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命题及其关系、充要条件

时间:2016-10-01


高考调研

新课标版 ·高三数学(理)

第 2 课时

命题及其关系、充要条件

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201

4?考纲下载

1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆 否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

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请注意!

以选择题或填空题为主要题型,一般为容易题或中等题,近 两年的新课标高考题多为对充要条件的考查, 少数涉及到四种命 题及其真假的判断.

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1.命 题 用 语 言 、 符 号 或 式 子 表 达 的 , 可 以 命 题 . 2.四 种 命 题 及 其 关 系 1 () 原 命 题 为 命 题 为 “若 p 则 q”, 则 它 的 逆 命 题 为

判断真假 的 陈 述 句 叫 做

若q则p

;否

若綈p则綈q ; 逆 否 命 题 为

若綈q则綈p .
否命题 等

2 () 原 命 题 与 它 的 价 .

逆否命题 等 价 ; 逆 命 题 与 它 的

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3.充 分 条 件 与 必 要 条 件 1 () 若 2 () 若 , 则 p是q的 充 分 非 必 要 条 件 . , 则 p是q的 必 要 非 充 分 条 件 .

3 () 若 p?q且q?p , 则 p是q的 充 要 条 件 . 4 () 若 , 则 p是q的 非 充 分 非 必 要 条 件 .

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1.以下命题: ①“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)也 是 奇 函 数 ”的逆命题;

②“若 x,y 是偶数,则 x+y 也是偶数”的否命题; ③“正三角形的三个内角均为 60° ”的否命题; ④“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的 逆 否 命 题 ; 真命题的序号是________.

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答案

①③④

解析 对于④, 只 需 证 明 原 命 题 为 真 , +b+c)2=9.

∵a+b+c=3,∴(a

∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=9,从而 3(a2+b2+c2)≥9, ∴a2+b2+c2≥3 成立.

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2.2 (0 1 3 ·

安徽)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( B.必要不充分条件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

)

A. 充 分 不 必 要 条 件 C.充分必要条件
答案 B

1 1 解析 由(2x-1)x=0 可得 x=2或 0, 因 为 “x=2或 0”是“x =0”的必要不充分条件,故选 B.

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3.0<x<2 是不等式|x+1|<3 成 立 的 ( A. 充 分 不 必 要 条 件 C.充要条件
答案 解析 A 由|x+1 < |3 , 得 - 4<x< 2 .

)

B.必要不充分条件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

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4. 等 比 数 列

{an}中 , “a1<a3”是“a5<a7”的(

)

A. 充 分 而 不 必 要 条 件 B. 必 要 而 不 充 分 条 件 C. 充 要 条 件 D. 既不 充 分 又 不 必 要 条 件
答案 C

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5. 写 出 下 列 命 题 的 否 定 形 式 和 否 命 题 : 1 () 若 xy=0, 则 x,y 中 至 少 有 一 个 为 零 ; 2 () 若 a+b=0, 则 a,b 中 最 多 有 一 个 大 于 零 ; 3 () 若 四 边 形 是 平 行 四 边 形 , 则 其 相 邻 两 个 内 角 相 等 ; 4 () 有 理 数 都 能 写 成 分 数 .
答案 略

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解 析 1 () 否 定 形 式 : 若

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xy=0, 则 x ,y 都 不 为 零 .

否 命 题 : 若

xy≠0, 则 x ,y 都 不 为 零 . a+b=0, 则 a,b 都 大 于 零 .

2 () 否 定 形 式 : 若 否 命 题 : 若

a+b≠0, 则 a,b 都 大 于 零 .

3 () 否 定 形 式 : 若 四 边 形 是 平 行 四 边 形 , 则 它 的 相 邻 内 角 不 都 相 等 . 否 命 题 : 若 四 边 形 不 是 平 行 四 边 形 , 则 它 的 相 邻 内 角 不 都 相 等 . 4 () 否 定 形 式 : 有 理 数 不 都 能 写 成 分 数 . 否 命 题 : 非 有 理 数 不 都 能 写 成 分 数 .
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例1

写 出 下 列 命 题 的 逆 命 题 、 否 命 题 及 逆 否 命 题 , 并 分 别

判 断 四 种 命 题 的 真 假 . 1 () 末 位 数 字 是 0的 整 数 是 5的 整 数 倍 ;

2 () 在△ABC 中 , 若 AB>AC, 则 ∠C>∠B; 3 () 若 x2-2x-3 > 0 , 则 x < -1 或 x > 3 .

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【 解 析 】 5的 整 数 倍 . 逆 命 题 : 若 一 个 整 数 是

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1 () 原 命 题 : 若 一 个 整 数 的 末 位 数 字 是

0, 则 它 是

5的 整 数 倍 , 则 它 的 末 位 数 字 是 0, 则 它 不 是

0 . 5的 整 数

否 命 题 : 若 一 个 整 数 的 末 位 数 字 不 是 倍 . 逆 否 命 题 : 若 一 个 整 数 不 是 是0 .

5的 整 数 倍 , 则 它 的 末 位 数 字 不

这 里 , 原 命 题 与 逆 否 命 题 为 真 命 题 , 逆 命 题 与 否 命 题 是 假 命 题 .
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2 () 逆 命 题 : 在 否 命 题 : 在 逆 否 命 题 : 在

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△ABC 中 , 若 ∠C>∠B, 则 AB>AC. △ABC 中 , 若 AB≤AC, 则 ∠C≤∠B. △ABC 中 , 若 ∠C≤∠B, 则 AB≤AC.

这 里 , 四 种 命 题 都 是 真 命 题 . 3 () 逆 命 题 : 若 否 命 题 : 若 逆 否 命 题 : 若 - x<-1 或 x>3, 则 x2-2x-3 > 0 . x2-2x-3≤0, 则 - 1≤x≤3 . 1≤x≤3, 则 x2-2x-3≤0 .

这 里 , 四 种 命 题 都 是 真 命 题 .
【答案】 略
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探究 1 写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题,关键 是找出原命题的条件 p 与结论 q,将原命题写成“若 p,则 q” 的 形 式 . 在 2 () 中 , 原 命 题 有 大 前 提 “在△A B C 中”, 在 写 出 它 3 () 中

的 逆 命 题 、 否 命 题 和 逆 否 命 题 时 , 应 当 保 留 这 个 大 前 提 . “x< - 1 或 x>3” 的 否 定 形 式 是 1≤x≤3”.

“x≥ - 1 且 x≤3” ,即 “ -

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思考题 1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命 题,并判断它们的真假. 1 () 面 积 相 等 的 两 个 三 角 形 是 全 等 三 角 形 . 2 () 若 q<1, 则 方 程 x2+2x+q=0 有实根.

3 () 若 x2+y2=0,则实数 x,y 全为零.
【解析】 1 () 逆 命 题 : 全 等 三 角 形 的 面 积 相 等 . 真 命 题 . 否 命 题 : 面 积 不 相 等 的 两 个 三 角 形 不 是 全 等 三 角 形 . 真 命 题 . 逆否命题:两个不全等的三角形的面积不相等.假命题.

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2 () 逆 命 题 : 若 方 程

x2+2x+q=0 有实根,则 q< 1 . 假命题.

否命题:若 q≥1,则方程 x2+2x+q=0 无实根.假命题. 逆 否 命 题 : 若 方 程 3 () 逆 命 题 : 若 实 数 x2+2x+q=0 无 实 根 , 则 有 q≥1.真命题.

x,y 全为零,则 x2+y2=0.真命题.

否命题:若 x2+y2≠0,则实数 x,y 不全为零.真命题. 逆否命题:若实数 x,y 不全为零,则 x2+y2≠0.真命题.
【答案】 略

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例2

判 断 下 列 各 题 中 ,

p是q的 什 么 条 件 ?

1 () p:a>b,q:a>b-1; 2 () p:a>b,q:lga> g l b; 3 () p:a>b,q:2a>2b; 4 () p:a>b,q:a2>b2.

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【解析】 1 () p?q,p 2 () q?p,p

q,∴p 是 q 的充分不必要条件.

q,∴p 是 q 的必要不充分条件.

3 () p?q,且 q?p,∴p 是 q 的充要条件. 4 () p q,q p,∴p 是 q 的非充分非必要条件.
件;2 () 必 要 不 充 分 条 件 ;

【答案】 1 () 充 分 不 必 要 条 3 () 充 要 条 件 ;

4 () 既 不 充 分 又 不 必 要 条 件

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探究 2 判定充要条件应注意: 1 () 弄 清 条 件 p 和结论 q 分别是什么?

2 () 尝试 p?q,q?p. 3 () 一 定 要 熟 悉 命 题 内 容 涉 及 到 的 知 识 .

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思考题 2 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件? 1 () p:x2-2x-3≥0,q:x≤1 或 x≥2; 3 2 () p:△ABC 中,∠A≠60° ,q:n s i A≠ 2 ; 3 () 在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:n s i A=n s i B; 4 () 非 空 集 合 5 () 对 于 实 数 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B; x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6.

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【 解 析 】

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1 () p:x≤-1 或 x≥3,∴p?q, 但 q

p, 故 p

是q的 充 分 不 必 要 条 件 . 2 () p q,q?p,∴p 是 q 的 必 要 不 充 分 条 件 . n s i A=n s i B, 1 8 0 ° ) , 所 以 只

3 () 在△ABC 中 ,∠A=∠B?n s i A=n s i B, 反 之 , 若 因 为 A与B不 可 能 互 补 (因 为 三 角 形 三 个 内 角 和 为

有 A=B.故 p 是 q 的 充 要 条 件 . 4 () 显 然 x∈A∪B 不 一 定 有 所 以 p是q的 必 要 不 充 分 条 件 . x∈B, 但 x∈B 一定 有 x∈A∪B,

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5 () 易 知 , 綈 p:x+y=8,綈 q:x=2 且 y=6, 显 然 綈 q?

綈 p, 但綈p

綈 q, 即 綈 q 是綈 p 的 充 分 不 必 要 条 件 , 根 据 原

命 题 和 逆 否 命 题 的 等 价 性 知 ,

p是q的 充 分 不 必 要 条 件 .

【答案】 1 () 充 分 不 必 要 条 件 ; 3 () 充 要 条 件 ; 5 () 充 分 不 必 要 条 件
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2 () 必 要 不 充 分 条 件 ;

4 () 必 要 不 充 分 条 件 ;

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例 3 设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0, 其 中 a>0;q:实 数x
2 ? x ? -x-6≤0, 满足? 2 ? > 0 . ?x +2x-8

若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

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【 解 析 】

设p是q的 必 要 不 充 分 条 件 , 即

q?p,p

q.

设 A = {x|p(x)} = {x|x2 - 4a x + 3a 2 < 0 } = {x|a<x<3a} , B =
2 ? x -x-6≤0,? ? ? ?? ? ? ?x?? ?={x2 {x|q(x)}=? |< 2 ? ? ? ? > 0 ?x +2x-8 ?

x≤3 }, 则

? ?a<2, B? A, ∴? ? ?3a>3

?

1 < a<2, 又 当 a=2 时 也 满 足 ∴1 < a≤2 .所 以 实 数
【答案】 1 ( 2 ,]

B? A. 1 ( 2 ,] .

a的 取 值 范 围 是

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探究 3

1 () 充 要 条 件 可 以 渗 入 到 数 学 各 个 分 支 题 型 灵 活 多

变 , 但 万 变 不 离 其 宗 , 只 要 紧 扣 定 义 , 结 合 其 他 知 识 , 便 可 迎 刃 而 解 . 2 () 本 例 涉 及 参 数 问 题 , 直 接 解 决 较 为 困 难 , 先 用 等 价 转 化 思 想 , 将 复 杂 、 生 疏 的 问 题 化 归 为 简 单 、 熟 悉 的 问 题 般 地 , 在 涉 及 字 母 参 数 的 取 值 范 围 的 充 要 关 系 问 题 中 , 常 常 要 利 用 集 合 的 包 含 、 相 等 关 系 来 考 虑 , 这 是 破 解 此 类 问 题 的 关 键 . 来 解 决 . 一

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思考题 3 1 () 已知 p:-4<x-a<4,q:(x-2 ( · ) x-3 < )0 且 q 是 p 的充分条件,则 a 的取值范围为______.



【解析】 设 q,p 表示的范围为集合 A,B, 则 A=2 ( 3 ,) ,B=(a-4,a+4).

因为 q 是 p 的充分条件,则有 A?B,
? ?a-4≤2, 则? ? ?a+4≥3,

所以-1≤a≤6.

【答案】

-1≤a≤6

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2 () 已知 p:4x+m<0,q:x2-x-2 > 0 ,若 p 是 q 的一个充分 不必要条件,求 m 的取值范围.

【 解 析 】

m m ∵4x+m<0,∴x<- 4 ,∴p:x<- 4 .

∵x2-x-2 > 0 ,∴x<-1 或 x> 2 . ∴q:x<-1 或 x> 2 . m ∵p?q,∴- 4 ≤-1,∴m≥4 . 即m的 取 值 范 围 是
【答案】

[4, + ∞) .

[4,+∞)

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1.命题真假的判断 1 () 对 于 一 些 简 单 命 题 , 若 判 断 其 为 真 命 题 需 推 理 证 明 . 若 判断其为假命题只需举出一个反例. 2 () 对 于 复 合 命 题 的 真 假 判 断 应 利 用 真 值 表 . 3 () 也 可 以 利 用 题的真假. “互为逆否命题”的等价性,判断其逆否命

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2. 充 分 、 必 要 条 件 的 判 定 方 法 1 () 定 义 法 . 2 () 传 递 法 . 3 () 集 合 法 : 若

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p以 集 合 A的 形 式 出 现 ,

q以 集 合 B的 形 式 出

现 , 即 A={x|p(x)},B={x|q(x)}, 则 ①若 A?B, 则 p是q的 充 分 条 件 ; ②若 B?A, 则 p是q的 必 要 条 件 ;

③若 A=B, 则 p是q的 充 要 条 件 . 4 () 等 价 命 题 法 : 利 用 原 命 题 和 逆 否 命 题 是 等 价 的 这 个 结 论 , 有 时 可 以 准 确 快 捷 地 得 出 结 果 , 是 反 证 法 的 理 论 基 础 .
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1.2 (0 1 3 ·

陕西)设 z 是 复 数 , 则 下 列 命 题 中 的 假 命 题 是

(

)

A. 若 z2≥0, 则 z是 实 数 B. 若 z2<0, 则 z是 虚 数 C. 若 z是 虚 数 , 则 D. 若 z是 纯 虚 数 , 则
答案 C

z2≥0 z2<0

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解析

实数可以比较大小,而虚数不能比较大小,设 z=a
2 2 2 2

+bi(a,b∈R),则 z =a -b +2abi,由 z 则 b=0, 故 选 项 项 D 为真. A为 真 , 同 理 选 项

? ?ab=0, ≥0,得? 2 2 ? a - b ≥0, ?

B也 为 真 ; 选 项

C为 假 , 选

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2.设 a,b 是 向 量 , 命 题 是( )

“若 a=-b,则|a|=|b|”的 逆 命 题

A.若 a≠-b,则|a|≠|b| B.若 a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b
答案 D

解析

只需将原命题的结论变为新命题的条件, 同时将原命

题的条件变成新命题的结论即可,即“若|a|=|b|,则 a=-b”.
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π 3.“α=6+2kπ ( k∈Z)”是“c o s 2 A. 充 分 而 不 必 要 条 件 C. 充 分 必 要 条 件
答案 A

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1 α=2”的(

)

B. 必 要 而 不 充 分 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

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π π 解析 由 α=6+2kπ(k∈Z),知 2α=3+4kπ(k∈Z), 则c o s 2 当c o s 2 π 1 α=c o s 3=2成立, 1 π π α=2时,2α=2kπ±3,即 α=kπ±6(k∈Z),

故选 A.

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4.2 (0 1 3 · 山东)给 定 两 个 命 题

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p,q.若綈 p 是 q 的 必 要 而 不 充

分 条 件 , 则

p 是綈 q 的(

)

A. 充 分 而 不 必 要 条 件 B. 必 要 而 不 充 分 条 件 C. 充 要 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

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答案

A

解析 由 q?綈 p 且綈 p

q 可得 p?綈 q 且綈 q

p, 所 以 p

是綈 q 的充分而不必要条件.

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5. 下 面 四 个 条 件 中 , 使

a>b 成 立 的 充 分 而 不 必 要 的 条 件 是 ( )

A.a>b+1 C.a2>b2

B.a>b-1 D.a3>b3

答案

A

解析 由 a>b+1,得 a>b+1>b,即 a>b,而由 a>b 不 能 得 出 a>b+1, 因 此 , 使 A.
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a>b 成立的充分不必要条件是 a>b+1,选

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