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河北省承德市高中数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术秦九韶算法学案

时间:2017-11-15


1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
学习目标 1 学习程序框图的画法 2 理解程序框图的三种基本逻辑结构

1 重点难点:理解辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法原理 2.教学难点:辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法原理 方 法:自主学习 合作探究 师生互动 课 堂 随 笔:

一 自主学习 1.辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法. ①算法步骤: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=___,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则返回 第___步. (2)更相减损术. 算法步骤: 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是______.若是,用___约简; 若不是,执行第二步. 第二步,以较大的数___去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以 ___数减___数.继续这个操作,直到所得的差与减数相等为止,则这个数(等 数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 名称 辗转相除法 更相减损术

①以除法为主.② 两个整数差值较 区别 大时运算次数较 少.③相除余数为 零时得结果.

①以减法为主. ②两个整数的差值较大时,运算次数较多. ③相减,两数相等得结果. ④相减前要做是否都是偶数的判断.

联系

①都是求最大公约数的方法.②二者的实质都是逆归的过程.

1

③二者都要用循环结构来实现. 2.秦九韶算法 (1)概念:求多项式 f(x)=anx +an-1x
n n-1

+…+a1x+a0 的值时,常用秦九韶算

法,这种算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法,其实质是转化 为求 n 个______多项式的值,共进行___次乘法运算和___次加法运算.其过程 是: 改写多项式为:f(x)=anx +an-1x =(anx
n-1 n n-1

+…+a1x+a0

+an-1x

n-2

+…+a1)x+a0 +…+a2)x+a1)x+a0=…

=((anx

n-2

+an-1x

n-3

=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 设 v1=____________, v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, …, vn=___________ ●预习自测 1.用辗转相除法求 36 与 134 的最大公约数,第一步是( A.134-36=98 C.先除以 2,得到 18 与 67 B.134=36×3+26 D.36=26×1+10 )

2.(2015·河北省廊坊一中月考)用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数时, 需要做除法的次数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4 )

3.设计程序框图,用秦九韶算法求多项式的值,所选用的结构是( A.顺序结构 B.条件结构 C.循环结构 D.以上都有

4.用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时,第一步是________. [答案] 5.(2015·云南省景洪一中月考)用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x +2x + 4x + 5x + 7x + 8x + 1 在 x = 0.5 时的值,需做乘法和加法的次数分别是 ________.
2
4 3 2 6 5

二 典例分析(一)辗转相除法和更相减损术的应用 例 1.用辗转相除法求 80 和 36 的最大公约数, 并用更相减损术检验所得结果.

跟踪练习 (1)用辗转相除法求 288 与 123 的最大公约数. (2)用更相减损术求 57 与 93 的最大公约数. (3)求 567 与 405 的最小公倍数.

(二)用秦九韶算法求多项式的值 例二
4

(1)(2015·三明高一检测 )用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x +4x
3 2

6

5

+5x +6x +7x +8x+1,当 x=0.4 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别 是( ) B.5,6
5

A.6,6

C.5,5
3 2

D.6,5

(2)已知一个五次多项式 f(x)=2x -4x +3x -5x+1, 用秦九韶算法求这个多 项式当 x=3 是的值.

跟踪训练 2:用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x +6x +5x +4x +3x +2x +x 当 x=3 时的值.

7

6

5

4

3

2

3

(三)求多个数的最大公约数 例三 试用辗转相除法求 325、130、270 的最大公约数.

后记与感 悟:

跟踪训练:(1)求三个数 175,100,75 的最大公约数.

跟踪训练: (2) 已知 f(x)=3x +2x +4x+2, 利用秦九韶算法求 f(-2)的值.

4

2

(3)(2015·贵阳高一检测)用秦九韶算法计算多项式 f(x)=12+35x-8x + 79x +6x +5x +3x 在 x=-4 的值时,v3 的值为________.
3 4 5 6

2



当堂检测 )

1.下列有关辗转相除法的说法正确的是(

A.它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法 B.基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m =nq+r,直至 r<n 为 止 C.基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m=qn+r(0≤r<n)反复 进行,直到 r=0 为止 D.以上说法均不正确 2.更相减损术的理论依据是( )

A.每次操作所得的两数和前两数具有相同的最小公倍数 B.每次操作所得的两数和前两数具有相同的最大公约数 C.每次操作所得的两数和前两数的最小公倍数不同 D.每次操作所得的两数和前两数的最大公约数不同 3.用更相减损术求 123 与 51 的最大公约数时,需做减法的次数是( A.3 B.5 C.6 D.8
6 5 2

)

4.(2015·山西省太原五中月考)用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x +6x +3x

4

+2 当 x=4 时的值时,先算的是( A.4×4=16 B.7×4=28

) D.7×4+6=34

C.4×4×4=64

答案 预习自测 1、B 2、B 3、D 4、用 2 约简 5、6 次乘法,6 次加法

例 1 故 80 和 36 的最大公约数是 4 跟踪 1: (1)288 和 123 的最大公约数是 3. (2)93 与 57 的最大公约数是 3. (3)81 是 567 与 405 的最大公约数,而 567 与 405 的最小公倍数为 567×405 ÷81=2835. 例 2 (1)A (2)391

跟踪 21324 例三:3325、130、270 三个数的最大公约数为 5. 跟踪训练 (1)175,100,75 的最大公约数是 25. (2) f(-2)=50. (3)-57

当堂训练 C B D D

5


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