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广东省实验中学2012届高三下学期综合测试(一)数学(理)

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广东省实验中学 2012 届高三下学期综合测试(一) 数学理
一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、已知集合 A={x∈R|x<5- 2 },B={1,2,3,4),则(CRA) ? B=( A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{4} ) )

2、已知函数①y=sinx+cosx,②y= 2 2 sinxcosx,则下列结论正确的是(

? ,0)成中心对称 4 ? B.两个函数的图象均关于直线 x=- 成轴对称 4 ? ? C.两个函 数在区间(- , )上都是单调递增函数 4 4
A.两个函数的图象均关于点(D.两个函数的最小正周期相同

3、设 f(x)= ? A.

?x 2 ?2 ? x 4 B. 5

x ? ?1,2?
C.

x ? ?0,1?

,则

? f ( x)dx 的值为(
0

2

)

3 4

5 6
)

D.

7 6

4、一个三棱柱的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如下(单位 cm), 则该三棱柱的表面积为(

A.(24+8 3 )cm

2

B.24 ? cm

2

C. 14 3 cm2

D. 18 3 cm

2

5、下列四个命题中,正确的是( ) 2 A.已知 ? 服从正态分布 N(0, ? ),且 P(-2≤ ? ≤0)=0.4,则 P( ? >2)=0.2 B.设回归直线方程为 y=2-2.5x,当变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 2 个单位 C.已知命题 p: ? x∈R,tanx=1;命题 q: ? x∈R,x -x+1>0.则命题“p ? ﹁q”是假命题
2

D.已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1 ? l2 的充要条件是 6、给出 30 个数:1,2,4,7,11,??其规律是 第一个数是 1, 第二个数比第一个数大 1, 第三个数比第二个数大 2, 第四个数比第三个数大 3,?? 以此类推,要计算这 30 个数的和,现已给出了该问题的程序框图如右 图所示,那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( ) A.i≤30?;p=p+i-1 B.i≤29?;p=p+i+1
[来源:学科网 ZXXK]

a =-3 b

C.i≤31?:p=p+i

D.i≤30?;p=p+i )

7、已知 k∈ Z , AB =(k,1), AC =(2,4),若 AB ≤ 10 ,则△ABC 是直角三角形的概率是( A.

4 7

B.

3 7

C.

2 7

D.

1 7

1

8、设函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 M>0 使 f ( x) ? M x 对一切实数 x 均成立,则称函数 f(x)为 F

x2 x ③f(x)=x(1-2 ),④f(x)是定义在实数集 R 上的奇 x2 ? x ?1 函数,且对一切 x1x2 均有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 x1 ? x 2 .其中是 F 函数的序号为( )
函数.现给出下列函数①f(x)=x ,②f(x)=
2

A .① ② ③ B.② ④ C. ② ③ D.③ ④ 二、填空题: (本大题共 7 小题,第 14、15 小题任选一题作答,多选的按 1 题给分,共 30 分) (一)必做题 (9~13 题) 9、i 是虚数 单位,

2i 的共轭复数的数是________ 1 ? i ..

?x ? y ? 2 ? 0 ? 10、若实数 x,y 满足 ? x ? 4 ,则 s=y-x 的最小值为________ ?y ? 5 ? 1 n 11、已知( x ? ) 展开式的第 4 项为常数项,则展开式中各项系数的和为________ 2?3 x
12、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -7n,且满足 16<ak+ak+1<22,则正整数 k=_______ 13、 已知函数 f(x)=
2

1 2 / / 若函数 f(x)在[1,2]为增函数, 且 f (x)在[1, 2]上存在零点(f (x) x -alnx(a∈R), 2

为 f(x)的导函数),则 a 的值为___________ (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14、(极坐标与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin ? ,直线 l 的参数方程

3 ? x?? t?2 ? ? 5 是? (t 为参数).设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 是曲线 C 上一动点,则 MN 的最大值为 ?y ? 4 t ? 5 ?
____________ 15、(几何证明选讲选做题)如图,⊙O 中,直径 AB 和弦 DE 互相垂直,C 是 DE 延长 线上一点,连结 BC 与圆 0 交于 F, 若∠CFE= ? ( ? ? (0,

?
2

) ),则∠DEB___________

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤。 16、(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2sin (?x ? ? ) ( ? >0,0< ? ? ? )的最小正周期为 ? ,且 f ( ) ? (1)求 ? , ? 的值; (2)若 f ( ) ? ? (0 ? ? ? ? ), 求 cos 2?

?

4

2.

a 2

6 5

2

17、(本小题满分 12 分) 如图,P-AD-C 是直二面角,四边形 ABCD 是∠BAD=120 的菱形,AB=2,PA ⊥ AD,E 是 CD 的中点,设 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45 . (1)求证:平面 PAE⊥平面 PCD; (2)试问在线段 AB(不包括端点)上是否存在一点 F,使得二面 角 A-PE-D 的大小为 45 ?若存在,请求出 AF 的长,若不 存在,请说明理由.
0 0 0

18、(本小题满分 14 分) 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益 活动(以下简称活动).该校合唱团共有 100 名 学 生,他们参加活动的次数统计如图所示. (1)求合唱团学生参加活动的人均次数; (2)从合唱团中任意选两名学生, 求他们 参加活动次数恰好相等的概 率; (3)从合唱团中任选两名学生,用ξ 表示 这两人参加活动次数之差 的绝对值,求随机变量ξ 的分布列及数学期望 Eξ .

19、(本小题满分 14 分) 2 已知过点 A(0,4)的直线 l 与以 F 为焦点的抛物线 C:x =py 相切于点 T(-4,yo);中心在 坐标原点,一个焦点为 F 的椭圆与直线 l 有公共点. (1)求直线 l 的方程和焦点 F 的坐标; (2)求当椭圆的离心率最大时椭圆的方程; / (3)设点 M(x1,yl)是抛物线 C 上任意一点,D(0,-2)为定点,是否存在垂直于 y 轴的直线 l 被以 MD 为直径 的圆截得的弦长为定值?请说明理由.
[来源:Z_xx_k.Com]

3

20、(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=

1 3 x ? ax 2 ? bx ? 1 (x∈R,a,b 为实数)有极值,且在 x=1 处的切线与直线 x-y+1=0 平行. 3

(1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使得函数 (3)设 a=

f

(x)的极小值为 1,若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由;

/ 1 / ,f(x)的导数为 f (x),令 g(x)= f ( x ? 1) ? 3, x ? (0, ?), 求证: 2 x

g n ( x) ? x n ?

1 ? 2 n ? 2( n ? N * ) xn

21、(本小题满分 14 分) 已知 a 为实数,数列 ?a n ?满足 a1 =a,当 n≥2 时,an = ? (1)当 a=100 时,求数列{an}的前 100 项的和 S100; (2)证明:对于数列{an},一定存在 k∈N ,使 0<ak≤3;
n an 20 ? a b1 ? . , 当 2 < a < 3 时,求证: ? n n 12 2 ? ( ?1) i ?1
*

?a n ?1 ? 3 ?4 ? a n ?1

(a n ?1 ? 3) (a n ?1 ? 3)

(3)令 bn=

4

参考答案
一、选择题:DCCA CDBB 二、填空题: 、 9、-1-i 10、-6
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

11、

1 32

12、8

13、1 14、 5 ? 1

15、a

三、解答题: 16、 【解析】本小题考查三角函数的周期与求值问题,以及运用三角函数中的两角和与差公式进行化简, 考查考生对基础知识、基本技能(对角的拆、配、凑的技能)的掌握情况. (1)由函数的周期为π ,可知

2? ? ? ,所以 w=2???????????????2 分 w ? ? 2 又由 f ( ) ? 2 , 得2 sin( ? ? ) ? 2 , 所以 cos? ? 4 2 2
又 ? ? (0, ? ), 所以? ?

?

(2)(方法一)由 f

6 ? 3 ? ? ,得 sin(a ? ? ? ??????????7 分 2 5 4 5 ? ? 5? 因为α ? (0, ? ).所以a ? ? ( , ) 4 4 4 ? 3 ? 5? ? 4 又 sin (a ? ) ? ? ? 0, a ? ? (? , ), 所以cos(a ? ) ? ? ??????10 分 4 5 4 4 4 5
所以 cos 2?

?

4

?????????????????????5 分

? sin(

?

(方法二)由 f (

?

? 5? ?( , ) 4 4 4 ? 3 ? 5? ? 4 又 sin (a ? ) ? ? ? 0, a ? ? (? , ), 所以cos(a ? ) ? ? ???10 分 4 5 4 4 4 5 所以 cosα =cos ?(? ? ? ) ? ? ? ? cos(? ? ? ? sin( ? ? ) sin ? ? ? 7 2 ? 4 4? 4 4 4 10 ? ? 24 所以 cos2α =2cos2α -1= ?????14 分 25
因为α ∈(0,π ),所以α + 17、证明:(1)因为 PA⊥AD,二面角 P-AD-C 是 直二面角,所以 PA⊥面 ABCD,所以 PA⊥CD.连接 AC,因为 ABCD 为菱形, ∠BAD=120?,所以∠C AD=60?,∠ADC=60?,所以△ADC 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点,所以 AE⊥CD,因为 PA∩AE=A,所以 CD⊥平面 PAE,而 CD ? 平 面 PCD,所以平面 PAE⊥平面 PCD.??5 分 (2)解法 1:以 A 为坐标原点,AB、AE、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直 角坐标系.因 为 PA⊥面 ABCD,所以么∠PCA 是 PC 与面 ABCD 所成角.所以∠PCA=45?,所以 PA=AC=AB=2,于是 P(0,0,2),D(-1, 3 ,0 ), PD ? (?1, 3,?2 ). 设 AF=λ ,则 0<λ <2, F(λ ,0,0)所以 PF =(λ ,0,-2).??7 分 设平面 PFD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ), 则有 n1 ? PD ? 0, n1 ? PF ? 0, 所以

6 ? 3 ) ? ? , 得 sin( ? ? ) ? ? ??????????7 分 2 5 4 5
?

2

? 2? ) ? 2 sin(

?

4

? ? ) cos(

?

4

??) ?

24 ????14 分 25

? ? ?1 ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0 令 x=1,则 z= ,y= ,所以平面 PFD 的法向量为 ? 2 ? 3 ??x ? 2 z ? 0
5

n1 ? (1,

? ?1 ? , ) .而平面 APF 的法向量为 n 2 =(0,1,0)??9 分 3 2
2 ? ?1 7?2 ? 8? ? 16 2 , 2
6 ?4或

所以 cos ? n λ =? 2

1

, n2 ? ?

?

整理得λ +8λ -8=0,解得λ = 2
2

6 ? 4 舍去.??11 分

因为 0< 2 此时 AF= 2

6 -4<2,所以在 AB 上存在一点 F,使得二面角 A-PF-D 的大小为 45?,
[来源:Z_xx_k.Com]

6 -4.??12 分

解法 2:设 AF=x,延长 BA,过点 D 作 BA 延长线的垂线 DH,垂足为 H。由于 DH⊥AB,PA⊥DH,且 PA ? AB=A,故 DH⊥平面 PAB??6 分 过 H 作 PF 的垂线 HO,O 为垂足,再连接 D0,可得:D0⊥PF,则∠HOD 就为二面角 A-PF-D 的平面角。??7 分

3 ??8 分 2(1 ? x ) 在 Rt△FOD 中,FH=AF+AH=x+1,OH= ??9 分 4 ? x2 2(1 ? x ) ? 3 ,解得: 在 Rt△HOD 中,当∠HOD=45?,则有:OH=DH,此时: 4 ? x2 x= 2 6 ? 4 ??12 分
在 Rt△ADH 中,求得:AH=1,DH= 所以在 AB 上 存在一点 F,使得二面角 A-PF—D 的大小为 45?,此时 AF= 2 6 ? 4 .??12 分 18、解:由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40. (1)该合唱团学生参加活动的人均次数为
2 2 2 C10 ? C50 ? C40 41 ??5 分 p0 ? ? 2 c100 99

1 ? 10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 =2.3.??2 分 100

(2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为

(3)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 2 次活动” 为事件 A, “这两人中一人参加 2 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 B,“这两人中一 人参加 1 次活动 ,另一人参加 3 次活动”为事件 C.??6 分 ξ 的可能取值为 0,1,2.??7 分 P(ξ =0)= P(ξ

41 99

P(ξ

1 1 1 1 C10 C50 C50 C40 50 =1)=P(A)+P(B)= ? 2 ? 2 C100 C100 99 1 1 C10 C40 8 =2)=P(C)= ??10 分 ? 2 C100 99

ξ 的分布列如下:

6

那么ξ 的数学期望为 E?

? 0?

41 50 8 2 ? 1? ? 2 ? ? .??12 分 99 99 99 3
41 ;? 的 99

答:合唱团学生参加活动的人均次数为 2.3:他们参加活动次数恰好相等的概率为

2 .……14 分 3 2 ? ( ?4 ) x2 2x / [ x ? ( ?4)] 19、解:(1)∵ y ? p ,? y ? ,∴l: y ? y 0 ? p p ( ?4) 2 16 16 ? 8 ? y0 ? p ? ?l y? ? ( x ? 4) p p p 16 ? 8 ? ( 0 ? 4) ∵直线 l 过点 A(0,4),∴ 4 ? ∴p=-4 p p
数学期望 Eξ = ∴l 2x-y+4=0 F 为(0,-1) ??????4 分 F1(0,1),F2(0,-1) (2)设椭圆为

y x ? =1(a>1) 2 a a2 ?1
2 2

c 1 ? , 当 e 最大时,a 取得最小 a a 则在直线 l 上找一点 P,使得 PF1 ? PF2 e?

最小
???????6 分

F2(0,-1)关于 2x-y+4=0 对称道点为 F2(x0,y0)

? 0 ? x0 ? 1 ? y 0 2? ? ?4?0 ? ? x0 ? ?4 2 2 ? 解得 ? ? y ? (?1) 0 ? y0 ? 1 ? .2 ? ?1 ? ? x0 ? 0
? 2a ?| PF1 | ? | PF2 |?| PF1 | ? | PF2/ |?| F1 F2/ |? (?4 ? 0) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 2 ……8 分

y2 x2 ? ?1 ∴所求椭圆方程为 4 3
/

???????9 分

x12 x1 ? 4 ? 2 ) (3)假设 l 存在为 y=b 以 MD 为直径的圆 N 的圆心为 N ( , 2 2 x12 ? ?2 x1 ? 0) 2 ? ( 4 ? ( ?2)) 2 半径为 r=ND= ( …………………l0 分 2 2 x12 ? ?2 x12 4 ? b |?| ? 1 ? b | N 到直线 l 的距离为 d ?| 8 2
/

7

x14 x12 x12 2 d ? ? 1 ? b ? ? ? b ? 2b 64 4 4 2 x1 2 2 (b ? 1) ? b 2 ? 2b ∴弦长= 2 r ? d ? 2 ? 4
2 2

x14 r ?1? 64

………………12 分

∴当 b=-1 时,弦长为定值 2 ??????13 分 / / 即 l 为 y=-1 时,垂直于 y 轴的直线 l 被以 MD 为直径 的圆截得的弦长为定值 2.??14 分

(备注:可以把 D(0,-2)推广到更一般的点 D(0,-m)(m>0),则结论仍然成 立,只不过直线 l / 含有 m,也就是直线 l 取决于 D(0,-m)(m>0)) 20 、解:(1)∵ ∴

/

1 3 x ? ax 2 ? bx ? 1 , 3 f ? ( x) ? x 2 ? 2ax ? b ,由题意∴f (1)=1+2a-b=1, f ( x) ?
/

∴b=2a. ① ??????2 分 / 2 ∵f(x)有极值,∴方程 f (x)=x +2ax-b=0 有两个不等实根. 2 2 ∴△=4a +4b>0、 ∴a +b>0. ② 2 由①、②可得,α +2a>0. ∴a<-2 或 a>0. 故实数 a 的取值范围是 a ? (??,?2) ? (0,??) (2)存在 a 由(1)可知 ??????4 分

??

8 .?????5 分 3 f ? ( x) ? x 2 ? 2ax ? b ,令 f (x)=0
/

? x1 ? ? a ? a 2 ? 2a , x2 ? ? a ? a 2 ? 2a .

∴x=x2 时,f(x)取极小值,则 f(x2)=

∴ . x2

? 0或x22 ? 3ax2 ? 6? ? 0 ????????????????????7 分

1 3 x2 ? ax22 ? 2ax2 ? 1 =1, 3

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

若 x2=0,即 ? a

? a 2 ? 2a ? 0, 则 a=0(舍).????????8 分 2 ? 2 若 x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0, 又f ( x2 ) ? 0,? x2 ? 2ax2 ? 2a ? 0,? ax2 ? 4a ? 0.
?a ? ? 0,
∴存在实数 a (3)∵ a

? x2 ? 4,

? ? a a 2 ? 2a ? 4

?a ? ?

8 ? ?2. 3

??

8 ,使得函数 f(x)的极小值为 1 3

???9 分

?

1 ? , f ( x) ? x 2 ? x ? 1, 2

8

? f ( x ? 1) ? x ? 3x ? 1 ,
/ 2

? g ( x) ? x ?

1 , x ? (0,??) ??.l0 分 x 1 1 1 g n ( x) ? x n ? n ? ( x ? ) n ? x n ? n x x x

f ? ( x ? 1) x2 ? 1 1 ? ?3? ? x? x x x

1 1 1 1 n ?1 1 ? Cn x ( ) ? Cn2 x n?2 ( ) 2 ? ? ? Cnn?2 ( ) n?2 ? Cnn~1 x( ) n?1 x x x x 1 1 n?2 1 1 1 ? [Cn ( x ? n?2 ) ? Cn2 ( x n?4 ? n?4 ) ? ? ? Cnn?1 ( n¬2 ? x n?2 )] 2 x x x 1 1 1 1 ? ? C n1 2 x n ~ 2 ? n ?2 ? C n2 2 x n?4 ? n ?4 ? ? ? C nn ?1 2 n? 2 ? x n ?2 2 x x x 1 2 n ?l n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 ? 2. ? g n ( x) ? x n ?

?

∴其中等号成立的条件为 x=1??????????????????????13 分

1 ? 2 n ? 2(n ? N *) ????????????????14 分 n x 1 1 ? )k ? x k ? k ? 2k ? 2 x x

另证:当 n=1 时,左=0,右=0,原不等式成立????????????????11 分 假设 n=k(k≥1)时成立, 即 ( x 当 n=k+1 时,

左边 ?

1 1 ( x ? ) k ?1 ? x k ?1 ? k ?1 x x 1 1 1 ? ( x ? )( 2 k ? 2 ? x k ? k ) ? ( x k ?1 ? k ?1 ) x x x 1 1 ? ( x ? )( 2k ? 2) ? x k ?1 ? x xk ?1 k ?1 ? 2 ?4?2 ? 2 k ?1 ? 2 (当且仅当 x=1 时等号成立).

即当 n=k+1 时原不等式成立???????????????????????l3 分

1 ? 2 n ? 2 成立???????????14 分 n x 21、解:(1)当 a=100 时,由题意知数列{a n } 的前 34 项成首项为 100,公差为-3 的等差数
综上当 n ? N

* 时g n ( x) ? x n ?

列,从第 35 项开始,奇数项均为 3,偶数项均为 1,从而

100 ? 97 ? 94 ? ? ? 4 ? 1 (3 ? 1 ? ? 3 ? 1) S100 ? ( )? ??????(3 分) 共34项 共66项 (100 ? 1) ? 34 66 ? ? (3 ? 1) ? ? 1717 ? 132 ? 1849 .………………(5 分) 2 2
(2)证明:①若 0<a1≤3,则题意成立???????(6 分) ②若 a1>3 此时数列

?a ?的前若干项满足 a -a
n
n

n-1

=3,即 an=a1-3(n-1).

9

设 a1

? (3k ,3k ? 3], (k ? 1, k ? N * ) ,则当 n=k+1 时, ak ?1 ? a1 ? 3k ? (0,3]

从而此时命题成立??(8 分) ③若 a1≤0,由题意得 a2=4-a1>3,则有②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立?????(9 分) (3)当 2<a<3 时,因为 a
n

?a(n为奇数) ?? ?4 ? a(n为偶数),
?????(10 分)

a ? ( n为奇数) n ? 2 ? ( ?1) n ?n ? bn ? n ?? 2 ?( ?1)n ? 4?a ( n为偶数) n n ? ? 2 ? ( ?1) 因为 bn>0,所以只要证明当 n≥3 时不等式成立即可.
所以

4 ? a a ? 2 2 k ?1 ? 2 2 k ?| ? ( 4 ? 2a ) ? ? 而 b2 k ?1 ? b2 k ? 2 k ?1 2 ? 1 22k ? 1 (2 2 k ?1 ? 1)( 2 2 k ? 1) a ? 2 2 k ?1 ? 2 2 k ?1 a ? 2 2 k ?1 ? 2 2 k ?1 a ? 4 ? 4 k ?1 ? ? 2 k ???(12 分) 24 k ?1 2 ?2 ?1| 2 a
2 k ?1

①当 n=2k(k∈N 且 k≥2)时,

*

?b ? b ? b ? ? ? b ? ?
t ?| i 1 2 i ?3 i

2k

2k

a 3

4 ?? ? ? 4 a ? 4 ? ?4 ? ( 2?2 ? 2?3 ? ? 2?k ) 3 2 2 2

1 1 1 (1 ? ( ) k ?1 ) (a ? 4) ? (1 ? ( ) k ?1 ) 4 4 4 4 a ? 4 20 ? a ??(13 分) 2 4 4 ? ? (a ? 4) ? ? ? ? ? ? 1 3 3 12 3 12 12 1? 4
2 k ?1

②当 n=2k-l(k∈N 且 k≥2)时,出于 bn>0,所以 综上所述,原不等式成立???(14 分)

*

?b ? ?b ?
i ?1 i i ?1 l

2k

20 ? a ? 12

10


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