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数乘向量


复习1: 向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.

b a

b a
O. B

o.
a+b A B

a+b
A C

复习2: 向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.

a<

br />
b

o.
a-b A

B

探究1:已知非零向量 a 作 a ? a ? a和(?a) ? (?a) ? (?a)
a a O A a B a C -a -a -a

N

M

Q

P

OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ?a 记作 3a

PN ? PQ ? QM ? MN ? (?a) ? (?a) ? (?a) 记作 ? 3a

3a与a的方向 相同
3a ? 3 a

?3a与a的方向 相反 ?3a ? 3 a

一、向量的数乘运算的定义: 实数?与向量 a 的积是一个向量,这种运算
叫做向量的数乘,记为? a,
其方向和长度规定如下: (1) ? a ? ? a ;

(2) 当? ? 0, ? a 与 a 的方向相同; 当? ? 0, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当? ? 0,? a ? 0.

? a 二、向量数乘的几何意义
向量数乘的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方 向或反方向伸长或缩短.

? ? 1,伸长;

? ? 1,缩短

? ? 0, 方向相同;? ? 0, 方向相反

注意:

实数?与向量a,可以作积,

但不可以作加减法,即?+a,

?-a是 无意义 的.

思考1:

课本P90页第3题

把下列各小题中的向量b表示为实数与向量 a得积.

(1) a ? 3e , b ? 6e b ? 2a

7 (2) a ? 8e , b ? ?14e b ? ? a 4 1 2 1 (3) a ? ? e , b ? e b ? ? a 3 3 2 8 3 2 (4) a ? ? e , b ? ? e b ? a 9 4 3

∨ ∨



× × × ×


思考2:
(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a≠0),并比较。

? a

? 3(2a )
结论: 3(2a)=6

a

? 6a

结合律

(2) 已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并比较。

? b ?

a

? ? 2a ? 2b

? ? a ?b

? 2b
? 2a
分配律

结论: 2a+2b=2(a+b)

向量数乘的运算满足如下运算律: 设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有:

()( 1 ? ? a) ? (?? )a; (2)(? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? (a ? b) ? ? a ? ? b.
特别地:(? ?) a ? ? ?a

? a ? b ? ? a ? ?b

?

?

? ?

? ? (1)(?3) ? 4a ? ?12a ? ? ? ? ? ? (2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ? 5b ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c ) ? ?a ? 5b ? 2c

例2:计算下列各式

注:向量的加、减、数乘运算统称为向 量的线性运算。

λ,?1, ?2

对于任意的向量 ,恒有

a, b

以及任意实

?(?1 a ? ?2 b) ? ??1 a ? ??2 b

探究2:对于向量 a ( a ? 0)和 b ,以及实数?,

问题1:如果 b ? ? a,那么,向量 a 与 b 是否共线?
共线

问题2:如果向量 a 与 b 共线,那么是否存在一个实数?, 使b ? ? a ?
不一定

a?0

向量 a a ? 0

?

?

与 b 共线,当且仅当有唯一一个

实数 ? ,使 b ? ? a.

b ? ? a ? a / /b (a ? 0).

思考3.判断下列各小题中的向量a与b是 否共线.

(1)a ? ?2e , b ? 2e (3)a ? e1 ? e2 , b ? e1 ? 2e2

共线 共线 不共线

(2)a ? e1 ? e2 , b ? ?2e1 ? 2e2

例3. 如图,已知任意两个非零向量 a、b , 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗? 为什么?
解:作图如右 依图猜想:A、B、C三点共线 ∵ AB=OB-OA =a+2b-(a+b)=b 又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b


试作OA ? a ? b , OB ? a ? 2b , OC ? a ? 3 b ,

C b B A b O

b a

AC=2AB


又 AB与AC有公共点A, 注:证明三点共线的方法

A、B、C三点共线.

变式训练1
如图,已知AD=3AB,DE=3BC,
试判断A,C,E三点是否共线。C
解: E

? AE ? AD ? DE

? 3 AB ? 3 ? BC
? 3?AB ? BC ?

A B D

? AC / / AE
又有公共点A ? A, C , E共线

? 3 ? AC

变式训练2

例4.如图,平行四边形ABCD两对角线 相交于点M,且 AB ? a, AD ? b,你能用 a、 b 表示MA 、 MB、 MC和MD吗?
D

b
A

M B

1 1 MA ? ? a ? b 2 2 C MB ? 1 a ? 1 b 2 2

a

1 1 MC ? a ? b 2 2 1 1 MD ? ? a ? b 2 2

课堂小结
1. 实数与向量积的定义与运算; 2. 向量共线的判断:

b ? ? a ? a / /b

(a ? 0).

3.定理的应用: (1).证明向量共线 (2).证明三点共线

作 业:
P91.A组9.10.12. P91.B组3

C

(1),(2),(4)


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