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一类数列不等式的证明答案

时间:2012-10-28


一类数列不等式的证明
例 1: 已 知 数 列 ? xn ?的 通 项 公 式 为 xn ? n n ?1 证 明 : x1 ? x 3 ? x 5 ? ? x 2 n ? 1 ? 1 ? xn 1 ? xn

分析:即证:

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? 2 4 6 2n

1 2n ? 1

解法 1: (数学归纳法) 当 n ? 1 时,
1 2 ? 1 3 1 3 5 2k ? 1 ? ? ? ? 2 4 6 2k 1 2k ? 1

成立

假设当 n ? k 时成立,即

成立

当 n ? k ? 1 时,则有

1 3 5 2k ? 1 2k ? 1 ? ? ? ? ? 2 4 6 2k 2k ? 2

1

2k ? 1 2k ? 2

?

2k ? 1

?

2k ? 1 2k ? 2

即证

2k ? 1 2k ? 2

?

1 2k ? 3

2 ? ( 2k ? 1 ) ( k ?

3? )

( 2? k

2

2? 4 k ? 8 k ? 3 ? 4 k ? 8 k ? 4 )
2 2

显然成立,? 得证。
1 3 5 2n ?1 ? ? ? ? 2 4 6 2n
2n ? 1

解法 2: (利用单调性)即证 令 f (n) ?
1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? 2 4 6 2n

2n ? 1 ? 1



f ( n ? 1) f (n)

1 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? ? ? 2n ? 3 2n 2n ? 2 ? 2 4 6 ? 1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? 2n ? 1 2 4 6 2n
?

( 2 n ? 1)( 2 n ? 3) 2n ? 2

?1

? f ( n ) 在 n ? N 上单调递减,? f ( n ) ? f (1) ?

3 2

? 1 ,得证。

解法 3: (构造对称式) 也即证 f ( n ) ?
1 3 5 2n ? 1 1 ? ? ? ? ? 2 4 6 2n 3 2n ? 1 2n ? 1 3 5 ? 5 7 ? 2n ? 1 2n ? 1

即证

2n ? 1 2n

?

,即证 (2 n ? 1) (2 n ? 1) ? 4 n (2 n ? 1) , ? 4 n ? 1 ? 4 n ,显然成
2 2
2 2

立,? 得证。 解法: (构造对偶式)

设 A ? x1 ? x 3 ? x 5 ? x 2 n ? 1 ?
2 4 6 2n ? ? ? ?0 3 5 7 2n ? 1 1 2 3 4 2 ? A ? AB ? ? ? ? 2 3 4 5 B ?
? A? 1 2n ? 1

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ,即证 A ? 2 4 6 2n

1 2n ? 1

则A? B 2n 2n ? 1 5 6 2n ? 1 2n 1 ? ? ? ? ? 6 7 2n 2n ? 1 2n ? 1

?

2n ? 1

?

2n

,得证。

小结:数列不等式的证明方法很多,比如数学归纳法,构造函数单调性法,放缩法,等等, 对于与数列中项的乘积有关的不等式的证明是近几年高考的热点之一,对于与
A ? x1 ? x 3 ? x 5 ? x 2 n ? 1 有关的不等式,结合其形式特点,构造形式相似,具有某种对称关系

的 一 对 对 偶 式 B ? x2 ? x4 ? x6 ? x2 n , 通 过 A ? B 使 问 题 得 以 解 决 。 对 于 要 证 明 与
A? b1 ? b2 ? b3 a3 ? bn an

有关的不等式,通过构造 B ?

a1 a 2

a b a a1 a 2 a 3 ? ? ? n (其中 i ? i ? 0 , b 2 b3 b 4 bn ?1 ai bi ? 1

i ? 1, 2, ? n )则 A>B>0,由 A ? A B ?
2

b1 bn ?1

? 0, ?
n ?1

A ?

b1 bn ?1

的目的。
*

变 式 1: 数 列 ?an ?的 通 项 公 式 为 an ? 2 b ?1 b ? 1 b2 ? 1 证 明 :1 ? ? n ? b1 b2 bn
证明:? a n ? 2 即证
n ?1

, 记 b n ? 2 (lo g 2 a n ? 1), n ? N
*

n ? 1, n ? N

,? b n ? 2 n

3 5 7 2n ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 4 6 2n 3 5 7 2n ? 1 令A ? ? ? ? 2 4 6 2n 4 6 8 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2 B ? ? ? ? ? ,? 则A ? B 3 5 7 2n ? 1 2n 2n ? 1 3 4 5 6 7 2n ? 1 2n ? 2 2 ? ? A ? AB ? ? ? ? ? ? ? n ?1 2 3 4 5 6 2n 2n ? 1
?A? n ? 1 ,得证。

小 结 :要 证 明 与 A ? B ?

b b1 b 2 b3 ? ? ? n 有关的不等式,可以构造 a1 a 2 a 3 an

a b a a1 a 2 a 3 ? ? ? n , 其 中 i ? i , i ? 1, 2, ? n, 则 0 ? A ? B ? b 2 b3 b 4 bn ?1 ai bi ? 1 b1 bn ?1 达到A ? b1 bn ?1 的目的

A ? AB ?
2

变 式 2 : 数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 为 a n ? 3 n ? 1, 设 ? b n ? 满 足 a n ( 2 求 证 :T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3), n ? N 3
?

bn

? 1) ? 1, 并 记 Tn 为 数 列 ? b n ? 的 前 n 项 和

证明:? a n ? 3 n ? 1, a n ( 2

bn

? 1) ? 1
1 an 3n 3n ? 1

? b n ? lo g 2 (1 ?

) ? lo g 2

? T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? lo g 2 (

3 6 3n ? ? ) 2 5 3n ? 1

3n 3 ? ? 3 6 ? 3T n ? 1 ? lo g 2 2 ( ? ? ) ? 2 5 3n ? 1 ? ? ?

又? lo g 2 ( a n ? 3) ? lo g 2 (3 n ? 2 )

要证 3T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3) ,即证 设A ?

3 6 3n ? ? ? 2 5 3n ? 1

3

3n ? 2 2

3 6 3n 4 7 3n ? 1 5 8 3n ? 2 ? ? ,B ? ? ? ,C ? ? ? 2 5 3n ? 1 3 6 3n 4 7 3n ? 1 3n 3n ? 1 3n ? 2 ? ? ? ,即 A ? B ? C ? 0 3n ? 1 3n 3n ? 1
? A ? ABC ?
3

3n ? 2 2

? A?

3 6 3n ? ? ? 2 5 3n ? 1

3

3n ? 2 2

,得证。 (2)


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