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竞赛数学不等式完整版

时间:2015-01-25


不等式证明的基本技巧
数学竞赛的历史,可以追溯到 16 世纪意大利求解三次方程“擂台战” 。而 1894 年匈牙利举办的全国中学数学竞赛,可以说是开中学生数学竞赛的先河。 中国的少年在 IMO 上屡屡夺标, 不仅展示了炎黄子孙的才能和苦学精神,而且肯 定了中国在数学教学和奥林匹克数学培训中的可贵经验。如果说,一名中学生, 他有可能选择是否接受竞赛数学的培训, 那作为一名

中学数学老师没有理由对中 学数学中这块领域毫无所知, 所以作为师范生的我们有必要学好数学竞赛这门课 程。 在学习竞赛数学这门课程过程中,我比较注重它的思想和方法,课余时间我 还会借阅有关课外书籍, 这些有富于我们数学创造力和思维能力的提高。对于不 等式部分我很感兴趣, 并做了一些研究。竞赛数学中的不等式问题按范围可分为 代数不等式、三角不等式与几何不等式,按可形式分为不等式求解、不等式证明 与不等式应用, 这些都是属于竞赛数学中较重要的部分。下面就不等式证明这一 部分我给大家做一些介绍。 证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已知的恒不等式, 进行合乎逻 辑的等价变换。不等式证明基本方法与技巧主要有比较法、放缩法、代换法、分 析综合法、反证法、数学归纳法、配方与判别式法、构造法、导数法、辅助函数 法公式法、调整法等。下面举例说明证明不等式的常用技巧。 例1 证
? a?b?c 3 ? ? a?b ? 3? ? abc ? ? 2? ? ab ? 3 ? ? ? 2 ? =?a ? b ? c ? ? ?a ? b ? ? 33 abc ? 2 ab =c ? 33 abc ? 2 ab.

? a?b ? ? a?b?c 3 ? 设 a,b,c 为正数,证明 2? ? ab ? ? 3? ? abc ? . 3 ? 2 ? ? ?

设x=6 ab,y=3 c,则x ? 0,y ? 0, c ? 33 abc ? 2 ab= y ? 3 x ? 2 x
2
3 2

3

3

=y ? x y?2x y?2x
2 2 2 2 =? y ? x ?? ? y ? xy ? 2 x ? ? ? ? =? y ? x ?? y ? x ?? y ? 2 x ?

3

=y ? y ? x ?? y ? x ? ? 2 x ? y ? x ?


2

? y ? x? ? y ? 2 x ? ? 0
2

仅当 x=y即ab=c 时等号成立 .

? a?b ? ? a?b?c 3 ? 所以2? ? ab ? ? 3? ? abc ? . 3 ? 2 ? ? ?

这里主要是运用了比较法,欲证 A≥B,证 A-B≥0 即可,并且在这 A 过程中需作适当的等量替换.若 A,B>0,则证 ≥1 亦可.这就是比较法的主要思 B 路.
设S=?
k=1 80

分析

例2 证

1 , 求证16 ? S ? 17. k

对自然数 k,显然成立

k ?1 ? k ? 2 k ? k ? k ? 1, 取倒数可得
1 ? 1 ? 1

, 2 k k ? k ?1 1 2 k ?1 ? k ? ? 2 k ? k ?1 , k

?

k ? k ?1

?

?

?

对 k 从 m 到 n 求和交叉相消可得
2? n ?1 ? m ?? ?
n

k=m

1 2 n ? m ?1 k

?

?

所以,在上式的左式中 m=1,n=80,即得 16<S;在上式的右式中 令 m=2,n=80,即得 s ? 1 ? 2 80 ?1 ? 17 因此 16<S<17

?

?

例3

a?b?c a b c a, b, c ? R, 求证: ? ? ? . 1? a ? b ? c 1? a 1? b 1? c
构造函数 f ? x ?=
x , x ? ?0,?? ?则当0 ? x1 ? 1? x



x 时,
2

? f ?x ?= x2 ? x1 = x2 x1 ?0 1 ? x2 1 ? x1 ?1 ? x1??1 ? x2 ?
所以函数 f ?x ?=
x 在?0, ? ? ?上是严格递增的,由 1? x

a ? b ? c ? a ? b ? c 有f ? a ? b ? c ? ? f ? a ? b ? c ?.


a?b?c 1? a ? b ? c

?

a?b?c 1? a ? b ? c

a b c = ? ? 1? ? a ? b ? c ? 1? ? a ? b ? c ? 1? ? a ? b ? c ?

?
分析

a 1? a

?

b 1? b

?

c 1? c

x 在相应四个点的函 1? x 数值, 由此我们设置辅助函数来研究不等式.利用不等式的特点,构造辅助函数, 将不等式的证明转化为函数增减性或极值来研究,是很有效的方法。

不等式中四个式子形式相似, 相当于函数 f ? x ?=

例4
2

设 a,b,c 是三角形的三边长,求证
2 2

. a b?a ? b ? ? b c?b ? c ? ? c a?c ? a ? ? 0 , 并确定等号成立的条件



令s为半圆周,即 s=

1 ?a ? b ? c?,再令 x=s ? a, y=s ? b, z=s ? c, 2

则x, y, z ? 0,且
a=y ? z, b=z ? x, c=x ? y.

此代换把欲证之不等式变为 3 3 2 3 2? ?x y ? y z ? z x ? ??? ? x yz ? ? ? ? 又可变为
yz
2 2 2

y

2

zx ? z xy ? ? ? 0, ?
2

?z ? x? ? zx ?z ? y? ? xy ? y ? z? ? 0,

最后一式显然成立,故知欲证不等式成立,且等号成立当且仅当 x=y=z, 即 a=b=c. 分析 本题证法常用于与三角形有关的不等式,构造几何图形,解释代数 公式, 利用几何的性质, 推导相应的结果, 本题如设 a≥b≥c, 则失去一般性 (因 题设不等式左边对 a,b,c 不是对称多项式)

例5

设 x,y,z 为实数,x+y+z=0,求证
6 3 3 3 ?
2

?x ? y ? z ? ?x ? y ? z ?
2 2 2

3



以 x,y,z 为根的三次方程为(t-x) (t-y) (t-z)=0,
即t ? pt ? q=0,其中 p=yz ? zx ? xy , q= ? xyz .
3

因 x+y+z=0,故
1 p= ? ? 2? ? ? ?y ?z ? ?, ?x? y ? z ? ? ??? x ? y ? z ??????=? 1 ? 2?x
2 2 2 2 2 2 2

1 2 q= ??x ? y ? z ?? ?x ? ? ? 3?

y ?z

2

2

3 ? yz ? zx ? xy ? ??? ?x ? ? ?

=? ? ?? ? ?y ?z ? ?. y ?z ? ?? ? ? 3?x
3 3 3 3 3

1

有三次方程有三实根可知

? q ? ?? p ? = ? ? ? ? ? ?2? ? 3 ?
t

2

3

? 0,

代入即得欲证之不等式. 分析 利用 x ? 0 和配方的证法, 称为配方法. 设f ?x ?=a x ? bx ? c, a ? 0, f ? x ? ? 0
2

2

恒成立等价于判别式 ?=b ? 4ac ? 0, 这就是二次函数判别式法。设
f ? x ?= x ? px ? q, 则f ? x ?有三个实根等价于判别
3

2

?q? ? p? 式 ?=? ? ? ? ? ?2? ? 3 ?

2

3

? 0,

这是三次函数判别式法。 例6
1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?n ? N ?, 求证 : 2 3 n n?2 n ?n ? 1?. f 2 ? 2 用数学归纳法证 1 1 1 25 4 2 当 n=2 时, f 2 =1 ? ? ? = ? 成立 2 3 4 12 2 k ?2 k , 则当 n=k ? 1时, 假设 n=k 时命题成立,即 f 2 ? 2 已知 f ?n ?=1 ?

? ?



? ?
k

? ?
1
k

f

?2 ?=f ?2 ??
k ?1

1
k

2 ?1 2 ? 2

?

? ??? ? ?

1

2 ?2

k

k

?

k ?2 1 1 1 ? k ?1 ? k ?1 ? ? ? ? ? k ?1 2 2 2 2
k

综上所述,不等式 f

2 ?2 ? ? n ? ?n ? 1?成立 . 2
n

k ?2 2 k ? 2 ? 1 (k ? 1) ? 2 = ? k ?1 = = , 结论成立 2 2 2 2

分析 与自然数 n 有关的不等式问题, 往往采用数学归纳法.应用数学归纳法, 假设 n=k 成立,推证 n=k+1 时成立,但这个过程中往往需要较高的变形技巧.

上面就是我例举的几个常用方法的应用,其他方法在这里我就不一一举例 了,注意上述方法还可综合运用。在对这门课程的学习、钻研时,我深刻地认识 到自己专业知识还不够精深,需要学习的东西还很多,我相信,只要不怕困难, 敢于钻研,经过努力,我一定能够收获更多有关竞赛数学这门科的知识,深化且 不断地提高自己的知识层面,为将来当一位合格的教师做好准备!


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