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1.2.3正弦、余弦定理应用

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1.2.3 正弦、余弦定理应用
学习目的: 1 进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确解斜三角形知识在实际中有着广泛 的应用; 2 熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化;? 3 通过解斜三角形的应用的教学,继续提高运用

所学知识解决实际问题的能力 学习重点:1 实际问题向数学问题的转化;2 解斜三角形的方法 ? 学习难点:实际问题向数学问题转化思路的确定 课堂过程:
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一、复习引入: 上一节, 我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用, 了解了一些把实际问题转化为 解三角形问题的方法,掌握了一定的解三角形的方法与技巧 这一节,继续给出几个例题,
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要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决

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二、讲解范例: 应用三:测量角度 例 1 如图 一艘海轮从 A 出发, 沿北偏东 75°的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 C. 如 果下次航行直接从 A 出发到达 C, 此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角 度精确到 0.1°,距离精确到 0.01 n mile)

解: ? ABC中, ABC=1800 ? 750 ? 320 ? 1370 在 ?
根据余弦定理可知: AC= AB2 ? BC2 ? 2AB ? BC ? cos ?ABC = 67.52 ? 542 ? 2 ? 67.5 ? 54 ? cos1370 =113.15
根据正弦定理可知: BC AC ? sin?CAB sin ?ABC
A 320 B C

BC sin ?ABC 54sin1370 sin ?CAB ? ? ? 0.3255 AC 113.15

?CAB ? 190

750 ? ?CAB ? 560

答:此船应该沿北偏东 56°的方向航行,需要航行 113.15 n mile.

应用四:有关三角形计算
知识 1:在△ABC 中,边 BC,CA,AB 上的高分别记为 ha, hb ,hc ,那么容易证明: ha=bsinC=csinB hb =csinA=asinC hc =bsinC=csinB

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在? ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S (精确到0.1cm 2 ) 例2 在△ABC 中,

(1) 已知 a=14.8cm , c=23.5cm, B=148.50 (2) 已知 B=62.70 , C=65.80 , b ? 3.16 cm (3) 已知三边的长分别为a= 41.4 cm , b=27.3 cm, c=38.7 cm
1 解: 1)应用S= ca sin B可得 ( 2 1 S= ? 23.5 ? 14.5 ? sin148.50 ? 90.9(cm 2) 2
b c bsinC (2)根据正弦定理, ? c= sinB sin C sinB 1 1 sin C sin A S= bc sin A ? b 2 2 2 sin B
A=1800 ? ( B ? C ) ? 1800 ? (62.7 2 ? 65.82 ) ? 51.52 S? 1 sin 65.82 sin 51.52 ? 3.162 ? ? 4.0(cm 2 ) 2 sin 62.7 2

(3)根据余弦定理可得: c2 ? a 2 ? b 2 cosB= 2ca 38.72 ? 41.42 ? 27.32 = ? 0.7697 2 ? 38.7 ? 41.4
sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? 0.7697 2 ? 0.6384 1 1 应用S ? ca sin B ? ? 38.7 ? 41.4 ? 0.6384 ? 511.4 (cm 2 ) 2 2

例 3 如图 1.2—8, 在某市进行城市环境建设中, 要 把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得 到这个三角形区域的三条边分别为 68m, 88m, 127m, 这个区域的面积是多少?(精确到 0.1m2) 解: a=68m , b=88m, 设 得:
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C A B
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c=127m,

根据余弦定理可

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cos B ?
S?

c 2 ? a 2 ? b2 1272 ? 682 ? 882 ? ? 0.7532 sin B ? 1 ? 0.75322 ? 0.6578 2ac 2 ? 127 ? 68

1 1 ac sin B ? ? 127 ? 68 ? 0.6578 ? 2840.4(m2 ) 答:这个区域的面积是 2840.4m2 2 2

应用五:三角形恒等式证明
例4 在VABC中,求证: a2 ? b2 sin 2 A ? sin 2 B () 1 ? c2 sin 2 C (2) a 2 +b2 +c2 ? 2(bc cos A ? ca cos B ? ab cos C )
a b C 证明: 1)根据正弦定理可得: ( ? ? ? k (k ? 0) sinA sinB sinC

左边=

a 2 ? b2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? ? ? 右边 c2 k 2 sin 2 C sin 2 C

(2)根据余弦定理的推论: 右边=2(bc b2 ? c 2 ? a 2 c2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 ? ca +ab ) 2bc 2ca 2ab ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? (c 2 ? a 2 ? b 2 )+(a 2 ? b 2 ? c 2 ) =a 2 ? b 2 ? c 2 =左边

练习

3.5m 长的棒斜靠在石堤旁,棒的一

端在离堤足 1.2m 地面上, 另一端在沿堤上 2.8 m 的地方,求堤对地面的倾斜面α 。

四、小结 通过本节学习,要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法,明确 解斜三角形知识在实际中的广泛应用,熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化, 逐步提高数学知识的应用能力
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a b c   ? ? sin A sin B sin C

a2=b2+c2-2bccosA b2= a2+c2-2accosB c2 =a2+ b2-2abcosC
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五、课后作业:

课本 20 页习题 1.2A 组第 9—12 题

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