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8.3空间点线面之间的位置关系

时间:2016-12-13


空间点、直线、平面之间的位置关系
考 纲 要 求

1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式 .
2.了解球、棱柱、棱锥、台的体积的计算公式.

复习回顾
1.平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条 过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系 平行 共面直线 相交 (1)位置关系的分类

异面直线:不同在任何 一个平面内
(2)异面直线所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a,b所成的角(或夹角). π ②范围: 0, .
2

3.公理4 平行于同一条直线 的两条直线互相平行. 4.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 . 5.直线与平面的位置关系有平行 、相交 、在平面内 三种情况. 6.平面与平面的位置关系有平行 、相交 两种情况.

探究展示
考点1平面的基本性质及应用 例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,求证: (1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点.
证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B. ∵E,F分别是AB,AA1的中点, ∴EF∥A1B. 又A1B∥CD1, ∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE?平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线 DA.∴CE,D1F,DA三线共点.

对点训练1 如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2. (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
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证明 :(1)∵E,F 分别为 AB,AD 的中点 , ∴EF∥BD. 1 在 △BCD 中 , = = ,

∴GH∥BD, ∴EF∥GH. ∴E,F,G ,H 四点共面 . (2)∵EG∩FH=P,P∈EG,EG?平面 ABC, ∴P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 .
又平面 ABC∩平面 ADC=AC, ∴P∈AC,∴ P,A,C 三点共线 .
答案





2

考点2空间两条直线的位置关系 例2若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正 确的是( )A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 对点训练2 (1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面 直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)

(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问: ①AM和CN是不是异面直线?说明理由. ②D1B和CC1是不是异面直线?说明理由.

精讲点拨
考点3异面直线所成的角 例3如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D中,AA1=2AB=2, 则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
1 A. 5 3 C. 5 2 B. 5 4 D. 5

达标检测
对点训练1、2、3

归纳延伸
1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共 面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图 形语言来表示公理. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问 题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以 选在其中一条直线上(线段的端点或中点)利用三角形求解.

课后作业:及时完成考点规范练37 预习作业:直线、平面平行的判定与性质


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