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乳山市2011—2012学年度第一学期期末检测(高二文科数学)

时间:2014-01-05


高二文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题P: ?x ? R , sin x ? 1 ,则 ? P: A.

?x ∈R,sin x ≥1 C. ?x ∈R,sin x >1 2.已知三角形三边满足条件 A.30° B. ?x ? R ,sin x ≥1 D. ?x ? R ,sin x >1

a 2 ? (b ? c) 2 ? 3 ,则∠A 等于 bc
C. 120° D. 150°

B. 60°

3. 对于实数 a , b , c ,下列命题为真命题的是 A.若 a >- b ,则 c - a < b + c C.若 a > b , c > b ,则 a > c B.若 a > b , c > b ,则 a D.若 a > b ,则 a

c >b 2

c >b c

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 4. “ m ? n ”是“方程 n m
A.充分而不必要条件 C.充要条件 5. 下列说法中,错误的是 A.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” B. x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 “ C.对于命题 p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 D.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 6. 已知{ an }是等差数列, a1 ? a10 ? 20 ,则该数列前 10 项和 S10 等于 A.64 B.100 C.110 D.120 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

高二文科数学

第 1 页 共 8 页

7.在△ABC 中,若

3 a=bsinA,则 B 为 2
B.

A.

?
3



2? 3

? 6

C.

? 3

D. ?

?
6



5? 6

8. 已知中心在原点, 焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线方程是 y ? 则此双曲线的方程为

3 焦距为 2 7 , x, 2

x2 y2 ? ?1 A. 4 3
C.

x2 y 2 ? ?1 B. 16 9
D.

y 2 x2 ? ?1 3 4

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 或者 ? ?1 4 3 3 4

? 2x ? y ? 2 ? 0, ? 9. 若实数 x , y 满足 ? y ? 4 ? 0, ,则 x 2 ? y2 的最大值为 ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A.17 B.41 C.9 D. 41

10. 已知等比数列 ?an ? 的前n项和为Sn,且S4=2,S8=6,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为 A.12 B.16 C.20 D.32

11. 关于 x 的不等式 a ? 1 x ? ?a ? 1?x ? 1 ≥0 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围是
2 2

?

?

A. ? ?

? 3 ? ,1 ? 5 ? ?

B.(-1,1)

C.(-1,1]

D. ? ?

? 3 ? ,1? ? 5 ?

12. 渔船以每小时15km的速度向东航行,行驶到A处时观测到灯塔B在北偏东60°的地方, 继续行驶4小时,测得灯塔B在北偏东15°的地方,这时渔船与灯塔B的距离为_____km. A. 30 6 C. B. 30 2 D.120 2 A 高二文科数学 第 2 页 共 8 页 北 灯塔 B 栽 倒 截 东

15 ( 6 ? 18) 2

第Ⅱ卷(非选择题
13. 在△ABC 中,已知

共 90 分)

二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.

a b c ? ? ,则∠A= cos A cos B cos C

度.

14. 已知不等式:ax2+bx+c>0 的解集为 ? x ?

? ?

? 1 ? x ? 2? ,则不等式:cx2+bx+a<0 的 3 ?

解集为 15. 在直角坐标平面上,若动点 P( x, y )

( x ? 4) 到点 F(1,0 ) 与直线 l : x ? 4 的距离之和

为 5,则点 P 的轨迹方程是_____________。 16. 已知等差数列 ?an ? 中, S n 是它的前 n 项和,若 S16 >0,且 S17 <0,则当 S n 最大时, n 的值为 .

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12 分)

cos 已知△ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, c, B, b, 已知 a, c 成等比数列, B ? b, 1 1 ? 的值; tan A tan C 20 (Ⅱ )若 ac ? ,求 a ? c 的值. 21
(Ⅰ )求

3 . 5

18 (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 (Ⅰ)求 {an } 的通项; (Ⅱ)求 a1 ? a3 ? a5 ? ?? a21 的值; (Ⅲ)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值。

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19 (本小题满分 12 分) 某污水处理厂预计 2011 年底投入 800 万元,购入一套污水处理设备,该设备每年的 运转费用是 1 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于 设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 1 万元。 (1)求该污水处理厂使用该设备 x 年的年平均费用 y (万元) ; (2)为使该污水处理厂的年平均费用最低,该污水处理厂几年后需要重新更换新的污 水处理设备? 20 (本小题满分 12 分)

? x2 y 2 ? 2 ? 1 的焦点,点 P 在椭圆上,且∠ F1 PF2 ? ,| F1F2 |? 4 , 2 3 a b y 5 3 ,求该椭圆方程. △ F PF 的面积为 1 P 3 x F1 O F2
已知 F1 , F2 是椭圆 21 (本小题满分 12 分) 过点 M (0,7) 作一条直线 l 与抛物线 x ? 4 y 交于 P, Q 两点,F 为抛物线的焦点,若
2

PF ? FQ ,求直线 l 的方程.
22 (本小题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 s n ,等比数列 {bn } 各项均为正数,

b1 ? 2, 且a2b2 ? 20, a3b3 ? 56 ;
(Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)若 范围。

1 2 2 2 ? ? ?+ ? m2 ? 1 ? 对任意正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值 n?2 s1 s2 sn

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高二文科数学答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 A 8 C 9 B 10 D 11 A 12 B

二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13 60 14

? ?x ? 3 ? x ? ?

1? ? 2?

15

y 2 ? 4x ( x ? 4)

16 8

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17 解: )由 cos B ? (Ⅰ

3 3 4 , B 为锐角且有 sin B ? 1 ? ( )2 ? 5 5 5
2

(2 分)

由 a,b,c 成等比数列得 b ? ac 及正弦定理得 于是 1 ? 1
tan A ?

2 s i n B ? s i n s i n . (4 分) A C

tan C

cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? ? sin A sin C sin A sin C sin 2 B

?

sin B 1 5 ? ? . 2 sin B sin B 4
2

(6 分)

(Ⅱ )∵ b ? ac , ac ?
2 2

20 20 2 ,∴ b ? 21 21
2

(8 分) 得a ?c ?
2 2

由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B

44 . 21

(10 分) (12 分)

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ?

44 40 ? ? 4, 21 21

a?c ? 2

18.解: (Ⅰ)? a4 ? a1 ? 3d ,∴16=25+3 d

? d ? ?3 (2 分) ? an ? 28? 3n

(4 分)

(Ⅱ) a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a21 是首项为 a1 ? 25 ,公差为-6 的等差数列, 共有 11 项,其和 S ? 11? 25 ? (Ⅲ)令 28 ? 3n ? 0得n ? 9

11?10 ? (?6) ? ?55 2

(8 分)

1 3

? 数列 {an } 的前 9 项都大于 0,从第 10 项开始小于 0,

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故当 n ? 9 时 S n 最大,

1 ? 9 ? 8 ? (?3) ? 117 (12 分) 2 1 800 ? x ? 2 x ? x ? ( x ? 1) ?1 2 19.解: (1) y ? (4 分) ( x ? 0) x x 800 ? 2.5 ( x ? 0) (6 分) 即y? ? 2 x
且最大值为 S 9 ? 25 ? 9 ? (2)由均值不等式得 y ? 当且仅当

(5 分)

x 800 x 800 ? ? 2.5 ? 2 ? ? 2.5 ? 42.5 (万元) (9 分) 2 x 2 x

x 800 ? , 2 x
(12 分)

即 x ? 40 时取到等号。 (11 分) 答:该污水处理厂 40 年后需要重新更换新设备。 20.解:设 | PF |? m, | PF2 |? n ,则由题意知 1

y
P

20 1 ? 5 3 ,∴ mn ? mn sin ? 3 2 3 3
2 2

(3 分)

F1 O F2
2 2

x

由余弦定理得 16= m ? n ? 2mn cos

?

3 68 40 2 2 2 ? ? 36 ,∴ m ? n ? 6 ∴ (m ? n) ? m ? n ? 2mn ? 3 3 由椭圆的定义知 m ? n ? 2a ,∴ a ? 3 (9 分)
又 2c ? 4 ,∴ c ? 2 (10 分)∴ b ? a ? c ? 9 ? 4 ? 5
2 2 2

,∴ m ? n ?

68 3

(6 分) (8 分)

x2 y 2 ? ?1 ∴椭圆方程为 9 5
21.解:设过点 M (0,7) 的直线为 y ? kx ? 7 , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) .

? y ? kx ? 7 2 , x ? 4kx ? 28 ? 0 . ? 2 ?x ? 4 y

(2 分)

? ? 16k 2 ? 112 ? 0 , (本题可忽略)
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∴?

? x1 ? x2 ? 4k ,① ? x1 x2 ? ?28

(4 分)

由于 x 2 ? 4 y ,故 F (0,1) , 分) (5 ∴ PF ? (?x1,1 ? y1 ), FQ ? ( x2 , y2 ?1) .

??? ?

??? ?

(6 分)

∵ PF ? FQ ,∴ PF ? FQ ? 0 得, x1 x2 ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? 0 .

??? ??? ? ?

x1 x2 ? ( k x? 6 ) ( k x? 6 ) , ? 0 1 2

(1 ? k 2 ) x1x2 ? 6k ( x1 ? x2 ) ? 36 ? 0 ,
将①代入即得 k ? ? 2 ∴

(8 分)

(10 分)

直线 l 的方程为 y ? ? 2x ? 7 .(12 分)

22.解(Ⅰ)设 {an } 的首项为 a1 , {bn } 的公比为 q

?(a1 ? 2) ? 2q ? 20 (1 分) an ? a1 ? 2(n ?1), bn ? 2qn?1 ,依题意有 ? 2 ?(a1 ? 4) ? 2q ? 56
解得 ?

?q ? 2 ? a1 ? 3

(4 分)

故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 2 n

(6 分)

(Ⅱ) S n ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ,∴

1 1 2 2 = ? (8 分) ? sn n(n ? 2) n n ? 2



2 2 2 ? ? ?+ = s1 s2 sn

(1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 ? ? ? )?( ? ? ? ) 1? ? ? ? ? ? (10 分) 2 n 3 4 n?2 2 n ?1 n ? 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 2 问题等价于:任意正整数 n 有 m ? 1 ? ? 恒成立; (11 分) 2 n ?1 3 1 当 n ? 1 时, ? 的最小值为 1 (12 分) 2 n ?1
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? m2 ? 1 ? 1

? m2 ? 2
(14 分)

?? 2 ? m ? 2

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