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高中数学 1.1.2集合间的基本关系精讲精析 新人教A版必修1

时间:2016-01-12


课题:1.1.2 集合间的基本关系 精讲部分
学习目标展示 1. 子集与真子集、集合相等的概念 2. 子集与真子集的性质 3. 会判断集合间的子集关系与相等关系 4. 注意 ? , ? , ? 及 ? 的应用 衔接性知识 1. 设一次函数 y ? 3x ? 2 与二次函数 y ? x2 图象的交点组成的集合为 A , 则集合 A 用 列举法表示为 解:由 ? ,用描述可

以表示为 ,得 ?

? y ? 3x ? 2 ?y ? x
2

?x ? 1 ?x ? 2 或? , ?y ?1 ?y ? 4

集合 A 用列举法表示为 ?(1,1) , (2 , 4)? ,用描述可以表示为 ?( x , y) ?

? ?

?x ? 1 ?x ? 2 ? 或? ? ? y ? 1 ? y ? 4?

2. 将集合 A ? ? x ? N? | 解: ?

? ?

6 ? 3? x

? N? 用列举法表示 ?

6 ? N ,?3 ? x ? ?1, ? 2 , ? 3 , ? 6 ,即 x ? 2 , 4 ,1, 5 , 0 , 6 , ? 3 , ? 9 3? x

? x ? N ? , x ? 2 , 4 ,1, 5 , 6 , ? 3 , ? 9 ,所以 A ? ?1, 2 , 4 , 5 , 6 , ? 3 , ? 9?
基础知识工具箱 要点 子集 真子集 定义 若集合 A 中的任意一个元素都是集 合 B 中的元素,则称 A 是 B 的子集 若 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 符号

A ? B (或 B ? A )

x ? A ,称 A 是 B 的真子集
A 包含于 B ( A 真包含于 B )

A ? B (或 A ? B )
A ? B ( A? B ) B ? A ( A? B )
A?B

读法 A 包含 B ( A 包含 B ) 集合相等 空集 性质 若 A ? B 且 B ? A ,则 A 与 B 相等 不含任何元素的集合叫做空集 任一个集合是它本身的子集 空集是任意集合的子集

? A? A
?? A
1

空集是任意非空集合的子集 子集具有传递性

A ? ? ??? A
A? B , B?C ? A?C
n

具有 n 个元素的集合的子集的个数为 2 个 子集的个数 具有 n 个元素的集合的真子集的个数为( 2 ? 1 )个
n

两个符号 的区别

?

用于元素与集合间的关系 用于集合与集合间的关系

?与 ?
?与

两个集合 的区别

? 表示空集,其中不含任何元素;而 ??? 是一个单元素集,不是空集。
从而 ????? , ? ? ??? , ? ? ??? 都成立

???

典例精讲剖析 例 1. 用适当的符号填空: ( 1) ? ( 3 ) {1, 2} 解: ( 1 ) ?

{x | x2 ? 2x ?1 ? 0} {x | ( x ?1)2 ( x ? 2) ? 0}
( 2) ? ( 3) ?

( 2) 1 ( 4 ) {(1, 2)}

{(1, 2)} {(1, 2) , (2 , 3)}

( 4) ?

例 2. 判断下列集合 A 与集合 B 之间的关系 ( 1 ) A ? {y | y ? 2x ?1 ?1} , B ? { y | y ? 2 x ? 3x}
2

( 2 ) A ? {x | x ? 2k ? 1, k ? Z} , B ? {x | x ? 4k ? 1, k ? Z} ( 3 ) A ? {x | x ?

1 1 1 k ? , k ? Z } , B ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } 2 4 2

解: ( 1 )由 y ? 2 x ? 1 ? 1? ? 1 ,得 A ? { y | y ? ?1}
2 2 由 y ? 2 x ? 3 x ? 2( x ?

3 3 9 9 x) ? 2( x ? ) 2 ? ? ? , 2 4 8 8

得 B ? { y | y ? ? } ,画出数轴如图

9 8

?

9 8

-1

y
2

所以 A ? B ( 2 )对于 k ? Z 时, 2 k 表示所有偶数, 4 k 表示的是 4 的整数倍数的整数(或者说被 4 整 除的整数) 。 而如果一个数是 4 的整数倍数, 那么它一定是偶数; 反之不定成立, 所以 B ? A ( 3 ) A ? {x | x ?

1 1 k ?2 k ? , k ? Z } ? {x | x ? , k ? Z} , 4 2 4 1 2(k ? 1) ? 2 B ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } ? {x | x ? , k ? Z} , 由于当 k ? Z 时,k ? 2 可 2 4

以取到所有整数, 2(k ? 1)? 2可以取到所有偶数,从而 A ? B 例 3. 已知集合 A ? { x | 1 ? 2x ? 1 ? 3} , B ? {x | a ? x ? 1} ,若 A ? B ,求实数 a 的取值 范围 解: A ? { x | 1 ? 2x ? 1 ? 3}? { , B ? {x | a ? x ? 1} ? {x | x ? a ? 1} x | 1? x ? 2}

? A ? B ,可画出数轴如图

a-1

1

?

2

?

x

? a ?1 ? 1, a ? 2
所以实数 a 的取值范围是 {a | a ? 2} 例 4. 已知集合 A ? {2 , 3 ,a2 ? 2 , B ? {2 , 5 , b ? 4} a ? 3} 若 A ? B ,求实数 a 与 b 的值 解:由集合相等,得 ?

? a 2 ? 2a ? 3 ? 5 ?b ? 4 ? 3
2

?a2 ? 2a ? 8 ? 0 ?a ? ?4或a ? 2 ?? ?? b ? ? 1 ?b ? ?1 ?
2 2

所以实数 a 的值为 ?4 或 2 , b 的值为 ?1 例 5. 已知集合 A ? { x | x ? 0 },集合 B ? {x | x ? 2(a ? 1) x ? a ?1 ? 0 } 若 B ? A ,求实数 a 的取值集合
2 解: A ? {x | x ? 0 } ? {0} , ? B ? A , ? B 可能为 ? 或 {0}

当 B ? ? 时, 方 程 x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 的 判 别 式 ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ?1) ? 8a ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2

? a ? ?1 ;
3

当 B ? {0} 时,

?? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 8a ? 8 ? 0 ? ,解得 a ? ?1 ? 2 ? ?a ? 1 ? 0
所以实数 a 的取值集合为 {a | a ? ? 1}

精练部分 A 类试题(普通班用) 1. 已知集合 A ? ? x ? N | 解:由

? ?

6 ? ? N? ? ,写出集合 A 的所有子集与真子集 3? x ?

6 ? N ? ,得 3 ? x ? 1, 2 , 3 , 6 ,? x ? 2 ,1, 0 , ? 3 ,所以集合 A ? {0 , 1 , 2} 3? x

集合 A 的所有子集有: ? , {0} , {1} , {2} , {0 ,1} , {0 , 2} , {1, 2} , {0 ,1, 2} 集合 A 的所有真子集有: ? , {0} , {1} , {2} , {0 ,1} , {0 , 2} , {1, 2} 2. 若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? a} ,集合 B ? {x | 3x ? 4 ? 7} ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范 围是 解: A ? { x | 2 x ? 1 ? a } ? {x | x ?

a ?1 } , B ? {x | ?3x ? 4 ? 7} ? {x | x ? ?1} 2

? A ? B ,?

a ?1 ? ?1 ,即 a ? ?3 ,所以实数 a 的取值范围是 {a | a ? ?3} 2

3. 已知集合 A ? {a2 ? 1, a ? 1} ,集合 B ? {1, 3 , a ? 2} ,若 A ? B ,求实数 a 的值 解:? a ? 1 ? a ? 2 ,? a ? 1 ? 1 或 3 当 a ? 1 ? 1时, a ? 2 此时, A ? {3 ,1} , B ? {1 , 3 , 4} ,满足 A ? B ; 当 a ? 1 ? 3 时, a ? 4 此时, A ? {3 ,15} , B ? {1 , 3 , 5} ,不满足 A ? B 从而实数 a 的值为 2 4. 已知集合 A ? { x | ax ? 1 ? 0}, B ? {x | x ? 4 x ? 5 ? 0}
2

4

若 A ? B ,求实数 a 的取值集合 解: B ? { x | x2 ? 4 x ? 5 ? 0} ? {x | (x ? 5)( x ? 1)? 0} ? { ? 1 , 5} 当 a ? 0 时, A ? { x | ax ? 0} ? ?,此时 A ? B ; 当 a ? 0 时, A ? {x | ax ? 1} ? {x | x ? } ? { }

1 a

1 a

? A ? B ,?

1 1 1 ? ?1 或 ? 5 , ? a ? ?1 或 a ? a a 5

从而实数 a 的取值集合为 {0 , ? 1 , 5} 5. 设集合 A ? { x | x2 ? 4 x ? 0 },集合 B ? {x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ?1 ? 0 } 若 A ? B ,求实数 a 的值 解: A ? {x | x2 ? 4 x ? 0 } ? {0 , 4} 由 A ? B 及 B 最多含有两个元素,得集合 B ? {0 , 4}

? 方程 x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ?1 ? 0 有两个相等实数根 0 与 4
即?
2 ? ?a ? ?1 ?a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 ? ? 2 2 2 a ? 8 a ? 7 ? 0 4 ? 2( a ? 1) ? 4 ? a ? 1 ? 0 ? ? ?

所以实数 a 的值为 1 B 类试题(尖子班用) 1. 若 a ?

2 ,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则下列正确个数的是( ) ① a ? A ② a ? A ③ {a} ? A ④ a ? A ⑤ {a} ? A ⑥ {a} ? A
A.1 B. 2 C. 3 解:②③⑤是正确的,所以选 C A.5 B. 6 C. 7 D. 4

2. 满足 {1, 2} 躿M ?? 1, 2 , 3, 4 , 5

? 的集合 M 的个数为(



3 解:满足条件的集合 M 的个数就是集合 ?3 , 4 , 5 ? 的非空子集的个数,即 2 ? 1 ? 7 ,选 C

D. 8

3. 下列四个集合中,是空集的是( A. {x | x ? 4 ? ?4} C. {x | a ? x ? ?a} 解 : {x ? |x ?4
2 2

) B. {( x, y) | y ? ? x , x, y ? R}
2 2

?

4 x ?}

D. {x | x ? x ? 1 ? 0} 不 x {, ? | 所? 以 0 ? }A
2







{( x, y) | y ? ? x , x, y ? R} ? {(0 , 0)} ? ? , 所 以 B 不 正 确 ; 当 a 是 负 数 时 , x2 ? x ? 1 ? 0 的差别式 ? ? (?1)2 ? 4 ?1?1 ? ?3 ? 0 , {x | a ? x ? ?a} ? ? , 所以 C 不正确; 2 2 所以方程 x ? x ? 1 ? 0 无实数根, {x | x ? x ? 1 ? 0} ? ? ,选 D
5

4.已知集合 M ? {x | y ? 合 N 的关系为( A. M ? N )

1 ? 1},集合 N ? { y | y ? ? x2 ? 4x ? 2} ,则集合 M 与集 4 ? 2x
C. M ? N D. M ? N

B. M ? N

解: M ? {x | y ?

1 ? 1} ? {x | 4 ? 2 x ? 0} ? {x | x ? 2} , 4 ? 2x

N ? { y | y ? ? x2 ? 4x ? 2} ? { y | y ? ?( x ? 2)2 ? 2} ? { y | y ? 2} ,
所以 M ? N ,选 B 5.若集合 {x ? R | a ? x ? 2a ? 4} 为空集,则实数 a 的范围是 解:由已知,得 a ? 2a ? 4 ,解得 a ? 4 ,所以实数 a 的取值范围是 {a | a ? 4} 6.若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? a} ,集合 B ? {x | 3x ? 4 ? 7} ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围 是 解: A ? { x | 2 x ? 1 ? a } ? {x | x ?

a ?1 } , B ? {x | ?3x ? 4 ? 7} ? {x | x ? ?1} 2

? A ? B ,?

a ?1 ? ?1 ,即 a ? ?3 ,所以实数 a 的取值范围是 {a | a ? ?3} 2

7. 已知集合 A ? ? x ? N | 解:由

? ?

6 ? ? N? ? ,写出集合 A 的所有子集与真子集 3? x ?

6 ? N ? ,得 3 ? x ? 1, 2 , 3 , 6 ,? x ? 2 ,1, 0 , ? 3 ,所以集合 A ? {0 , 1 , 2} 3? x

集合 A 的所有子集有: ? , {0} , {1} , {2} , {0 ,1} , {0 , 2} , {1, 2} , {0 ,1, 2} 集合 A 的所有真子集有: ? , {0} , {1} , {2} , {0 ,1} , {0 , 2} , {1, 2} 8. 已知集合 A ? {a ? 1, a ? 1} ,集合 B ? {1, 3 , a ? 2} ,若 A ? B ,求实数 a 的值
2

解:? a ? 1 ? a ? 2 ,? a ? 1 ? 1 或 3 当 a ? 1 ? 1时, a ? 2 此时, A ? {3 ,1} , B ? {1 , 3 , 4} ,满足 A ? B ; 当 a ? 1 ? 3 时, a ? 4
6

此时, A ? {3 ,15} , B ? {1 , 3 , 5} ,不满足 A ? B 从而实数 a 的值为 2 9. 已知集合 A ? { x | ax ? 1 ? 0}, B ? {x | x2 ? 4 x ? 5 ? 0} 若 A ? B ,求实数 a 的取值集合 解: B ? { x | x2 ? 4 x ? 5 ? 0} ? {x | (x ? 5)( x ? 1)? 0} ? { ? 1 , 5} 当 a ? 0 时, A ? { x | ax ? 0} ? ?,此时 A ? B ; 当 a ? 0 时, A ? {x | ax ? 1} ? {x | x ? } ? { }

1 a

1 a

? A ? B ,?

1 1 1 ? ?1 或 ? 5 , ? a ? ?1 或 a ? a a 5

从而实数 a 的取值集合为 {0 , ? 1 , 5} 10. 设集合 A ? { x | x2 ? 4 x ? 0 },集合 B ? {x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ?1 ? 0 } 若 A ? B ,求实数 a 的值 解: A ? {x | x2 ? 4 x ? 0 } ? {0 , 4} 由 A ? B 及 B 最多含有两个元素,得集合 B ? {0 , 4}

? 方程 x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ?1 ? 0 有两个相等实数根 0 与 4
2 ? ?a ? ?1 ?a ? 1 ? 0 即? 2 ,解得 a ? 1 ? ? 2 2 ? ?4 ? 2(a ? 1) ? 4 ? a ? 1 ? 0 ?a ? 8a ? 7 ? 0

所以实数 a 的值为 1

7