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信息学竞赛NOIP复习资料

时间:2010-10-11


第一章 PASCAL函数和技巧
一、常用函数与过程: * abs(x):y
取x 的绝对值,x 与y 可为整型或实型。 * append(f:text) 用赋给f 的文件名打开存在的外部文件。如果不存在给定的文件,产生错误。如果f 已经存在,就先关 闭再重新打开它。当前文件指针指向文件尾。 * frac(x):y 取x 的小数部分,x 与y 均为实型。 * i

nt(x):y 取x 的整数部分,x 与y 均为实型,常写成trunc(int(x)). * random(x):y 在0-x 之间的整数中随机找一个整数,x 与y 均为整型。 * sin(x):y; cos(x):y; arctan(x):y; exp(x):y; ln(x):y 均与数学运算一致,三角函数返回的均为弧度,转换成角度即乘以Pi 除以180. * copy(str,n1,n2):substr 从字符串str 中取从第n1 个字符开始长度为n2 个字符的子串substr.n1 和n2 是整型表达式,如果n1 大于s 的长度,则返回空字符串。如果指定的n2 大于第n1 个字符后剩下的字符数,则返回剩下的字符 串。

pos(substr,str):num * pos(substr,str):num 查找substr 是否为str 的子串,若是则返回substr 在str 中的起始位置,若否则返回0.
* val(str,int,code) 将字串str 转为数值型数据存入int, 如果字符串无效,其中非法字符的下标放在Code中;否则,code 为 零。 * str(num,str) 将num 表达式转成字符串str。 * delete( str,n1,n2) 从原字符串str 中删去一个从n1 开始长度为n2 的子串,如果Index 比s 长,不删除任何字符。如果指 定的Count 大于从第1ndex 大到结尾的字符数,删除剩余部分。 * Insert(Source String Var S String Index Integer) Insert(Source:String String;Var S:String Index:Integer) String;Index Source是字符串表达式。S 是任意长度的字符串变量。Index 是整型表达式。过程Insert把字符串Source 插入字符串S 中第1ndex 个字符开始的位置上。如果字符串比255 个字符长,则将第255 后面的字符截 去。. * FileSize(var 返回文件字节数。

f:text):longint

* Flush(f:text) 如果正文文件由Rewr 比和Append 打开用来输出,则对F1ush 的调用将腾空文件缓冲区,这保证写向文 件的字符实际写到外部文件上。Flush 对打开用来输入的文件没有作用。 * SetTextBuf(Varf Text Var Buf[Size word]) SetTextBuf(Varf:Text Text;Var Buf[Size:word]) f 是文本文件变量,Buf 是任何变量,Size 是可选的Word 表达式。每个文本文件变量缺省时有一个128 字节的内部缓冲区用于输入输出操作。该缓冲区对大多数程序来说是足够了。然而对于I/O 繁多的子程 序如复制或转换文件,设置大的缓冲区较有利。因为这样减少了磁盘读写头的移动和系统负荷。本过程 使文本文件变量、f 使用指定的缓冲区BMf,而不是内部缓冲区。Size 指定缓冲区的字节数,如果省略 Size,则设成SizeOf(Buf)。也就是说,缺省时,Buf 占用的整个内存区域用作缓冲区。直到f 赋给下一 个文件新的缓冲区之前一直有效。SetTextBuf 不能用于一个打开的文件上,即使可以在Reset,Rewr 加

和Append后立即调用也不行;进行’了I/O 操作后立即对打开文件上调用SetTextBuf 将会因为更改缓 冲区而丢失数据。Buf 通常为一个array[1..4096] of byte;

二、小技巧
1.ord('0')=48; ord('A'):=65; ord('a')=97; chr(32)=’ ‘; chr(33)=’!’; 2.求x^y: int(exp(y*ln(x))) 3.求x 的n 次方根:exp(1/n*ln(x)) 4.标识符不能以数字开头,其中不能有空格,点等符号。 5.说明部分顺序: Lable -> Const -> type -> Var -> Procedure (Function) 6.通常编译器只能识别标识符的前8 个字符。 7.规定false=0,true=1; 8.除实型外其他均为左留空,右看齐,实型向小数点看齐。 9.实型默认场宽:17 位 符号位+11 位数字与一位小数点+’E+00’

第二章 重要定理和公式
一、常见递推关系
1.Fibonacci 数列

A(1)=1; A(2)=1; A(n)=A(nA(nA(n)=A(n-1) + A(n-2);
2.Catalan 数: 考虑具有n 个结点不同形态的二叉树的个数H(n) H (0) = 1; H (n) = H (0) H (n-1) + H (1) H (n-2) + H (2) H (n-3) … + H (n-2) H (1) + H (n-1) H (0) ; -> H (n) = (1/ (n+1)) * C (n, 2n) 3. 第二类Stirling 数: s(n,k)表示含n 个元素的集合划分为k 个集合的情况数A.分类:集合{An}存在,则有s(n-1,k-1); 不存 在则An 和放入k 个集合中的任意一个,共k*s(n-1,k)种。

0 (k=0 or n<k) s(n,k)={ s(n-1,k-1)+k*s(ns(n-1,k-1)+k*s(n-1,k) (n>k>=1)
*:求一个集合总的划分数即为sigema(k=1..n) s(n,k) . 4.数字划分模型 *NOIP2001 数的划分 将整数n 分成k 份,且每份不能为空,任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。 d[0,0]:=1; for p:=1 to n do for i:=p to n do for j:=k downto 1 do inc(d[i,j],d[i-p,j-1]); writeln(d[n,k]); *变形1:考虑顺序 d[ i, j] : = d [ i-k, j-1] (k=1..i) *变形2:若分解出来的每个数均有一个上限m d[ i, j] : = d [ i-k, j-1] (k=1..m) 5.错位排列 d[1] = 0; d[2] = 1; d[n] = (n-1) * (d[n-1] + d[n-2]) 6.

二、图论与计算几何
1.度边定理: sigema di = 2*E 2..三角形面积 |x1 y1 1| s=|x2 y2 1|=x1y2+x2y3+x3y1-x3y2-x2y1-x1y3 |x3 y3 1| *海伦公式: 令p=(a+b+c)/2, 则S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

三、组合公式
1.长度为n 的0-1 串中最多含k 个1 的 例长度为N (N<=31)的01 串中1 的个数小于等于L 的串组成的集合中找出按大小排序后的第I 个01 串。 2 给定序列入栈出栈后可形成的情况总数为C(n,2n) – C(n-1,2n)+1. C(nC(n,2n) 例fjoi2000 在一个列车调度站中,2 条轨道连接到2 条侧轨处,形成2 个铁路转轨站,如下图所示。其中左边轨道 为车皮入口,右边轨道为出口。编号为1,2,……,n 的N 个车皮从入口依次进入转轨站,由调度室安 排车皮进出栈次序,并对车皮按其出栈次序重新编序a1,a2,……,an。 给定正整数N (1<=n<=300) 编程计算右边轨道最多可以得到多少个不同的车皮编序方案。 , 例如当n=3 时, 最多得到6 组不同的编序方案。

四、数论公式
1.模取幂a^b mod n= (..(a mod b)*a) mod b)*a..) mod b; 2.n 的约数的个数 若n 满足n=a1^n1 * a2^n2 * a3^n3 * ... * am^nm,则n 约数的个数为(n1+1)(n2+1)(n3+1)...(nm+1) 3.

五、代数
1 带权中位数 我国蒙古大草原上有N(N 是不大于100 的自然数)个牧民定居点P1(X1,Y1)、P2(X2,Y2)、…Pn(Xn, Yn),相应地有关权重为Wi,现在要求你在大草原上找一点P(Xp,Yp),使P 点到任一点Pi 的距离Di 与 Wi 之积之和为最小。即求D=W1*D1+W2*D2+…+Wi*Di+…+Wn*Dn 有最小值 结论:对x 与y 两个方向分别求解带权中位数,转化为一维。 设最佳点p 为点k,则点k 满足:令W 为点k 到其余各点的带权距离之和,则 sigema( i=1 to k-1) Wi*Di <= W/2 sigema( i=k+1 to n) Wi*Di <= W/2 同时满足上述两式的点k 即为带权中位数。

第三章 基本算法模块
一、数论算法
1.求两数的最大公约数
function gcd(a,b:integer):integer; begin if b=0 then gcd:=a else gcd:=gcd (b,a mod b); end ;

2.求两数的最小公倍数
function lcm(a,b:integer):integer; begin if a<b then swap(a,b); lcm:=a; while lcm mod b>0 do inc(lcm,a); end;

3.素数的求法
A.小范围内判断一个数是否为质数: function prime (n: integer): Boolean; var I: integer; begin for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do if n mod I=0 then begin prime:=false; exit; end; prime:=true; end; B.判断longint 范围内的数是否为素数(包含求50000 以内的素数表): procedure getprime; var i,j:longint; p:array[1..50000] of boolean; begin fillchar(p,sizeof(p),true); p[1]:=false; i:=2; while i<50000 do begin if p[i] then begin j:=i*2; while j<50000 do begin p[j]:=false; inc(j,i); end; end; inc(i); end; l:=0; for i:=1 to 50000 do if p[i] then begin inc(l);pr[l]:=i; end; end;{getprime} function prime(x:longint):integer; var i:integer; begin prime:=false; for i:=1 to l do if pr[i]>=x then break else if x mod pr[i]=0 then exit; prime:=true; end;{prime}

二、图论算法
1.最小生成树
A.Prim算法: A.Prim procedure prim(v0:integer); var lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;

i,j,k,min:integer; begin for i:=1 to n do begin lowcost[i]:=cost[v0,i]; closest[i]:=v0; end; for i:=1 to n-1 do begin {寻找离生成树最近的未加入顶点k} min:=maxlongint; for j:=1 to n do if (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then begin min:=lowcost[j]; k:=j; end; lowcost[k]:=0; {将顶点k 加入生成树} {生成树中增加一条新的边k 到closest[k]} {修正各点的lowcost 和closest 值} for j:=1 to n do if cost[k,j]<lwocost[j] then begin lowcost[j]:=cost[k,j]; closest[j]:=k; end; end; end;{prim} B.Kruskal 算法:(贪心) ( ) 按权值递增顺序删去图中的边,若不形成回路则将此边加入最小生成树。 function find(v:integer):integer; {返回顶点v 所在的集合} var i:integer; begin i:=1; while (i<=n) and (not v in vset[i]) do inc(i); if i<=n then find:=i else find:=0; end; procedure kruskal; var tot,i,j:integer; begin for i:=1 to n do vset[i]:=[i];{初始化定义n 个集合,第I 个集合包含一个元素I} p:=n-1; q:=1; tot:=0; {p 为尚待加入的边数,q 为边集指针} sort; {对所有边按权值递增排序,存于e[I]中,e[I].v1 与e[I].v2 为边I 所连接的两个顶点的 序号,e[I].len 为第I 条边的长度} while p>0 do begin i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2); if i<>j then begin inc(tot,e[q].len); vset[i]:=vset[i]+vset[j];vset[j]:=[]; dec(p); end; inc(q); end; writeln(tot);

end;

2.最短路径
A.标号法求解单源点最短路径: A. var a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点i 到源点的最短路径} mark:array[1..maxn] of boolean; procedure bhf; var best,best_j:integer; begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); mark[1]:=true; b[1]:=0;{1 为源点} repeat best:=0; for i:=1 to n do If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点} for j:=1 to n do if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then if (best=0) or (b[i]+a[i,j]<best) then begin best:=b[i]+a[i,j]; best_j:=j; end; if best>0 then begin b[best_j]:=best;mark[best_j]:=true; end; until best=0; end;{bhf} B.Floyed 算法求解所有顶点对之间的最短路径: procedure floyed; begin for I:=1 to n do for j:=1 to n do if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示I 到j 的最短路径上j 的前驱结点} for k:=1 to n do {枚举中间结点} for i:=1 to n do for j:=1 to n do if a[i,k]+a[j,k]<a[i,j] then begin a[i,j]:=a[i,k]+a[k,j]; p[I,j]:=p[k,j]; end; end; C. Dijkstra 算法: var a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; b,pre:array[1..maxn] of integer; {pre[i]指最短路径上I 的前驱结点} mark:array[1..maxn] of boolean; procedure dijkstra(v0:integer); begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); for i:=1 to n do begin d[i]:=a[v0,i];

if d[i]<>0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0; end; mark[v0]:=true; repeat {每循环一次加入一个离1 集合最近的结点并调整其他结点的参数} min:=maxint; u:=0; {u 记录离1 集合最近的结点} for i:=1 to n do if (not mark[i]) and (d[i]<min) then begin u:=i; min:=d[i]; end; if u<>0 then begin mark[u]:=true; for i:=1 to n do if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]<d[i]) then begin d[i]:=a[u,i]+d[u]; pre[i]:=u; end; end; until u=0; end;

3.计算图的传递闭包
Procedure Longlink; Var T:array[1..maxn,1..maxn] of boolean; Begin Fillchar(t,sizeof(t),false); For k:=1 to n do For I:=1 to n do For j:=1 to n do T[I,j]:=t[I,j] or (t[I,k] and t[k,j]); End;

4.无向图的连通分量
A.深度优先 procedure dfs ( now,color: integer); begin for i:=1 to n do if a[now,i] and c[i]=0 then begin {对结点I 染色} c[i]:=color; dfs(I,color); end; end; B 宽度优先(种子染色法)

5.关键路径
几个定义: 顶点1 为源点,n 为汇点。 a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve (1) = 0; b. 顶点事件最晚发生时间Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中Vl(n) = Ve(n); c. 边活动最早开始时间Ee[I], 若边I 由<j,k>表示,则Ee[I] = Ve[j]; d. 边活动最晚开始时间El[I], 若边I 由<j,k>表示,则El[I] = Vl[k] – w[j,k]; 若Ee[j] = El[j] ,则活动j 为关键活动,由关键活动组成的路径为关键路径。 求解方法: a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve; b. 从汇点起topsort,求Vl; c. 算Ee 和El;

6.拓扑排序
找入度为0 的点,删去与其相连的所有边,不断重复这一过程。 例寻找一数列,其中任意连续p 项之和为正,任意q 项之和为负,若不存在则输出NO.

7.回路问题
Euler 回路(DFS) (DFS) 定义:经过图的每条边仅一次的回路。(充要条件:图连同且无奇点) Hamilton 回路 定义:经过图的每个顶点仅一次的回路。 一笔画 充要条件:图连通且奇点个数为0 个或2 个。

9.判断图中是否有负权回路Bellman-ford 算法
x[I],y[I],t[I]分别表示第I 条边的起点,终点和权。共n 个结点和m 条边。 procedure bellman-ford begin for I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive; d[0]:=0; for I:=1 to n-1 do for j:=1 to m do {枚举每一条边} if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then d[y[j]]:=d[x[j]]+t[j]; for I:=1 to m do if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then return false else return true; end;

10.第n 最短路径问题
*第二最短路径:每举最短路径上的每条边,每次删除一条,然后求新图的最短路径,取这些路径中最短 的一条即为第二最短路径。 *同理,第n 最短路径可在求解第n-1 最短路径的基础上求解。

三、背包问题
*部分背包问题可有贪心法求解:计算Pi/Wi 数据结构: w[i]:第i 个背包的重量;p[i]:第i 个背包的价值;

1.0-1 背包: 0

每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次):A. A.求最多可放入的重量。 A.

NOIP2001 装箱问题 有一个箱子容量为v(正整数, o≤v≤20000), 同时有n 个物品(o≤n≤30), 每个物品有一个体积(正整数)。 要求从n 个物品中,任取若千个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。 搜索方法 procedure search(k,v:integer); {搜索第k 个物品,剩余空间为v} var i,j:integer; begin if v<best then best:=v;
第7 页 2002 分区联赛复习资料徐沛来

if v-(s[n]-s[k-1])>=best then exit; {s[n]为前n 个物品的重量和} if k<=n then begin if v>w[k] then search(k+1,v-w[k]); search(k+1,v); end; end; DP F[I,j]为前i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为j 的标志,为布尔型。实现:将最优化问题转化为 判定性问题

f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j<=v) 边界:f[0,0]:=true. For I:=1 to n do For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]]; 优化:当前状态只与前一阶段状态有关,可降至一维。 F[0]:=true; For I:=1 to n do begin F1:=f; For j:=w[I] to v do If f[j-w[I]] then f1[j]:=true; F:=f1; End; B.求可以放入的最大价值。 B. F[I,j] 为容量为I 时取前j 个背包所能获得的最大价值。

ji,jF [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] }
C.求恰好装满的情况数。 C. DP: Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then if j+now<=n then inc(c[j+now],a[j]); a:=c; end;

2.可重复背包
A 求最多可放入的重量。 F[I,j]为前i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为j 的标志,为布尔型。状态转移方程为 f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I]) B.求可以放入的最大价值。 B. USACO 1.2 Score Inflation 进行一次竞赛,总时间T 固定,有若干种可选择的题目,每种题目可选入的数量不限,每种题目有一个 ti(解答此题所需的时间)和一个si(解答此题所得的分数),现要选择若干题目,使解这些题的总时 间在T 以内的前提下,所得的总分最大,求最大的得分。 *易想到:

f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0<=k<= i div w[j])
其中f[i,j]表示容量为i 时取前j 种背包所能达到的最大值。 *实现: Begin FillChar(f,SizeOf(f),0); For i:=1 To M Do For j:=1 To N Do If i-problem[j].time>=0 Then Begin t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time]; If t>f[i] Then f[i]:=t; End; Writeln(f[M]); End. C.求恰好装满的情况数。 C. Ahoi2001 Problem2

求自然数n 本质不同的质数和的表达式的数目。 思路一,生成每个质数的系数的排列,在一一测试,这是通法。 procedure try(dep:integer); var i,j:integer; begin cal; {此过程计算当前系数的计算结果,now 为结果} if now>n then exit; {剪枝} if dep=l+1 then begin {生成所有系数} cal; if now=n then inc(tot); exit; end; for i:=0 to n div pr[dep] do begin xs[dep]:=i; try(dep+1); xs[dep]:=0; end; end; 思路二,递归搜索效率较高 procedure try(dep,rest:integer); var i,j,x:integer; begin if (rest<=0) or (dep=l+1) then begin if rest=0 then inc(tot); exit; end; for i:=0 to rest div pr[dep] do try(dep+1,rest-pr[dep]*i); end; {main: try(1,n); } 思路三:可使用动态规划求解 USACO1.2 money system V 个物品,背包容量为n,求放法总数。 转移方程: Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then for k:=1 to n div now do if j+now*k<=n then inc(c[j+now*k],a[j]); a:=c; end; {main} begin read(now); {读入第一个物品的重量} i:=0; {a[i]为背包容量为i 时的放法总数} while i<=n do begin a[i]:=1; inc(i,now); end; {定义第一个物品重的整数倍的重量a 值为1,作为初值} for i:=2 to v do begin

read(now); update; {动态更新} end; writeln(a[n]);

四、排序算法
1.快速排序: 1. procedure qsort(l,r:integer); var i,j,mid:integer; begin i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数} repeat while a[i]<mid do inc(i); {在左半部分寻找比中间数大的数} while a[j]>mid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数} if i<=j then begin {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们} swap(a[i],a[j]); inc(i);dec(j); {继续找} end; until i>j; if l<j then qsort(l,j); {若未到两个数的边界,则递归搜索左右区间} if i<r then qsort(i,r); end;{sort} B.插入排序: B. 思路:当前a[1]..a[i-1]已排好序了,现要插入a[i]使a[1]..a[i]有序。 procedure insert_sort; var i,j:integer; begin for i:=2 to n do begin a[0]:=a[i]; j:=i-1; while a[0]<a[j] do begin a[j+1]:=a[j]; j:=j-1; end; a[j+1]:=a[0]; end; end;{inset_sort} C.选择排序: C. procedure sort; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if a[i]>a[j] then swap(a[i],a[j]); end; D. 冒泡排序 procedure bubble_sort; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=n downto i+1 do if a[j]<a[j-1] then swap( a[j],a[j-1]); {每次比较相邻元素的关系}

end; E.堆排序: E. procedure sift(i,m:integer);{调整以i 为根的子树成为堆,m 为结点总数} var k:integer; begin a[0]:=a[i]; k:=2*i;{在完全二叉树中结点i 的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1} while k<=m do begin if (k<m) and (a[k]<a[k+1]) then inc(k);{找出a[k]与a[k+1]中较大值} if a[0]<a[k] then begin a[i]:=a[k];i:=k;k:=2*i; end else k:=m+1; end; a[i]:=a[0]; {将根放在合适的位置} end; procedure heapsort; var j:integer; begin for j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n); for j:=n downto 2 do begin swap(a[1],a[j]); sift(1,j-1); end; end; F. 归并排序 {a 为序列表,tmp 为辅助数组} procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer); {将已排序好的子序列a[p..q]与a[q+1..r]合并为有序的tmp[p..r]} var I,j,t:integer; tmp:listtype; begin t:=p;i:=p;j:=q+1;{t 为tmp 指针,I,j 分别为左右子序列的指针} while (t<=r) do begin if (i<=q){左序列有剩余} and ((j>r) or (a[i]<=a[j])) {满足取左边序列当前元素的要求} then begin tmp[t]:=a[i]; inc(i); end else begin tmp[t]:=a[j];inc(j); end; inc(t); end; for i:=p to r do a[i]:=tmp[i]; end;{merge} procedure merge_sort(var a:listtype; p,r: integer); {合并排序a[p..r]} var q:integer; begin if p<>r then begin q:=(p+r-1) div 2; merge_sort (a,p,q); merge_sort (a,q+1,r); merge (a,p,q,r); end;

end; {main} begin merge_sort(a,1,n); end. G.基数排序 G. 思想:对每个元素按从低位到高位对每一位进行一次排序

五、高精度计算
高精度数的定义: type hp=array[1..maxlen] of integer; 1.高精度加法 procedure plus ( a,b:hp; var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0]; for i:=1 to len do begin inc(c[i],a[i]+b[i]); if c[i]>10 then begin dec(c[i],10); inc(c[i+1]); end; {进位} end; if c[len+1]>0 then inc(len); c[0]:=len; end;{plus} 2.高精度减法 procedure substract(a,b:hp;var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0]; for i:=1 to len do begin inc(c[i],a[i]-b[i]); if c[i]<0 then begin inc(c[i],10);dec(c[i+1]); end; while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); c[0]:=len; end; 3.高精度乘以低精度 procedure multiply(a:hp;b:longint;var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a[0]; for i:=1 to len do begin inc(c[i],a[i]*b); inc(c[i+1],(a[i]*b) div 10); c[i]:=c[i] mod 10; end; inc(len); while (c[len]>=10) do begin {处理最高位的进位} c[len+1]:=c[len] div 10; c[len]:=c[len] mod 10;

inc(len); end; while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); {若不需进位则调整len} c[0]:=len; end;{multiply} 4.高精度乘以高精度 procedure high_multiply(a,b:hp; var c:hp} var i,j,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); for i:=1 to a[0] do for j:=1 to b[0] do begin inc(c[i+j-1],a[i]*b[j]); inc(c[i+j],c[i+j-1] div 10); c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10; end; len:=a[0]+b[0]+1; while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); c[0]:=len; end; 5.高精度除以低精度 procedure devide(a:hp;b:longint; var c:hp; var d:longint); {c:=a div b; d:= a mod b} var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a[0]; d:=0; for i:=len downto 1 do begin d:=d*10+a[i]; c[i]:=d div b; d:=d mod b; end; while (len>1) and (c[len]=0) then dec(len); c[0]:=len; end; 6.高精度除以高精度 procedure high_devide(a,b:hp; var c,d:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); fillchar(d,sizeof(d),0); len:=a[0];d[0]:=1; for i:=len downto 1 do begin multiply(d,10,d); d[1]:=a[i]; while(compare(d,b)>=0) do {即d>=b} begin Subtract(d,b,d); inc(c[i]); end; end;

while(len>1)and(c.s[len]=0) do dec(len); c.len:=len; end;

六、树的遍历
1.已知前序中序求后序
procedure Solve(pre,mid:string); var i:integer; begin if (pre='') or (mid='') then exit; i:=pos(pre[1],mid); solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1)); solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i)); post:=post+pre[1]; {加上根,递归结束后post 即为后序遍历} end; 2.已知中序后序求前序 procedure Solve(mid,post:string); var i:integer; begin if (mid='') or (post='') then exit; i:=pos(post[length(post)],mid); pre:=pre+post[length(post)]; {加上根,递归结束后pre 即为前序遍历} solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1)); solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i)); end; 3.已知前序后序求中序的一种 function ok(s1,s2:string):boolean; var i,l:integer; p:boolean; begin ok:=true; l:=length(s1); for i:=1 to l do begin p:=false; for j:=1 to l do if s1[i]=s2[j] then p:=true; if not p then begin ok:=false;exit;end; end; end; procedure solve(pre,post:string); var i:integer; begin if (pre='') or (post='') then exit; i:=0; repeat inc(i); until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i)); solve(copy(pre,2,i),copy(post,1,i)); midstr:=midstr+pre[1]; solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1)); end;

七进制转换
1 任意正整数进制间的互化

除n 取余 2 实数任意正整数进制间的互化 乘n 取整 3 负数进制: 设计一个程序,读入一个十进制数的基数和一个负进制数的基数,并将此十进制数转 换为此负进制下的数:-R∈{-2,-3,-4,....-20}

八全排列与组合的生成
1 排列的生成:(1..n) procedure solve(dep:integer); var i:integer; begin if dep=n+1 then begin writeln(s);exit; end; for i:=1 to n do if not used[i] then begin s:=s+chr(i+ord('0'));used[i]:=true; solve(dep+1); s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false; end; end; 2 组合的生成(1..n 中选取k 个数的所有方案) procedure solve(dep,pre:integer); var i:integer; begin if dep=k+1 then begin writeln(s);exit; end; for i:=1 to n do if (not used[i]) and (i>pre) then begin s:=s+chr(i+ord('0'));used[i]:=true; solve(dep+1,i); s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false; end; end;

九.查找算法
1 折半查找 function binsearch(k:keytype):integer; var low,hig,mid:integer; begin low:=1;hig:=n; mid:=(low+hig) div 2; while (a[mid].key<>k) and (low<=hig) do begin if a[mid].key>k then hig:=mid-1 else low:=mid+1; mid:=(low+hig) div 2; end; if low>hig then mid:=0; binsearch:=mid; end; 2 树形查找 二叉排序树:每个结点的值都大于其左子树任一结点的值而小于其右子树任一结点的值。 查找

function treesrh(k:keytype):pointer; var q:pointer; begin q:=root; while (q<>nil) and (q^.key<>k) do if k<q^.key then q:=q^.left else q:=q^.right; treesrh:=q; end;

十、贪心
*会议问题 (1) n 个活动每个活动有一个开始时间和一个结束时间,任一时刻仅一项活动进行,求 满足活动数最多的情况。 解:按每项活动的结束时间进行排序,排在前面的优先满足。 (2)会议室空闲时间最少。 (3)每个客户有一个愿付的租金,求最大利润。 (4)共R 间会议室,第i 个客户需使用i 间会议室,费用相同,求最大利润。

十一、回溯法框架
1. n 皇后问题 procedure try(i:byte); var j:byte; begin if i=n+1 then begin print;exit;end; for j:=1 to n do if a[i] and b[j+i] and c[j-i] then begin x[i]:=j; a[j]:=false; b[j+i]:=false; c[j-i]:=false; try(i+1); a[j]:=true; b[i+j]:=true; c[j-i]:=true; end; end; h(n)=2*h(n2.Hanoi Tower h(n)=2*h(n-1)+1 h(1)=1 初始所有铜片都在a 柱上 procedure hanoi(n,a,b,c:byte); {将第n 块铜片从a 柱通过b 柱移到c 柱上} begin if n=0 then exit; hanoi(n-1,a,c,b); {将上面的n-1 块从a 柱通过c 柱移到b 柱上} write(n,’moved from’,a,’to’,c); hanoi(n-1,b,a,c);{ 将b 上的n-1 块从b 柱通过a 柱移到c 柱上 end; 初始铜片分布在3 个柱上,给定目标柱goal h[1..3,0..n]存放三个柱的状态,now 与nowp 存最大的不到位的铜片的柱号和编号,h[I,0]存 第I 个柱上的个数。 Procedure move(k,goal:integer); {将最大不到位的k 移到目标柱goal 上} Begin If k=0 then exit; For I:=1 to 3 do For j:=1 to han[I,0] do If h[I,j]=k then begin now:=I;nowp:=j; end; {找到k 的位置} If now<>goal then begin {若未移到目标} Move(k-1,6-now-goal); {剩下的先移到没用的柱上}

Writeln(k moved from now to goal); H[goal,h[goal,0]+1]:=h[now,nowp]; h[now,nowp]:=0; Inc(h[goal,0]); dec(h[now,0]); Move(k-1,goal); {剩下的移到目标上} End;

十二、DFS 框架
NOIP2001 数的划分 procedure work(dep,pre,s:longint); {入口为work(1,1,n)} {dep 为当前试放的第dep 个数,pre 为前一次试放的数,s 为当前剩余可分的总数} var j:longint; begin if dep=n then begin if s>=pre then inc(r); exit; end; for j:=pre to s div 2 do work(dep+1,j,s-j); end; 类似: procedure try(dep:integer); var i:integer; begin if dep=k then begin if tot>=a[dep-1] then inc(sum); exit; end; for i:=a[dep-1] to tot div 2 do begin a[dep]:=i; dec(tot,i); try(dep+1); inc(tot,i); end; end;{try}

十三、BFS 框架
IOI94 房间问题 head:=1; tail:=0; while tail<head do begin inc(tail); for k:=1 to n do if k 方向可扩展then begin inc(head); list[head].x:=list[tail].x+dx[k]; {扩展出新结点list[head]} list[head].y:=list[tail].y+dy[k]; 处理新结点list[head]; end; end;

十五、数据结构相关算法
1.链表的定位函数loc(I:integer):pointer; {寻找链表中的第I 个结点的指针} procedure loc(L:linklist; I:integer):pointer; var p:pointer; j:integer; begin p:=L.head; j:=0; if (I>=1) and (I<=L.len) then

while j<I do begin p:=p^.next; inc(j); end; loc:=p; end; 2.单链表的插入操作 procedure insert(L:linklist; I:integer; x:datatype); var p,q:pointer; begin p:=loc(L,I); new(q); q^.data:=x; q^.next:=p^.next; p^.next:=q; inc(L.len); end; 3.单链表的删除操作 procedure delete(L:linklist; I:integer); var p,q:pointer; begin p:=loc(L,I-1); q:=p^.next; p^.next:=q^.next; dispose(q); dec(L.len); end; 4.双链表的插入操作(插入新结点q) p:=loc(L,I); new(q); q^.data:=x; q^.pre:=p; q^.next:=p^.next; p^.next:=q; q^.next^.pre:=q; 5.双链表的删除操作 p:=loc(L,I); {p 为要删除的结点} p^.pre^.next:=p^.next; p^.next^.pre:=p^.pre; dispose(p); 6.算符优先法求解表达式求值问题 const maxn=50; var s1:array[1..maxn] of integer; {s1 为数字栈} s2:array[1..maxn] of char; {s2 为算符栈} t1,t2:integer; {栈顶指针} procedure calcu; var x1,x2,x:integer; p:char; begin p:=s2[t2]; dec(t2); x2:=s1[t1]; dec(t1); x1:=s1[t1]; dec(t1); case p of

'+':x:=x1+x2; '-':x:=x1-x2; '*':x:=x1*x2; '/':x:=x1 div 2; end; inc(t1);s1[t1]:=x; end; procedure work; var c:char;v:integer; begin t1:=0;t2:=0; read(c); while c<>';' do case c of '+','-': begin while (t2>0) and (s2[t2]<>'(') do calcu; inc(t2);s2[t2]:=c; read(c); end ; '*','/':begin if (t2>0) and ((s2[t2]='*') or (s2[t2]='/')) then calcu; inc(t2);s2[t2]:=c; read(c); end; '(':begin inc(t2); s2[t2]:=c; read(c); end; ')':begin while s2[t2]<>'(' do calcu; dec(t2); read(c); end; '0'..'9':begin v:=0; repeat v:=10*v+ord(c)-ord('0'); read(c); until (c<'0') or (c>'9'); inc(t1); s1[t1]:=v; end; end; while t2>0 do calcu; writeln(s1[t1]); end;

第四章 搜索问题
一.递归与回溯 .
1. n 皇后问题 procedure try(i:byte); var j:byte; begin if i=n+1 then begin print;exit;end; for j:=1 to n do if a[i] and b[j+i] and c[j-i] then begin

x[i]:=j; a[j]:=false; b[j+i]:=false; c[j-i]:=false; try(i+1); a[j]:=true; b[i+j]:=true; c[j-i]:=true; end; end; h(n)=2*h(n2.Hanoi Tower h(n)=2*h(n-1)+1 h(1)=1 初始所有铜片都在a 柱上 procedure hanoi(n,a,b,c:byte); {将第n 块铜片从a 柱通过b 柱移到c 柱上} begin if n=0 then exit; hanoi(n-1,a,c,b); {将上面的n-1 块从a 柱通过c 柱移到b 柱上} write(n,’moved from’,a,’to’,c); hanoi(n-1,b,a,c);{ 将b 上的n-1 块从b 柱通过a 柱移到c 柱上 end; 初始铜片分布在3 个柱上,给定目标柱goal h[1..3,0..n]存放三个柱的状态,now 与nowp 存最大的不到位的铜片的柱号和编号,h[I,0]存 第I 个柱上的个数。 Procedure move(k,goal:integer); {将最大不到位的k 移到目标柱goal 上} Begin If k=0 then exit; For I:=1 to 3 do For j:=1 to han[I,0] do If h[I,j]=k then begin now:=I;nowp:=j; end; {找到k 的位置} If now<>goal then begin {若未移到目标} Move(k-1,6-now-goal); {剩下的先移到没用的柱上} Writeln(k moved from now to goal); H[goal,h[goal,0]+1]:=h[now,nowp]; h[now,nowp]:=0; Inc(h[goal,0]); dec(h[now,0]); Move(k-1,goal); {剩下的移到目标上} End;

二.深度优先搜索(DFS . DFS) DFS
1.NOIP2001 数的划分 将整数n 分成k 份,且每份不能为空,任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。 例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的。 1,1,5; 1,5,1; 5,1,1; 问有多少种不同的分法。 输入:n,k (6<n<=200,2<=k<=6) 输出:一个整数,即不同的分法。 procedure work(dep,pre,s:longint); {入口为work(1,1,n)} {dep 为当前试放的第dep 个数,pre 为前一次试放的数,s 为当前剩余可分的总数} var j:longint; begin if dep=n then begin if s>=pre then inc(r); exit; end; for j:=pre to s div 2 do work(dep+1,j,s-j); end; 也可利用回溯思想 procedure try(dep:integer); var i:integer;

begin if dep=k then begin if tot>=a[dep-1] then inc(sum); exit; end; for i:=a[dep-1] to tot div 2 do begin a[dep]:=i; dec(tot,i); try(dep+1); inc(tot,i); end; end;{try}

三.宽度优先搜索(BFS . BFS) BFS
1.IOI94 房间问题 框架: head:=1; tail:=0; while tail<head do begin inc(tail); for k:=1 to n do if k 方向可扩展then begin inc(head); list[head].x:=list[tail].x+dx[k]; {扩展出新结点list[head]} list[head].y:=list[tail].y+dy[k]; 处理新结点list[head]; end; end;

五.穷举法 .
NOIP1999 邮票面值设计 给定一个信封,最多只允许粘贴N 张邮票,计算在给定K(N+k<=40) 种邮票的情 况下(假定所有的邮票数量都足够),如何设计邮票的面值,能得到最大max ,使得1-max 之间的每一个邮资值都能得到。 program noip994; var n,k:integer; procedure get(p:integer,var maxn:integer); var begin t:=can; for i:=1 to p do for j:=0 to maxn do if can[j] then t[j+now[i]]:=true; can:=t; maxn:=maxn+now[p]; end; procedure solve(p,last,max:integer); begin if p=k then begin if max>best then begin best:=max;answer:=now; end; exit; end; for i:=last+1 to max+1 do begin

now[p+1]:=i; h:=0; fillchar(can,sizeof(can),false); can[0]:=true; for j:=1 to n do get(p+1,h); for j:=1 to h+1 do if not can[j] then begin ma:=j-1;break;end; solve(p+1,i,ma); end; end; {main} begin readln(n,k); best:=0; solve(0,0,0); i:=0

六.贪心法 .
1.NOIP1999 旅行家的预算 NOIP1999 一个旅行家想驾驶汽车以最少的费用从一个城市到另一个城市(假设出发时油箱是空的)。给定两个城 市之间的距离D1、 汽车油箱的容量C (以升为单位) 每升汽油能行驶的距离D2、 . 出发点每升汽油价格P 和 沿途油站数N(N 可以为零),油站i 离出发点的距离Di、每升汽油价格Pi( i=l,2,...N)。 计算结果四舍五入至小数点后两位。 如果无法到达目的地,则输出“No solution”。

第四章 动态规划
一、匹配问题
1 两行正整数,第一行与第二行中相同的数可匹配,求最大匹配数满足:a.每条p 匹配线段恰好和一条 q-匹配线段相交(p<>q), b.不存在两条线段从一个数出发。 F[I,j]: 第一行前I 个与第二行前j 个的最大匹配数。 F[I,j]= Max{ f [ I, j-1],f [ j, I-1], max{ f [ p-1, q-1] + 2} } ([ p,j ]和[ I,q ]是两个匹配) 2 河两岸各有n 个城市,两岸城市一一对应为友好城市,求友好城市的最大匹配使任意友好 城市间的航线不相交。 *可转化为求最长非递降子序列

二、序列问题
1 最长非递降子序列 2 最长公共子串(LCS)

三、分割问题 四、矩阵路径


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