

22.(2009 湖南卷文)已知向量 a = (sin θ , cos θ ? 2sin θ ), b = (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan θ 的值; (Ⅱ)若 | a |=| b |, 0 < θ < π , 求 θ 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2 sin θ = cos θ ? 2 sin θ , 于是 4sin θ = cos θ ,故 tan θ =

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |=| b | 知, sin 2 θ + (cos θ ? 2sin θ ) 2 = 5, 所以 1 ? 2sin 2θ + 4sin
2

θ = 5.

从而 ?2sin 2θ + 2(1 ? cos 2θ ) = 4 ,即 sin 2θ + cos 2θ = ?1 , 于是 sin(2θ + 所以 2θ +

π
4

)=?

2 π π 9π .又由 0 < θ < π 知, < 2θ + < , 2 4 4 4

5π π 7π ,或 2θ + = . 4 4 4 4 π 3π 因此 θ = ,或 θ = . 2 4 =

π

2005— 2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 山东)已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量

m = ( 3, 1),n = (cos A, A) .若 m ⊥ n ,且 a cos B + b cos A = c sin C ,则角 A,B ? sin
的大小分别为( A. , 答案 C 解析 本小题主要考查解三角形问题.∵ 3 cos A ? sin A = 0 , )

π π 6 3

B.

2π π , 3 6

C. ,

π π 3 6

D. ,

π π 3 3

10

∴A=

π
3

; ? sin A cos B + sin B cos A = sin 2 C ,

sin A cos B + sin B cos A = sin( A + B) = sin C = sin 2 C , C=

π
2

.∴B =

π .选 C. 本题在求角 B 时,也可用验证法. 6

2.(2008 海南、宁夏)

3 ? sin 70 =( 2 ? cos 2 10
C. 2 D.



A.

1 2

B.

2 2

3 2

答案 C 解析

3 ? sin 70 3 ? cos 20 3 ? (2 cos 2 20 ? 1) = = = 2 ,选 C 2 ? cos 2 10 2 ? cos 2 10 2 ? cos 2 10


3.(2007 北京)已知 cos θ ? tan θ < 0 ,那么角 θ 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 答案 C 4.(2007 重庆)下列各式中,值为

B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

3 的是( 2
2 2



A. 2 sin15 cos15 C. 2sin 15 ? 1
2

B. cos 15 ? sin 15 D. sin 15 + cos 15
2 2

答案 B 5.(2007 江西)若 tan α = 3 , tan β = A. ?3 答案 D 6.(2007 全国 I) α 是第四象限角, tan α = ? A. B. ?

1 3

4 ,则 tan(α ? β ) 等于( 3 1 C. 3 D. 3 5 ,则 sin α = ( 12 5 D. ? 13
3





1 5

B. ?

1 5

C.

5 13

答案 D

7.(2006福建)已知 α ∈ ( 2 , π ), sin α = 5 , 则 tan(α + ) 等于 ( 4

π

π



11

A.

1 7

B. 7

C.

?

1 7

D. ?7

答案 A 8.(2006年湖北)若△ ABC 的内角 A 满足 sin 2 A =

2 ,则 sin A + cos A =( ) 3
D. ?

A. 答案 A

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

5 3

9.(2005 全国 III)已知 α 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 答案 D 10.(2005 全国 I)在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A ? cot B = 1 ③ sin 2 A + cos 2 B = 1 其中正确的是( A.①③ 答案 B 二、填空题 ) B.②④

α
2

所在的象限是

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

A+ B = sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 < sin A + sin B ≤

2

④ cos 2 A + cos 2 B = sin 2 C

C.①④

D.②③

12.(2007 北京)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代 数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小 正方形拼成的一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形 的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 θ ,那么 cos 2θ 的值等于 答案

7 25

三、解答题

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 14.(2008 北京)已知函数 f ( x) = cos x
(1)求 f ( x ) 的定义域;

π

12

(2)设 α 是第四象限的角,且 tan α = ?

4 ,求 f (α ) 的值. 3

解: (1)依题意,有 cosx≠0,解得 x≠kπ+ 即 f ( x ) 的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ+

π

π
2

2



,k∈Z}

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 =-2sinx+2cosx∴ f (α ) =-2sinα+2cosα (2) f ( x) = cos x 4 4 3 由 α 是第四象限的角,且 tan α = ? 可得 sinα=- ,cosα= 3 5 5 14 ∴ f (α ) =-2sinα+2cosα= 5
15.(2008 江苏)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 α , β ,它们 的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为

π

2 2 5 , 10 5
(1) 求 tan(α + β ) 的值; 解 (2) 求 α + 2 β 的值。

本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公

式。由条件得 cos α =

2 2 5 , ∵α 为锐角, , cos β = 10 5 7 2 5 。同理可得 sin β = , 10 5 1 。 2

故 sin α > 0且 sin α =

因此 tan α = 7, tan β =

1 7+ tan α + tan β 2 =-3 。 (1) tan(α + β ) = = 1 ? tan α tan β 1 ? 7 × 1 2 1 ?3 + 2 =-1 , (2) tan(α + 2 β ) = tan[(α + β ) + β ] = 1 1 ? ( ?3) × 2 π π 3π 3π ,从而 α + 2 β = 。 ∵ 0 < α < , 0 < β < , ∴ 0 < α + 2β < 2 2 2 4
16. ( 2007 安 徽 ) 已 知 0 < α <

π π? ? ,β 为 f ( x) = cos ? 2 x + ? 的 最 小 正 周 期 , 4 8? ?

13

? 1 ? ? 2 cos 2 α + sin 2(α + β ) ? a = ? tan ? α + β ?, 1?, b = (cos α, ,且 a b = m .求 ? 2) · 的值. 4 ? cos α ? sin α ? ? ?
解:因为 β 为 f ( x ) = cos ? 2 x +

? ?

π? ? 的最小正周期,故 β = π . 8? ? ? 1 ? β ??2. 4 ?

因 a b = m ,又 a b = cos α tan ? α + · · ·

故 cos α tan ? α + · 由于 0 < α <

? ?

1 ? β ? = m+2. 4 ?

π ,所以 4

2 cos 2 α + sin 2(α + β ) 2 cos 2 α + sin(2α + 2 π) = cos α ? sin α cos α ? sin α = 2 cos 2 α + sin 2α 2 cos α (cos α + sin α ) = cos α ? sin α cos α ? sin α 1 + tan α π? ? = 2 cos α tan ? α + ? = 2(2 + m) · 1 ? tan α 4? ?

= 2 cos α

m = ?1, 3 , n = ( cos A,sin A)

(

)

第二部分

四年联考汇编

2010 年联考题
题组二 月份更新) 题组二(5 月份更新)
一、填空题 2. (肥城市第二次联考) (文)已知函数 y = sin 2 x ,则( (A) 有最小正周期为 2π (C) 有最小正周期为 答案 B 3. ( 昆 明 一 中 三 次 月 考 理 ) 已 知 tan α = 2 , 则 B.3 C.2 D.-2 ).

(B) 有最小正周期为 π (D) 无最小正周期

π
2

cos α + sin α = A.-3 cos α ? sin α

答案:A4. (安徽六校联考)函数 y = tan ω x (ω > 0) 与直线 y = a 相交于 A 、 B 两点,且 | AB | 最 小值为 π ,则函数 f ( x) = 3 sin ω x ? cos ω x 的单调增区间是(
14

)

A. [2kπ ? , 2kπ + ] (k ∈ Z )
6 6

π

π

B. [2kπ ? ,2kπ +
3

π

2π ] (k ∈ Z ) 3 5π ] (k ∈ Z ) 6

C. [2kπ ? 答案 B

2π π ,2kπ + ] (k ∈ Z ) 3 3

D. [2kπ ? ,2kπ +
6

π

5.(岳野两校联考)若 a,

b,

c 是三角形 ABC 的角 A、B、C 所对的三边,向量 )三角

m = (a sin A ? b sin B, sin C ) , n = (?1, b + c) ,若 m ⊥ n ,则三角形 ABC 为(
形。 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D.

不能确定

答案 C 6. (祥云一中三次月考理)Sin570°的值是 A.

1 2

B.

3 2

C.-

1 2

D. -

3 2

答案:C 二、填空题 1.(肥城市第二次联考)已知函数 y = 2 sin(ωx + ? ) (0 < ? < π ) 为偶函数, ( x1 ,2), ( x 2 ,2) 为其图象上两点,若 x1 ? x 2 的最小值为 π ,则 ω = ,? = 。

解析: 由题意分析知函数 y = 2 sin(ωx + ? ) 的周期为 T = π ,∴ ω =



π

= 2, 又因为函数

y = 2 sin(ωx + ? ) (0 < ? < π ) 为偶函数,所以必须变换成余弦函数形式,综合分析知

ω = 2, ? =

π
2



3.(祥云一中月考理) tan 答案:2

π
12

+ 3=



3 ? 1? ? arccos? ? ? 2 ? 2? = 5. (昆明一中四次月考理)求值 ? 1? arctan ? 3 + arcsin ? ? ? ? 2? arcsin

(

)

.

答案:

2 3

三、解答题

题组一(1 月份更新) 月份更新)
15

一、选择题 1.(2009 玉溪一中期末)若 sin α < 0 且 tan α > 0 是,则 α 是( A.第一象限角 答案 C 3.(2009 昆明市期末)已知 tanα=2,则 cos(2α+π)等于 A. 答案 A 4.(2009 临沂一模)使奇函数 f(x)=sin(2x+θ)+ 3 cos(2x+θ)在[ ? θ值为 A、 ? 答案 D 5.(2009 泰安一模)若 ( D. ? ) B. 第二象限角 C. 第三象限角 ) D. 第四象限角

3 5

B. ?

3 5

C.

4 5

4 5

π
4

,0]上为减函数的

π
3

B、 ?

π
6

C、
tan a +

5π 6

D、

2π 3

1 10 π π π = , a ∈ ( , ), 则 sin(2a+ )的 值 为 tan a 3 4 2 4

A.

?

2 10

B.

2 10

C

5 2 10

D.

7 2 10


6.(2009 茂名一模)角 α 终边过点 ( ?1, 2) ,则 cos α =(

A、 答案 C

5 5

B、

2 5 5

C、 ?

5 5

D、 ?

2 5 5

7.(2009 枣庄一模)已知 sin( A. ?

7 9

1 2π ? α ) = , 则 cos( + 2α ) 的值是( ) 6 3 3 1 1 7 B. ? C. D. 3 3 9

π

8. ( 2009 韶 关 一 模 ) 电 流 强 度 I ( 安 ) 随 时 间 t ( 秒 ) 变 化 的 函 数

I = A sin(ωt + ? ) ( A > 0, ω > 0, 0 < ? <
度是 A. ?5 安 C. 5 3 安 B. 5 安 D. 10 安

π
2

) 的图象如右图所示,则当 t =

1 秒时, 电流强 100

16

答案 A

9.(2009 潍坊一模) sin 45 ? cos15 + cos 225 ? sin15 的值为
0 0 0 0

(A) 答案 C

3 2

(B) -

1 1 (C) 2 2

(D)

3 2

10.(2009 深圳一模)已知点 P (sin 的值为 A. 答案 D

3 3 π , cos π ) 落在角 θ 的终边上,且 θ ∈ [0, 2π ) ,则 θ 4 4
5π 4 7π 4

π
4

B.

3π 4

C.

D.

二、填空题

π 3 12.(2009 青岛一模)已知 sin( ? x) = ,则 sin 2x 的值为 4 5
答案



7 25

三、解答题
16.(2009 上海奉贤区模拟考)已知函数 f ( x ) = sin

x x x cos + 3 cos 2 . 3 3 3

(1)将 f ( x ) 写成 A sin(ωx + φ ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (2)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x ,试求角 x 的范围及此时 函数 f ( x ) 的值域.
2

x x x f ( x) = sin cos + 3 cos 2 3 3 3

-------(1 分)

17

=

1 2x 3 2x 3 sin + cos + 2 3 2 3 2 2x π 3 + )+ 3 3 2

-------(1 分)

= sin(

-------(1 分)

若 x 为其图象对称中心的横坐标,即 sin(

2x π + = kπ , 3 3 3 π 解得: x = kπ ? ( k ∈ Z ) 2 2
(2) cos x = 即 cos x ≥

2x π + ) =0, 3 3

-------(1 分)

-------(1 分) -------(1 分)

a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? ac 2ac ? ac = ≥ , 2ac 2ac 2ac

-------(2 分)

1 π ,而 x ∈ (0, π ) ,所以 x ∈ (0, ] 。 2 3 2x π π 8π 2x π 8π + ∈ ( , ] , sin( + ) ∈ [sin ,1] , 3 3 3 9 3 3 9
8π 3 3 + ,1 + ] 9 2 2

-------(2 分) -------(2 分)

所以 f ( x ) ∈ [sin

------(2 分)

17. ( 2009 冠 龙 高 级 中 学 3 月 月 考 ) 知 函 数 f ( x ) = sin(ωx + ? ) ( 其 中

ω > 0, ? <
的距离为

π
2

), g ( x ) = 2 sin 2 x .若函数 y = f (x ) 的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间

π
2

,且直线 x =

π
6

是函数 y = f (x ) 图像的一条对称轴.

(1)求 y = f (x ) 的表达式. (2)求函数 h( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的单调递增区间. (1)由函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为
π 得函数周期为 π , 2

∴ω = 2
? = 2kπ +

∵ 直线 x =

π π 是函数 y = f ( x) 图像的一条对称轴,∴ sin( 2 ? + ? ) = ±1 , 6 6 π ∴ f ( x) = sin( 2x + ) . 6

7π π π π 或 2kπ + , (k ∈ Z ) , ∵ ? < , ∴ ? = . 6 6 2 6 π 6 π 6

(2) h( x) = sin( 2x + ) ? cos 2x + 1 = sin( 2x ? ) + 1
∴ 2kπ ? π π π ≤ 2x ? ≤ 2kπ + (k ∈ Z) , 2 6 2 π π ≤ x ≤ kπ + (k ∈ Z) . 6 3

即函数 h( x) 的单调递增区间为 kπ ?

18

2009 年联考题
一、选择题 1.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)若 sin α ? cos α > 0 ,且 cos α < 0 ,则角 α 是 1. ( ) B. 第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

A.第一象限角 答案 C

2. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)已知 sin θ ? cos θ = ) ( )

1 ,则 sin 2θ 的值为 3 8 9

A. ? 答案 D

2 3

B.

2 3

C. ?

8 9

D.

3.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文)已知 )

4 , sin θ ? cos θ > 1 ,则 sin 2θ = 5 24 12 A. ? B. ? 25 25 sin θ =
答案 A 4.(2009 福州三中)已知 tanα = ? ( A. ? ) B.

( C. ?



4 5

D.

24 25

3 ,且 tan(sin α ) > tan ( cos α ) 则 sinα的值为 4 3 5 4 5

3 5

3 5

C. ±

D. ?

答案 B 二、填空题

π 3 5.(20009 青岛一模)已知 sin( ? x) = ,则 sin 2x 的值为 4 5
答案



7 25

三、解答题 7.(2009 厦门集美中学)已知 tan

α
2

=2,求 (1) tan(α +

π
4

) 的值;

19

(2)

6 sin α + cos α 的值. 3sin α ? 2 cos α

解: (I)∵ tan

α
2

=2, ∴ tan α =

所以 tan(α +

π
4

)=

tan α + tan

π
4

1 ? tan α tan

π
4

2 = 2× 2 = ? 4 ; α 1? 4 3 1 ? tan 2 2 4 ? +1 tan α + 1 1 = = 3 =? ; 4 1 ? tan α 1 + 7 3

2 tan

α

4 6(? ) + 1 7 4 6 sin α + cos α 6 tan α + 1 3 (II)由(I), tanα=- , 所以 = = = . 3 3sin α ? 2 cos α 3 tan α ? 2 3(? 4 ) ? 2 6 3
8.(2009 年福建省普通高中毕业班质量检查)已知 sin (π ? α ) = (1)求 sin 2α ? cos (2)求函数 f ( x ) =
2

4 ? π? , α ∈ ? 0, ? 5 ? 2?

α
2

的值

5 1 cos α sin 2 x ? cos 2 x 的单调递增区间。 6 2 4 4 ∵ sin (π ? α ) = ,∴ sin α = 5 5 3 ? π? 又 ∵α ∈ ? 0, ? ,∴ cos α = 5 ? 2?
(I)

sin 2α ? cos 2

α
2

1 + cos α 2 3 1+ 4 3 = 2× × ? 5 5 5 2 4 25 = 2 sin α cos α ?

(II)

20

5 3 1 f ( x ) = × sin 2 x ? cos 2 x 6 5 2 2 π? ? = sin ? 2 x ? ? 2 4? ? 令 2k π ? 得k π ?

π
2

≤ 2x ?

π
4

≤ 2 kπ +

π
2

π
8

≤ x ≤ kπ +

3π ,k ∈Z 8

π 3π ? ? ∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? kπ ? , kπ + ? k ∈ Z 8 8 ? ?
9. ( 2009 年 龙 岩 市 普 通 高 中 毕 业 班 单 科 质 量 检 查 ) 已 知 α ∈ (

π
2

,π ) , 且

sin

α
2

+ cos

α
2

=

2 3 . 3

(Ⅰ)求 cos α 的值;

3 π , β ∈ (0, ) ,求 sin β 的值. 5 2 α α 2 3 , 解: (Ⅰ)因为 sin + cos = 2 2 3
(Ⅱ)若 sin(α + β ) = ? 所以 1 + 2 sin 因为 α ∈ (

α
2

cos

α
2

=

4 1 , sin α = . 3 3

…………………………(2 分)

π
2

,π ) ,
2

所以 cos α = ? 1 ? sin (Ⅱ)因为 α ∈ (

α = ? 1?

1 2 2 =? . ……………………(6 分) 9 3

π

π π 3π , π ), β ∈ (0, ) ,所以 α + β ∈ ( , ) 2 2 2 2
3 4 ,得 cos(α + β ) = ? . …………………………(9 分) 5 5

又 sin(α + β ) = ?

sin β = sin [ (α + β ) ? α ]
= sin(α + β ) ? cos α ? cos(α + β ) ? sin α 3 3 2 4 1 = (? ) ? (? ) ? (? ) ? 5 3 5 3 = 6 2+4 . 15
………………………………………………(12 分)

21

10. 银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试) ( 已知函数 f ( x ) = sin (1)若 f (α ) =

x x x 1 cos + cos 2 ? . 2 2 2 2

2 , α ∈ (0, π ), 求 α的值 ; 4
? π ? , π ? 上最大值和最小值 ? 4 ?

(2)求函数 f ( x ) 在 ? ? 解: (1) f ( x ) = 由题意知 f (α ) =

1 1 + cos x 1 1 2 π sin x + ? = (sin x + cos x) = sin( x + ) …2 分 2 2 2 2 2 4

π 1 2 π 2 ,即 sin(α + ) = sin(α + ) = 4 2 2 4 4
π π 5π ∈( , ) 4 4 4
α =
7π 12
π
4 ≤ 5π 4

…………3 分

∵ α ∈ (0, π ) 即 α + ∴ α + π = 5π 4 6 (2)∵
?

?
≤α ≤π 即

…………6 分 …………8 分 …………12 分

π
4

0≤α +

∴ f ( x ) max = f ( π ) = 2 , f ( x) min = f (π ) = ? 1 4 2 2

12. ( 山 东 省 枣 庄 市

2009

届 高 三 年 级 一 模 考 ) 已 知 函 数

f ( x) = sin 2 ωx + 3 sin ωx sin(ωx +
(1)求 f (x ); (2)当 x ∈ [ ?

π
2

)(ω > 0) 的最小正周期为π

, ]时, 求函数f ( x) 的值域。 12 2 1 ? cos 2ωx 解: 1) f ( x ) = ( + 3 sin ωx cos ωx 2 =

π π

2分

3 1 1 π 1 sin 2ωx ? cos 2ωx + = sin( 2ωx ? ) + . 2 2 2 6 2

4分

∵ 函数f ( x)的最小正周期为π , 且ω > 0,
∴ 2π = π , 解得ω = 1. 2ω

∴ f ( x) = sin( 2 x ?
(2)∵ x ∈ [ ?

π

π π 5π , ],∴ 2 x ? ∈ [? , ]. 12 2 6 3 6

π π

1 )+ . 6 2

6分

根据正弦函数的图象可得:

22

当 2x ?

π
6

=

π
2

, 即x =

π
3

时, 8分

g ( x) = sin(2 x ?
当 2x ?

π
6

) 取最大值 1

π
6

=?

π
3

, 即x = ?

π
12



g ( x) = sin( 2 x ?

π
6

)取最小值 ?

3 . 2

10 分

1 3 π 1 3 ∴ ? ≤ sin(2 x ? ) + ≤ , 2 2 6 2 2
即 f ( x )的值域为[

1? 3 3 , ]. 2 2

12 分

2007— 2007—2008 年联考题
一、选择题 1、(2008 江苏省启东中学高三综合测试三)已知 sin2?=- sin?+cos?=( A.- ) B.

24 π , ?∈(- ,0),则 4 25 7 5

1 5

1 5

C.-

7 5
θ
2

D.

答案:B 2.(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)若 cos 边一定落在直线( A. 7 x + 24 y = 0 C. 24 x + 7 y = 0 答案:D 3.(2007 海南海口)若 A 是第二象限角,那么 A.第一象限角 C.第三象限角 答案 B 二、填空题 4.(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)设 α 是第三象限角, tan α =
5 ,则 cos α = 12
= 3 θ 4 , sin = ? ,则角 θ 的终 5 2 5

)上。 B. 7 x ? 24 y = 0 D. 24 x ? 7 y = 0

A π 和 -A 都不是( 2 2



B.第二象限角 D.第四象限角

23

12 答案:- 13 5. α为锐角,且 sin ? α ?

? ?

π?

1 ? = , 则 cos α = ________________ 6? 3

答案:

2 6 -1 6

6.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 答案
1 2

三、解答题 7.(山东省济南市 2008 年 2 月高三统考)设向量 a = (cos(α + β ),sin(α + β )) ,且

4 3 a+b = ( , ) 5 5
(1)求 tan α ;

2 cos 2
(2)求

α
2

? 3sin α ? 1

2 sin(α + ) 4
解: (1) a + b

π



4 3 = (2 cos α cos β , 2sin α sin β ) = ( , ) 5 5 4 3 ∴ 2 cos α cos β = , 2sin α sin β = 5 5 3 ∴ tan α = 4 2 cos 2
(2)

α
2

? 3sin α ? 1

2 sin(α + ) 4

π

=

cos α ? 3sin α 1 ? 3 tan α 5 = =? cos α + sin α 1 + tan α 7 3 sin(ωx) ? 2 sin 2

8.(广东地区 2008 年 01 月份期末试题)已知:函数 f ( x ) = 周期为 3π ,且当 x ∈ [0, π ] 时,函数 f (x ) 的最小值为 0. (1)求函数 f (x ) 的表达式;

ωx
2

+ m的

(2)在△ABC 中,若 f (C ) = 1, 且2 sin 2 B = cos B + cos( A ? C ), 求 sin A的值. 解: (1) f ( x) =

3 sin(ωx) + cos(ωx) ? 1 + m = 2 sin(ωx +
24

π
6

) ?1+ m

3分

依题意函数 f (x ) 的周期为 3π , 即

4分 5分

2 2x π , f ( x) = 2 sin( + ) ? 1 + m 3 3 6 ω π 2 x π 5π 1 2x π ∵ x ∈ [0, π ],∴ ≤ + ≤ ∴ ≤ sin( + ) ≤ 1 6 3 6 6 2 3 6 = 3π ,∴ ω =



∴ f (x) 的最小值为 m,∴ m = 0

6分 7分

2x π + ) ?1 3 6 2C π (2) f (C ) = 2 sin( + ) ?1 = 1 3 6
即 f ( x ) = 2 sin( 而∠C∈(0,π), ∴∠C=

∴ sin(

π

2C π + ) =1 3 6
9分

在 Rt△ABC 中,∵ A + B =

π

2 ,2 sin 2 B = cos B + cos( A ? C )

2

∴ 2 cos 2 A ? sin A ? sin A = 0解得 sin A = 5 ?1 . 2

?1± 5 2

11 分

∵ 0 < sin A < 1,∴ sin A =

12 分

9. 广东 2008 年 01 月份期末试题) ( 已知 f ( x ) = cos (Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ∈ ?

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

?π ? , π ,求函数 f (x) 的零点. ?2 ? ?

解: (Ⅰ) f ( x ) = cos 2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x +

π
4

) …………………….4 分 …………………….

故 T = π ………………………………………………… 分 …………………………………………………5 (Ⅱ)令 f ( x ) = 0 , 2 cos(

π

?π ? + 2 x) =0,又∵ x ∈ ? , π ? 4 ?2 ?

…………. …… ………….7 分



5π π 9π π 3π ≤ + 2x ≤ ∴ + 2x = …………………………………………9 ………………………………………… 分 4 4 4 4 2 5π 5π 故x= 函数 f (x ) 的零点是 x = ……………. ……………. 12 分 8 8
10.(广东 2008 年 01 月份期末试题)已知向量 a = (1 + sin 2 x , sin x ? cos x) ,

b = (1 , sin x + cos x) ,函数 f ( x) = a ? b .

25

(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (θ ) =

8 ?π ? ,求 cos 2 ? ? 2θ ? 的值. 5 ?4 ?

解: (Ⅰ)因为 a = (1 + sin 2 x , sin x ? cos x) , b = (1 , sin x + cos x) ,所以

f ( x) = 1 + sin 2 x + sin 2 x ? cos 2 x = 1 + sin 2 x ? cos 2 x
π? ? = 2 sin ? 2 x ? ? + 1 . 4? ?

π π 3 = 2kπ + ,即 x = kπ + π ( k ∈ Z )时, f ( x) 取得最大值 2 + 1 ; 4 2 8 8 3 (Ⅱ)由 f (θ ) = 1 + sin 2θ ? cos 2θ 及 f (θ ) = 得 sin 2θ ? cos 2θ = ,两边平方得 5 5 9 16 1 ? sin 4θ = ,即 sin 4θ = . 25 25
因此,当 2 x ? 因此, cos 2 ?

16 ?π ? ?π ? ? 2θ ? = cos ? ? 4θ ? = sin 4θ = . 25 ?4 ? ?2 ?

11.(2008 年高三名校试题汇编)设 a = (1 + cos α , sin α ), b = (1 ? cos β , sin β ), c = (1, 0) , 其 α ∈ (0, π ), β ∈ (π , 2π ) ,a 与 c 的夹角为 θ1 ,b 与 c 的夹角为 θ 2 ,且 θ1 ? θ 2 = b

π
6

,求

sin


α ?β
4

的值.

2 a=(2cos

α
2

,2sin

α
2

cos

α
2

)=2cos

α
2

(cos

α
2

,sin

α
2

),

b=(2sin

2

β
2

,2sin

β
2

cos

β
2

)=2sin

β
2

(sin

β
2

,cos

β
2

),

∵α∈(0,π),β∈(π,2π), ∴ |a|=2cos

α
2

∈(0,

π
2

),

β
2

∈(

π
2

,π) ,故

α
2

,|b|=2sin b

β
2

,

cos θ1 =

a?c 2 = 2 cos α , = | a || c | 2 cos α 2 2 2 sin 2 2 = sin β = cos( β ? π ) , β 2 2 2 2 sin 2

2 cos 2

α

b?c cos θ 2 = = | b || c |
∵0<

β

β
2

?

π π
2
<

2

,∴ θ 2 =

β

2

?

π

2

,

26

又 θ1 - θ 2 = ∴

π
6

, = ,故

α
2

2 2 6 2 3 α ?β π 1 ∴sin =sin(- )=- . 4 6 2



β π π
+

α ?β

=-

π

,

13.(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x ? 2 cos x . (Ⅰ)若 x ∈ [ 0,π ] ,求 f ( x ) 的最大值和最小值;

(Ⅱ)若 f ( x ) = 0 ,求

2 cos 2

x ? sin x ? 1 2 的值. π? ? 2 sin ? x + ? 4? ?

解: (Ⅰ) f ( x) = 2 3 sin x ? 2 cos x

? 3 ? 1 = 4? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 ? ?
π? ? = 4 sin ? x ? ? .…………………………3 分 6? ?
又∵ x ∈ [ 0,π ] ,∴-

π π 5π π ≤ x ? ≤ , ∴?2 ≤ 4sin ? x ? ? ≤4 , ? ? 6 6 6 6? ?

∴ f ( x)max = 4,f ( x) min = ?2 .…………………………6 分
(II)由于 f ( x ) = 0 ,所以 2 3 sin x = 2 cos x 解得 tan x =

1 …………………………8 分 3

2 cos 2

x ? sin x ? 1 cos x ? sin x 2 = π? ? ? 2 2? 2 sin ? x + ? 2 ? sin x · + cos x · ? 4? ? 2 2 ? ?

27

1 cos x ? sin x 1 ? tan x 3 = 2? 3 = = = cos x + sin x 1 + tan x 1 + 1 3 1?
14.(广东省 2008 届六校第二次联考)已知向量 a = (cos α ,sin α ) , b = (cos β ,sin β ) ,

a ?b =

2 5 . 5

(Ⅰ)求 cos(α ? β ) 的值; (Ⅱ)若 0 < α <

π
2

, ?

π
2

< β < 0 , 且 sin β = ?

5 , 求 sin α . 13

解:(Ⅰ)∵ a = (cos α ,sin α ) , b = (cos β ,sin β ) ,

∴ a ? b = ( cos α ? cos β, α ? sin β ) . sin
∵ a ?b =


2 5 , 5



( cos α ? cos β ) + ( sin α ? sin β )
2

2

=

2 5 , 5

2 ? 2 cos (α ? β ) =

< β < 0, ∴ 0 < α ? β < π , 2 2 3 4 ∵ cos (α ? β ) = , ∴ sin (α ? β ) = . 5 5 5 12 ∵ sin β = ? , ∴ cos β = , 13 13
, ?

(Ⅱ)∵ 0 < α <

π

π

4 , 5

3 ∴ cos (α ? β ) = . 5

∴ sin α = sin ?(α ? β ) + β ? = sin (α ? β ) cos β + cos (α ? β ) sin β ? ? = 4 12 3 ? 5 ? 33 . ? + ?? ? ? = 5 13 5 ? 13 ? 65

15.(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ)求 f (

π
4

)的值;
3 4

(Ⅱ)设 α ∈(0,

π ),f (

α
2

)= ,求 cos2 α 的值.

1 5

解: (Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f( (Ⅱ)∵f(

π
4

)=sin

π
2

+cos

π
2

=1………5 分

α
2

)=sinα+cosα= ,∴1+sin2α=

1 5

1 24 , sin2α= ? ,……7 分 25 25

∴cos2α= ±

7 3 3 ∵α∈(0, π)∴2α∈(π, π) ∴cos2α<0. 4 2 25

28

故 cos2α= ?

7 ……10 分 25

16.(河北衡水中学 2008 年第四次调考)已知向量→=(cosx,sinx),→=( 2, 2), →·→ a b 若a b 8 π π sin 2 x(1 + tan x) 的值. = ,且 <x< , 求 5 4 2 1 ? tan x
→ →

解:∵ a ? b =

8 8 π 4 …………2 分 ,∴ 2 cos x + 2 sin x = , 即 cos( x ? ) = 5 5 4 5 π π π π π 3 π 3 ∵ < x < ,∴ 0 < x ? < , sin( x ? ) = , tan( x ? ) = ……4 分 4 2 4 4 4 5 4 4 π π 4 tan( x + ) = ? cot( x ? ) = ? 4 4 3 π π 7 sin 2 x = cos(2 x ? ) = 2 cos 2 ( x ? ) ? 1 = …………6 分 2 4 25 sin 2 x(1 + tan x) π 7 4 28 ∴ = sin 2 x ? tan( x + ) = × (? ) = ? . …………10 分 1 ? tan x 4 25 3 75
17.(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0,

4) ,C( 3 cos α ,3 sin α ). (Ⅰ)若 α ∈ ( ?π ,0) ,且 AC = BC ,求角 α 的大小;

2 sin 2 α + sin 2α (Ⅱ)若 AC ⊥ BC ,求 的值。 1 + tan α
解、 (Ⅰ)由已知得: (3 cos α ? 4) + 9 sin α =
2 2

9 cos 2 α + (3 sin α ? 4) 2
3π 4
…… …5 分

则 sin α = cos α

因为 α ∈ ( ?π ,0)

∴α = ?

(Ⅱ)由 (3 cos α ? 4) ? 3 cos α + 3 sin α ? (3 sin α ? 4) = 0 得 sin α + cos α =

3 4

平方得

sin 2α = ?

7 16

………..8 分



2 sin 2 α + sin 2α 2 sin 2 α cosα + 2 sin α cos2 α 7 = = 2 sin α cosα = sin 2α = ? --10 分 1 + tan α sin α + cosα 16

18.(江苏省常州市北郊中学 2008 届高三第一次模拟检测)已知向量 a=(3sinα,cosα) ,

b=(2sinα, 5sinα-4cosα),α∈(
(1)求 tanα的值; (2)求 cos(

3π , ) 2π ,且 a⊥b. 2

α
2

+

π )的值. 3

, 解: (1)∵a⊥b,∴a·b=0.而 a=(3sinα,cosα) b=(2sinα, 5sinα-4cosα),

29

故 a·b=6sin α+5sinαcosα-4cos α=0.

2

2

4 1 ,或 tanα= . 3 2 1 4 3π ∵α∈( , ) 2π ,tanα<0,故 tanα= (舍去) .∴tanα=- . 2 2 3 α 3π 3π 2π ,∴ ∈ ( ,π) . (2)∵α∈( , ) 2 2 4 4 α 1 α 由 tanα=- ,求得 tan = ? , tan =2(舍去) . 3 2 2 2 α 5 α 2 5 ∴ sin = , cos = ? , 2 5 2 5 α π α π α π cos( + )= cos cos ? sin sin 2 3 2 3 2 3
由于 cosα≠0,∴6tan α+5tanα-4 =0.解之,得 tanα=-
2

=?

2 5 1 5 3 2 5 + 15 × ? × =? . 5 2 5 2 10

30


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