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1求数列通项公式的几种常用方法

时间:2014-03-27


求数列通项公式的几种常用方法
常用方法有:直接观察法,定义法,公式法,已知 S n 求 an 法,累加法,累乘法,待定系数法,倒数法, 对数变换法,迭代法,数学归纳法,换元法等 一、累加法: 类型 1 an ?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。
例2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1得 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1 所以 an ? 3n ? n ?1.
1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n 1 1 1 1 ? ? ? 解:由条件知: a n ?1 ? a n ? 2 n ? n n(n ? 1) n n ? 1 分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之, 即 (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 ) 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? , ? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n 例 4 (1)数列{an}满足 a1=1 且 an = an?1 ? 3n ? 2 (n≥2),求 an 。 1 (2)数列{an}满足 a1=1 且 an = a n ?1 ? n (n≥2),求 an 。 2
例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

解:(1)由 an=an-1+3n-2 知 an-an-1=3n-2,记 f(n)=3n-2= an-an-1 则 an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…(a2-a1)+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1

=(3n-2)+[3(n-1)-2]+ [3(n-2)-2]+ …+(3×2-2)+1 =3[n+(n-1)+(n-2)+…+2]-2(n-1)+1 (n+2)(n-1) 3n2-n =3× -2n+3= 2 2 1 1 1 (2)由 an=an-1+ n 知 an-an-1= n ,记 f(n)= n = an-an-1 2 2 2 则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…(a2-a1)+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1 1 1 1 1 1 1 = n + n 1 + n 2 +…+ 2 +1= - n 2 2- 2- 2 2 2
二、累乘法: 类型 2 an?1 ? f (n)an 解法:把原递推公式转化为 即 an ?

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

an an ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an ?1 an ? 2 a1 2 n a n ,求 an 。 例 5. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1 a n 解:由条件知 n?1 ? ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累 an n ?1
乘之,即

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n 2 2 又? a1 ? , ? a n ? 3 3n 3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 例 6:已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 3n ? 2 3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 ? ? ???? ? a1 解: a n ? 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2 3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。
三、待定系数法 类型 3 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )。 解法(待定系数法):把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 比数列求解。 例 7. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 .故递推公式为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且

q ,再利用换元法转化为等 1? p

所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2 所以 an ? 2
n?1

bn?1 an?1 ? 3 ? ?2 bn an ? 3

n?1

? 2n?1 ,

? 3.

例 8 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?an ? 的通项公式.

【解析】:利用 (an ? x) ? 2(an?1 ? x) ,求得 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) , 例 9.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an . 解:设 an?1 ? t ? 3(an ? t ) ,则 an?1 ? 3an ? 2t ? t ? 1 ,

? ?an ?1? 是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比为 2 的等比数列,即 an ? 1 ? 2n ,

? an ? 2n ? 1

an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ? ?an ? 1?是以 (a1 ? 1) 为首项,以 3 为公比的等比数列

? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? an ? 2 ? 3n?1 ?1
四、倒数法 类型 4 a n ?

m an?1 k (an?1 ? b) 1 1 1 1 1 1 k 则 ?bn ? 可归为 ? k( ? )? ?k? ? 令 bn ? an an an?1 m an an?1 m

解法:考虑函数倒数关系有

an?1 ? pan ? q 型。(取倒数法)
an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1 1 3 ? an?1 ? 1 1 解:取倒数: ? ? 3? an an?1 an?1
例 10:已知数列{an}满足: an ?

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ? 2an 例 11:已知数列 ?an ? 中, , a1=1 an ?1 ? ,求数列 ?an ? 的通项公式. an ? 2
2an 1 an+2 1 1 1 1 1 解:由 an+1= 有 = = + 即 - = an+2 an+1 2an 2 an an+1 an 2 1 1 1 所以,数列{ }是首项为 =1、公差为 d= 的等差数列 an a1 2 1 1 n+1 2 则 =1+(n-1) = 从而 an= an 2 2 n+1 例 12:已知数列 ?an ? (n ? N ) 中, a1 ? 1 , an ?1 ?
*

an ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2an ? 1 an 1 1 1 1 【解析】:将 an ?1 ? 取倒数得: ? 2 ? ,? ? ?2, an?1 an an?1 an 2an ? 1

?1? 1 1 1 . ? 1 ? 2(n ? 1) ,? an ? ? ? ? 是以 ? 1 为首项,公差为 2 的等差数列. 2n ? 1 a1 an ? an ?
五、其他综合 例 13 数列 ?an ?中前 n 项的和 S n ? 2n ? an ,求数列的通项公式 an . 解:∵ a1 ? S1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 1 当 n≥2 时,

a n ? S n ? S n ?1 ? 2n ? an ? ?2(n ? 1) ? a n?1 ? ? ?a n ? 2 ? a n?1 ? a n ? 1 bn ?1 ,且 b1 ? 1 ? 2 ? ?1 2 ?bn ? 是以 1 为公比的等比数列, bn ? ?1? ( 1 ) n?1 ? ?( 1 ) n?1 2 2 2 1 n ?1 ∴ an ? 2 ? ( ) . 2
令 bn ? an ? 2 ,则 bn ?

1 1 a n?1 ? 1 ? a n ? 2 ? (a n ?1 ? 2) 2 2

1 ,前 n 项的和 Sn ? n 2 an ,求 an . 2 2 解: an ? Sn ? Sn?1 ? n an ? (n ?1) 2 an?1 ? (n 2 ?1)an ? (n ?1) 2 an?1 a n ?1 , ? n ? an?1 n ? 1 a a a n ?1 n ? 2 1 1 1 ∴ an ? n ? n?1 ? 2 ? a1 ? ? ? ? ? n ?1 n 3 2 n(n ? 1) an?1 an?2 a1 1 ∴ an ?1 ? (n ? 1)(n ? 2)
例 14 数列 ?an ?中, a1 ?

求数列通项公式的几种常用方法
常用方法有:直接观察法,定义法,公式法,已知 S n 求 an 法,累加法,累乘法,待定系数法, 倒数法,对数变换法,迭代法,数学归纳法,换元法等 一、累加法: 类型 1 an ?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 1. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n 4 (1)数列{an}满足 a1=1 且 an = an?1 ? 3n ? 2 (n≥2),求 an 。 1 (2)数列{an}满足 a1=1 且 an = a n ?1 ? n (n≥2),求 an 。 2 二、累乘法: 类型 2 an?1 ? f (n)an a 解法:把原递推公式转化为 n?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解 an a a a 即 an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an ?1 an ? 2 a1 2 n a n ,求 an 。 5. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1 3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 6、已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 3n ? 2
3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 三、待定系数法 类型 3 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )。 解法(待定系数法):把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 再利用换元法转化为等比数列求解。 7. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

q , 1? p

8 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?an ? 的通项公式. 9.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an . 四、倒数法 类型 4 a n ?

m an?1 k (an?1 ? b) 1 1 1 1 1 1 k 解法:考虑函数倒数关系有 则 ?bn ? 可归为 ? k( ? )? ?k? ? 令 bn ? an an an?1 m an an?1 m an?1 ? pan ? q 型。(取倒数法)

an?1 , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 ? an?1 ? 1 2an 11、已知数列 ?an ? 中, , a1=1 an ?1 ? ,求数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 an * 12、已知数列 ?an ? (n ? N ) 中, a1 ? 1 , an ?1 ? ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2an ? 1
10、已知数列{an}满足: an ?

五、其他综合法 13 数列 ?an ?中前 n 项的和 S n ? 2n ? an ,求数列的通项公式 an . 14 数列 ?an ?中, a1 ?

1 ,前 n 项的和 Sn ? n 2 an ,求 an . 2


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