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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:8-5 椭圆


05 限时规范特训
A级 基础达标 x2 y2 1.已知椭圆 C: 4 + b =1(b>0),直线 l:y=mx+1,若对任意 的 m∈R, 直线 l 与椭圆 C 恒有公共点, 则实数 b 的取值范围是( A.[1,4) C.[1,4)∪(4,+∞) B.[1,+∞) D.(4,+∞) )

解析:直线恒过定点(0,1),只要该点在椭圆内部或

椭圆上即可, 故只要 b≥1 且 b≠4. 答案:C 2.[2014· 韶关调研]椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是 短轴长的两倍,则 m 的值为( 1 A.4 C.2
2

) 1 B.2 D.4

y2 解析:将原方程变形为 x + 1 =1, m 1 由题意知 a2=m,b2=1, ∴a= ∴ 1 m,b=1.

1 1 = 2 ,∴ m = m 4.故应选 A.

答案:A x2 2 3.椭圆 4 +y =1 的两个焦点为 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的 直线与椭圆相交,一个交点为 P,则|PF2|=( )

7 A.2 C. 3

3 B. 2 D.4

解析:a2=4,b2=1,所以 a=2,b=1,c= 3,不妨设 F1 为左 ?- 3?2 焦点, P 在 x 轴上方, 则 F1(- 3, 0), 设 P(- 3, m)(m>0), 则 4 1 1 +m2=1,解得 m=2,所以|PF1|=2,根据椭圆定义:|PF1|+|PF2|= 1 7 2a,所以|PF2|=2a-|PF1|=2×2-2=2. 答案:A x2 y2 4.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1, → → → F2,D 是它短轴上的一个端点,若 3DF1=DA+2DF2,则该椭圆的离 心率为( 1 A.2 1 C.4 解析:设点 D(0,b),A(-a,0), → → → 则DF1=(-c,-b),DA=(-a,-b),DF2=(c,-b). → → → 1 由 3DF1=DA+2DF2,得-3c=-a+2c,即 a=5c,故 e=5. 答案:D x2 y2 1 5.[2014· 湖南郴州]设 e 是椭圆 4 + k =1 的离心率,且 e∈(2, 1),则实数 k 的取值范围是( ) ) 1 B.3 1 D.5

A.(0,3) 16 C.(0,3)∪( 3 ,+∞)

16 B.(3, 3 ) D.(0,2)

1 k-4 解析:当 k>4 时,c= k-4,由条件知4< k <1, 16 解得 k> 3 ; 当 0<k<4 时,c= 4-k, 1 4-k 由条件知4< 4 <1,解得 0<k<3,综上知选 C. 答案:C x2 y2 6. [2014· 烟台模拟]椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0), B(0, b),且左焦点为 F,△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的 离心率 e 为( A. 3-1 2 ) B. D. 5-1 2 3+1 4

1+ 5 C. 4

解析:由题可知△ABF 为直角三角形,其中|AB|= a2+b2,|BF| =a,|AF|=a+c,由勾股定理,|AF|2=|AB|2+|BF|2 即(a+c)2=a2+b2 +a2=2a2+a2-c2,整理得 c2+ac-a2=0,同除 a2 得 e2+e-1=0, ∴e= -1± 5 5-1 ,∵ e ∈ (0,1) ,∴ e = 2 2 .

答案:B x2 y2 7.F1,F2 是椭圆a2+ 9 =1 的左、右两焦点,P 为椭圆的一个顶 点,若△PF1F2 是等边三角形,则 a2=________.

解析:∵△PF1F2 是等边三角形, ∴2c=a. 又∵b=3,∴a2=12. 答案:12 x2 y2 8.[2014· 汕尾质检]已知 P 为椭圆25+16=1 上的一点,M,N 分 别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上的点,则|PM|+|PN|的最 小值为________. 解析: 由题意知椭圆的两个焦点 F1, F2 分别是两圆的圆心, 且|PF1| +|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 答案:7 x2 y2 1 9. [2014· 江西模拟]若椭圆a2+b2=1 的焦点在 x 轴上, 过点(1, 2) 作圆 x2+y2=1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的 右焦点和上顶点,则椭圆方程是________. 1 1 解析:∵点(1,2)在圆外,过点(1,2)与圆相切的一条直线为 x =1,且直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,∴椭圆的右焦点 1 1 为(1,0),即 c=1,设点 P(1,2),连接 OP,则 OP⊥AB,∵kOP=2, ∴kAB=-2.又直线 AB 过点(1,0),∴直线 AB 的方程为 2x+y-2=0, ∵点(0,b)在直线 AB 上,∴b=2,又 c=1,∴a2=5,故椭圆方程是 x2 y2 5 + 4 =1. x 2 y2 答案: 5 + 4 =1 x2 y2 10.[2014· 大连模拟]设 A,B 分别为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、

3 右顶点,(1,2)为椭圆上一点,椭圆长半轴长等于焦距. (1)求椭圆的方程; (2)设 P(4,x)(x≠0),若直线 AP,BP 分别与椭圆相交于异于 A, B 的点 M,N,求证:∠MBN 为钝角. 解:(1)依题意,得 a=2c,b2=a2-c2=3c2, x2 y2 3 设椭圆方程为4c2+3c2=1,将(1,2)代入,得 c2=1,故椭圆方 x2 y2 程为 4 + 3 =1. (2)证明:由(1),知 A(-2,0),B(2,0), 3 2 2 设 M(x0,y0),则-2<x0<2,y0 =4(4-x0 ),由 P,A,M 三点共线, → → → 6 y0 → 6 y0 6y2 0 得 x= , BM=(x0-2, y0), BP=(2, ), BM· BP=2x0-4+ x0+2 x0+2 x0+2 5 =2(2-x0)>0, 即∠MBP 为锐角,则∠MBN 为钝角. y2 x 2 11.[2014· 莱芜高三月考]设椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的上焦点 1 是 F1,过点 P(3,4)和 F1 作直线 PF1 交椭圆于 A,B 两点,已知 A(3, 4 3). (1)求椭圆 E 的方程; (2)设点 C 是椭圆 E 上到直线 PF1 距离最远的点, 求 C 点的坐标. 1 4 解:(1)由 A(3,3)和 P(3,4)可求直线 PF1 的方程为 y=x+1. 令 x=0,得 y=1,即 c=1. 椭圆 E 的焦点为 F1(0,1),F2(0,-1),由椭圆的定义可知.

2a=|AF1|+|AF2| = 1 4 ?3?2+?3-1?2+ 1 4 ?3?2+?3+1?2=2 2.

∴a= 2,b=1, y2 2 所以椭圆 E 的方程为 2 +x =1. (2)设与直线 PF1 平行的直线 l:y=x+m.

?y +x2=1, ?2 ?y=x+m,

2

消去 y 得 3x2+2mx+m2-2=0,

Δ=(2m)2-4×3×(m2-2)=0, 即 m2=3,∴m=± 3. 要使点 C 到直线 PF1 的距离最远, 则直线 l 要在直线 PF1 的下方, 所以 m=- 3. 3 2 3 3 2 3 此时直线 l 与椭圆 E 的切点坐标为( 3 , - 3 ), 故 C( 3 , - 3 ) 即为所求. x2 y2 12.[2014· 盐城模拟]已知 F1,F2 是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的 左、右焦点,点 P(- 2,1)在椭圆上,线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满 → → 足PM+F2M=0. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上任一动点 N(x0, y0)关于直线 y=2x 的对称点为 N1(x1, y1),求 3x1-4y1 的取值范围. 解:(1)点 P(- 2,1)在椭圆上, 2 1 ∴a2+b2=1.①

→ → 又∵PM+F2M=0,M 在 y 轴上, ∴M 为 PF2 的中点, ∴- 2+c=0,c= 2. ∴a2-b2=2,② 联立①②,解得 b2=2(b2=-1 舍去), ∴a2=4. x2 y2 故所求椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1. (2)∵点 N(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 N1(x1,y1), -y ×2=-1, ?y x -x ∴? y +y x +x ? 2 =2× 2 .
0 0 0 1 1 1 0 1

3x , ?x =4y - 5 解得? 3y +4x ?y = 5 .
0 0 1 0 0 1

∴3x1-4y1=-5x0. x2 y2 ∵点 N(x0,y0)在椭圆 C: 4 + 2 =1 上, ∴-2≤x0≤2, ∴-10≤-5x0≤10, 即 3x1-4y1 的取值范围为[-10,10]. B级 知能提升 1.[2014· 兰州诊断]过点 M(-2,0)的直线 l 与椭圆 x2+2y2=2 交 于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P.设直线 l 的斜率为 k1(k1≠0),直线

OP(O 为坐标原点)的斜率为 k2,则 k1k2 等于( A.-2 1 C.-2 B.2 1 D.2

)

2 2 解析:设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),则 x1 +2y2 1=2,x2+

y1-y2 x1+x2 2 2 2 2 2y2 =2,两式作差得 x2 =- 1-x2+2(y1-y2)=0,故 k1= x1-x2 2?y1+y2? x0 y0 1 =-2y ,又 k2=x ,∴k1k2=-2. 0 0 答案:C 2.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF → → 的延长线交 C 于点 D,且BF=2FD,则 C 的离心率为________. 解析:设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,如图所示,则 B(0,b),F(c,0), → → D(xD,yD),则BF=(c,-b),FD=(xD-c,yD), → → ? ?c=2?xD-c?, ∵BF=2FD,∴? ?-b=2yD, ? 3c ? x = D ? 2, ∴? b ? y D=- . ? 2 3c b ? 2 ?2 ?-2?2 1 3 ∴ a2 + b2 =1,即 e2=3,∴e= 3 .

3 答案: 3 x2 y2 6 3. [2014· 惠州调研]已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 a b 3, 5 2 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交于 A,B 两点. 1 ①若线段 AB 中点的横坐标为-2,求斜率 k 的值; → → 7 ②已知点 M(-3,0),求证:MA· MB为定值. x2 y2 c 6 1 解:(1)a2+b2=1(a>b>0)满足 a2=b2+c2,又a= 3 ,2×b×2c 5 2 = 3 , 5 x2 3 y2 解得 a =5,b =3,则椭圆方程为 5 + 5 =1.
2 2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). x2 3 y2 ①将 y=k(x+1)代入 5 + 5 =1, 得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,

6 k2 ∴Δ=48k +20>0,x1+x2=- 2 , 3k +1
2

1 ∵AB 中点的横坐标为-2, 6 k2 3 ∴- 2 =-1,解得 k=± 3 . 3k +1 3k2-5 6 k2 ②由(1)知 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 , 3 k +1 3k +1 → → 7 7 ∴MA· MB=(x1+3,y1)· (x2+3,y2) 7 7 =(x1+3)(x2+3)+y1y2 7 7 =(x1+3)(x2+3)+k2(x1+1)(x2+1) 7 49 =(1+k2)x1x2+(3+k2)(x1+x2)+ 9 +k2 3k2-5 7 2 6 k2 49 =(1+k ) 2 +(3+k )(- 2 )+ 9 +k2 3k +1 3k +1
2

-3k4-16k2-5 49 2 4 = + 9 +k =9(定值). 3k2+1


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