nbhkdz.com冰点文库

一类数列不等式的证明答案


一类数列不等式的证明
例 1: 已 知 数 列 ? xn ?的 通 项 公 式 为 xn ? n n ?1 证 明 : x1 ? x 3 ? x 5 ? ? x 2 n ? 1 ? 1 ? xn 1 ? xn

分析:即证:

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? 2 4 6 2n

1 2n ? 1

/>
解法 1: (数学归纳法) 当 n ? 1 时,
1 2 ? 1 3 1 3 5 2k ? 1 ? ? ? ? 2 4 6 2k 1 2k ? 1

成立

假设当 n ? k 时成立,即

成立

当 n ? k ? 1 时,则有

1 3 5 2k ? 1 2k ? 1 ? ? ? ? ? 2 4 6 2k 2k ? 2

1

2k ? 1 2k ? 2

?

2k ? 1

?

2k ? 1 2k ? 2

即证

2k ? 1 2k ? 2

?

1 2k ? 3

2 ? ( 2k ? 1 ) ( k ?

3? )

( 2? k

2

2? 4 k ? 8 k ? 3 ? 4 k ? 8 k ? 4 )
2 2

显然成立,? 得证。
1 3 5 2n ?1 ? ? ? ? 2 4 6 2n
2n ? 1

解法 2: (利用单调性)即证 令 f (n) ?
1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? 2 4 6 2n

2n ? 1 ? 1



f ( n ? 1) f (n)

1 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? ? ? 2n ? 3 2n 2n ? 2 ? 2 4 6 ? 1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? 2n ? 1 2 4 6 2n
?

( 2 n ? 1)( 2 n ? 3) 2n ? 2

?1

? f ( n ) 在 n ? N 上单调递减,? f ( n ) ? f (1) ?

3 2

? 1 ,得证。

解法 3: (构造对称式) 也即证 f ( n ) ?
1 3 5 2n ? 1 1 ? ? ? ? ? 2 4 6 2n 3 2n ? 1 2n ? 1 3 5 ? 5 7 ? 2n ? 1 2n ? 1

即证

2n ? 1 2n

?

,即证 (2 n ? 1) (2 n ? 1) ? 4 n (2 n ? 1) , ? 4 n ? 1 ? 4 n ,显然成
2 2
2 2

立,? 得证。 解法: (构造对偶式)

设 A ? x1 ? x 3 ? x 5 ? x 2 n ? 1 ?
2 4 6 2n ? ? ? ?0 3 5 7 2n ? 1 1 2 3 4 2 ? A ? AB ? ? ? ? 2 3 4 5 B ?
? A? 1 2n ? 1

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ,即证 A ? 2 4 6 2n

1 2n ? 1

则A? B 2n 2n ? 1 5 6 2n ? 1 2n 1 ? ? ? ? ? 6 7 2n 2n ? 1 2n ? 1

?

2n ? 1

?

2n

,得证。

小结:数列不等式的证明方法很多,比如数学归纳法,构造函数单调性法,放缩法,等等, 对于与数列中项的乘积有关的不等式的证明是近几年高考的热点之一,对于与
A ? x1 ? x 3 ? x 5 ? x 2 n ? 1 有关的不等式,结合其形式特点,构造形式相似,具有某种对称关系

的 一 对 对 偶 式 B ? x2 ? x4 ? x6 ? x2 n , 通 过 A ? B 使 问 题 得 以 解 决 。 对 于 要 证 明 与
A? b1 ? b2 ? b3 a3 ? bn an

有关的不等式,通过构造 B ?

a1 a 2

a b a a1 a 2 a 3 ? ? ? n (其中 i ? i ? 0 , b 2 b3 b 4 bn ?1 ai bi ? 1

i ? 1, 2, ? n )则 A>B>0,由 A ? A B ?
2

b1 bn ?1

? 0, ?
n ?1

A ?

b1 bn ?1

的目的。
*

变 式 1: 数 列 ?an ?的 通 项 公 式 为 an ? 2 b ?1 b ? 1 b2 ? 1 证 明 :1 ? ? n ? b1 b2 bn
证明:? a n ? 2 即证
n ?1

, 记 b n ? 2 (lo g 2 a n ? 1), n ? N
*

n ? 1, n ? N

,? b n ? 2 n

3 5 7 2n ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 4 6 2n 3 5 7 2n ? 1 令A ? ? ? ? 2 4 6 2n 4 6 8 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2 B ? ? ? ? ? ,? 则A ? B 3 5 7 2n ? 1 2n 2n ? 1 3 4 5 6 7 2n ? 1 2n ? 2 2 ? ? A ? AB ? ? ? ? ? ? ? n ?1 2 3 4 5 6 2n 2n ? 1
?A? n ? 1 ,得证。

小 结 :要 证 明 与 A ? B ?

b b1 b 2 b3 ? ? ? n 有关的不等式,可以构造 a1 a 2 a 3 an

a b a a1 a 2 a 3 ? ? ? n , 其 中 i ? i , i ? 1, 2, ? n, 则 0 ? A ? B ? b 2 b3 b 4 bn ?1 ai bi ? 1 b1 bn ?1 达到A ? b1 bn ?1 的目的

A ? AB ?
2

变 式 2 : 数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 为 a n ? 3 n ? 1, 设 ? b n ? 满 足 a n ( 2 求 证 :T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3), n ? N 3
?

bn

? 1) ? 1, 并 记 Tn 为 数 列 ? b n ? 的 前 n 项 和

证明:? a n ? 3 n ? 1, a n ( 2

bn

? 1) ? 1
1 an 3n 3n ? 1

? b n ? lo g 2 (1 ?

) ? lo g 2

? T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? lo g 2 (

3 6 3n ? ? ) 2 5 3n ? 1

3n 3 ? ? 3 6 ? 3T n ? 1 ? lo g 2 2 ( ? ? ) ? 2 5 3n ? 1 ? ? ?

又? lo g 2 ( a n ? 3) ? lo g 2 (3 n ? 2 )

要证 3T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3) ,即证 设A ?

3 6 3n ? ? ? 2 5 3n ? 1

3

3n ? 2 2

3 6 3n 4 7 3n ? 1 5 8 3n ? 2 ? ? ,B ? ? ? ,C ? ? ? 2 5 3n ? 1 3 6 3n 4 7 3n ? 1 3n 3n ? 1 3n ? 2 ? ? ? ,即 A ? B ? C ? 0 3n ? 1 3n 3n ? 1
? A ? ABC ?
3

3n ? 2 2

? A?

3 6 3n ? ? ? 2 5 3n ? 1

3

3n ? 2 2

,得证。 (2)


数列与不等式证明专题

数列不等式证明专题 复习建议: 1. “巧用性质、减少运算量”在等差、等比...(3)设数列 n 满足 ,求证: n 分析:条件中有类似于前 n 项和的形式出现,...

数列与不等式证明专题

数列与不等式证明专题_数学_高中教育_教育专区。数列不等式的专题练习,非常实用,题目灵活多样,很适合学生做!数列与不等式证明专题复习建议: 1. “巧用性质、...

小结数列与不等式证明题的四种实用方法

小结数列不等式证明题的四种实用方法_数学_高中教育_教育专区。小结数列不等式证明题的四种实用方法高中数学,当数列不等式以综合题的形式出现时,难度较大。怎...

高中数学数列不等式证明的几种方法学法指导

高中数学数列不等式证明的几种方法数列和不等式都是高中数学重要内容,这两个重点...尤其是对数、指数次幂形式出现的一类问题,更显导 数在解题中的工具性和独特的...

数列与不等式综合习题

1 题型二 数列参与的不等式的证明问题 此类不等式...存在性问题指的是命题的结论不确定的一类探索性问题...当 【专题训练】参考答案 一、选择题 1.B 【解析...

证明数列不等式的常用放缩方法技巧(不含答案)精减版

证明数列不等式的常用放缩方法技巧(不含答案)精减版_数学_高中教育_教育专区。...证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,...

数列不等式证明 教师版

数列不等式证明 教师版_教学反思/汇报_教学研究_教育专区。数列综合第二课时 1...2 , 表示出 Tn -=-( 3 n ?1 2 2 ?2 2 2 ?2 2 ?1 答案第 1 ...

8 高考压轴题-不等式证明方法

8 高考压轴题-不等式证明方法_数学_高中教育_教育专区。自己整理的,很好用高考...综合运用数列不等式知识解决问题的能力. 本文介绍一类数列和有关 的不等式...

利用定积分证明数列和型不等式

利用定积分证明数列和型不等式_高二数学_数学_高中教育_教育专区。利用定积分...分析 这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式,标准答案是用数学归纳法证明...

利用方所发证明数列型不等式压轴题

通 过构造函数,利用函数的单调性解题,在解方程和证明不等式中最为广泛,解题...数列运算中对公差、公比限制条 件的讨论等,如果运算需要对不同情况作出解释,...