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简易逻辑练习题(包含详细答案)


1.“|a|>0”是“a>0”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 解析 B

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

因为|a|>0?a>0 或 a<0,所以 a>0?|a|>0,但|a|>0

a>0.

b 2.(2012

· 陕西)设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ i 为纯 虚数”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 解析 B

b 由 a+ i 为纯虚数可知 a=0,b≠0,所以 ab=0.而 ab=0

a=0,且

b≠0.故选 B 项. 1 3.“a>1”是“a<1”的( A.充分必要条件 C.必要不充分条件 答案 B ) B.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件

4.(2013· 湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是 “甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员 没有降落在指定范围”可表示为( A.(綈 p)∨(綈 q) C.(綈 p)∧(綈 q) 答案 解析 A 綈 p:甲没有降落在指定范围;綈 q:乙没有降落在指定范围,至少 ) B.p∨(綈 q) D.p∨q

有一位学员没有降落在指定范围,即綈 p 或綈 q 发生.故选 A. 5.命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( )

A.若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 答案 解析 D 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后,再交换位置,注意“-

1<x<1”的否定是“x≥1 或 x≤-1”. 6.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 解析 A 因为 x≥2 且 y≥2?x2+y2≥4 易证, 所以充分性满足, 反之, 不成立, B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

7 如 x=y=4,满足 x2+y2≥4,但不满足 x≥2 且 y≥2,所以 x≥2 且 y≥2 是 x2+ y2≥4 的充分而不必要条件,故选择 A. 7.已知 p:a≠0,q:ab≠0,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 解析 故选 B. 8.设 M、N 是两个集合,则“M∪N≠?”是“M∩N≠?”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ) B ab=0 a=0,但 a=0?ab=0,因此,p 是 q 的必要不充分条件, )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 M∪N≠?,不能保证 M,N 有公共元素,但 M∩N≠?,说明 M,N 中 至少有一元素,∴M∪N≠?.故选 B. 9.若 x,y∈R,则下列命题中,甲是乙的充分不必要条件的是( A.甲:xy=0 B.甲:xy=0 乙:x2+y2=0 乙:|x|+|y|=|x+y| )

C.甲:xy=0

乙:x、y 至少有一个为零

x D.甲:x<y 乙:y<1 答案 解析 B 选项 A:甲:xy=0 即 x,y 至少有一个为 0, 乙,乙?甲.

乙:x2+y2=0 即 x 与 y 都为 0.甲

选项 B:甲:xy=0 即 x,y 至少有一个为 0, 乙:|x|+|y|=|x+y|即 x、y 至少有一个为 0 或同号. 故甲?乙且乙 甲.

选项 C:甲?乙,选项 D,由甲 x<y 知当 y=0,x<0 时,乙不成立,故甲 乙. a b c 10.在△ABC 中,设 p:sinB=sinC=sinA;q:△ABC 是正三角形,那么 p 是 q 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 解析 C

a b c a b c 若 p 成立,即sinB=sinC=sinA,由正弦定理,可得b= c=a=k.

?a=kb, ∴?b=kc, ?c=ka,

∴a=b=c.则 q:△ABC 是正三角形成立.

a b c 反之,若 a=b=c,∠A=∠B=∠C=60° ,则sinB=sinC=sinA. 因此 p?q 且 q?p,即 p 是 q 的充要条件.故选 C. 11.“a=1”是“函数 f(x)=lg(ax)在(0,+∞)上单调递增”的( A.充分不必要条件 C.必要不充分条件 答案 解析 A ∵当 a=1 时, f(x)=lgx 在(0, +∞)上单调递增, ∴a=1?f(x)=lg(ax) B.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

在(0,+∞)上单调递增,而 f(x)=lg(ax)在(0,+∞)上单调递增可得 a>0,∴“a =1”是“函数 f(x)=lg(ax)在 (0,+∞)上单调递增”的充分不必要条件,故选

A. 1 1 12.“x>y>0”是“ x < y”的________条件. 答案 解析 充分不必要 1 1 (y-x)<0, x<y ?xy·

即 x>y>0 或 y<x<0 或 x<0<y. π 13.“tan θ≠1”是“θ≠4”的________条件. 答案 解析 充分不必要 π 题目即判断 θ=4是 tan θ=1 的什么条件,显然是充分不必要条件.

14.如果对于任意实数 x, 〈x〉表示不小于 x 的最小整数,例如〈1.1〉=2, 〈-1.1〉=-1,那么“|x-y|<1”是“〈x〉=〈y〉”的________条件. 答案 解析 必要不充分 可举例子,比如 x=-0.5,y=-1.4,可得〈x〉=0, 〈y〉=-1;比

如 x=1.1,y=1.5, 〈x〉=〈y〉=2,|x-y|<1 成立.因此“|x-y|<1”是〈x〉= 〈y〉的必要不充分条件. 15.已知 A 为 xOy 平面内的一个区域.

?x-y+2≤0, 命题甲:点(a,b)∈{(x,y)|?x≥0, ?3x+y-6≤0
命题乙:点(a,b)∈A.

};

如果甲是乙的充分条件,那么区域 A 的面积的最小值是________. 答案 2

解析

?x-y+2≤0, 设?x≥0, ?3x+y-6≤0

所对应的区域如右图所示的阴影部分 PMN 为集

合 B.由题意,甲是乙的充分条件,则 B?A,所以区域 A 面积的最小值为 S△PMN 1 = 2 ×4×1=2.

1 a 16.“a=4”是“对任意的正数 x,均有 x+ x≥1”的________条件. 答案 解析 充分不必要 1 a 1 当 a=4时,对任意的正数 x,x+ x=x+4x≥2 1 x· 4x=1,而对任意

a a 的正数 x,要使 x+ x≥1,只需 f(x)=x+ x的最小值大于或等于 1 即可,而在 a 为 a 1 正数的情况下, f(x)=x+ 的最小值为 f( a)=2 a≥1,得 a≥ ,故充分不必要. x 4 17.已知命题 p:|x-2|<a(a>0),命题 q:|x2-4|<1,若 p 是 q 的充分不必要 条件,求实数 a 的取值范围. 答案 解析 0<a≤ 5-2 由题意 p : |x - 2|<a ? 2 - a<x<2 + a ,q : |x2 - 4|<1 ? - 1<x2 -4<1 ?

3<x2<5?- 5<x<- 3或 3<x< 5. 又由题意知 p 是 q 的充分不必要条件,

?- 5≤2-a, 所以有?2+a≤- 3, ?a>0,

? 3≤2-a, ①或?2+a≤ 5, ?a>0,

②.

由①得 a 无解;由②解得 0<a≤ 5-2. 18.已知集合 M={x|x<-3 或 x>5},P={x|(x-a)· (x-8)≤0}. (1)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条 件; (3)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分 条件. 答案 (3){a|a<-3} (1){a| - 3≤a≤5} (2) 在 {a| - 3≤a≤5} 中 可 任 取 一 个 值 a = 0

解析

由题意知,a≤8.

(1)M∩P={x|5<x≤8}的充要条件-3≤a≤5. (2)M∩P={x|5<x≤8}的充分但不必要条件,显然,a 在[-3,5]中任取一个值 都可. (3)若 a=-5,显然 M∩P=[-5,-3)∪(5,8]是 M∩P={x|5<x≤8}的必要但 不充分条件. 结合①②知 a<-3 时为必要不充分.


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