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8-3空间中的平行关系


高考数学总复习

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第8章 立体几何初步

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第 三 节

空间中的平行关系

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第8章

第三节

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第8章

第三节

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考纲解读 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解 空间中线面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的 平行关系的简单命题.
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考向预测 1.以选择、填空题的形式考查线与面、面与面平行关系的 判定与性质定理的内容. 2.在解答题中,除考查判定与性质定理外,还考查空间想 象能力、逻辑推理能力.
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知识梳理 1.直线与平面的位置关系 直线 a 和平面 α 的位置关系有相交、平行、在平面内,其 中平行与相交 统称直线在平面外. 2.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面 没有公共点,称这条直线与这个平面 平行; (2)判定定理:a ? α,b? α,且 a∥ b?a∥α ; (3)其他判定方法:α∥ β,a? a∥β . α?
第8章 第三节

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3.直线和平面平行的性质定理 a∥ α,a? β,α∩β=l?a∥ l . 4.两个平面的位置关系有相交、平行. 5.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a? α,b? α,a∩b=M,a∥ β,b∥ β?a∥β; (3)推论:a∩b=M,a,b? α,a′∩b′=M′,a′,b′? β, a∥ a′,b∥ b′?a∥β .
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6.两个平面平行的性质定理 α∥ β,a? a∥β ∥ β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b. α? ;α 7.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α?a∥b; (2)a⊥α,a⊥β?a∥β.
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基 础 自 测

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1.在空间,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合

)

B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行

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[答案] D
[解析] 对于 A,平行直线的平行投影可能平行,也可能重 合,对于 B、C,结合正方体图形可知都是错误的.

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2.能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( A.a ? α,b? α,a∥b B.b? α,a∥b C.b? α,c∥α,a∥b,a∥c D.b? α,A∈a,B∈a,D∈b,且 AD=BC

)

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[答案] A
[解析] ∵b? α,a∥b,∴a∥α 或 a? α. ∵a ? α.∴a∥α.
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3.(文)(2012· 山东济南模拟)平面 α∥平面 β 的一个充分条 件是( )
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A.存在一条直线 a,a∥ α,a∥ β B.存在一条直线 a,a? α,a∥ β C.存在两条平行直线 a、b,a? α,b? β,a∥ β,b∥ α D.存在两条异面直线 a、b,a? α,b? β,a∥ β,b∥ α

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[答案] D
[解析] 选项 A、B、C 为平面 α∥平面 β 的必要条件.
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(理)设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥ β 的一个充分而不必要条件是( A.m∥ β 且 l1∥ α C.m∥ β 且 n∥ β B.m∥ l1 且 n∥ l2 D.m∥ β 且 n∥ l2 )
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[答案] B
[解析] 本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件 等基础知识. 易知选项 A、C、D 推不出 α∥ β,只有 B 可推出 α∥ β,且 α∥ β 不一定推出 B, ∴B 项为 α∥ β 的一个充分而不必要条件,选 B.
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4.已知 a,b 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的 平面,下列命题中: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 a∥ b,则 α∥ γ; ②若 a,b 相交,且都在 α,β 外,a∥ α,a∥ β,b∥α,b
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∥ β,则 α∥ β;

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③若 α⊥β,α∩β=a,b? β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a? α,b? α,l⊥a,l⊥b,则 l⊥α.其中正确命题的序号 是( ) A.①②③ C.②③ B.①③ D.①②③④
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[分析] 本题是研究直线与平面的平行与垂直关系的问题, 解答时注意选择合适的图形来说明,还要能举出反例.

[答案] C
[解析] ①错误,三个平面可以两两相交且交线互相平行; ④错误,a,b 相交时结论才成立.

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5.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平 行;
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③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; ④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂 直. 上面命题中,真命题的序号________(写出所有真命题的序 ... 号).
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[答案] ①②

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[解析] 本题主要考查平面间的位置关系. 考查学生对知识 的掌握程度. ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α∥ β 是正确的;②由线面平行判定定理知②正确;③由 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,不能推出 α 和 β 垂 直; ③不正确; ④直线 l 与 α 垂直能够推出 l 与 α 内的两条直线 垂直, l 与 α 内的两条直线垂直不能推出直线 l 与 α 垂直, 而 ∴ ④不正确.
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6.如下图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、 H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点, 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________ 时,有 MN∥平面 B1BDD1.
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[答案] M∈线段FH
[解析] 因为 HN∥ BD,HF∥ DD1,所以平面 NHF ∥平 面 B1BDD1, 又平面 NHF∩平面 EFGH=FH.故线段 FH 上任意 点 M 与 N 相连,有 MN∥平面 B1BDD1,故填 M∈线段 FH.
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7. 已知正方体 ABCD-A′B′C′D′, 求证: 平面 ACD′

∥平面 A′BC′.
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[证明] ∵正方体 ABCD-A′B′C′D 中, AD′∥ BC′, CD′∥ A′B, 又∵AD′∩CD′=D′,BC′∩A′B=B, ∴平面 ACD′∥平面 A′BC′.
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直线与平面、平面与平面的位置关系
[例 1] 已知 m,n 是不同的直线,α,β 是不重合的平面, 给出下列命题: ①若 m∥ α,则 m 平行于平面 α 内的任意一条直线 ②若 α∥ β,m? α,n? β,则 m∥ n
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③若 m⊥α,n⊥β,m∥ n,则 α∥ β ④若 a∥ β,m? α,则 m∥ β 上面命题中,真命题的序号是________(写出所有真命题的 序号). [分析] 根据平行关系和判定方法,逐条确定.
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[解析] 若 m∥ α,则 m 平行于过 m 所作平面与 α 的交线, 并非 α 内任一条直线,故①错; 若 α∥ β,m? α,n? β,则可能 m∥ n,也可能 m、n 异面, 故②错; m⊥α ? ?
? m∥n? ?
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?n⊥α ? ?
? n⊥β ? ?

?α∥β ,③正确;

α∥β? ? ? ?m∥ β,④正确.故应填③④. m? ? α?

[答案] ③④
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[点评] 证明线、 面平行关系, 其主要依据为线面平行的定 义、定理、推理等.
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若有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的 是( ) A.若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ n B.若 m? α,n? α,m∥ β,n∥ β,则 α∥ β C.若 α⊥β,m? α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m ? α,则 m∥ α
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[答案] D

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[解析] 如下图(1),β∥ α,m? β,n? β,有 m∥ α,n∥ α, 但 m 与 n 可以相交,故 A 错;
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如上图(2),m∥ n∥ l,α∩β=l,有 m∥ β,n∥ β,故 B 错; 如上图(3),α⊥β,α∩β=l,m? α,m∥ l,故 C 错.故选 D. [点评] D 选项证明如下: α⊥β 设交线为 l,在 α 内作 n⊥l,则 n⊥β, ∵m⊥β,∴m∥ n,∵n? α,m ? α,∴m∥ α.
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线面平行的判定与性质
[例 2] 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一个平面内, Q 分别是对角线 AE、 上的点, P、 BD 且 AP=DQ.
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求证:PQ∥平面 CBE.
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[证明] 方法 1:如下图,作 PM∥ AB 交 BE 于点 M,作 QN∥ AB 交 BC 于点 N,则 PM∥ QN.
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PM EP QN BQ ∴ = , = , AB EA CD BD

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∵AP=DQ,∴EP=BQ, 又∵AB=CD,EA=BD, ∴PM=QN.又∵PM∥ QN, ∴四边形 PMNQ 是平行四边形, ∴PQ∥ MN. 综上所述 PQ ?平面 CBE,MN? 平面 CBE,PQ∥ MN, ∴PQ∥平面 CBE.
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方法 2:作 PR∥ BE 交 AB 于点 R 连接 QR

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AP AR ∵PR∥ BE,∴ = , PE RB 又∵两矩形全等 DQ=AP,

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AR DQ ∴BQ=PE,∴ = ,∴RQ∥ AD,∴RQ∥ BC, RB BQ ∴平面 PQR∥平面 EBC,∴PQ∥面 EBC
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[点评] 欲证 PQ∥平面 EBC,一种方法是用判定定理;另 一种方法是用面面平行的性质定理.用判定定理时,找出平面 内与 PQ 平行的直线是关键. AP DQ 由 = 可过 P、 作 AB 的平行线构造平行四边形(如证 Q AE DB 法 1).
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也可由直线 AE 与 PQ 相交确定一个平面与平面 EBC 有公共点 E,故必有一条交线,连 AQ,并延长交 BC 于 G,则只须证明 PQ∥ EG,也可由异面线段 AE,BD 上的 比例关系,找一条与二者均相交的线段,取相同的比例 AR 点构造相似关系得出平行关系, 如取 AB 上点 R, 使 = AB AP ,则平面 PRQ∥平面 EBC(即证法 2)等等. AE
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如下图所示,ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱,侧棱长为 1,底面边长为 2,E 是棱 BC 的中点.
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求证:BD1∥平面 C1DE.

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[分析] 本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应 用,考查推理论证能力实践能力及“转化”这一数学思想的应 用.“由已知想性质,由求证想判定”是证明该类问题的基本 思路.
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[证明] 证法一:连接 CD1 交 DC1 于 F,连接 EF, ∵F 是 CD1 中点,E 为 BC 中点, ∴EF∥ BD1,又 EF? 平面 C1DE,BD1 ?面 C1DE, ∴BD1∥平面 C1DE.
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证法二:取 B1C1 中点 E1,连接 D1E1,BE1, 则 D1E1∥ DE,BE1∥ C1E, ∴D1E1∥平面 C1DE,BE1∥平面 C1DE. 又 D1E1∩BE1=E1, ∴平面 BD1E1∥平面 C1DE. 又 BD1? 平面 BD1E1,∴BD1∥平面 C1DE.
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[点评] ①判定定理证线∥面是最常用方法.②可转化为 面∥面?线∥面.
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面面平行的判定与性质
[例 3] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点, E、F、G 分别是 BC、SC 和 DC 的中点,点 P 在线段 FG 上. (1)求证:平面 EFG∥平面 SDB; (2)求证:PE⊥AC.
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[解析] (1)∵E、F、G 分别为 BC、SC、CD 的中点, ∴EF∥ SB,EG∥ BD. ∵EF ?平面 SBD,EG ?平面 SBD, ∴EF∥平面 SBD,EG∥平面 SBD. ∵EG∩EF=E,∴平面 EFG∥平面 SDB.
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(2)∵B1B⊥底面 ABCD,∴AC⊥B1B. 又∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. ∴AC⊥平面 B1BDD1,即 AC⊥平面 SBD. 又平面 EFG∥平面 SBD,∴AC⊥平面 EFG. ∵PE? 平面 EFG,∴PE⊥AC.
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[点评] 面面平行的关键是在其中一个平面内找出两条相 交直线和另一个平面平行.
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如下图所示,平面 α∥平面 β,点 A∈α,C∈α,点 B∈ β, D∈β, E, 分别在线段 AB, 上, AE:EB=CF:FD. 点 F CD 且
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求证:EF∥ β.
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[分析] 首先要注意两直线 AB、CD 的位置关系,当 AB、 CD 共面时,可用平行线分线段成比例定理证明 EF∥ BD,进 而证明 EF∥ β;当 AB、CD 不共面时,可设法证明 EF 所在的 平面与平面 β 平行.
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[证明] ①当 AB,CD 在同一平面内时, 由 α∥ β,α∩平面 ABDC=AC,β∩平面 ABDC=BD, ∴AC∥ BD.∵AE:EB=CF:FD,∴EF∥ BD. 又 EF ? β,BD? β,∴EF∥ β. ②当 AB 与 CD 异面时,如下图.
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设平面 ACD∩β=DH,取 DH=AC. ∵α∥ β,α∩平面 ACDH=AC, ∴AC∥ DH.连接 AH, ∴四边形 ACDH 是平行四边形. 在 AH 上取一点 G,使 AG:GH=CF:FD, 连接 EG、FG、BH.
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又∵AE:EB=CF:FD, ∴GF∥ HD,EG∥ BH. 又 EG∩GF=G,∴平面 EFG∥平面 β. ∵EF? 平面 EFG,∴EF∥ β.综上,EF∥ β.
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[点评] 面面平行的性质定理的应用问题, 往往涉及面面平 行的判定、线面平行的判定与性质的综合应用,解题时,要准 确地找到解题的切入点,灵活地运用相关定理来解决问题,如 在本例的第二种情况中,面面平行→线面平行→平行四边形→ 线面平行→面面平行→线面平行.
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探索性问题
[例 4] 如下图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ ABC=60° ,PA=AC=a,PB=PD= 2a,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1.
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(1)证明:PA⊥平面 ABCD; (2)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?如果 存在,请求出此时 PF:FC 的值;如果不存在,请说明理由.

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[解析] (1)因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60° ,所以 AB=AD=AC=a. 在△PAB 中,由 PA2+AB2=2a2=PB2,知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD.
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(2)连接 BD,则平面 PBD 与平面 AEC 的交线为 EO,在△ PBD 中作 BM∥ OE 交 PD 于 M, BM∥平面 AEC, 则 在△PCE 中过 M 作 MF∥ CE 交 PC 于 F,则 MF∥平面 AEC,故平面 BFM∥平面 AEC,所以 BF∥平面 AEC,F 点即为所求的满足 条件的点.由条件 O 为 BD 的中点可知,E 为 MD 的中点. 又由 PE:ED=2:1,∴M 为 PE 的中点,又 FM∥ CE,故 F 是 PC 的中点,∴此时 PF:FC=1.
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(2012· 银川模拟)如下图,在四棱锥 S-ABCD 中,SA= AB=2, SB=SD=2 2, 底面 ABCD 是菱形, 且∠ABC=60° , E 为 CD 的中点.
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(1)求证:CD⊥平面 SAE; (2)侧棱 SB 上是否存在点 F,使得 CF∥平面 SAE?并证 明你的结论. [分析] (1)先利用勾股定理和线面垂直判定定理证明直 线 SA⊥底面 ABCD,再证明直线 EA⊥CD,证明直线与平面 垂直时,必须证明直线与平面内的两条相交直线垂直. (2)先回答问题,再证明充分条件.探究的点往往是特殊点 (中点).
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[证明] (1)∵ABCD 是菱形,∠ABC=60° , ∴AB=AC=AD=2,∴△ACD 为正三角形. 又 E 为 CD 的中点,∴CD⊥AE. ∵SA=AB=AD=2,SB=SD=2 2, 则有 SB2=SA2+AB2,SD2=SA2+AD2, ∴SA⊥AB,SA⊥AD. 又∵AB∩AD=A,∴SA⊥底面 ABCD,∴SA⊥CD. 由 CD⊥AE,SA⊥CD,AE∩SA=A,∴CD⊥平面 SAE.
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(2)侧棱 SB 上存在点 F,当 F 为 SB 的中点时,使得 CF∥ 平面 SAE.
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证明:取 SA 的中点 N,连接 NF,NE, 1 ∵F 为 SB 的中点,∴FN 綊 AB, 2
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又 E 为 CD 的中点,AB∥ CE, ∴FN 綊 CE,∴CFNE 为平行四边形, ∴CF∥ EN, 又∵EN? 平面 SAE,CF ?平面 SAE, ∴CF∥平面 SAE. 即当 F 为侧棱 SB 的中点时,CF∥平面 SAE.
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1.直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的转化关 系 (1)线面平行是空间中平行关系的核心,是高考考查的重 点,在应用线面平行的判定定理证明线面平行时要在平面内找 (或作)一条直线与已知直线平行, 在找(或作)这一直线时,由线 面平行的性质定理知,在平面内和已知直线共面的直线才和已 知直线平行,所以要通过平面来找(或作)这一直线.
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(2)在应用其他判定定理和性质定理时, 要注意充分利用条 件构造定理的题设,在分析思路时也要以定理作为指导,将空 间问题转化为平面问题.
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2.证明直线和平面平行的方法有: ①依定义采用反证法; ②判定定理法(线∥线?线∥面). ③面面平行性质定理(面∥面?线∥面). 3.证明平面和平面平行的方法有: ①依定义采用反证法; ②判定定理法(线∥面?面∥面). ③推论(线∥线?面∥面).
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4.直线与平面平行的关系如下所示: 在平面内作 经过直线作 线线平行 ――――→ 线面平行 ――――――――――――→ 或找一直线 或找平面与平面相交得交线 线线平行 5.线线关系或面面关系都转化为线面关系来分析解决,关 系如下所示: 判定 判定 线线平行 ??线面平行 ??面面平行 性质 性质
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8-3空间中的平行关系

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8.2 空间中的平行关系 doc

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7.3空间中平行和垂直关系

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