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2015届高考数学一轮复习 课时跟踪检测53 最值、范围、证明问题 文 湘教版

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课时跟踪检测(五十三) 最值、范围、证明问题
(分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1 1. 已知抛物线 C:x2=2py(p>0),其焦点 F 到准线的距离为 . 2 (1)试求抛物线 C 的方程; (2)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t(t>0), 过 P 的直线交 C 于另一点 Q, 交 x 轴于 M, 过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N,若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值.

x2 y2 1 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0),求 y0 的取值范围.

x2 3.(2013· 南京二模) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ a y2 3 =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径 b2 2 的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2),设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证:点 T 在椭圆 C 上.

第Ⅱ卷:提能增分卷 x y 1.(2014· 石家庄模拟)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-1,0)、F2(1,0), a b 过 F1 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.
2 2

(1)若△ABF2 为正三角形,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的离心率满足 0<e< 5-1 ,O 为坐标原点,求证:|OA|2+|OB|2<|AB|2. 2

2. (2013· 西安质检)如图,已知中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上的 椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所组成的四边形是面积为 2 的正方 形. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,当△OAB 面积最大 时,求直线 l 的方程.

答 案

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1 1 1.解:(1)因为焦点 F 到准线的距离为 ,所以 p= .故抛物线 C 的方程为 x2=y. 2 2
2 (2)设 P(t,t2),Q(x,x2),N(x0,x2 0),则直线 MN 的方程为 y-x0=2x0(x-x0).

x0 ? 令 y=0,得 M? ? 2 ,0?,
2 x2 t2 2t2 0-x 所以 kPM= = ,kNQ= =x0+x. x0 2t-x0 x0-x t- 2

因为 NQ⊥QP,且两直线斜率存在, 所以 kPM· kNQ=-1,即 2t2 · (x +x)=-1, 2t-x0 0

2t2x+2t 整理,得 x0= .① 1-2t2 又 Q(x,x2)在直线 PM 上, 2xt 则 MQ 与 MP 共线,得 x0= ,② x+t 2t2x+2t 2xt 由①②,得 = (t>0), 1-2t2 x+t x2+1 所以 t=- , 3x 2 2 所以 t≥ 或 t≤- (舍去). 3 3 2 所以所求 t 的最小值为 . 3 2.解:(1)设椭圆 C 的半焦距为 c.依题意, 得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为 e= , 2 所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). y=k?x-1?, ? ?2 2 由?x y 消去 y 并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. + = 1 , ?4 3 ?

8k2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3),则 x1+x2= . 3+4k2 x1+x2 4k2 所以 x3= = , 2 3+4k2 -3k y3=k(x3-1)= . 3+4k2 线段 MN 的垂直平分线的方程为 4k2 ? 3k 1? y+ 2 . 2=- x- k ? 3+4k ? 3+4k 在上述方程中,令 x=0, k 1 得 y0= . 2= 3+4k 3 +4k k 3 当 k<0 时, +4k≤-4 3, k 3 3 当且仅当 =4k,k=- 时等号成立; k 2 3 3 3 当 k>0 时, +4k≥4 3,当且仅当 =4k,k= 时等号成立. k k 2 所以- 3 3 ≤y0<0 或 0<y0≤ . 12 12 3 3? . ? 12 , 12 ? 2 = 2. 2

综上,y0 的取值范围是?-

3.解:(1)由题意知椭圆 C 的短半轴长为圆心到切线的距离,即 b= c 3 因为离心率 e= = , a 2 b 所以 = a c ?2 1 1-? ?a? =2.所以 a=2 2.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 2 (2)由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线 PM 的方程为 y0-1 y= x+1, ① x0 y0-2 直线 QN 的方程为 y= x+2.② -x0 设 T 点的坐标为(x,y). 3y-4 x 联立①②解得 x0= ,y = . 2y-3 0 2y-3
2 x2 y0 0 因为 + =1, 8 2

1 x 1?3y-4?2 所以 ?2y-3?2+ ? =1. 8? ? 2?2y-3? ?
2 x2 ?3y-4? x2 9y2 x2 y2 整理得 + =(2y-3)2,所以 + -12y+8=4y2-12y+9,即 + =1. 8 2 8 2 8 2

所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:(1)由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,∵|AF2|=|BF2|, ∴|AF1|=|BF1|, 即 F1F2 为边 AB 上的中线, ∴F1F2⊥AB. 在 Rt△AF1F2 中,cos 30° = 2c c 3 ,则 = , 4a a 3 3

∴椭圆的离心率为

3 . 3

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵0<e< 5-1 1+ 5 ,c=1,∴a> . 2 2

1 y2 ①当直线 AB 与 x 轴垂直时, 2+ 2=1, a b
4 2 b4 b4 -a +3a -1 y2= 2, OA · =x1x2+y1y2=1- 2= OB 2 a a a

3?2 5 2 -? ?a -2? +4 = , a2 3+ 5 OB <0, ∵a2> ,∴ OA · 2 ∴∠AOB 恒为钝角,∴|OA|2+|OB|2<|AB|2. ②当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程为: x2 y2 y=k(x+1),代入 2+ 2=1, a b 整理得,(b2+a2k2)x2+2k2a2x+a2k2-a2b2=0, -2a2k2 a2k2-a2b2 ∴x1+x2= 2 ,x x = , b +a2k2 1 2 b2+a2k2

OA · OB =x1x2+y1y2
=x1x2+k2(x1+1)(x2+1) =x1x2(1+k2)+k2(x1+x2)+k2 = ?a2k2-a2b2??1+k2?-2a2k4+k2?b2+a2k2? b2+a2k2

= =

k2?a2+b2-a2b2?-a2b2 b2+a2k2 k2?-a4+3a2-1?-a2b2 b2+a2k2

令 m(a)=-a4+3a2-1,由①可知 m(a)<0, ∴∠AOB 恒为钝角, ∴恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2. x2 y2 2.解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b b=c, ? ?1 由已知得?2×2b×2c=2 ?a =b +c , ?
2 2 2

a =2, ? ? 2 ,解得?b =1, ? ?c2=1.

2

x2 所以所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 (2)根据题意可知直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2, y=kx+2, ? ?2 y2).由方程组?x ,消去 y 得关于 x 的方程(1+2k2)x2+8kx+6=0. 2 + y = 1. ? ?2 由直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,则有 Δ>0,即 64k2-24(1+2k2)=16k2-24>0,解 3 得 k2> . 2 由一元二次方程的根与系数的关系,得

?x +x =-1+2k , ? 6 x= , ?x · 1+2k
1 2 2 1 2 2

8k

故|AB|=|x1-x2|· 1+k2=

16k2-24 · 1+k2. 2k2+1

又因为原点 O 到直线 l 的距离 |k×0-0+2| 2 d= = , 2 1+k 1+k2 1 故△AOB 的面积为 S△AOB= |AB|· d 2 = 16k2-24 2 2× 2k2-3 = . 1+2k2 1+2k2

令 m= 2k2-3(m>0),则 2k2=m2+3,

2 2m 2 2m 2 所以 S△AOB= 2 ≤ 2= 2 , m +4 2 4m 当且仅当 m=2 时等号成立, 此时 k=± 14 ,直线 l 的方程为± 14x-2y+4=0. 2


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