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高中数学课件(必修一):1.3.2函数的奇偶性

时间:2012-03-11


函数的奇偶 性



y y

函数图象关于 1 y轴对称.
O x

O

x

y y

y = f (x)
O 1 x

如何用数学语言表述函数 图象关于y轴对称呢?
O

x

2 y=x
当x1=1, x2=--1时, f(-1)=f(1) 当x1=2, x2=--2时, f(-2)=f(2) 对任意x,f(-x)=f(x)
-x x

y

y = f(x)
? x0

A(x0,f (x0))
O

x0

x

(-x0,f (x0)) 点A关于y轴的对称点A’的坐标是_____________.
点A’在函数 y = f (x) 的图象上吗? (-x0,f (-x0)) 点A’的坐标还可以表示为______________.

你发现了什么?

一、奇偶性定义
如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个

都有
那么称

f ( ? x) ? f ( x)
是 偶 函数

x,

y ? f ( x)

y

y

O x

O

x

1 f ( x) ? ( x ? 0) x

f ( x) ? x3

1 y? x

奇偶性定义
如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个

都有
那么称 y ?

f ( ? x) ? f ( x)

x,

f ( x)

是偶 函数

如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 都有

f (? x) ? ? f ( x)
是奇 函数

x,

那么称

y ? f ( x)

y

y

O

x0

x

-2

-1

O

1

x

具有奇偶性的函数,
其定义域在数轴上有怎样的特点? 函数定义域关于数“0”对称.

判断下列函数是否具有奇偶性:

(1) f ( x) ? ? x ,x ?[?3, 1]
2

(2) f ( x) ? x ?1
二、判断函数奇偶性的方法: (1)定义域是否关于原点对称?

(2) f (? x) 与

? f ( x) 是否相等?

判断下列函数是否为奇函数或偶函数:

1 (1) f ( x) ? x ? ; x

(2) f ( x) ? x ? 1 ;
2

(3) f ( x) ? ( x ? 1) .
2

注意:
1、函数的奇偶性分类: ① 奇函数 ② 偶函数 ③ 非奇非偶函数 ④ 既奇又偶函数

例1、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函 数。求证:f(x)=0

证明:因为 f(x)既是奇函数又是偶函数 所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x) 这样的函数 所以f(x)= -f(x) 有多少个呢? 所以2f(x)=0 即f(x)=0. f ( x)只是解析式的特征 , 若改变函数的定义域 , 如f ( x) ? 0, x ? [?1,1]和f ( x) ? 0, x ? {?2 ? 1, 0, 1,2, } 显然是不同的函数 , 所以具有这样但它们都 既是 奇函数又是偶函数 , 所以这样的函数有无数 多个

注意:
1、函数的奇偶性分类: ① 奇函数 ② 偶函数 ③ 非奇非偶函数 ④ 既奇又偶函数 2、既奇又偶函数的表达式为:f(x)=0,x∈A,定义 域A是关于原点对称的非空数集。 既奇又偶函数有无数多个。

例2、 若If奇函数在原点有定义,
则f(0)=?

注意:
1、函数的奇偶性分类: ① 奇函数 ② 偶函数 ③ 非奇非偶函数 ④ 既奇又偶函数 2、既奇又偶函数的表达式为:f(x)=0,x∈A,定义 域A是关于原点对称的非空数集。 既奇又偶函数有无数多个。 3、If奇函数在原点有定义,则有f(0)=0.

例3、判断 f ? x ? ? 的奇偶性?

x?

?x

注意:
1、函数的奇偶性分类: ① 奇函数 ② 偶函数 ③ 非奇非偶函数 ④ 既奇又偶函数 2、既奇又偶函数的表达式为:f(x)=0,x∈A,定义 域A是关于原点对称的非空数集。 既奇又偶函数有无数多个。 3、If奇函数在原点有定义,则有f(0)=0. 4、{0}是关于原点对称的.如 f ? x ? ? x ? ? x , 定义域是{0},f(x)=0,是既奇又偶函数。

《学习的艺术》

? P19

基础练习 1 , 3

对于定义在R上的函数 f (x),
下列判断是否正确?
若f (-2) = f (2),则函数 f (x)是偶函数. 错。 不满足任意性 若f (-2) ≠ f (2),则函数 f (x)不是偶函数.

对。

三、奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原 点对称,那么就称这个函数为奇函数.

2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么就称这个函数为偶函数.
说明:奇偶函数图象的性质可用于: a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性

《学习的艺术》

? P19

基础练习 2

? 知奇偶性,将定义域分为关于原点对称的 两部分,知其中一部分上性质和图像,能 否推出另一部分上的性质和图像?

四、奇偶函数的单调性
? 例4 设f(x)是奇函数,而且在(0,+∞) 上是减函数,证f(x) 在(-∞,0)上是减 函数。
? 例5 设f(x)是偶函数,而且在[a,b]上是减 函数,证f(x) 在[-b,-a]上是增函数。

奇同偶异

《学习的艺术》

P19

典型探究 例2 例1

小结
1、单调性: 定义域某区间,是函数的局部性质 奇偶性: 整个定义域, 是函数的整体性质 2、判断奇偶性 (1)定义法: (2)图像法: 奇函数 ? 关于原点对称
①定义域是否关于原点对称? ②f(x)与±f(-x)的关系 ?

偶函数 ? 关于y轴对称
(3)性质法:

同乘为偶,异乘为奇 同加减,奇偶性不变

六、作业:

P39

A组

6

B组 3

用6位数字表示日期,如980716表示 的是1998年7月16日。如果用这种方法表 示2009年的日期,刚全年中六个数字都不 相同的日期的多少天。

例3、判断下列函数的奇偶性

(1) f ( x) ? kx ? b

?2? f ( x) ? a

(a ? R)

1、解:当b=0时,f(x)为奇函数,当 b ? 0时,f(x)既不是奇函数,也不是 偶函数。 2、解:当a=0时,f(x)既是奇函数又 是偶函数,当a ?0时,f(x)是偶函数。

例 1 已知函数 y = f (x) 在R上是奇函数,而且 在(0,+∞)上是增函数, 证明 y = f (x) 在(- ∞,0)上也是增函数 .

例2

判断下列函数的奇偶性: ( x ? 0) , ( x ? 0), ( x ? 0).

? x2 ? x 1? x ? () 1 f ( x) ? ; (2)f ( x) ? ?0 1? x ? x ? x2 ?

答案: (1)非奇非偶(定义域关于原点不对称). (2)奇函数 .


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