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1.2.2 空间中的平行关系——平面与平面平行

时间:2015-09-06






线

1.2.2

空间中的平行关系——平面与平面平行

一、学习目标 1.掌握两平面平行的定义、图形的画法以及符号表示. 2.理解两平面平行的判定定理及性质定理,并能应用定理.证明线线、线面、面面的平行关系. 二、自学指导 1.两个平面平行的定义: ________________________________________________________________________. 2.平面与平面平行的判定定理: __________________________________________________________. 图形表示:

例 2 已知 M、N 分别是底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 棱 AB、PC 的中点,平面 CMN 与平面 PAD 交于 PE,求证: (1)MN∥平面 PAD; (2)MN∥PE.

符号表示: ________________________________________________________________________. 推论:如果一个平面内有两条____________分别平行于另一个平面内的__________,则这两个平 面平行. 3.平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么____________________________. 符号表示:若平面 α、β、γ 满足________________________,则 a∥b. 上述定理说明,可以由平面与平面平行,得出直线与直线平行. 例 1 已知 E、F、E1、F1 分别是三棱柱 A1B1C1—ABC 棱 AB、AC、A1B1、A1C1 的中点. 求证:平面 A1EF∥平面 E1BCF1.

变式训练 2 如图所示,正方体 ABCD—A′B′C′D′中,点 E 在 AB′上,点 F 在 BD 上,且 B′E=BF. 求证:EF∥平面 BB′C′C.

变式训练 1 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、E、F 分别为棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的 中点. 求证:平面 AMN∥平面 EFDB.

例 3 如图所示,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=60° ,PA=AC=a,PB=PD= 2a, 点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1.那么,在棱 PC 上是否存在一点 F,使得 BF∥ 平面 AEC?证明你的结论.

7.平面 α∥平面 β,△ABC 和△A′B′C′分别在平面 α 和平面 β 内,若对应顶点的连线共点, 则这两个三角形________. 8.下列命题正确的是________.(填序号) ①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行. 变式训练 3 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、CD 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运 动,则 M 满足______时,有 MN∥平面 B1BDD1. 四、当堂检测 1.设平面 α∥平面 β,直线 a?α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中( ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在惟一一条与 a 平行的直线 2.对于直线 m、n 和平面 α,下列命题中是真命题的是( ) A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m∥α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n 3.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一个充分 而不必要条件是( ) A.m∥β 且 l1∥α B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2 4.设 α∥β,A∈α,B∈β,C 是 AB 的中点,当 A、B 分别在平面 α、β 内运动时,那么所有的动 点 C( ) A.不共面 B.当且仅当 A、B 分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.不论 A、B 如何移动,都共面 5.已知平面 α 外不共线的三点 A,B,C 到 α 的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于 α B.平面 ABC 必与 α 相交 C.平面 ABC 必不垂直于 α D.存在△ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内 6.下面的命题在“________”处缺少一个条件,补上这个条件,使其构成真命题(m,n 为直线, α,β 为平面),则此条件应为________. m?α n?α m∥β n∥β 9.如图所示 E、F、G、H 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点, 求证:(1)GE∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H.

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