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江苏省名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编4:导数及其应用

时间:2015-01-15


江苏省名校 2014 届高三 12 月月考数学试题分类汇编 导数及其应用
一、填空题 1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考)函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在区间 ? ?1, 2? 上 是减函数,则 b ? c 的最大值为 ▲ 答案: ?

15 2

2、(江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考)已知 R 上的可导函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 满 足: f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (1) ? 1 则不等式 f ( x) ? 答案: (1,??) 3、(江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)若函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c 有极值点 x1 , x2 , 且 f ? x1 ? ? x1 ,则关于 x 的方程 3 f ? x ? 答案:3 4、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)已知函数 f ?x? ? mx ? ln x ? 2 x 在定义域
2

1 e x ?1

的解是



?

?

2

? 2af ? x ? ? b ? 0 的不同实根个数是



.

内是增函数,则实数 m 的取值范围为_________ 1 答案: m≥ 2 5、 (江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) 已知函数 f ( x) ? mx3 ? nx2 的图象在点 (?1,2) 处的切线恰好与直线 3x ? y ? 0 平行,若 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上单调递减,则实数 t 的取值范围是 ▲ 答案: (1,1 ? ) 6、(江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)函数 y ? __________ 答案: (0, ) 7 、(江苏省睢宁县 菁华高级中 学 2014 届高 三 12 月学情调研)已知函数 f ( x) , g ( x) 满 足

1 e

1 ? 2 ln x 的单调减区间为 x

1 2

f (1) ? 2, f ?(1) ? 1 , g (1) ? 1 , g ?(1) ? 1 , 则函数 F ( x) ? ( f ( x ) ? 1)? g (x )的图象在 x ? 1 处的切线方
程为 ▲ .

答案:2x-y-1=0

二、解答题 1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考) 设 a ? 0 ,两个函数 f ( x) ? eax , g( x) ? b ln x 的图像关于直线 y ? x 对称. (1)求实数 a , b 满足的关系式; (2)当 a 取何值时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且只有一个零点; (3)当 a ? 1 时,在 ( ,?? ) 上解不等式 f (1 ? x) ? g ( x) ? x 2 . 解: (1)设 P( x,eax ) 是函数 f ( x) ? eax 图像上任一点,则它关于直线 y ? x 对称的点 P, (eax,x) 在 函数 g( x) ? b ln x 的图像上,? x ? b ln e
ax

1 2

? abx ,? ab ? 1 .

(2)当 a ? 0 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且只有一个零点,两个函数的图像有且只有一个交点,
ax 两个函数关于直线 y ? x 对称,? 两个函数图像的交点就是函数 f ( x) ? e ,的图像与直线 y ? x

的切点. 设切点为 A( x0,e
ax0

( x) ? aeax ,? aeax0 =1 ,? ax0 =1 ,? x0 =eax0 =e , ) , x0 =eax0 f ,

?当 a ?

(3)当 a =1 时,设 r( x) ? f (1 ? x)+g ? x ? ? x2 ? e

1 1 ? 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 有且只有一个零点 x ? e ; x0 e
1? x

? ln x ? x 2 ,则

1 1 ?1 ? r, ( x) ? -e1? x+ ? 2 x ,当 x ? ? ,1? 时, ? 2 x ? 2 ? 1 ? 1,-e1? x ? ?1 , r, ( x)<0 , x x ?2 ? 1 1,-e1? x ? 0 , r, 当 x ??1, +? ? 时, ? 2 x ? 1 ? 2 ? - ( x)<0 . x ?1 ? ? r ( x) 在 ? , ?? ? 上是减函数. ?2 ? 又 r (1) =0,? 不等式 f (1 ? x)+g ? x ? ? x2 解集是 ?1, ?? ? .
2、(江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考) 已知 f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2, (Ⅰ)对一切 x∈(0, +∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a=-1 时,求函数 f(x)在[m,m+3]( m>0)上的最值;

1 2 ? 成立。 x e ex 2 解 : ( Ⅰ ) 对 一 切 x ? (0,??), f ( x) ? g ( x) 恒 成 立 , 即 x ln x ? ax ? ? x ? 2 恒 成 立 . 也 就 是 2 a ? ln x ? x ? 在 x ? (0,??) 恒成立.………2 分 x 2 令 F ( x ) ? ln x ? x ? , x 1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)(x ? 1) ? 则 F ? ( x) ? ? 1 ? 2 ? ,……3 分 x x x2 x2 1) 上 F ? ( x) ? 0 ,在 (1 , ? ?)上 在 (0, 上 F ? ( x) ? 0 ,因此, F ( x) 在 x ? 1 处取极小值,也是最小值, 即 Fmin ( x) ? F (1) ? 3 ,所以 a ? 3 .……5 分 f ( x) ? x ln x ? x , (Ⅱ)当 a ? ?1时,
(Ⅲ)证明:对一切 x∈(0, +∞),都有 lnx+1>

f ? ( x) ? ln x ? 2 ,由 f ? ( x) ? 0 得 x ?
①当 0 ? m ?

1 . e2

………6 分

1 1 1 时,在 x ? [m, 2 ) 上 上 f ? ( x) ? 0 ,在 x ? ( 2 , m ? 3]上 上 f ? ( x) ? 0 2 e e e 1 1 因此, f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,也是最小值. f min ( x ) ? ? 2 . e e 由于 f (m) ? 0, f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ? 0 因此, f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ………8 分 1 ②当 m ? 2 时 , f ' ( x) ? 0 ,因此 f ( x)在[m, m ? 3] 上单调递增,所以 e f min ( x) ? f (m) ? m(ln m ? 1) , f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] …10 分 x 2 (Ⅲ)证明:问题等价于证明 x ln x ? x ? x ? ( x ? (0,?? )) ,………12 分 e e 1 1 由(Ⅱ)知 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x 的最小值是 ? 2 ,当且仅当 x ? 2 时取得,..14 分 e e x 2 1? x 设 G ( x) ? x ? ( x ? (0,?? )) ,则 G ? ( x ) ? x ,易知 e e e 1 Gmax ( x) ? G (1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e
但?

1 2 1 1 ?? , 从而可知对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 1 ? x ? 成立.…16 分 2 e e e ex

3、(江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考) 已知函数 f ( x) ? k[(loga x)2 ? (log x a)2 ] ? (loga x)3 ? (log x a)3 ,

g ( x) ? (3 ? k 2 )(loga x ? log x a) ,
(其中 a ? 1 ),设 t ? loga x ? log x a . (Ⅰ)当 x ? (1, a) ? (a, ??) 时,试将 f ( x ) 表示成 t 的函数 h(t ) ,并探究函数 h(t ) 是否有极值; (Ⅱ)当 x ? (1, ??) 时,若存在 x0 ? (1, ??) ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,试求 k 的范围. 解:(Ⅰ)∵ (loga x)2 ? (log x a)2 ? (loga x ? log x a)2 ? 2 ? t 2 ? 2 ,

(loga x)3 ? (logx a)3 ? (loga x ? logx a)[(loga x ? logx a)2 ? 3] ? t 3 ? 3t ,
∴ h(t ) ? ?t ? kt ? 3t ? 2k ,(t ? 2) ∴ h?(t ) ? ?3t ? 2kt ? 3 ?????? (3 分)
3 2 2

设 t1 , t2 是 h?(t ) ? 0 的两根,则 t1t2 ? 0 ,∴ h?(t ) ? 0 在定义域内至多有一解, 欲使 h(t ) 在定义域内有极值,只需 h?(t ) ? ?3t ? 2kt ? 3 ? 0 在 (2, ??) 内有解,且 h?(t ) 的值在根的
2

9 ??????????????? (6 分) 4 9 9 综上:当 k ? 时 h(t ) 在定义域内有且仅有一个极值,当 k ? 时 h(t ) 在定义域内无极值。 4 4
左右两侧异号,∴ h?(2) ? 0 得 k ? (Ⅱ)∵存在 x0 ? (1, ??) ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立等价于 f ( x) ? g ( x) 的最大值大于 0, ∵ t ? loga x ? log x a ,∴ m(t ) ? ?t 3 ? kt 2 ? k 2t ? 2k ,(t ? 2) , ∴ m?(t ) ? ?3t 2 ? 2kt ? k 2 ? 0 得 t1 ? k , t2 ? ? 当 k ? 2 时, m(t )max ? m(k ) ? 0 得 k ? 2 ; 当 0 ? k ? 2 时, m(t )max ? m(2) ? 0 得

k . 3

17 ? 1 ? k ? 2 ?????????? (12 分) 2

当 k ? 0 时, m(t )max ? m(2) ? 0 不成立 ?????????????? (13 分) 当 ?6 ? k ? 0 时, m(t )max ? m(2) ? 0 得 ?6 ? k ? 当 k ? ?6 时, m(t ) max ? m( ? ) ? 0 得 k ? ?6 ; 综上得: k ?

? 17 ? 1 ; 2

k 3

? 17 ? 1 17 ? 1 或k ? ?????????????? (16 分) 2 2
1 x

4、(江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研) 已知函数 f ( x) ? a ( x ? ) ? 2 ln x( a ? R ) (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设函数 g ( x ) ? ?

a ,至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围. x

解 :(1)由题意得,函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 易求得 f ?( x) ? a(1 ?

1 2 ax 2 ? 2 x ? a )? ? x2 x x2
2

①当 a ? 0 时, h( x) ? ax ? 2 x ? a ? 0 在 (0, ??) 恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减。??????4 分
2 ②当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a

ⅰ若 0 ? a ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 即 h( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x> a a

由 f ?( x) ? 0 即 h( x) ? 0 得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ????????7 分 ?x? a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 )和( , ? ?) a a
??????????8 分

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (0,

单调减区间为 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ) a a

ⅱ若 a ? 1 , h( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,所以 此时 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增。??????????10 分 (2)因为存在 x0 ? [1, e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,所以 ax0 ? 2ln x0 ,即 a ? ??????????12 分 令 F ( x) ?

2 ln x0 x0

2 ln x 2(1 ? ln x) 其中 x ? [1, e] , F ?( x) ? ,当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以函数 x x2

F ( x) ?

2 ln x 在 [1, e] 上是单调递增的,得 F ( x) ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 ,所以实数 a 的取值范围为 x
??????????16 分

(0, ??)

5、(江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)已知函数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 ?ln x, x ? 0

,其中 a 是实

数,设 A x1, f ? x1 ? , B x2 , f ? x2 ? 为该函数的图象上的两点,且 x1 ? x2 . ⑴指出函数 f ? x ? 的单调区间; ⑵若函数 f ? x ? 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; ⑶若函数 f ? x ? 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 答案: (1)单调减区间为 ? ??, ?1? ,单调增区间为 ? ?1,0? , ? 0, ??? ??????4 分

?

? ?

?

? ? ? f ? x2 ? ? ? ?1 (2) f ? x1
当 x ? 0 时,因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 ? 2x1 ? 2?? 2x2 ? 2? ? ?1. ???8 分

2x1 ? 2 ? 0, 2 x2 ? 2 ? 0
∴ x2 ? x1 ? 1 ? ?? ? 2 x1 ? 2? ? ? 2 x2 ? 2?? ? ? ? ? 2 x1 ? 2?? 2 x2 ? 2 ? ? 1

2

当且仅当 x1 ? ? 3 , x2 ? ? 1 时等号成立,

2

2

∴ x2 ? x1 的最小值为 1.

??????10 分

? ? ? f ? x2 ? ? ,故 x1 ? 0 ? x2 (3)当 x1 ? x2 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 时, f ? x1
当 x1 ? 0 时,函数 f ? x ? 的图象在点 x1 , f ? x1 ? 的切线方程为
2 y ?? x a ? 2 ? 2 1x ? ?? 1 ?2 x 1 ? ?

?

?

x ??1x

2 即 y ? ? 2x1 ? 2? x ? x1 ?a

1 ? x ? ln x ? 1 当 x2 ? 0 时,函数 f ? x ? 在 x2 , f ? x2 ? 切线方程为 y ? 2 x2

?

?

? 1 ? 2x ? 2 ① 1 ? 两切线重合的充要条件是 ? x2 2 ? ?ln x2 ? 1 ? ? x1 ? a ②
由①及 x1 ? 0 ? x2 知 ?1 ? x1 ? 0 由①②得 a ? x1 ? ln ? 2x1 ? 2? ?1
2
2 又 y ? x1 ,与 y ? ? ln ? 2x1 ? 2? 在 ? ?1,0? 都为减函数.

???13 分

∴ a ? ? ? ln 2 ?1, ??? 6、(江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

???16 分

x2 ? kx 2

(k为常数) ,

(1)试讨论 f ( x ) 的单调性;(2)若 f ( x ) 存在极值,求 f ( x ) 的零点个数。 解:(1)函数的定义域为 (0, ??)

f '( x) ?
2

1 x 2 ? kx ? 1 ? x?k ? x x
2

?????????2 分

方程 x ? kx ? 1 ? 0 的判别式 ? ? k ? 4 (i)当 ?2 ? k ? 2 时, ? ? 0 ,在 f ( x ) 的定义域内 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是增函数???3 分 (ii)当 k ? ?2 时, ? ? 0

若 k ? ?2 , f '( x) ?

( x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 是增函数 x

若 k ? 2 , f '( x) ? 所以 f ( x ) 是增函数

( x ? 1) 2 ,那么 x ? (0,1) ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,且 f ( x ) 在 x ? 1 处连续, x
?????????4 分

2 (iii)当 k ? ?2 或 k ? 2 时, ? ? 0 ,方程 x ? kx ? 1 ? 0 有两不等实根

x1 ?

k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 , x2 ? 2 2

2 当 k ? ?2 时, x1 ? x2 ? 0 ,当 x ? 0 时, x ? kx ? 1 ? 0 恒成立,

即 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是增函数 当 k ? 2 时, x2 ? x1 ? 0 ,此时 f ( x ) 的单调性如下表:

x
f '( x )
f ( x)

(0, x1 )

x1
0

( x1 , x2 )
?


x2
0

( x2 , ??)

?


?
增 ?????????6 分

综上:当 k ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数

当 k ? 2 时, f ( x ) 在 (0,

k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 ) ,( , ??) 是增函数, 2 2

在(

k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 , ) 是减函数???????7 分 2 2

(2)由(1)知当 k ? 2 时, f ( x ) 有极值 ∵ x1 ?

k ? k2 ? 4 2 2 ? ? ? 1 ,∴ ln x1 ? 0 2 k ? k2 ? 4 k
x12 x2 x ( x ? 4) ? kx1 ? 1 ? 2 x1 ? 1 1 ?0 2 2 2
????9 分

且 f极大 ( x) ? f ( x1 ) ? ln x1 ?

∵ f ( x ) 在 (0, x1 ) 是增函数,在 ( x1 , x2 ) 是减函数,

∴当 x ? (0, x2 ] 时, f ( x) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x ) 在 (0, x2 ] 无零点

????11 分

当 x ? ( x2 , ??) 时, f ( x ) 是增函数,故 f ( x ) 在 ( x2 , ??) 至多有一个零点????13 分 另一方面,∵ f (2k ) ? ln(2k ) ? 0 , f ( x2 ) ? 0 ,则 f ( x2 ) f (2k ) ? 0 由零点定理: f ( x ) 在 ( x2 , 2k ) 至少有一个零点 ∴ f ( x ) 在 ( x2 , ??) 有且只有一个零点 综上所述,当 f ( x ) 存在极值时, f ( x ) 有且只有一个零点。 7、(江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) 1. 已知函数 f ( x) ? ?(2m ? 2) ln x ? mx ? ??????16 分 ????????15 分

m?2 (m ? ?1) . x

(I)讨论 f ( x ) 的单调性;

? x 2 ? 2 x ? 5 ( x ? 1) ? (II)设 g ( x) ? ? 1 13 ,当 m ? 2 时, 若对任意 x1 ? (0, 2) , 存在 x2 ? [k , k ? 1] (k ?N ) , ? ( x ? 1) ? x ?2 2 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 k 的最小值.
(I)由题意函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

f ' ( x) ?

?2m ? 2 m ? 2 ( x ? 1)[mx ? (m ? 2)] ?m? 2 ? ……………2 分 x x x2 ?2 x ? 2 ' ' ' 若 m ? 0, 则f ( x) ? ,从而当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 , x2
……………4 分

此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 [1, ??)

若 m ? 0 ,则 f ' ( x) ? ①当 m ? 0 时, 1 ? 当1 ? x ? 1 ?

m( x ? 1)[ x ? (1 ? x2

2 )] m

2 2 ? 1 ,从而当 x ? 1 或 x ? 1 ? 时, f ' ( x) ? 0 , m m

2 ' 时, f ( x) ? 0 m 2 2 , ??) ,单调递减区间为 [1,1 ? ] ; m m
……………6 分

此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (1 ?

②当 ?1 ? m ? 0 时, 1 ?

2 ? 0, m

此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 [1, ??) ……………7 分 综上所述,当 ?1 ? m ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 [1, ??) ;

当 m ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (1 ?

2 2 , ??) ,单调递减区间为 [1,1 ? ] m m
……………8 分

(II)由(I)可得当 m ? 2 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在 (1, 2) 上单调递减, 所以在区间 (0, 2) 上, f ( x)max ? f (1) ? ?2 ……………10 分

由题意,对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? [k , k ? 1] ( k ? N ),使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 从而存在 x ? [k , k ? 1] ( k ? N )使 g ( x) ? ?2 , 即只需函数 g ( x) 在区间 x ? [k , k ? 1] ( k ? N )上的最大值大于-2, 又当 k ? 0 时, x ? [0,1], ?6 ? g ( x) ? ?
*

……………12 分

11 ,不符, 2

……………14 分

所以在区间 x ? [k , k ? 1] ( k ? N )上 g ( x)max ? g (k ? 1) ? k 2 ? 6 ? ?2 解得 k ? 2(k ? N ) ,所以实数 k 的最小值为3. 8、(江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试) 已知函数 f ( x ) ? ……………16 分

a ? sin x ? bx (a、b ? R) , 2 ? cos x

(I)若 f ( x ) 在 R 上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为 2680 ,试求 a 和 b 的值。 (II)若 f ( x ) 为奇函数:①是否存在实数 b ,使得 f ( x ) 在 (0,

2? 2? ) 为增函数, ( , ? ) 为减函数, 3 3 若存在,求出 b 的值,若不存在,请说明理由;②如果当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? 0 恒成立,试求 b 的取值范围。 (Ⅰ )∵ f ( x) 在 x ? R 上存在最大值和最小值, ∴b ? 0 (否则 f ( x) 值域为 R), 2y ? a a ? sin x ?1 ? sin x ? y cos x ? 2 y ? a ? sin( x ? ? ) ? ∴ y ? f ( x) ? 2 ? cos x 1? y2

? 3 y 2 ? 4ay ? a2 ?1 ? 0 ,
2 又 ? ? 4a ? 12 ? 0 ,由题意有 ymin ? ymax ?

∴a ? 2010 ; ………………… 4 分 (Ⅱ )若 f ( x) 为奇函数,∵x ? R ,∴ f (0) ? 0 ? a ? 0 , ∴ f ( x) ?

4 a ? 2680 , 3

sin x 2 cos x ? 1 ? bx , f ?( x) ? ?b, 2 ? cos x (2 ? cos)2 2 2 2 (1)若 ?b ? R ,使 f ( x) 在(0, ? )上递增,在( ? ,? )上递减,则 f ?( ? ) ? 0 , 3 3 3 2 1 ? 2 cos x ∴b ? 0 ,这时 f ?( x) ? ,当 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增。 3 (2 ? cos x) 2

当 x ? ( ? , ? ) 时 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减。 (2) f ?( x) ?

2 3

…………………9 分

?b cos2 x ? 2(1 ? 2b) cos x ? 1 ? 4b (2 ? cos x)2 △ = 4 (1 ? 2b) 2 ? b(1 ? 4b) ? 4(1 ? 3b) 1 若△ ? 0 ,即 b ? ,则 f ?( x) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立,这时 f ( x) 在 ?0,??? 上递减, 3 ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 。………………… 12 分

?

?

若 b ? 0 ,则当 x ? 0 时, ?bx ?[0, ??) ,

? sin x 3 3? ? ?? , ?, 2 ? cos x ? 3 3 ?

sin x ? bx 不可能恒小于等于 0。 2 ? cos x ? sin x 3 3? ? ?? , 若 b ? 0 ,则 f ( x) ? ? 不合题意。 2 ? cos x ? 3 3 ? 1 1 ? 3b ?0, 若 0 ? b ? ,则 f ?(0) ? 3 3 f ?(? ) ? ?b ? 1 ? 0 ,∴?x0 ? (0, ? ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 , 当 x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 递增, f ( x) ? f (0) ? 0 ,不合题意。 f ( x) ?
综上 b ? ? ,?? ? 。

?1 ?3

? ?

………………… 16 分

9、(江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? ax ,其中 a ? R, x ? R . (1) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (2) 若函数 f ( x ) 在区间(1,2)上不是单调函数,试求 a 的取值范围;

? ?f ( x( )x ? [? 1, b ]在 ) (3) 已 知 b ? ?1 , 如 果 存 在 a ? (??, ?1] , 使 得 函 数 h( x) ? f ( x)
x ? ?1 处取得最小值,试求 b 的最大值.

20.解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ,则 f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? 1,故 k ? f ?(1) ? 4 ?????2 分 又切点为 (1,1) ,故所求切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 3 ? 0 ??????4 分 (2)由题意知, f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? a 在区间(1,2)上有不重复的零点,
2



1 f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? a ? 0 , 得 (3x2 ? 1)a ? ?2 x , 因 为 3x 2 ? ?
2x ?????7 分 3x 2 ? 1

0 所 以 ,

a??

令y??

2x 2x 6 x2 ? 2 ? , 则 在区间(1,2)上是增函数, y ? ? 0 ,故 y ? ? 2 2 2 2 3x ? 1 3x ? 1 (3x ? 1) 4 4 ) ,从而 a 的取值范围是 (?1, ? ) ?????????9 分 11 11

所以其值域为 (?1, ?

(3) h( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? ax3 ? (3a ? 1) x2 ? (2 ? a) x ? a , 由 题 意 知 h( x) ? h(?1) 对 x ? [?1, b] 恒 成 立 , 即 ax3 ? (3a ? 1) x2 ? (2 ? a) x ? a ? 2a ?1 对

x ?[?1, b] 恒 成 立 , 即 ( x ? 1)[ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a)] ? 0
立 ???????????11 分 当 x ? ?1 时,①式显然成立; 当 x ? (?1, b] 时,①式可化为 ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ? 0 ②,

① 对 x ? [? 1 b, 恒 ] 成

令 ? ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ,则其图象是开口向下的抛物线,所以 ?

?? (?1) ? 0 ??13 分 ? ? (b) ? 0

即?

?4a ? 0 b 2 ? 2b ? 3 1 ?? , 其等价于 2 b ?1 a ?ab ? (2a ? 1)b ? (1 ? 3a) ? 0 ?

③ ,

因为③在 a ? (??, ?1] 时有解,所以

b 2 ? 2b ? 3 1 17 ? 1 ? (? ) max ? 1 ,解得 ?1 ? b ? , b ?1 a 2

从而 b 的最大值为

17 ? 1 ??????????????????16 分 2

10、(江苏省无锡市洛社高级中学等三校 2014 届高三 12 月联考) 已知函数

1 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 3 ,y ? 3

f ?( x) 为

满足 f ?(2 ? x) ? f ( x) 的导函数,

f ?( x) ;

f ?( x) ? 0 有解,但解却不是函数 f ( x) 的极值点.
(1)求 f ( x) ; (2)设 g ( x) ? x f ?( x) ,m>0,求函数 g ( x) 在[0,m]上的最大值; (3)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对于一切 x ? [0,1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立,求实数

t 的取值范围.
答案:

(1) f ?( x) ? x 2 ? 2bx ? c , ∵ f ?(2 ? x) ? f ?( x) ,∴函数 f ( x) 的图象关于直线 x=1 对称,b=-1. 由题意, ??2 分 ??3 分

f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? c ? 0 中 ? ? 4 ? 4c ? 0 ,故 c=1.
1 3 x ? x2 ? x ? 3 . 3
y

所以 f ( x) ?

?????????4 分

O

1 1 ?2 2

x

x= 1 2

11、(江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考)

2a , a?R . x (1)若函数 f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值. 2a 1 2a 解:(1)∵ f ( x) ? ln x ? ,∴ f ?( x) ? ? 2 . x x x
已知函数 f ( x) ? ln x ? ∵ f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数,

1 2a x ? 2 ≥0 在 [2, ??) 上恒成立,即 a ≤ 在 [2, ??) 上恒成立. 2 x x x 令 g ( x ) ? ,则 a ≤ ? g ( x)?min , x ?[2, ??) . 2 x ∵ g ( x ) ? 在 [2, ??) 上是增函数,∴ ? g ( x)?min ? g (2) ? 1 . 2
∴ f ?( x) ?

∴ a ≤1.所以实数 a 的取值范围为 (??,1] . (2)由(1)得 f ?( x) ?

x ? 2a , x ? [1, e] . x2

①若 2a ? 1 ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上是增函数. 所以 ? ? f ? x ?? ? min ? f (1) ? 2a ? 3 ,解得 a ? 2 (舍去). ②若 1≤ 2a ≤ e ,令 f ?( x) ?0 ,得 x ? 2a .当 1 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (1, 2a) 上是减函数,当 2a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (2a, e) 上是增函数. 所以 ? ? f ? x ?? ? min ? f ? 2a ? ? ln(2a) ? 1 ? 3 ,解得 a ?

3

e2 (舍去). 2

③若 2a ? e ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上是减函数. 所以 ? ? f ? x ?? ? min ? f ? e ? ? 1 ? e ? 3 ,所以 a ? e . 12、(江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考) 已知函数 f ? x ? ? a ? x ?

2a

? ?

1? ? ? ln x, x ? R . x?

⑴ 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; ⑵ 若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的单调区间; ⑶ 设函数 g ? x ? ? ? 取值范围. 解:函数的定义域为 ? 0, ?? ? ,

?

?

a .若至少存在一个 x0 ??1, ??? ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求实数 a 的 x

1 ? 1 ax 2 ? x ? a ? f ' ? x ? ? a ?1 ? 2 ? ? ? x2 ? x ? x
f ?( x) ? a(1 ? 1 2 ax2 ? 2x ? a . ) ? ? x2 x x2
???????????????????1 分

(1)当 a ? 2 时,函数 f ? x ? ? 2 ? x ?

? ?

1? ' ? ? ln x ,由 f ?1? ? 0 , f ?1? ? 3. x?

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 3? x ?1? , 即 3x ? y ? 3 ? 0 .???????????????????????????4 分

(2)函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ??? .
2 由 a ? 0 , ? ? 1 ? 4a ,

(ⅰ)若 0 ? a ?

1 , 2

由 f ' ? x ? ? 0 ,即 h ? x ? ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 或x? ; 2a 2a

由 f ' ? x ? ? 0 ,即 h ? x ? ? 0 ,得

1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 .????????6 分 ?x? 2a 2a
? 1 ? 1 ? 4a 2 ? 2a ? ? ? 1 ? 1 ? 4a 2 ? , ?? ? , ? 和? ? ? ? 2a ? ? ?

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4 a 2 ? , 单调递减区间为 ? ? . ??????????????8 分 ? ? 2a 2a ? ? 1 (ⅱ)若 a ? , h ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立,则 f ' ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立,此时 f ( x ) 在 2

? 0, ??? 上单调递增.

????????????????????????10 分

(3))因为存在一个 x0 ??1, ??? 使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? , 则 ax0 ? ln x0 ,等价于 a ? 令 F ? x? ?

ln x0 . x0

ln x , x ? ?1, ?? ? ,等价于“当 x ??1, ??? 时, a ? F ? x ?min ”. ???12 分 x 1 ? ln x ' 对 F ? x ? 求导,得 F ? x ? ? . x2
因为当 x ??1, e? 时, F ? x ? ? 0 ,
'

所以 F ? x ? 在 ?1, e? 上单调递增. 故此时 F ? x ? ? ?0, ? , e 当 x ? ? e, ??? 时, F ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, e? 上单调递减.,
'

? 1? ? ?

又 F ? x ? ? 0 ,故此时 F ? x ? ? ? 0, ? ,???????????????????14 分 综上, F ? x ? ? ?0, ? ,即 F ? x ?min ? F ?1? ? 0 ,所以 a ? 0 .?????????16 分 e

? ?

1? e?

? 1? ? ?

另解:当 x ? ?1, ?? ? 时, F ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, F ? x ? ? 0 . 即 F ? x ?min ? F ?1? ? 0 ,所以 a ? 0 . 另解: 设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? ln x , x ??1, ?? ? ,

F ' ? x? ? a ?

1 ax ? 1 ? . x x

依题意,至少存在一个 x ??1, ?? ? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于当 x ??1, ?? ? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时, ???????????????12 分

F ? ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 恒成立,所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递减,
只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,则不满足题意. ????????????13 分

1? ? a? x ? ? ax ? 1 1 a? ' ? ? (2)当 a ? 0 时, F ? x ? ? ,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? . x x a
(ⅰ)当 0 ?

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, a
'

在 ?1, ?? ? 上 F ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,由 F ?1? ? a ? 0 , 所以 F ? x ? ? 0 恒成立???????????????????????14 分 (ⅱ)当

1 ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, a

在 ?1,

? 1? ?1 ? ? ? ? 上 F ? x ? ? 0 ,在 ? , ?? ? 上 F ? x ? ? 0 , a a ? ? ? ? ? 1? ?1 ? ? 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增, ? a? ?a ?

所以 F ? x ? 在 ?1,

由 F ?1? ? a ? 0 ,所以 F ? x ? ? 0 恒成立????????????????15 分

综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) .

???????????????16 分


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