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计算导数、导数四则运算学案

时间:2014-02-21


2013 高二数学组 选修 1-1 第三章 变化率与导数学案

主备:王红武

审核:

§3 计算导数
学习目标: 1、能根据导数的定义求简单函数的导数, 掌握计算一般函数 y ? f ( x) 在 x 0 处的 导数的步骤; 2、理解导函数的概念,记忆导数公式表 中所给 8 个函数的导数公式,并能用它 们求

简单函数的导数。 学习重点: 计算函数 y ? f ( x) 在 x 0 处的 导数;利用导数公式表求简单函数的导 数。 学习难点:导数公式表的记忆与运用。 一、导学探究 【知识回顾】 1.平均变化率:设函数 y ? f ( x) ,当自 变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f ( x0 ) 变到 f ( x1 ) , 函数值 y 关于 x 的平均变化

1.导函数定义:一般地,如果一个函数

y ? f ( x) 在 区 间 ( a , b ) 上 的
处 都 有 导 数 , 导 数 值 记 为 f ?( x) ,

f ?( x) ?

,则

称 f ?( x) 为 f ( x) f ?( x) 是关于 x 的函数, 的导函数,通常也简称为导数。 2 .计算函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导 数的步骤:

3.必记公式: (1) y ? c (c 是常数) ,则 y ? ? (2)若 y ? x (α 是常数) ,则 y ? ? ( 3 ) 若 y ? a (a ? 0, a ? 1) , 则
x

?y 率为 ? ?x
= 2.导数的定义:当 x1 趋于 x0,即Δ x 趋 于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定 的值,那么这个值就是函数 y ? f ( x) 在 点 x0 的瞬时变化率。在数学上,称瞬时 变化率为函数 y ? f ( x) 在点 x0 的导数, 通常用符号 表示,记作

?

y? ?

,特别地 (e )? ?
x

( 4 ) 若 y ? lo g a x( a ? 0, a ? 1) , 则

y? ?

,特别地 (ln x)? ?

(5)若 y ? sin x ,则 y ? ? (6)若 y ? cos x ,则 y ? ? (7)若 y ? tan x ,则 y ? ? (8)若 y ? cot x ,则 y ? ?
1

f ?( x0 ) ?
= 【探究新知】 阅读教材 P64-67 回答下列问题

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2

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4.思考 1:导函数 f ?( x) 与函数在一点 的导数 f ?( x0 ) 的关系是什么?

例 2 求 y ? f ( x) ? 3 x ? x 的 导 函 数

f ?( x) ,并利用导函数 f ?( x) 求 f ?(1) , f ?(?2) , f ?(0) 。

思考 2:求 f ?( x0 ) 的方法有哪些? 题型二 利用导数公式求导数 例 3 求下列函数的导数 (1) y ? x x ; (2) y ?
5

x3 ;

(3) y ? log 2 x 2 ? log 2 x ; 二、典题分析 题型一 利用导数的定义求函数在某点 处的导数 例 1 求函数 y ? f ( x) ? (4) y ? ?2sin

x x (1 ? 2cos 2 ) 2 4

2 ? x 在下列各 x

点的导数: (1) x ? x0 ; (2) x ? 1 ; (3) x ? ?2 。

题型三 导数的应用 例 4 求函数 y ? 线方程。

x 在点(4,2)处的切

三、归纳小结:

2

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§4.1 导数的加法与减法法则
学习目标:1、了解两个函数的和、差的 求导公式; 2、会运用上述公式,求含有和、差综合 运算的函数的导数; 3、能运用导数的几何意义,求过曲线上 一点的切线. 学习重点:函数和、差导数公式的应用 学习难点:函数和、差导数公式的应用 一、 导学探究 【知识回顾】 1 、计算函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导 数的步骤:

【探究新知】

1 两个函数和 (差) 的导数等于这两 个函数导数的和(差)即

[ f ( x) ? g ( x)]' ? [ f (x ) ? g (x ) ?] '



2 请试着推导两个函数和、 差的导数公式

2、导数公式表
函数 导函数

二、典例分析 题型一 利用两个函数和(差)的求导法 则求函数的导数 例 1 求下列函数的导数 (1) y ? x ? 3x ? 5 x ? 6 ;
4 2

y ? c ( c 是常数)
y ? x ? ( ? 是实数) y ? a x ( a ? 0且a ? 1)
y ? log a x( a ? 0且a ? 1 )

(2) y ? lg x ?

1 ; x2

y ? sin x

y ? cos x
y ? tan x y ? cot x
3

(3) f ( x) ? a ? 2ax ? x
2

2

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题型二 导数的应用——求与曲线切线 有关的问题 例 2 求曲线 y ? x ? 2 x 在点(1,-1)的 切线方程
3

三、归纳小结

例 3 已知曲线方程 y ? x , 求过点 B(3,5) 且与曲线相切的直线方程。
2

例 4 已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 过点 P (1,1) ,且在点 Q (2,-1)处与直线 y ? x ? 3 相切,求实数 a,b,c 的值
2

4

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§4.2 导数的乘法与除法法则
学习目标: 1、了解两个函数的和、差、 积、商的求导公式; 2、 会运用上述公式, 求含有和、 差、 积、 商综合运算的函数的导数; 3、能运用导数的几何意义,求过曲线上 一点的切线。 重点:函数积、商导数公式的应用。 难点:函数积、商导数公式的应用。 一、导学探究 【知识回顾】 导数的加法与减法法则

问题: [ f ( x) ? g ( x)]' ? f ' ( x) ? g ' ( x) 吗?

[

f ( x) f ' ( x) ]' ? 吗? g ( x) g ' ( x)

二、典例分析
例 1 求下列函数的导数 (1) y ? x e ;
2 x

【探究新知】 1.函数积的求导公式 若两个函数 f ( x) , g ( x) 的导数分别是

(2) y ?

x sin x ;

f ?( x) , g ?( x) ,则
(3) y ? x ln x

[ f ( x)?g ( x)]? =
特别地,当 g ( x) ? k ( k 为常数)时, 有 [kf ( x)]? = 2. 函数商的求导公式 若两个函数 f ( x) , g ( x) 的导数分别是 例 2 求下列函数的导数 (1). y ?

x2 sin x ;(2) y ? ln x x

f ?( x) , g ?( x) ,则

[

f ( x) ]? = g ( x)
1 ]? = g ( x)
5

特别地, [

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例 3 求下列函数的导数. (1). y ? x (ln x ? sin x) ;
2

三、归纳小结 1. 导数的运算法则:

(2) y ?

cos x ? x x2

例 4 求曲线 f ( x) ?

1? x ? 2 x ln x 在 1? x

2. 如何用导数的四则运算法则和导数公 式求导? (1)分析函数 y ? f ( x) 的结构特征,有 时需先化简; (2)选择恰当的求导法则和导数求导公 式; (3)整理得结果。

点(1,0)处的切线方程。

例 5 已知函数 f ( x) ?

ax ? 6 的图像在 x2 ? b

2. 导数的运算法则:

点 M ( -1 , f (?1) ) 处 的 切 线 方 程 为

x ? 2 y ? 5 ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 解析
式.

(轮流求导之和)

(上导乘下,下导乘上,差比下方)

6


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