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坐标系与参数方程

时间:2014-05-19


极坐标与参数方程
1. 直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0 -α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=α; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π? (3)直线过 M? ?b,2?且平行于极轴:ρsin θ=b. 2. 圆的极坐标方程

若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r 的圆方程为:
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)圆心位于 M(r,0),半径为 r:ρ=2rcos θ; π? (3)圆心位于 M? ?r,2?,半径为 r:ρ=2rsin θ. 3. 常见曲线的参数方程
?x=rcos θ, ? (1)圆 x2+y2=r2 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=rsin θ ? ?x=x0+rcos θ, ? (2)圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2 的参数方程为? (θ 为参数). ? ?y=y0+rsin θ ? ?x=acos θ, x2 y2 (3)椭圆 2+ 2=1 的参数方程为? (θ 为参数). a b ?y=bsin θ ?
2 ? ?x=2pt , (4)抛物线 y =2px 的参数方程为? (t 为参数). ?y=2pt ? 2

?x=x0+tcos α, ? (5)过定点 P(x0,y0)的倾斜角为 α 的直线的参数方程为? (t 为参数). ?y=y0+tsin α ?

1

4. 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标 系中取相同的长度单位.如图,设 M 是平面内的任意一点,它的直 角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则

? ? ? ?x=ρcos θ ? ,? y ?y=ρsin θ ? ?tan θ= ?x≠0? ?
x 考点一 极坐标与直角坐标的互化 例1

ρ2=x2+y2

.

π 在以 O 为极点的极坐标系中, 直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是 ρcos(θ+ )=3 2 4 和 ρsin2θ=8cos θ,直线 l 与曲线 C 交于点 A、B,求线段 AB 的长.

考点二 参数方程与普通方程的互化 例2
?x=t+1, ? (1)(2013· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为? (t 为参数), ? ?y=2t
2 ? ?x=2tan θ, ? 曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求 ?y=2tan θ ?

出它们的公共点的坐标.

?x=4-2t, ? x2 例三、已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),P 是椭圆 +y2=1 上的任意一点, 4 ?y=t-2 ?

求点 P 到直线 l 的距离的最大值.

2

1. 在极坐标系中,求过圆 ρ=6cos θ 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程.

2. 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长 度单位相同.直线 l 的极坐标方程为 ρ= 9 π? 2sin? ?θ+4? ,点 P(1+cos α,sin α),参数

α∈[0,2π). (1)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (2)求点 P 到直线 l 距离的最大值.

π 2, ?,圆 3. (2012· 江苏)如图,在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? 4? ? π? 3 心为直线 ρsin? 求圆 C 的极坐标方程. ?θ-3?=- 2 与极轴的交点,

? ?x=5cos φ, 4 . 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆? (φ 为参数 )的右焦点,且与直线 ?y=3sin φ ? ?x=4-2t, ? ? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ? ?y=3-t

5、如图,在极坐标系中,设极径为 ? ( ? ? 0 ),极角为 θ( 0≤? ? 2 π ).⊙A 的极
3

坐标方程为 ? ? 2cos? ,点 C 在极轴的上方,∠AOC =

π .△OPQ 是以 OQ 为斜边的等 6

腰直角三角形,若 C 为 OP 的中点,求点 Q 的极坐标.
P C O A B x

Q

x2 y2 6、在平面直角坐标系 xOy 中,已知 M 是椭圆 + =1 上在第一象限的点,A(2,0),B(0, 4 12 2 3)是椭圆两个顶点,求四边形 OAMB 的面积的最大值.

? 5 3 x? ? 2 cos ? ? ? 2 7、己知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M 的参数方程为 ? ( ? 为参数), 7 ? y ? ? 2sin ? ? ? 2
以 Ox 轴为极轴,O 为极点建立极坐标系,在该极坐标系下,圆 N 是以点 ? 3, 且过点 ( 2,

? ?

??

? 为圆心, 3?

?
2

) 的圆.

(1)求圆 M 及圆 N 在平面直角坐标系 xOy 下的直角坐标方程; (2)求圆 M 上任一点 P 与圆 N 上任一点 Q 之间距离的最小值.

4

? ? x ? 5 cos?, 8 、在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? ( ? 为参数)的左焦点,且与直线 ? ? y ? 3sin? ? ? x ? 4 ? 2t, (t 为参数)平行的直线的普通方程. ? ? ?y ? 3 ? t

? ?x ? ? ? C 9、在平面直角坐标系 xOy 中,圆 的参数方程为 ? ? y?? ? ?

2 ? r cos ? , 2 (? 为参数, r ? 0) ,以 O 2 ? r sin? 2

为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?
C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值.

?
4

) ? 1, 若圆

10、 在极坐标系中, 已知直线 2 ? cos? + ? sin ? + a ? 0(a ? 0) 被圆 ? ? 4sin ? 截得的弦长为 2 , 求 a 的值.

5

π π π 例一:解 ∵ρcos(θ+ )=ρcos θcos -ρsin θsin 4 4 4 = 2 2 ρcos θ- ρsin θ 2 2

=3 2, ∴直线 l 对应的直角坐标方程为 x-y=6. 又∵ρsin2θ=8cos θ, ∴ρ2sin2θ=8ρcos θ. ∴曲线 C 对应的直角坐标方程是 y2=8x.
?x-y=6 ? 解方程组? 2 , ?y =8x ? ?x=2 ?x=18 ? ? 得? 或? , ? ? ?y=-4 ?y=12

所以 A(2,-4),B(18,12), 所以 AB= ?18-2?2+[12-?-4?]2=16 2. 即线段 AB 的长为 16 2.
? ?x=t+1, 例二、解 因为直线 l 的参数方程为? (t 为参数),由 x=t+1 得 t=x-1,代入 y ?y=2t ?

=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0.同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x.
?y=2?x-1?, ? 联立方程组? 2 ?y =2x, ?

1 ? 解得公共点的坐标为(2,2),? ?2,-1?.
?x=4-2t, ? 例三、解 由于直线 l 的参数方程为? (t 为参数), ? ?y=t-2

故直线 l 的普通方程为 x+2y=0. x2 因为 P 为椭圆 +y2=1 上的任意一点, 4 故可设 P(2cos θ,sin θ),其中 θ∈R. |2cos θ+2sin θ| 因此点 P 到直线 l 的距离是 d= 12+22

? π?? 2 2? ?sin?θ+4?? = . 5
π 2 10 所以当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5 1、解 把 ρ=6cos θ 两边同乘以 ρ,得 ρ2=6ρcos θ,
6

所以圆的普通方程为 x2+y2-6x=0, 即(x-3)2+y2=9,圆心为(3,0), 故所求直线的极坐标方程为 ρcos θ=3.
?x=1+cos α, ? 2、解 (1)由? ?y=sin α, ?

得点 P 的轨迹方程(x-1)2+y2=1. (2)由 ρ= 9 ,得 ρ= , π sin θ+cos θ θ+ ? 2sin? ? 4? 9

∴ρsin θ+ρcos θ=9. ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x+y=9. 圆(x-1)2+y2=1 的圆心(1,0)到直线 x+y=9 的距离为 4 2,

所以(PQ)min=4 2-1. π? 3 3、解 在 ρsin? ?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1, 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π? 因为圆 C 经过点 P? ? 2,4?, 所以圆 C 的半径 PC= ? 2?2+12-2×1× 2cos π =1, 4

于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. 4、解 由题设知,椭圆的长半轴长 a=5,短半轴长 b=3, 从而 c= a2-b2=4,所以右焦点为(4,0). 将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0. 1 1 故所求直线的斜率为 ,因此其方程为 y= (x-4), 2 2 即 x-2y-4=0.

7

π 6、解:设 M(2cosθ,2 3sinθ),θ∈(0, ). 2 由题知 OA=2,OB=2 3, 分 1 1 所以四边形 OAMB 的面积 S= ×OA×2 3sinθ+ ×OB×2cosθ 2 2 π =2 3sinθ+2 3cosθ=2 6sin(θ+ ). 4 ………………8 分 …………10 分 ………………………………………2

π 所以当 θ= 时,四边形 OAMB 的面积的最大值为 2 6. 4 7、解:(1)⊙M: ( x ?

? 5 3 2 7 3 3 ) ? ( y ? )2 ? 4 , ( 3, ) 对应直角坐系下的点为 ( , ) , 3 2 2 2 2

? 3 2 3 (2, ) 对应直角坐系下的点为 (0, 2) ,∴⊙N: ( x ? ) ? ( y ? )2 ? 1 .……5 分 2 2 2
(2)PQ=MN-3= 4 ? 3 ? 1 . 8、【解】椭圆的普通方程: ……10 分

x2 y 2 ? ? 1 ,左焦点 F (?4,0) ……………3 分 25 9

直线的普通方程: x ? 2 y ? 2 ? 0 . …………………………6 分 设过焦点 F (?4,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线为 x ? 2 y ? ? ? 0 将 F (?4,0) 代入 x ? 2 y ? ? ? 0 , ? ? 4. 所求直线的普通方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .…………………10 分

? ?x ? ? ? C 9、因为圆 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
2 2

2 ? r cos? , 2 ( ? 为参数, r ? 0 ),消去参数得, 2 ? r sin ? 2

? ? 2? ? 2? 2 2? 2 x ? ? y ? ? r r ? 0 ,所以圆心 ,半径为 r ,……3 分 C ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?
因为直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1,化为普通方程为 x ? y ? 2 ,………6 分

? 4

?
圆心 C 到直线 x ? y ? 2 的距离为 d ?

2 2 ? ? 2 2 2 2

? 2 ,……………………8 分

8

又因为圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d ? r ? 3 ,所以 r ? 3 ? 2 ? 1 .…10 分 10、直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 2 x + y + a ? 0 , …………………………3 分 ,…………6 分

圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 + y 2 ? 4 y ,即 x2 + ( y ? 2)2 ? 4 因为截得的弦长为 2 ,所以圆心 (0, 2) 到直线的距离为 4 ? 1 ? 3 , 即

2+a 5

? 3 ,因为 a ? 0 ,所以 a ? 15 ? 2 . …………………………………10 分

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