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三角函数高考复习题及详解


三角函数
1.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

) ? sin(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? m ,x∈R,且 f(x)的最大值为 1. 3 3

?

(1) 求 m 的值,并求 f(x)的单调递增区间; (2) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边

a、b、c,若 f ( B) ? 3 ?1,且 3 a ? b ?c ,试判断△ABC 的形状.
解:(1) f ( x) ? sin 2x ? 3 cos2x ? m ? 2sin(2 x ?

?
3

) ? m ……………………3 分

因为 f ( x)max ? 2 ? m, 所以 m ? 1 ,…………………………………………………………4 分 令–

? ? ? 5? ? , k? ? ] (k∈Z)………6 分 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ 得到:单调增区间为 [ k? ? 12 12 2 3 2

( 无(k∈Z)扣 1 分) (2) 因为 f ( B) ? 3 ?1,则 2sin(2 B ?

?
3

) ? 1 ? 3 ? 1 ,所以 B ?

?
6

………………8 分

又 3a ? b ? c ,则 3 sin A ? sin B ? sin C , 3 sin A ?

1 5? ? sin( ? A) 2 6

化简得 sin( A ?

?
6

)?

? 1 ,所以 A ? ,…………………………………………………12 分 3 2

所以 C ?

? ,故△ABC 为直角三角形.…………………………………………………14 分 2

π 2.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A >0,? >0,| ? | < ) 的图像与 y 轴的交点为(0,1) ,它在 y 轴右侧的 2

第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x0 , 2) 和 ( x0 ? 2π, ?2). (1)求 f ( x) 的解析式及 x0 的值; (2)若锐角 ? 满足 cos? ? 的值. 解: (1)由题意可得 A ? 2,
1 ,求 f (4? ) 3

1 T 2π ? 2π,T =4π, ? 4π 即 ? ? , 2 2 ?

1 π π f ( x) ? 2sin( x ? ? ), f (0) ? 2sin ? ? 1, 由 | ? | < ,?? ? . 2 2 6 1 π 1 π 1 π π 2π ? ? f ( x ) ? 2sin ? x ? ? f ( x0 ) ? 2sin( x0 ? ) ? 2, 所以 x0 ? ? 2kπ+ , x0 ? 4kπ+ (k ? Z), 6? 2 6 2 6 2 3 ?2

又? x0 是最小的正数,? x0 ?

2π ; 3

π 1 2 2 , (2)?? ? (0, ), cos ? ? ,? sin ? ? 2 3 3 7 4 2 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , 9 9

π 4 2 7 4 6 7 f (4? ) ? 2sin(2? ? ) ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 3 ? ? ? ? . 6 9 9 9 9

3.已知函数 f (x)=sin (2 x+ )+sin(2 x ? )+2cos2 x ? 1 , x ? R . 3 3 (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)当 x ?[ ?

?

?

? ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的值域以及函数 f ( x) 的单调区 间. 4 4

( 1)f (x)=sin2x+cos2x = 2 sin (2x+ 3、

?
4

) ? T =?

(2)因为 2x+

?

? ? 2 ? ? ? 3 ? ,1? ? ? ? , ? ? ,所以 sin (2x+ ) ? ? ? 4 4 ? 4 4 ? ? 2 ?

,所以 f (x) ? ? ?1, 2 ?

?

?

函数的增区间为 ? ?

? ? ?? ?? ? ? , ? ,减区间为 ? , ? ? 4 8? ?8 4?

3 sin 2? x ? cos 2 ? x ,其中 0 ? ? ? 2 ; 2 (1)若 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,求 f ( x ) 的单调增区间; (7 分) ? (2)若函数 f ( x ) 的图象的一条对称轴为 x ? ,求 ? 的值. (7 分) 3 3 1 ? cos2?x ?? 1 ? 4(1) f ( x) ? sin 2?x ? ? sin ? 2?x ? ? ? . 2 2 6? 2 ? 2? ? T ? ? , ? ? 0,? ? ? ,? ? ? 1. 2? ? ? ? ? ? 令 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z , 得, ? ? k? ? x ? ? k? , k ? z , 2 6 2 3 6 ? ? ? ? 所以, f ( x) 的单调增区间为: ?? ? k? , ? k? ?, k ? Z . 6 ? 3 ? ? ?? 1 ? (2)? f ( x) ? sin? 2?x ? ? ? 的一条对称轴方程为 . 3 6? 2 ? ? ? ? 3 1 ? 2? ? ? ? ? k? , k ? z. ? ? ? k ? . 3 6 2 2 2 1 1 又 0 ? ? ? 2 ,? ? ? k ? 1. ? k ? 0,? ? ? . 3 2 ? ? ? ? 1 ?? 1 若学生直接这样做:? f ( x) ? sin? ? 2?x ? ? ? 的一条对称轴方程为 . ? 2? ? ? ? . ? ? ? . 3 6 2 2 3 6? 2 ?
4.(文)设函数 f ( x) ?

5. (文)已知 a, b, c 分别为△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边长,且 a cos B ? b cos A ?

3 c. 5

(1)求:

tan A 0 的值; (2)若 A ? 60 , c ? 5 ,求 a 、 b . tan B a b c 3 ? ? 得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C , sin A sin B sin C 5

5 解: (1)由正弦定理

又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B , 所 以

2 8 sin A cos B ? sin B cos A , 可 得 5 5

tan A sin A cos B ? ?4 tan B sin B cos A 1 3 3 4 19 , cos A ? , tan A ? 3 ,得 tan B ? ,可得 cos B ? , 2 4 2 19 3 ? 19 5 3 ? 19 . sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? , sin B ? 19 38
(2)若 A ? 60 ,则 sin A ?
0

由正弦定理

a b c c c ? ? ? sin A ? 19 , b ? ? sin B ? 2 得a ? sin A sin B sin C sin C sin C

6.已知 a 、 b 、 c 是 △ ABC 中 ? A 、 ? B 、 ?C 的对边, a ? 4 3 , b ? 6 , cos A ? ? (1)求 c ; (2)求 cos( 2 B ?

?
4

1 . 3

) 的值.
2 2 2

【解】 (1)在 △ ABC 中,由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A

1 48 ? 36 ? c 2 ? 2 ? c ? 6 ? (? ) 即 c 2 ? 4c ? 12 ? 0 , (c ? 6)(c ? 2) ? 0 ,解得 c ? 2 3 1 a b 2 2 ? (2)由 cos A ? ? ? 0 得 A 为钝角,所以 sin A ? 由正弦 定理,得 3 sin A sin B 3 2 2 6? b ? sin A 3 ? 6 由于 B 为锐角,则 cos B ? 3 ? 则 sin B ? a 3 3 4 3 2 1 6 3 2 2 ? ? sin 2B ? 2 sin B ? cos B ? 2 ? ? ? 3 3 3 3 3 ? 2 2 1 2 2 4? 2 所以 cos( 2 B ? ) ? (cos2 B ? sin 2 B) ? (? ? )? 4 2 2 3 3 ? ? ? ?6 7.已知 a ? (2cos x,1) ,b ? (cos x, 3sin 2x) ,其中 x ? R .设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的最小正周期、最 cos 2 B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 1 ? 2 ?
大值和最小值. 解:由题意知 f ( x) ? a ? b ? 2cos2 x ? 3sin 2x ? 2 ?

? ?

cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2x 2

2? ?? ? ?? ? cos 2x ? 3 sin 2x ? 1 ? 2sin ? 2x ? ? ? 1 ∴最小正周期 T ? 2 6? ? ? ? 当 2x ? ? ? 2k? ,即 x ? ? ? k? , ? k ? Z ? 时, f ( x)max ? 2 ? 1 ? 3 6 2 6 ? 3? ? 2k? ,即 x ? 2? ? k? , ? k ? Z ? 时, f ? x ?min ? ?2 ? 1 ? ?1 当 2x ? ? 6 2 3

8.已知函数 f ( x ) ? cos( x ? ) , (1)若 f (? ) ?

π 4

7 2 ,求 sin 2? 的值; 10
? ?

(2)设 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ? ? ? ,求 g ( x) 在区间 ? ? π , π ? 上的最大值和最小值. ? ? ? 6 3? 2
? ?

π 7 2 2 7 2 f (? ) ? cos(? ? ) ? (cos ? ? sin ? ) ? 4 10 ,则 2 10 , 解: (1)因为

cos ? ? sin ? ?
所以

7 49 24 sin 2? ? 2 2 5 . 平方得, sin ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? = 25 ,所以 25 .

π? ? π π g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ? ? cos( x ? ) ? cos( x ? ) 2?= ? 4 4 (2)因为 2 2 (cos x ? sin x) ? (cos x ? sin x) 2 2

=

=

1 (cos 2 x ? sin 2 x) 2

=

1 cos 2 x 2

.

? π π? ? π 2π ? 1 x ? ?? , ? 2 x ? ?? , ? ? 6 3 ? 时, ? 3 3 ? .所以,当 x ? 0 时, g ( x) 的最大值为 2 ; 当

x?


π 1 ? g ( x ) 3 时, 的最小值为 4 .

9.已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) , x ? R . (1)请指出函数 f ( x) 的奇偶性,并给予证明;

? ?? ? 时,求 f ( x) 的取值范围. ? 2? 2 ? ?? 1 解: f ( x) ? sin? 2 x ? ? ? 2 4? 2 ?
(2)当 x ? ?0, (1)? f ? ?

(3 分)

2 ?1 ? ?? 1 ?? ? (3 分) ? ? f ? ? ,? f ( x) 是非奇非偶函数. ?? ?? 2 ? 8? 2 ?8? 注:本题可分别证明非奇或非偶函数,如? f (0) ? 1 ? 0 ,? f ( x) 不是奇函数. 2 ?? ? ? 5? ? ? ?? ,得 ? 2 x ? ? ,? ? sin? 2 x ? ? ? 1 . ? 4 4 4 2 4? ? 2? ?
(4 分)

(2)由 x ? ?0, 所以 0 ?

? 2 ? 1? 2 ? ?? 1 2 ?1 .即 f ( x) ? ?0, sin? 2 x ? ? ? ? ?. 2 ? 2 4? 2 2 ? ?




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