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致远高二数学学科期末试卷


开 发 区 致 远 中 学 高 二 年 级 数学(理科)期 末 模 拟 试 题 2
班级: 姓名:

一、选择题 (1) 原命题: “设a,b,c∈R, 若a>b, 则ac2>bc2” 的逆命题、 否命题、 逆否命题中真命题有 ( 个 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 1 2 (2)抛物线y= x 的准线方程是 ( 4 (A)

y=1 (B)y=-1 (C)x=-1 (D)x=1 (3) m ? 0 是方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 表示圆的( A.充分不必要 (4)双曲线
2 2





)条件 D.既不充分也不必要 )

B.必要不充分
2 2

C.充要

x y x y ? 2 ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0,m ? b ? 0) 的离心率互为倒数,则( 2 a b m b
B. a 2 ? b 2 ? m2 C. a 2 ? b 2 ? m 2 ) D. a 2 ? b 2 ? m2

A. a ? b ? m

(5) .直线 xsinα +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A. [0, π) B. ? 0, ? ∪ ? ,? ? ? 4? ? 4 ?

? ??

? 3?

?

C. ? 0, ? ? 4?

? ??

D. ? 0, ? ∪ ? , ? ? ? 4? ? 2 ?

? ??

??

?

x2 (6) 与椭圆 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是 ( ) 4 x2 x2 2 (A) -y2=1 (B) -y =1 4 2 2 2 x y y2 (C) - =1 (D) x2- =1 3 3 2 (7)已知 A、B、C 三点不共线,点 O 为平面 ABC 外的一点,则下列条件中,能得到 M∈平面 ABC 的充分条件是 ( )
→ 1→ 1→ 1→ (A) OM = OA + OB + OC ; 2 2 2 → 1→ 1→ → (B) OM = OA - OB + OC ; 3 3

(C) OM = OA + OB + OC ; (8)已知椭圆 2+ 2=1的离心率为









(D) OM =2 OA - OB - OC









x2 y2 a b

3 . 双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四 2 ( )

个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 (A) + =1 8 2 (C) + =1 16 4

x2 y2

(B) + =1 12 6 (D) + =1 20 5

x2 y2 x2

x2 y2

y2

(9)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PD⊥平面 ABCD,且 PD=AD=1, π AB=2,点 E 是 AB 上一点,当二面角 P-EC-D 的平面角为 时,AE= 4 ( ) 1 (A)1 (B) 2 (C)2- 2 (D)2- 3 (10) 9.对于曲线 C ∶

x2 y2 =1,给出下面四个命题: ? 4 ? k k ?1

(1)曲线 C 不可能表示椭圆; (2)若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1< k < 5 ; 2 (3) 若曲线 C 表示双曲线,则 k <1 或 k >4; (4)当 1< k <4 时曲线 C 表示椭圆,其中正确的是 ( A .(2)(3) B. (1)(3) C. (2)(4) ) D.(3)(4)

二、填空题 (11) 命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是 (12). 一束光线从点 (?1,1) 出发经 x 轴反射到圆 C: ( x ? 2) 是 .
2 2

.

? ( y ? 3) ? 1 上的最短路程

(13)已知点 F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点,过点 F2 的直线交双曲线 C 的一支于 A, B 两点,若

?ABF1 为等边三角形,则双曲线 C 的离心率为

.

(14).如图所示,已知点 P 是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 A 1D 1 上的一个动点,设异面直线

AB 与 CP 所成的角为 ? ,则 cos ? 的最小值是

.

(15)曲线 C 是平面内与定点 F (2, 0) 和定直线 x ? ?2 的距离的积等于 4 的点的轨迹.给出下列 四个结论:①曲线 C 过坐标原点;②曲线 C 关于 x 轴对称;③曲线 C 与 y 轴有 3 个交点; ④若点 M 在曲线 C 上,则 MF 的最小值为 2( 2 ? 1). 其中,所有正确结论的序号是 ___________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) (16) (本小题满分 12 分) 已知双曲线C与双曲线x2- =1有共同的渐近线, 且双曲线C过点M(2,2), 2 则过点A(1,1)能否作直线l,使l与双曲线C交于Q1、Q2两点,且A是线段Q1Q2的中点,这样的直线l如 果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由。

y2

(17)(本小题满分 12 分)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的 截距相等,求此切线的方程;(2)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M, O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标.

(18)(本小题满分 12 分)已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点. (1)证明:PF⊥FD;(2)判断并说明 PA 上是否存 在点 G, 使得 EG∥平面 PFD; (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45° , 求二面角 A-PD -F 的余弦值.

(1)求椭圆的标准方程;

21.(本小题满分 14 分)已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴 上的椭圆过点 P(2, 3) ,且它的离心率 e ?

1 . 2

y

(2) 与 圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相 切 的 直 线 l:y ? kx ? t 交 椭 圆 于
2 2

M, N 两
O

x
围.

点,若椭圆上一点 C 满足 OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范

高二年级期末考试数学学科(答案)

一、选择题(
题号 答案 1 C 2 B 3 4 5 C 6 B 7 B 8 9 D 10

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (13)若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0 (14) 3-1 (15)②③ + (16)2n 1-2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

代入点M(2,2),得 ?=2

∴双曲线C的方程为 - =1 2 4

x2 y2

??4 分

设点Q1坐标为Q1(x1,x2),点Q2坐标为Q2(x2,y2)

? 2 - 4 =1 则? x y ? 2 - 4 =1
2 2 2 2

x12 y12

由点差法作差得

x12-x22 y12-y22
2 = 4

(x1+x2)(x1-x2) (y1+y2)(y1-y2) ∴ = 2 4 y1-y2 4(x1+x2) ∴k= = =2 x1-x2 2(y1+y2) ∴直线l的方程为y-1=2(x-1)
2 2 ? ?x -y =1 检验:? 2 4 ?y=2x-1 ?

??8 分 即y=2 x-1 ??9 分

化简得2x2-4x+5=0 ?=42-4×2×5<0 ∴直线l与双曲线C无交点,故直线l不存在。

??12 分

(19) (本小题满分 12 分) 1 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90?,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC= , 2

AB=1,M是PB的中点。 (1)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值; (2)证明:CM∥面PAD;

解:以A为原点,AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系 1 (1)∵PA=AD=DC= ,AB=1 2 1 1 1 1 ∴D( ,0,0),B(0,1,0),P(0,0, ),C( , ,0) 2 2 2 2 1 1 1 → → ∴ AC =( , ,0), PB =(0,1,- ) 2 2 2 ∴cos< AC , PB >=
→ →

10 5 10 5 ??6 分

∴ 异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 11 (2)∵M(0, , ) 24 1 1 → ∴ CM =(- ,0, ) 2 4

又∵AB⊥面PAD ∴ AB · CM =0 ∵CM? 面PAD (20)(本题满分 12 分)
→ →

∴面PAD的法向量为 AB =(0,1,0)



∴CM∥面PAD

??12 分

3 3 已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,且对任意的n∈N+,有Sn= an- 2 2 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn= 1

log3anlog3an+1

,求数列{bn}的前n项和Tn.

3 3 3 3 an ? ,∴当 n ? 2 时, S n ?1 ? an ?1 ? ; 2 2 2 2 3 3 3 3 ∴ S n ? S n ?1 ? an ? an ?1 ,即 an ? an ? an ?1 ,∴当 n ? 2 时, an ? 3an?1 ; 2 2 2 2
解: (1)由已知得 S n ?

∴数列 {an } 为等比数列,且公比 q ? 3 ; 又当 n ? 1 时, S1 ? ∴ an ? 3n . (2)∵ log3 an ? log3 3n ? n ,∴ bn ?

(????3 分)

3 3 3 3 a1 ? ,即 a1 ? a1 ? ,∴ a1 ? 3 ; 2 2 2 2
(????6 分)

1 1 1 1 ; ? ? ? log3 an ? log3 an ?1 n(n ? 1) n n ? 1
(????9 分)

∴ ?bn ? 的前 n 项和

1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 3 4

1 1 1 n ?( ? ) ? 1? ? . n n ?1 n ?1 n ?1
(????12 分)
[学*

(21) (本小题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1 中,点O 、 E分别是A1C1 、 AA1 的中点,AO⊥平面A1B1C1 . 已知∠

BCA=90°,AA1=AC=BC=2.
(Ⅰ)证明:OE∥平面AB1C1; (Ⅱ)求异面直线AB1与A1C所成的角; (Ⅲ)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值.
E

A
B

C

A 1
解法一: (Ⅰ)证明: ∵ 点 O 、E 分别是 A1C1 、AA 1 的中点,

O
B1

C1

EO ? 平面 AB1C1 , AC1 ? 平面 AB1C1 , ∴ OE // AC1 ,又∵ OE // 平面 AB1C1 . · ∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 AO ? 平面 A1 B1C1 ,∴ AO ? B1C1 ,又∵ A1C1 ? B1C1 ,且 A1C1 ? AO ? O , (Ⅱ)∵
∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 B1C1 ? 平面 AC A1C ? B1C1 . · 1 1CA ,∴ 又∵ 四边形 AC AA1 ? AC , ∴ 1 1CA 为菱形, ∴ A1C ? AC1 ,且 B1C1

A1C ? 平面 AB1C1 , AC1 ? C1 ∴

∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 AB1 ? A1C ,即异面直线 AB 1C 所成的角为 90 . · 1与 A
?

(Ⅲ) 设点 C1 到平面 AA VA? A1B1C1 ? VC1 ? AA1B1 , 1 B1 的距离为 d ,∵ 即

1 1 1 ? ? A1C1 ? B1C1 ? AO ? ? S △ AA B ? d . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 1 1 3 2 3
△ AA1 B1

S 又∵ 在△AA 1 B1 中, A 1 B1 ? AB 1 ? 2 2 ,∴
∴ d?

? 7.

2 21 21 ,∴ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 A1C1 与平面 AA1 B1 所成角的正弦值 7 7 z C A 解法二:如图建系 O ? xyz , A(0,0 3) , 1 3 A1 (0, ?1,0), E (0, ? , ) , 2 2
B

E

C1 (0,1,0) , B1 ( 2 , 1 , , 0)

A1
x

O

y

C1
B1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 C( 0 , 2 , . 3· ) (Ⅰ)∵ OE ? (0,? ,

1 1 3 OE ? ? AC1 ,即 OE // AC1 , ) , AC1 ? (0,1,? 3) ,∴ 2 2 2

EO ? 平面 AB1C1 , AC1 ? 平面 AB1C1 ,∴ OE // 平面 AB1C1 . · 又∵ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
(Ⅱ)∵ AB1 ? A1C , AB1 ? (2,1,? 3) , A1C ? (0,3, 3) ,∴ AB1 ? A1C ? 0 ,即∴ ∴ 异面直线 AB · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 1C 所成的角为 90 . · 1与 A (Ⅲ)设 A1C1 与平面 AA A1C1 ? (0,2,0) , 1 B1 所成角为 ? ,∵
?

A1B1 ? (2,2,0), A1 A ? (0,1, 3)
设平面 AA 1 B1 的一个法向量是 n ? ( x, y, z ) 则?

? ? A1B1 ? n ? 0, ? ? A1 A ? n ? 0,

即?

? ?2 x ? 2 y ? 0, ? ? y ? 3 z ? 0.

不妨令 x ? 1 ,可得 n ? (1, ?1,

3 ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3

∴ sin ? ? cos ? AC 1 1 , n ??

2 2? 7 3

?

21 , 7

∴ A1C1 与平面 AA1 B1 所成角的正弦值

21 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 7

(22) (本小题满分 12 分) 3 3 已知A,B分别是直线y= x和y=- x上的两个动点,线段AB的长为2 3,P是AB的中点. 3 3 (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点Q(1,0)任意作直线m(与x轴不垂直) ,设m与(1)中轨迹C交于M,N两点,与y轴交 于R点.若 RM =λ MQ , RN =? NQ ,证明:λ +? 为定值. 解: (1)设 P( x , y ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .
→ → → →

x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 ∵ P 是线段 AB 的中点,∴ ? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2
∵ A、B 分别是直线 y ?

3 3 3 3 x和y?? x2 . x 上的点,∴ y1 ? x1 和 y2 ? ? 3 3 3 3
????3 分

? x1 ? x2 ? 2 3 y , ? ∴? 2 3 x. ? y1 ? y2 ? 3 ?
2 2 又 AB ? 2 3 ,∴ ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 12 .
2 ∴ 12 y ?

x2 4 2 x ? 12 ,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? y 2 ? 1. 3 9

????5 分

(2)依题意,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .????6 分 设 M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,

? y ? k ( x ? 1) , ? 则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 ? y2 ? 1. ? ?9 2 2 2 2 消去 y 并整理,得 (1 ? 9k ) x ?18k x ? 9k ? 9 ? 0 ,

????8 分


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