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历年高考数学圆锥曲线试题汇总

时间:2015-04-20


高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题

x2 y 2 1.设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于( C ) a b
(A) 3 2.已知椭圆 C : 则 | AF | = (A). (B)2 (C) 5 (D) 6

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l , 点 A?l , 线段 AF 交 C 于点 B , 若F A ?3 F B , 2

2

(B). 2

(C). 3

(D). 3

x2 y 2 3.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 a b 1 的交点分别为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 ( ) 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 2 2 x y 4.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,且 BF ? x 轴, 直 a b 线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( )
A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

2 5.点 P 在直线 l : y ? x ? 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x 于 A, B 两点,且

| PA ?| AB | ,则称点 P 为“
A.直线 l 上的所有点都是“ B.直线 l 上仅有有限个点是“ C.直线 l 上的所有点都不是“

点”,那么下列结论中正确的是 点” 点” 点” 点”





D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 6. 设双曲线 ( ). A.

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 2 a b

5 4

B. 5

C.

5 2
2

D. 5

7.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF(O 为坐标原点) 的面积为 4,则抛物线方程为( ).
-1-

A. y 2 ? ? 4 x

B. y 2 ? ? 8x

C. y 2 ? 4 x

D. y 2 ? 8x

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r= 8.双曲线 6 3
(A) 3 (B)2 (C)3 (D)6

9.已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y 2 ? 8x 相交 A、 B 两点, F 为 C 的焦点。 若 FA ? 2 FB , 则 k= (A)

1 3

(B)

2 3

(C)

2 3

(D)

2 2 3

10.下列曲线中离心率为 6 的是 2 (A)

x2 y 2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 (C) x ? y ? 1

4

6

(D) x ? y ? 1
4 10

2

2

11.下列曲线中离心率为

6 的是 2

A.

B.

C.

D.

12.直线 过点(-1,2)且与直线垂直,则 的方程是 A. C. 13.设 F 1 和 F2 为双曲线 顶点,则双曲线的离心率为 A. B. D.

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 ,P(0, 2b) 是正三角形的三个 a 2 b2
5 2

3 2

B. 2

C.

D.3

14. 过 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 左 焦 点 F1 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 P , F2 为 右 焦 点 , 若 a 2 b2

?F1PF2 ? 60 ,则椭圆的离心率为
A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

15.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为( ) a2 b2

-2-

A y ? ? 2x

B y ? ?2 x

C y??

2 x 2

Dy??

1 x 2

16.已知双曲线 点的充要条件是

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交 2 2 4 b

A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
2 2? , ? 2 2 ?

B. K ? ? ??, ? ? 2

? ?

1? ?

?1 ? , ?? ? ? ?2 ?
? 2 ? , ?? ? ? ? ? 2 ?

? ?

D. K ? ? ??, ?

? ? ?

2? ? 2 ?

17. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 2 b2

P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF PF2 = 1 ·
A. -12 B. -2 C. 0 D. 4 18. 已 知 直 线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与 抛 物 线 C : y 2 ? 8x 相 交 于 A、B 两 点 , F 为 C 的 焦 点 , 若

| FA |? 2 | FB | ,则 k ?
A.

1 3

B.

2 3
x2 a

C.

2 3

D.

2 2 3

19.已知双曲线 C: 2 ?

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A、B 两 b2

点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为 A.

6 5

B.
2

7 5

C.

5 8

D.

9 5


20.抛物线 y ? ?8x 的焦点坐标是【

A. (2,0) B. (- 2,0) C. (4,0) D. (- 4,0) 21.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

(B) ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

x2 y 2 22.双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12
(A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1

23.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 ? 的方程为_____________.
-3-

24.过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆学 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为 (A) 3 (B)2 (C) 6 (D)2 3

25.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 26. 已知双曲线 (B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 2 b2

P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF PF2 = 1 ·
A. -12 27.设双曲线 B. -2 C. 0 D. 4

x2 y 2 - 2 =1? a>0,b>0 ? 的渐近线与抛物线 y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于 2 a b
(B)2 (C) 5 (D) 6

(A) 3

28.已知椭圆 C : 则 AF = (A)

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F,右准线 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B。若 FA ? 3FB , 2

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3

29.已知双曲线 A.3

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的准线经过椭圆 ? 2 ? 1 (b>0)的焦点,则 b= 2 2 4 b

B. 5

C. 3

D. 2

30.设抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物线的 准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF = S?ACF

(A)

4 5

(B)

2 3

(C)

4 7

(D)

1 2

31. 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 其 一 条 渐 近 线 方 程 为 y ? x , 点 2 b2

P( 3,y0 )在该双曲线上,则 PF1 ? PF2 =
A. ?12 B. ?2 C .0 D. 4
2

32.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距 离之和的最小值是 A.2 B.3 C.

11 5
-4-

D.

37 16

33.已知圆 C1 : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程为 (A) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (C) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (B) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (D) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1

34.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于 a 2 32
B.

A. 2

3

C.

3 2


D. 1

35.直线 y ? x ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系为( A.相切 B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心

D.相离

36.已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? 个实数解,则 m 的取值范围为( A. ( )

? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ,其中 m ? 0 。若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?
4 8 3 3 4 3

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

D. ( , 7) )

37.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1
2 2

B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 D. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1

?AOB 38.过圆 C: 作直线分别交 x、 y 正半轴于点 A、 B, ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 的圆心,
被圆分成四部分 (如图) , 若这四部分图形面积满足 S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有 ( (A) 0 条 二、填空题 1.若⊙O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、 B 两点, 且两圆在点 A 处的切线 互相垂直,则线段 AB 的长度是 w (B) 1 条 (C) 2 条 (D) 3 条 )

2.若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则 m 的倾斜角 可以是 ①15 ②30 ③45 ④ 60 ⑤75

其中正确答案的序号是
2 2 2

.(写出所有正确答案的序号)
2

3. 若 圆 x ? y ? 4 与 圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 ( a>0 ) 的 公 共 弦 的 长 为 2 3 , 则 。 4. 过原点 O 作圆 x2+y2- - 6x - 8y + 20=0 的两条切线,设切点分别为 P 、 Q ,则线段 PQ 的长 为 。

a ? ___________

-5-

x2 y 2 P使 5.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 (?c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在一点 a b

a c ,则该椭圆的离心率的取值范围为 ? sin PF1F2 sin PF2 F1
6.已知双曲线



x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若双曲线上存在一点 a 2 b2


P使

sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? 7.椭圆 9 2
大小为 .

; ?F 1PF 2的

8.设 f ( x ) 是偶函数,若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 1,则该曲线在 (?1, f (?1)) 处 的切线的斜率为_________. 9.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? _________; ?F1PF2 的 9 2

小大为__________.

x2 y 2 10.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, F 为 a b 其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆
的离心率为
2

.
2

11.已知圆 O: x ? y ? 5 和点 A(1,2) ,则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的 面积等于 12.巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 . .

3 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距 2

13.以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是
2 2 2 2

14.若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 2 3 ,则 a=________. 15.抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离是
2

.

16.过双曲线 C:

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点作圆 x2 ? y 2 ? a2 的两条切线,切点分别为 A, 2 a b

B,若 ?AOB ? 120 (O 是坐标原点) ,则双曲线线 C 的离心率为 17.(2009 福建卷理)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两
2

-6-

点,若线段 AB 的长为 8,则 p ? ________________

x2 y 2 18.以知 F 是双曲线 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 的最小值 4 12
为 。 19.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离是 .

20.已知抛物线 C 的顶点坐标为原点, 焦点在 x 轴上, 直线 y=x 与抛物线 C 交于 A, B 两点, 若 P ? 2,2? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 。
o

21.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为 60 C 的离心率为 22.已知 F1 、F2 是椭圆 C :

,则双曲线

x2 y2 ? ?1 ( a > b >0) 的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点, 且 PF 1 ? PF 2 . a2 b2

若 ?PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 23.已知 F1、F2 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, p 为椭圆 C 上的一点,且 PF1 ? PF2 。 a 2 b2
.

b? 若 ?PF 1F 2 的面积为 9,则
三、解答题

1. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 2

2 2 和 F2 ,椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x ? y ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点

Ak .
(1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

-7-

2.(本小题满分 12 分) 如图,已知抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A 、B 、

C 、 D 四个点。
(I)求 r 得取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标

3.(本题满分 15 分)已知椭圆 C1 : 长轴的弦长为 1 . (I)求椭圆 C1 的方程;

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过 C1 的焦点且垂直 a 2 b2

(II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x2 ? h (h ? R) 上, C2 在点 P 处 的切线与 C1 交于点 M , N .当线段 AP 的中点与 MN 的中 点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

4.(本题满分 15 分)已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m, 4) 到其焦点的距离为
2

17 . 4

(I)求 p 与 m 的值; (II)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t ? 0) ,过 P 的直线交 C 于另一点 Q ,交 x 轴于点 M , 过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N .若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值.

-8-

5. (本小题共 14 分)

x2 y 2 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 a b

x?

3 。 3
(Ⅰ )求双曲线 C 的方程; (Ⅱ )已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆 x2 ? y 2 ? 5

上,求 m 的值.

6.(本小题共 14 分)已知双曲线 C : (Ⅰ )求双曲线 C 的方程;

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 2 a b 3

(Ⅱ )设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交于不同的两
2 2

点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.

7.(本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) ,其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距离 为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。

-9-

x2 y 2 8.(本小题满分 14 分)设椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐 a b
标原点, (I)求椭圆 E 的方程; (II) 是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ? 若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

9. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 m ? R , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 向 量 a ? (mx, y ? 1) , 向 量 , a ? b ,动点 M ( x, y ) 的轨迹为 E. b ? ( x, y? 1) (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 4

OA ? OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; 1 2 2 2 (3)已知 m ? ,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,当 R 4
为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

10. ( 本 小 题 满 分 16 分 在 平 面 直 角 坐 标 系

xoy

中 , 已 知 圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和 圆

C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 .
(1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和 圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的 坐标。

- 10 -

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 3 11.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与
2 C 相交于 A、B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 2

(Ⅰ )求 a,b 的值; (Ⅱ )C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。
? ? ?

12.(本小题满分 14 分)已知曲线 C : y ? x 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) ,
2

且 xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D .设点

P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.
(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

13. ( 本 小 题 满 分

13

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 , 分 ) 点 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆 a 2 b2
. 直线 l2 与直线 l1 : x0 y0 x? 2 y ? 1 垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的 2 a b

x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? , 0 ? ? ?

?
2

倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角为 ? . (I)证明: 点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与直线 l1 的唯一交点; a 2 b2

(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列.

- 11 -

14.(本小题满分 12 分)已知椭圆

(a>b>0)的离心率为

,以原点为圆心。椭圆短

半轴长半径的圆与直线 y=x+2 相切, (Ⅰ )求 a 与 b; (Ⅱ )设该椭圆的左,右焦点分别为 F1 和 F2,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l2 与 y 轴垂直,l2 交 l1 与点 p.求线段 PF1 垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型。

15.(本小题满分 14 分)如图,已知圆 G : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 是椭圆 圆, 其中 A 为椭圆的左顶点. (1)求圆 G 的半径 r ; (2)过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点, 证明:直线 EF 与圆 G 相切.

x2 ? y 2 ? 1的内接△ ABC 的内切 16

y M A B F
. G

0
E

x
C

16.(本小题满分 12 分)已知点 P 1 ( x0 , y0 ) 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( b 为正常数)上任一点, F2 为双曲 8b 2 b 2

A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P 线的右焦点,过 P 1 作右准线的垂线,垂足为 2. P 的轨迹 E 的方程; (1) 求线段 P 1 P 2 的中点
(2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点 ,在 E 上任取一点 Q (x1, y1) ( y1 ? 0) ,直线 QB,QD 分别交 y 轴 于 M ,N 两点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点.
P

y

P 2
A

P1
F1
O

F2

x

- 12 -

x2 y2 17. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 椭 圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 两 个 焦 点 分 别 为 a b
过点 E ( F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) ,

a2 ,0) 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点, 且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | c

(Ⅰ )求椭圆的离心率(Ⅱ )直线 AB 的斜率; (Ⅲ )设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H(m,n)( m ? 0 )在 ?AF1C 的外接圆上, 求

n 的值。 m

18.(本小题满分 14 分)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的对称轴上一点 A? a,0?? a ? 0? 的直线与抛物线 相交于 M、N 两点,自 M、N 向直线 l : x ? ? a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ )当 a ? (Ⅱ ) 记

p 时,求证: AM1 ⊥ AN1 ; 2
1、

?A M M

是否存在 ? , 使得对任意的 a ? 0 , ?AM1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,

2 都有 S2 ? ? S1S2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。

x2 y 2 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 ? 右焦点分别为 F1、F2 , 离心率 e ? , a b 2
右准线方程为 x ? 2 。 (I)求椭圆的标准方程;

M 、N 两点,且 F2 M ? F2 N ? (II)过点 F 1 的直线 l 与该椭圆交于

2 26 ,求直线 l 的方程。 3

- 13 -

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 2 a b 3

C 相交于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
(I)求 a , b 的值;

2 2

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。

21.(本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为 顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q). (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 的斜率的取值范围。

x2 22.(本小题满分 13 分)已知 A,B 分别为曲线 C: 2 + y 2 =1(y ? 0,a>0)与 x 轴 a
的左、右两个交点,直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直,S 为 l 上 异于点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧 AB 的三等分点,试求出点 S 的坐标; (II)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a ,使得 O,M,S 三点共线? 若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。

- 14 -

23.(本小题满分 12 分)已知,椭圆 C 以过点 A(1,

3 ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。 2

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的 斜率为定值,并求出这个定值。

24.(本小题满分 12 分)已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜 率为定值,并求出这个定值。

3 2

25.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点 到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 程,并说明轨迹是什么曲线。

OP OM

=λ,求点 M 的轨迹方

- 15 -

26.(本小题满分 12 分)已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? ,顶点到 2 a b 2

渐近线的距离为 (I) (II)

2 5 。 5

求双曲线 C 的方程; 如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐

近线上,且分别位于第一、二象限,若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] ,求 ?AOB 面 积的取值范围。

1 3

27. (本小题满分 14 分)已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a 2 b2

离心率 e ?

5 , 顶点到 2

渐近线的距离为

2 5 . 5

(Ⅰ )求双曲线 C 的方程; (Ⅱ )如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第一,二象限. 若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2], 求△ AOB 面积的取值范围.

1 3

- 16 -

28. (本小题满分 12 分)已知椭圆 右准线方程为 x ? 2 。 (I)求椭圆的标准方程;

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1、F2 , 离心率 e ? , 2 a b 2

M 、N 两点,且 F2 M ? F2 N ? (II)过点 F 1 的直线 l 与该椭圆交于

2 26 ,求直线 l 的方程。 3

29.(本小题满分 12 分)如图,已知抛物线 E : y 2 ? x

与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A、

B、C、D 四个点。 (Ⅰ )求 r 的取值范围 (Ⅱ )当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。

30.(本小题满分 13 分)如图,过抛物线 y2=2PX(P>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点, 自 M、N 向准线 L 作垂线,垂足分别为 M1、N1 (Ⅰ )求证:FM1⊥ FN1: 、 、 、 , (Ⅱ )记△ FMM1、 、△ FM1N1、△ FN N1 的面积分别为 S1 S2 S3,试判断 S22=4S1S3 是否成立,并证明你 的结论。

- 17 -

31.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到 两个焦点的距离分别是 7 和 1 (I)求椭圆 C 的方程? (II)若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

OP OM

? e (e 为椭圆 C 的离心

32.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ )求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ )设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。

33. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 以 知 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 分 别 为 a 2 b2

a2 F1 (?c,0)和F2 (c,0)(c ? 0) ,过点 E ( , 0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点,且 F1 A / / F2 B, F1 A ? 2 F2 B 。 c
(1) 求椭圆的离心率; 求直线 AB 的斜率; (2) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称, 直线 F2 B 上有一点 H (m, n)(m ? 0) 在 ? AFC 的外接圆上, 1 求

n 的值 m

- 18 -

34.(本小题满分 12 分)已知椭圆 右准线方程为 x ? 2 。 (I)求椭圆的标准方程;

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? , 2 a b 2

(II)过点 F 1 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,且 F2 M ? F2 N ?

2 26 ,求直线 l 的方程。 3

35.(本小题满分 14 分)已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的左顶点 A

和上顶点 D, 椭圆 C 的右顶点为 B , 点 S 和椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点, 直线,AS , BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点。 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )求线段 MN 的长度的最小值;

10 3

(Ⅲ )当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的点 T ,使得 ?TSB 的面积为 存在,确定点 T 的个数,若不存在,说明理由

1 ?若 5

36.(本题满分 16 分)已知双曲线 c : (1) (2)

v x2 ? y 2 ? 1, 设过点 A(?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 2

当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。 2

- 19 -

37.(本题满分 16 分)已知双曲线 C 的中心是原点,右焦点为 F 设过点 A (?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 。 (1) 求双曲线 C 的方程;

?

3, 0 ,一条渐近线 m: x+ 2 y ? 0 ,

?

v

(2)若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 K 的值;

(3)证明:当 k ?

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 . 2

38. (本小题满分 12 分) 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ? 是椭圆上的动点. (Ⅰ )若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3),(0, 3) ,求 MC MD 的最大值;

4 3 3 , 离心率 e ? ,M 3 2

(Ⅱ )如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点, N 是点 M 在 x 轴上的射影, 点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON , QA BA ? 0 .求线段 QB 的中点 P 的轨迹方程;

39.(本小题满分 12 分)已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为 x ? (Ⅰ )求该双曲线的方程;

5 ,离心率 e ? 5 . 5

(Ⅱ )如题(20)图,点 A 的坐标为 (? 5,0) , B 是圆 x2 ? ( y ? 5)2 ? 1 上的点,点 M 在双曲线右 支上,求 MA ? MB 的最小值,并求此时 M 点的坐标;

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