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2019年人教版理数高考一轮复习 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算

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第十节 [考纲传真] 变化率与导数、导数的计算 (教师用书独具)1.了解导数概念的实际背景 .2.通过函数图象直 1 观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数 y=C(C 为常数), y=x, y= x, y=x , y=x3, y= x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则求简单函数的导数,并了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于 形如 f(ax+b)的复合函数)的导数. 2 (对应学生用书第 31 页) [基础知识填充] 1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: ①定义:称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 Δx Δx→0 Δx→0 Δx lim y′| f?x0+Δx?-f?x0? Δy ,即 f′(x0)= lim Δx= lim . Δx Δx→0 Δx→0 x=x0 ②几何意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x0))处的切线斜率.相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)函数 f(x)的导函数:称函数 f′(x)= lim 2.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=a f(x)=e x f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx Δx→0 导函数 f′(x)=n· xn -1 f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=a ln a(a>0) f′(x)=e x x x 1 f(x)=logax f(x)=ln x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); ? f?x? ?′ f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ?= (3)? (g(x)≠0). [g?x?]2 ?g?x?? 4.复合函数的导数 1 f′(x)=xln a 1 f′(x)= x 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′= yu′·ux′,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. [知识拓展] 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是 周期函数. f′?x? ? 1 ?′ 2.?f?x?? =- (f(x)≠0). ? ? [f?x?]2 3.[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x). 4. 函数 y=f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势, 其正负号反映了 变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越 “陡”. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( ) ) ) ) (2)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值.( (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( (5)函数 f(x)=sin(-x)的导数是 f′(x)=cos x.( [答案] (1)× (2)√ (3

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