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高三一轮复习 立体几何 学案

时间:2016-12-12


第八章立体几何与空间向量

高三第一轮复习(理数)

第 68 页

第八章 立体几何与空间向量
[考纲要求]
考试内容 柱、锥、台、球及其简单组合体 空间 几何体 立体几 何初步 点、直线、 平面间的位 置关系 三视图 斜二测法画简单空间图形的直观图 球、棱柱、棱锥的表面积和体积 空间线、面的位置关

系 公理 1、公理 2、公理 3、公理 4、定理 线、面平行或垂直的判定 线、面平行或垂直的性质 空间直 角坐标系 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 空间向量的概念 空间向量基本定理 空间向 量与立 体几何 空间向量 及其运算 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量的线性运算及其坐标表示 空间向量的数量积及其坐标表示 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 直线的方向向量 空间向量 的应用 平面的法向量 线、面位置关系 线线、线面、面面的夹角 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
要求层次 A B C

§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
一、知识梳理
1.空间几何体的结构特征:
⑴多面体: ①棱柱的侧棱都____________________,上、下底面是_________的多边形。 ②棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形。 ③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是_________多边形。 √ ⑵旋转体: ①圆柱可以由__________绕其一边所在直线旋转得到。 ②圆锥可以由直角三角形绕其_____________所在直线旋转得到。 ③圆台可以由直角梯形绕_____________所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转 得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到。 ④球可以由半圆或圆绕_____________所在直线旋转得到。

√ √ √

2.空间几何体的三视图:
⑴在画三视图时,重叠的线只画一条,被挡住的线要画成虚线; ⑵三视图中的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的________方、________方、________方观 察几何体画出的轮廓线。 ⑶三视图的画法特征是_____________、_____________、_____________。

3.空间结合体的直观图:
画空间几何体的直观图常用____________画法,其规则是: ⑴原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直,直观图中 x ? 轴、 y ? 轴的夹角为________, z ? 轴与 x ? 轴、

y ? 轴所在平面________。
⑵原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别___________坐标轴。平行于 x 轴、 z 轴的线段 在直观图中保持原长度_________,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为________________。

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4.常见几何体的表面积及体积
名称 圆柱(底面半径 r , 母线长 l ) 图形 侧面面积 表面积 体积

【思考辨析】判断下列结论是否正确 ⑴正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同。 ( ) )

⑵用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱。 ( ⑶球的体积之比等于半径比的平方。 ( ⑷椎体的体积等于底面积与高之积。 ( ⑸长方体既有外接球又有内切球。 ( 圆锥(底面半径 r , 母线长 l ,高为 h ) 直棱柱(底面周长 ) ) )

⑹圆柱的一个底面积为 S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是 2? S 。 (



二、题型分析
题型一 空间几何体的三视图


C ,底面面积 S ,
高为 h ) 正棱锥(底面周长

例 1(2014 江西)一个几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

C ,斜高为 h? ,底
面面积 S , 高为 h ) 球(半径为 R )

5.常用结论
⑴与体积有关的几个结论 ①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差。 ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等。 ⑵正方体的棱长为 a ,球的半径为 R , ①若球为正方体的外接球,则______________; ②若球为正方体的内切球,则______________; ③若球与正方体的各棱相切,则_______________。 ⑶若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c , 外接球的半径为 R , 则 2 R =______________。 ⑷正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3 : 1 例 2(2015 锦州)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

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例 3 将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到如图 2 所示的几何体,则该几何体的侧视图为 ( )

⑵(2015 课标)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径 为 r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图与俯视图 如图所示。若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r 等于( A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 )

⑶(2014 山东)一个六棱锥的体积为 2 3 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等, 则该六棱锥的侧面积为________________。

题型二 空间几何体的直观图
例 4 右图是水平放置的某个三角形的直观图, D ? 是 ?A?B ?C ? 中 B ?C ? 边的中点且 A?D? // y ? 轴, A?B ? 、 A ?D ? 、 A?C ? 三条 线段对应原图形中的线段 AB 、 AD 、 AC ,那么( A.最长的是 AB ,最短的是 AC B.最长的是 AC ,最短的是 AB C.最长的是 AB ,最短的是 AD D.最长的是 AD ,最短的是 AC )

题型四 空间几何体体积的求解方法
例 6⑴ (2015 浙江) 某几何体的三视图如图所示 (单位 cm ) , 该几何体的体积是(
3 A. 8cm





3 B. 12cm

题型三 空间几何体表面积的求解方法
例 5⑴某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( A. 2 ? 5 B. 4 ? 5 C. 2 ? 2 5 D. 5 )

32 cm 3 3 40 cm 3 D. 3
C.

⑵(2015 课标)正方体被一个平面截去一部分后,剩余 部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比 值为( A. ) C.

1 1 B. 8 7

1 6

D.

1 5

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⑶ (2015 青岛) 如图:?ABC 中,AB ? 8 ,BC ? 10 ,AC ? 6 ,

3. 一个棱长为 2 cm 的正方体的顶点都在球面上,则球的体积为__________ cm3 。 4. (2015 陕西)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积是( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 )

DB ? 平面ABC , 且 AE // FC // BD ,BD ? 3 ,FC ? 4 ,AE ? 5 。
则此几何体的体积为_____________。

思维升华求几何体体积的常用方法有割补法和等积变换法
⑴割补法:求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、椎体等,分别求出柱体、椎

D. 3? ? 4 5. (2015 安徽)一个四面体的三视图如图所

体等的体积,从而求得几何体的体积; 示,则该四面体的表面积为( ⑵等积变换法:以三棱锥为例,利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等积变换; A. 1 ? 3 注:求体积时可选择容易计算的方式求解,利用等积性可求“点到面的距离” 。 B. 1 ? 2 2 C. 2 ? 3 ) D. 2 2 A. 圆锥 B. 正四棱锥
2



[课后练习]
1. 若一个几何体的三视图都是等腰三角形,则这个几何体可能是( C. 正三棱锥 D.正三棱台 )

1. 已知圆锥的表面积等于 12? cm ,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D.

3 cm 2

6. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 ?ADE ,?BCF 均为正三 角形,EF // AB ,EF ? 2 , 则该多面体的体积为 ( )

2.(2014 重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 A.

2 3
4 3

B.

3 3
3 2

C.

D.

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§8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、知识梳理
1.四个公理:
公理 1:如果一条直线上的__________在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理 2:过____________________________的三点,有且只有一个平面。 公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们___________________过该点的公共直线。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线__________。 独 有 关 系 图形 语言

符号 语言 交点 个数

3.空间角:
异面直线所成的角 范围 斜线与平面所成角 二面角的平面角

2.空间点、线、面的位置关系:
直线与直线 直线与平面 平面与平面

图形 平 行 关 系 语言

图形

符号 语言 交点 个数

4.等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_________________。 【思考辨析】判断下列结论是否正确 ⑴若两个不重合的平面 ?,? 有一条公共直线 a , 就说平面 ?,? 相交, 并记作 ? ? ? ? a 。 ( )

图形 相 交 关 系 语言

⑵两个平面 ?,? 有一个公共点 A ,就说 ?,? 相交于过 A 点的任意一条直线。 ( ⑶两个平面 ?,? 有一个公共点 A ,就说 ?,? 相交于 A 点,并记作 ? ? ? ? A 。 ( ⑷经过两条相交直线,有且只有一个平面。 ( ⑸没有公共点的两条直线是异面直线。 ( ) )

) )

符号 语言 交点 个数

二、题型分析
题型一 平面基本性质的应用

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例 1 如图所示,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、F 分别是 AB 和 AA 1 的中点,求证: ⑴ E、C、D1、F 四点共面; ⑵ CE、D1 F、DA 三线共点。

⑶在图中,G、N、M、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线 GH 、MN 是 异面直线的图形有_____________。

题型三

判断空间两直线的位置关系

例 3 ⑴(2015 佛山)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 是 AC 的 中 点 , AA 1 : AB ? ____________。

2 : 1 , 则 异 面 直 线 AB1 与 BD 所 成 的 角 为

题型二

判断空间两直线的位置关系

⑵空间四边形 ABCD 中, AB ? CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30°, E、F 分别为 BC 、AD 的中 点,求 EF 与 AB 所成角的大小。

例 2 ⑴已知 m,n 是两条不同的直线, ?,? 是两个不同的平面,有下面四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? ;②若 m // ? , n // ? , m ? n ,则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n // ? , m ? n ,则 ? // ? ;④若 m ? ? , n // ? , ? // ? ,则 m ? n ; 其中所有正确的命题是( A. ①④ B.②④C. ① ) D.④

[课后练习]
1.下列命题正确的个数为( )

⑵如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M、N 分别是 BC1 和 CD1 的中点,则下列判断错误的 是( ) B. MN 与 AC 垂直 D. MN 与 A1 B1 平行

①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点, 则这两个平面重合。 A. 0 B. 1 C. 2 D.3

A. MN 与 CC1 垂直 C. MN 与 BD 平行

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2. 两两平行的三条直线可确定__________个平面。 3. 已知在长方体 ABCD ? EFGH 中, AD ? AB ? 2 3 , AE ? 2 ,则 BC 和 EG 所成角的大小 是___________, AE 和 BG 所成角的大小是___________。 4. (2014 课标) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,?BCA ? 90? ,M、N 分别是 A1 B1 和 A1C1 的中点,

§8.3 直线、平面平行的判定与性质
一、知识梳理
1.直线与平面平行的判定与性质:
判定 性质 定义 定理

BC ? CA ? CC1 ,则 BM 与 AN 所成角的余弦值是____________。
图形

条件

5. 如 图 , 平 面 ABEF ? 平 面 A B C D, 四 边 形 ABEF 与 四 边 形 A B C D都 是 直 角 梯 形 ,

结论

a // ?

b // ?

?BAD ? ?FAB ? 90? , BC // AD 且 BC ?

1 1 AD , BE // AF 且 BE ? AF , G、H 分 别 为 2 2

2.平面与平面平行的判定与性质:
判定 性质 定义 定理

FA、FD 的中点。
⑴证明:四边形 BCHG 是平行四边形; ⑵ C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 图形

条件

结论

? // ?

? // ?

a // b

a // ?

【思考辨析】判断下列结论是否正确 ⑴若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面。 ( )

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⑵若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线。 ( ⑶如果一个平面的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 ( ⑷如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 ( ⑸若直线 a 与平面 ? 内无数条直线平行,则 a // ? 。 ( ) ) )



?BAD ? 90? , 例 2 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 已知底面 ABCD 为直角梯形, 其中 AD // BC ,

SA ? 底面 ABCD , SA ? AB ? BC ? 2 , tan ?SDA ?
⑴求四棱锥 S ? ABCD 的体积; ) ⑵在棱 SD 上找一点 E ,使 CE // 平面 SAB ,并证明。

2 。 3

⑹空间四边形 ABCD 中, E、F 分别是 AB 、AD 的中点,则 EF // 平面 BCD 。 ( ⑺若 ? // ? ,直线 a // ? ,则 a // ? 。 ( )

二、题型分析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
1 AD , E、F 、 H 分别是线段 2

例 1 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , AB ? BC ?

AD , PC , CD 的中点, AC 与 BE 交于 O 点, G 是线段 OF 上一点.
(1)求证: AP // 平面 BEF ; (2)求证: GH // 平面 PAD . 例 3 (2014 安徽) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 8 的正方形, 四条侧棱长均为 2 17 , 点 G、E、F、H 分别是棱 PB 、AB 、CD、PC 上共面的四点,平面 GEFH ? 平面 ABCD ,

BC // 平面 GEFH 。
⑴证明: GH // EF ; ⑵若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积。

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题型二

平面与平面平行的判定与性质

5. 四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,CD=2AB,E 为 PC 中点,求证:BE//平面 PAD
P

例 4 如图所示,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E、F、G、H 分别是 AB、AC、A1 B1、A1C1 的中 点,求证: ⑴ B、C、H、G 四点共面; ⑵平面 EFA 1 // 平面 BCHG 。 A

D

C

B

6. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, S 是 B1 D1 的中点, E、F、G 分别是 BC 、DC 、SC 的 中点, ,求证: ⑴直线 EG // 平面 BDD1 B1 ;

[课后练习]
1. 一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 ? 的距离相等,那么直线 l 与平面 ? 的位置关系是 ( ) A. l // ? B. l ? ? C. l与? 相交但不垂直 D. l // ? 或 l ? ?

⑵平面 EFG // 平面 BDD1 B1 .

2. 设 ?、?、? 为三个不同的平面, m、n 是两条不同的直线,在命题“ ? ? ? ? m , n ? ? ,且 __________,则 m // n ”中的横线处填入下列条件中的一组,使该命题为真命题。 ① ? // ?,n ? ? ;② m // ?,n // ? ;③ n // ?,m ? ? 。可以填入的条件有( A. ①或② B.②或③C. ①或③ D.①或②或③ )

E 为 DD1 的中点, 3. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 则 BD1 与平面 AEC 的位置关系_________。
4. 过三棱柱 ABC ? A1 B1C1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB 1A 1 平行的直线共有 ____________条。


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