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B空间几何体的三视图与立体几何

时间:2015-04-19


刨析:空间几何体的三视图与立体几何
空间几何体的三视图知识是是高中《数学》新课标下的新增内容, 它对进一步发展学生 的空间观念,增强数学价值认识将起到一定的推动作用 ,三视图常作为考查数据处理能力的 载体,蕴含着数形结合的思想方法,是命制试题的良好素材.本内容在近几年全国高考新课改 区数学试卷中均有不同程度的涉及,这充分体现了新高考支持新课程改革的基本理念 ,考查 方式

灵活多样,不但可以单独考查,而且还可与其他知识交汇渗透考查,试题形式丰富、内容 活泼、创意新颖。这里从近几年高考题中选取几道相关试题加以归类、分析,供同学们学习 时参考。

一、根据空间几何体的直观图画出三视图
例 1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

(A)①② (B)①③ (C)①④ (D)②④ 解析:在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同;②圆锥的两个视图相同;③三棱台的 三个视图都不同;正四棱锥的两个视图相同,故选 D②④

二、根据给出的三视图还原空间几何体的直观图
例 2.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是( ) 10 20 10 20 正视图 A. 20 侧视图 B. 20 俯视图 C. 2000cm
3

4000 3 cm 3

8000 3 cm 3

D. 4000cm

3

解 析 : 由 几 何 体 的 三 视 图 可 知 , 几 何 体 是 四 棱 锥 . 如 图 侧 面 PBC ? 面A B CD. 顶 点

P在底面ABCD上的射影O是BC的中点,且 AB ? BC ? 20cm,
PO ? 20cm ,?VP ? ABCD ?
,故选B

1 1 8000 ? S ABCD ? PO ? ? 20 ? 20 ? 20 ? cm 3 3 3 3

三、空间几何体的三视图与直观图的综合应用
例 3.已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S. 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形 中心的 四棱锥 V-ABCD ; (1) V ?

1 ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3
2

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为

?8? h1 ? 42 ? ? ? ? 4 2 , 另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形, ?2?
AB 边上的高为 因此

?6? h2 ? 4 ? ? ? ? 5 ?2?
2

2

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2

例 4.(理)一个多面体的直观图及三视图如右图所示: (Ⅰ)求异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值: (Ⅱ)试在平面 ADD1 A1 中确定一个点 F, 使得 FB1 ⊥平面 BCC1 B1 ; (Ⅲ)求二面角 F ? CC1 ? B 的余弦值(F 满足Ⅱ) 。 解;依题意知,该多面体为底面是正方形的四棱台, 且 D1 D ⊥底面 ABCD。 AB=2 A1 B1 =2 DD1 =2a 以 D 为原点,DA、DC、 DD1 所在的直线为 X,Y,Z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,A(2a, 0,0) , B1 (a,a,a) , D1 (0,0,a) ,B(2a,2a,0) ,

C(0,2a,0) , C1 (0,a,a)…………………………4 分 (Ⅰ)? AB1 ? ?? a,a,a? DD1 ? ?0, 0,a?

? cos? AB1, DD1 ? ?

AB1 · DD1 AB1 DD1

?

a2 3a 2 a 2
3 3

?

3 3

即直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值为

(II)设 F(x,0,z) ,? DB1 ? ?? a,?a, a?BC ? ?? 2a,0.0?

FB1 ? ?a ? x, a, a ? z ?
由 FB1 ? 平面 BCC1B1 得 ?

? ? FB1 ? bb1 ? 0 ? ? FB1 ? BC ? 0

即?

?? a?a ? x ? ? a 2 ? a(a ? z ) ? 0 ?x ? a 得? ? 2a ( a ? x ) ? 0 ?z ? 0 ?

? F (a,0,0) 即 F 为 D 的中点
(III)由(II)知 FB1 为平面 BCC1B1 的法向量。 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FCC1 的法向量。

?CC1 ? (0,?a, a), FC ? (?a,2a,0)
由?

? ?n ? CC1 ? 0 ? ? n ? FC ? 0

即?

? ? ay1 ? az 1 ? 0 令 y1=1 得 x1=2,z1=1 ?? ax1 ? 2ay1 ? 0

? n ? (2,1,1) cos ? n, FB1 ??

n ? FB1 n ? FB1

?

a?a 6 ? 2a
2

?

3 3

即二面角 F-CC1-B 的余弦值为

3 3

(文理都适用)一个多面体的直观图及三视图如图 所示: (其中 E、F 分别是 PB、AD 的中点) (1)求异面直线 PD 与 AE 所成角的余弦值; (2)求证:EF ? 平面 PBC。 ; (3)求三棱锥 B-AEF 的体积。走的时候叫上我 解证: (I)依题意知该多面体是底面 为正方体是底面为下方形的四棱锥,

且 PD ? 底面 ABCD,PD=DC=a。 取 BD 中点 O,连接 EO,则 EO//PD, EO ? 底面 ABCD,EO=

a , 2

所以 ?AEO 为异面直线 PD 与 AE 所成的角。 在 RtAOE 中,OE=

a 2 ,AO= a, 2 2

AE= OE ? AO ?
2 2

3 a 2

a OE 3 所以 cos ?AEO = ? 2 ? AE 3 3 a 2
即异面直线 PD 与 AE 所成有的余弦值为

3 3
1 BC , 2

(II)取 PC 的中点 G,连结 EG,GD,则 EG // 所以 EG // DF。

由(1)知 FD ? 平面 PDC 为矩形,因为 G 为等腰 Rt△PDC 斜边 PC 的中点,所以 DG ? PC,又 DG ? GE,PC∩EG=E, 所以 DG ? 平面 PBC,因为 DG//EF,所以 EF ? 平面 PBC。 (III) VB ? AEF ? VE ? ABF ?

1 1 1 1 1 3 S ?ABF ? OE ? ? a 2 ? a ? a 3 3 4 2 24

空间几何体的三视图知识渗透了这么多数学思想、方法、能力,课改区都进行了尝试, 是高考命制试题的好素材,请同学们要多多关注呀!!


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