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竞赛辅导-三角函数


三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中的两种,在 现代科学的很多领域中有着广泛的应用.同时它也是高考、 数学竞赛中的必考内容之一.

同角三角函数的基本关系 诱导公式 定义 单位圆与三角函数线 图象性质

形如y=Asin(ωx+φ)+B图象
y=asinα+bcosα的 最值 Cα±β Sα±β、T α±β 积化和差公式

和差化积公式

正弦定理、 余弦定理、 面积公式

S2α= C2α= T2α=

Sα/2= Cα/2= Tα/2=

万能公式

降幂公式

三角解题常规
分析差异
指角的、函数的、运算的差异

宏 观 思 路

寻找联系

利用有关公式,建立差异间关系

促进转化

活用公式,差异转化,矛盾统一

微 观 直 觉

1、以变角为主线,注意配凑和转化; 2、见切割,想化弦;个别情况弦化切; 3、见和差,想化积;见乘积,化和差; 4、见分式,想通分,使分母最简; 5、见平方想降幂,见“1±cosα ”想升幂; 6、见sin2α ,想拆成2sinα cosα ; sinα +sinβ =p 7、见sinα ±cosα 或

想两边平方或和差化积 cosα +cosβ =q 8、见a sinα +b cosα ,想化为

a 2 ? b 2 sin(α ?φ )形式
9、见cosα ?cosβ ?cosθ ????,先 sin 2α 若不行,则化和差 运用cosα ? ? 2 sinα 2 sin 10、见cosα +cos(α +β ) 2 ? +cos(α +2 β )????, 想乘 2 sin 2

一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶性、周期性 、单调性、最值等.这里以单调性为最难.它们在平面几何、 立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用. 【例1】 【例2】 求函数y=2sin( -2x)的单调增区间。

若φ∈(0, ),比较sin(cosφ),cos(sinφ),

cosφ这三者之间的大小。 解:∵在(0, )中,sinx<x<tanx,而0<cosx<1< ∴sin(cosφ)< cosφ。∵在(0, )中,y=cosx单调递减, ∴cosφ< cos(sinφ)。 ∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。

【例3】

已知x,y∈[-

,

],a∈R,且

求cos(x+2y)的值。
解:原方程组化为 函数f(t)=t3+sint在[∵x,-2y∈[, ],

,

]上单调递增,且f(x)=f(-2y)

∴x=-2y,∴cos(x+2y)=1。

【例4】

求证:在区间(0, )内存在唯一的两个数c、d(c<d),

使得 sin(cosc)= c, cos(sind)= d. 证明:考虑函数f(x)=cos(sinx)-x,在区间[0, ]内是 单调递减的,并且连续,由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0,

f( )=cos(sin

)-

= cos 1-

<0,

∴存在唯一的d∈(0, ),使f(d)=0,即cos(sind)= d. 对上式两边取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind)) =sin d,sin(cosc)=c。 显然c∈(0, )。且由y=sinx在(0, )上的单调性和d的 唯一性,知c也唯一。故存在唯一的c<d,使命题成立。

【例5】α、β、γ∈(0, ),且cotα=α,sin(cotβ)=β, cot(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。
解:∵α、β、γ∈(0, )∴cotβ>0,0< sinγ<γ<
),

∴β=sin(cotβ)< cotβ,γ=cot (sinγ)> cotγ。
作出函数y=ctgx在(0, )上的图象,可看出:β<α<γ。

【例6】

n∈N,n≥2,求证:cos < <·· ·< < <1

· cos ··· cos ··

>

证明:∵0<

∴0<sin <

, ,cos2

=1-sin2

>1-

=

k=2,3,…,n。

∴(cos
=( ∴cos

· cos
)>

··· ·· cos
>( )2,

)2>(

)· (

)·· ·(

)

· cos

··· cos ··

>

【例1】(1)已知cosβ= <β<π,求sinα的值。
(2)已知sin( -α)=

,sin(α+β)=

,且0<α<

,求

的值。

提示:(1)sinα= (2)sin2α=1-2 sin2( -α)=

=
; 。

【例2】求cos

cos

cos

… cos

的值。

解法1:利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ= 得 cos cos cos cos cos cos = cos cos cos = cos cos = ==

∴原式=

解法2:原式=
=

··· ··

=

=

【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。 【例4】若sinα+cosβ= 求sinαcosβ的值。 【例5】已知f(x)= 0<θ<π,求θ。 ,cosα+sinβ= ,

sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数,

【例6】方程 sinx+cosx+a=0在(0,2π)内有相异两根α、 β,求实数a的取值范围,以及α+β的值。

解:∵
t∈(

sinx+cosx+a=0,∴sin (x+

)=-

。令t= x+

,则

, ),sint= -

作出函数y= sint,t∈(

, )的图象:

由图象可以看出:当-1< - , <1且-



即-2<a<-



- <a<2时,sint= 有相异两根t1、t2,原方程有相异 两根α、β,并且 。 当-2<a<- 时,t1+t2=(α+ )+(β+ )=π,α+β= 当<a<2时,t1+t2=(α+ )+(β+ )=3π,α+β=






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