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高三一轮复习 立体几何 学案

时间:2016-12-12


第八章立体几何与空间向量

高三第一轮复习(理数)

第 68 页

第八章 立体几何与空间向量
[考纲要求]
考试内容 柱、锥、台、球及其简单组合体 空间 几何体 立体几 何初步 点、直线、 平面间的位 置关系 三视图 斜二测法画简单空间图形的直观图 球、棱柱、棱锥的表面积和体积 空间线、面的位置关系 公理 1、公理 2、公理 3、公理 4、定理 线、面平行或垂直的判定 线、面平行或垂直的性质 空间直 角坐标系 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 空间向量的概念 空间向量基本定理 空间向 量与立 体几何 空间向量 及其运算 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量的线性运算及其坐标表示 空间向量的数量积及其坐标表示 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 直线的方向向量 空间向量 的应用 平面的法向量 线、面位置关系 线线、线面、面面的夹角 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
要求层次 A B C

§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
一、知识梳理
1.空间几何体的结构特征:
⑴多面体: ①棱柱的侧棱都____________________,上、下底面是_________的多边形。 ②棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形。 ③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是_________多边形。 √ ⑵旋转体: ①圆柱可以由__________绕其一边所在直线旋转得到。 ②圆锥可以由直角三角形绕其_____________所在直线旋转得到。 ③圆台可以由直角梯形绕_____________所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转 得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到。 ④球可以由半圆或圆绕_____________所在直线旋转得到。

√ √ √

2.空间几何体的三视图:
⑴在画三视图时,重叠的线只画一条,被挡住的线要画成虚线; ⑵三视图中的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的________方、________方、________方观 察几何体画出的轮廓线。 ⑶三视图的画法特征是_____________、_____________、_____________。

3.空间结合体的直观图:
画空间几何体的直观图常用____________画法,其规则是: ⑴原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直,直观图中 x ? 轴、 y ? 轴的夹角为________, z ? 轴与 x ? 轴、

y ? 轴所在平面________。
⑵原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别___________坐标轴。平行于 x 轴、 z 轴的线段 在直观图中保持原长度_________,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为________________。

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4.常见几何体的表面积及体积
名称 圆柱(底面半径 r , 母线长 l ) 图形 侧面面积 表面积 体积

【思考辨析】判断下列结论是否正确 ⑴正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同。 ( ) )

⑵用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱。 ( ⑶球的体积之比等于半径比的平方。 ( ⑷椎体的体积等于底面积与高之积。 ( ⑸长方体既有外接球又有内切球。 ( 圆锥(底面半径 r , 母线长 l ,高为 h ) 直棱柱(底面周长 ) ) )

⑹圆柱的一个底面积为 S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是 2? S 。 (



二、题型分析
题型一 空间几何体的三视图


C ,底面面积 S ,
高为 h ) 正棱锥(底面周长

例 1(2014 江西)一个几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

C ,斜高为 h? ,底
面面积 S , 高为 h ) 球(半径为 R )

5.常用结论
⑴与体积有关的几个结论 ①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差。 ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等。 ⑵正方体的棱长为 a ,球的半径为 R , ①若球为正方体的外接球,则______________; ②若球为正方体的内切球,则______________; ③若球与正方体的各棱相切,则_______________。 ⑶若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c , 外接球的半径为 R , 则 2 R =______________。 ⑷正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3 : 1 例 2(2015 锦州)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

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例 3 将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到如图 2 所示的几何体,则该几何体的侧视图为 ( )

⑵(2015 课标)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径 为 r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图与俯视图 如图所示。若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r 等于( A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 )

⑶(2014 山东)一个六棱锥的体积为 2 3 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等, 则该六棱锥的侧面积为________________。

题型二 空间几何体的直观图
例 4 右图是水平放置的某个三角形的直观图, D ? 是 ?A?B ?C ? 中 B ?C ? 边的中点且 A?D? // y ? 轴, A?B ? 、 A ?D ? 、 A?C ? 三条 线段对应原图形中的线段 AB 、 AD 、 AC ,那么( A.最长的是 AB ,最短的是 AC B.最长的是 AC ,最短的是 AB C.最长的是 AB ,最短的是 AD D.最长的是 AD ,最短的是 AC )

题型四 空间几何体体积的求解方法
例 6⑴ (2015 浙江) 某几何体的三视图如图所示 (单位 cm ) , 该几何体的体积是(
3 A. 8cm





3 B. 12cm

题型三 空间几何体表面积的求解方法
例 5⑴某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( A. 2 ? 5 B. 4 ? 5 C. 2 ? 2 5 D. 5 )

32 cm 3 3 40 cm 3 D. 3
C.

⑵(2015 课标)正方体被一个平面截去一部分后,剩余 部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比 值为( A. ) C.

1 1 B. 8 7

1 6

D.

1 5

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⑶ (2015 青岛) 如图:?ABC 中,AB ? 8 ,BC ? 10 ,AC ? 6 ,

3. 一个棱长为 2 cm 的正方体的顶点都在球面上,则球的体积为__________ cm3 。 4. (2015 陕西)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积是( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 )

DB ? 平面ABC , 且 AE // FC // BD ,BD ? 3 ,FC ? 4 ,AE ? 5 。
则此几何体的体积为_____________。

思维升华求几何体体积的常用方法有割补法和等积变换法
⑴割补法:求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、椎体等,分别求出柱体、椎

D. 3? ? 4 5. (2015 安徽)一个四面体的三视图如图所

体等的体积,从而求得几何体的体积; 示,则该四面体的表面积为( ⑵等积变换法:以三棱锥为例,利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等积变换; A. 1 ? 3 注:求体积时可选择容易计算的方式求解,利用等积性可求“点到面的距离” 。 B. 1 ? 2 2 C. 2 ? 3 ) D. 2 2 A. 圆锥 B. 正四棱锥
2



[课后练习]
1. 若一个几何体的三视图都是等腰三角形,则这个几何体可能是( C. 正三棱锥 D.正三棱台 )

1. 已知圆锥的表面积等于 12? cm ,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D.

3 cm 2

6. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 ?ADE ,?BCF 均为正三 角形,EF // AB ,EF ? 2 , 则该多面体的体积为 ( )

2.(2014 重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 A.

2 3
4 3

B.

3 3
3 2

C.

D.

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§8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、知识梳理
1.四个公理:
公理 1:如果一条直线上的__________在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理 2:过____________________________的三点,有且只有一个平面。 公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们___________________过该点的公共直线。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线__________。 独 有 关 系 图形 语言

符号 语言 交点 个数

3.空间角:
异面直线所成的角 范围 斜线与平面所成角 二面角的平面角

2.空间点、线、面的位置关系:
直线与直线 直线与平面 平面与平面

图形 平 行 关 系 语言

图形

符号 语言 交点 个数

4.等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_________________。 【思考辨析】判断下列结论是否正确 ⑴若两个不重合的平面 ?,? 有一条公共直线 a , 就说平面 ?,? 相交, 并记作 ? ? ? ? a 。 ( )

图形 相 交 关 系 语言

⑵两个平面 ?,? 有一个公共点 A ,就说 ?,? 相交于过 A 点的任意一条直线。 ( ⑶两个平面 ?,? 有一个公共点 A ,就说 ?,? 相交于 A 点,并记作 ? ? ? ? A 。 ( ⑷经过两条相交直线,有且只有一个平面。 ( ⑸没有公共点的两条直线是异面直线。 ( ) )

) )

符号 语言 交点 个数

二、题型分析
题型一 平面基本性质的应用

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例 1 如图所示,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、F 分别是 AB 和 AA 1 的中点,求证: ⑴ E、C、D1、F 四点共面; ⑵ CE、D1 F、DA 三线共点。

⑶在图中,G、N、M、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线 GH 、MN 是 异面直线的图形有_____________。

题型三

判断空间两直线的位置关系

例 3 ⑴(2015 佛山)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 是 AC 的 中 点 , AA 1 : AB ? ____________。

2 : 1 , 则 异 面 直 线 AB1 与 BD 所 成 的 角 为

题型二

判断空间两直线的位置关系

⑵空间四边形 ABCD 中, AB ? CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30°, E、F 分别为 BC 、AD 的中 点,求 EF 与 AB 所成角的大小。

例 2 ⑴已知 m,n 是两条不同的直线, ?,? 是两个不同的平面,有下面四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? ;②若 m // ? , n // ? , m ? n ,则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n // ? , m ? n ,则 ? // ? ;④若 m ? ? , n // ? , ? // ? ,则 m ? n ; 其中所有正确的命题是( A. ①④ B.②④C. ① ) D.④

[课后练习]
1.下列命题正确的个数为( )

⑵如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M、N 分别是 BC1 和 CD1 的中点,则下列判断错误的 是( ) B. MN 与 AC 垂直 D. MN 与 A1 B1 平行

①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点, 则这两个平面重合。 A. 0 B. 1 C. 2 D.3

A. MN 与 CC1 垂直 C. MN 与 BD 平行

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2. 两两平行的三条直线可确定__________个平面。 3. 已知在长方体 ABCD ? EFGH 中, AD ? AB ? 2 3 , AE ? 2 ,则 BC 和 EG 所成角的大小 是___________, AE 和 BG 所成角的大小是___________。 4. (2014 课标) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,?BCA ? 90? ,M、N 分别是 A1 B1 和 A1C1 的中点,

§8.3 直线、平面平行的判定与性质
一、知识梳理
1.直线与平面平行的判定与性质:
判定 性质 定义 定理

BC ? CA ? CC1 ,则 BM 与 AN 所成角的余弦值是____________。
图形

条件

5. 如 图 , 平 面 ABEF ? 平 面 A B C D, 四 边 形 ABEF 与 四 边 形 A B C D都 是 直 角 梯 形 ,

结论

a // ?

b // ?

?BAD ? ?FAB ? 90? , BC // AD 且 BC ?

1 1 AD , BE // AF 且 BE ? AF , G、H 分 别 为 2 2

2.平面与平面平行的判定与性质:
判定 性质 定义 定理

FA、FD 的中点。
⑴证明:四边形 BCHG 是平行四边形; ⑵ C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 图形

条件

结论

? // ?

? // ?

a // b

a // ?

【思考辨析】判断下列结论是否正确 ⑴若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面。 ( )

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⑵若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线。 ( ⑶如果一个平面的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 ( ⑷如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 ( ⑸若直线 a 与平面 ? 内无数条直线平行,则 a // ? 。 ( ) ) )



?BAD ? 90? , 例 2 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 已知底面 ABCD 为直角梯形, 其中 AD // BC ,

SA ? 底面 ABCD , SA ? AB ? BC ? 2 , tan ?SDA ?
⑴求四棱锥 S ? ABCD 的体积; ) ⑵在棱 SD 上找一点 E ,使 CE // 平面 SAB ,并证明。

2 。 3

⑹空间四边形 ABCD 中, E、F 分别是 AB 、AD 的中点,则 EF // 平面 BCD 。 ( ⑺若 ? // ? ,直线 a // ? ,则 a // ? 。 ( )

二、题型分析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
1 AD , E、F 、 H 分别是线段 2

例 1 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , AB ? BC ?

AD , PC , CD 的中点, AC 与 BE 交于 O 点, G 是线段 OF 上一点.
(1)求证: AP // 平面 BEF ; (2)求证: GH // 平面 PAD . 例 3 (2014 安徽) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 8 的正方形, 四条侧棱长均为 2 17 , 点 G、E、F、H 分别是棱 PB 、AB 、CD、PC 上共面的四点,平面 GEFH ? 平面 ABCD ,

BC // 平面 GEFH 。
⑴证明: GH // EF ; ⑵若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积。

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题型二

平面与平面平行的判定与性质

5. 四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,CD=2AB,E 为 PC 中点,求证:BE//平面 PAD
P

例 4 如图所示,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E、F、G、H 分别是 AB、AC、A1 B1、A1C1 的中 点,求证: ⑴ B、C、H、G 四点共面; ⑵平面 EFA 1 // 平面 BCHG 。 A

D

C

B

6. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, S 是 B1 D1 的中点, E、F、G 分别是 BC 、DC 、SC 的 中点, ,求证: ⑴直线 EG // 平面 BDD1 B1 ;

[课后练习]
1. 一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 ? 的距离相等,那么直线 l 与平面 ? 的位置关系是 ( ) A. l // ? B. l ? ? C. l与? 相交但不垂直 D. l // ? 或 l ? ?

⑵平面 EFG // 平面 BDD1 B1 .

2. 设 ?、?、? 为三个不同的平面, m、n 是两条不同的直线,在命题“ ? ? ? ? m , n ? ? ,且 __________,则 m // n ”中的横线处填入下列条件中的一组,使该命题为真命题。 ① ? // ?,n ? ? ;② m // ?,n // ? ;③ n // ?,m ? ? 。可以填入的条件有( A. ①或② B.②或③C. ①或③ D.①或②或③ )

E 为 DD1 的中点, 3. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 则 BD1 与平面 AEC 的位置关系_________。
4. 过三棱柱 ABC ? A1 B1C1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB 1A 1 平行的直线共有 ____________条。


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