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1求数列通项公式的几种常用方法

时间:2014-03-27


求数列通项公式的几种常用方法
常用方法有:直接观察法,定义法,公式法,已知 S n 求 a n 法,累加法,累乘法,待定系数法,倒数法, 对数变换法,迭代法,数学归纳法,换元法等 一、累加法: 类型 1 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 解法:把原递推公式转化为 a n ?1 ? a n ? f ( n ) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例1 已知数列

{ a n } 满足 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1, a1 ? 1 ,求数列 { a n } 的通项公式。 解:由 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1 得 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1 则
a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a1 ) ? a1 ? [ 2 ( n ? 1) ? 1] ? [ 2 ( n ? 2 ) ? 1] ? ? ? ( 2 ? 2 ? 1) ? ( 2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? ? 2 ? 1] ? ( n ? 1) ? 1 ? 2 ( n ? 1) n 2 ? ( n ? 1)( n ? 1) ? 1 ? n
2
2

? ( n ? 1) ? 1

所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ? n 。 例2 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ? 2 ? 3 ? 1, a1 ? 3 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n
n n

解:由 a n ? 1 ? a n ? 2 ? 3 ? 1 得 a n ? 1 ? a n ? 2 ? 3 ? 1 则
a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3 ? 2 (3 ? 2
n ?1

? 1) ? ( 2 ? 3
n?2

n?2

? 1) ? ? ? ( 2 ? 3 ? 1) ? ( 2 ? 3 ? 1) ? 3
2 1 1

n ?1

?3

? ? ? 3 ? 3 ) ? ( n ? 1) ? 3
2

3(1 ? 3
n

n ?1

)

1? 3

? ( n ? 1) ? 3

? 3 ? 3 ? n ?1? 3 ? 3 ? n ?1
n

所以 a n ? 3 ? n ? 1 .
n

例 3. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 解:由条件知: a n ? 1 ? a n

1 2 1

n ?n 1 1 1 ? 2 ? ? ? n ( n ? 1) n n ?1 n ?n
2

, a n ?1 ? a n ?

1

,求 a n 。

分别令 n ? 1, 2 ,3 ,? ? ? ? ?? , ( n ? 1) ,代入上式得 ( n ? 1) 个等式累加之, 即 ( a 2 ? a 1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 4 ? a 3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ( a n ? a n ?1 )
? (1 ? 1 2 )?( 1 2 ? 1 3 1 )?( 1 3 ? 1 4 ) ? ?????? ?( 1 n ?1 ? 1 n )

所以 a n ? a 1 ? 1 ?
? a1 ? 1 2

n
1 2 ?1? 1 n ? 3 2 ? 1 n

, ? an ?

例 4 (1)数列{an}满足 a1=1 且 a n = a n ?1 ? 3 n ? 2 (n≥2),求 a n 。 (2)数列{an}满足 a1=1 且 a n = a n ? 1 ?
1 2
n

(n≥2),求 a n 。

解:(1)由 an=an-1+3n-2 知 an-an-1=3n-2,记 f(n)=3n-2= an-an-1 则 an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…(a2-a1)+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1

=(3n-2)+[3(n-1)-2]+ [3(n-2)-2]+ …+(3×2-2)+1 =3[n+(n-1)+(n-2)+…+2]-2(n-1)+1 (n+2)(n-1) 3n2-n =3× -2n+3= 2 2 1 1 1 (2)由 an=an-1+ n 知 an-an-1= n ,记 f(n)= n = an-an-1 2 2 2 则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…(a2-a1)+a1 =f(n)+ f(n-1)+ f(n-2)+…f(2)+ a1 1 1 1 1 1 1 = n + n 1 + n 2 +…+ 2 +1= - n 2 2- 2- 2 2 2
二、累乘法: 类型 2 a n ?1 ? f ( n ) a n 解法:把原递推公式转化为 即 an ?
an a n ?1 ? a n ?1 an?2 ?? ? a2 a1

a n ?1 an

? f ( n ) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。

? a1 ( n ? 2 ) 。

例 5. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 解:由条件知 乘之,即
a2 a1 ? a3 a2 ? a4 a3
2 3

2 3

, a n ?1 ?
n

n n ?1

a n ,求 a n 。

a n ?1 an

?

n ?1

,分别令 n ? 1, 2 ,3 ,? ? ? ? ?? , ( n ? 1) ,代入上式得 ( n ? 1) 个等式累

? ???????

an a n ?1
2 3n

?

1 2

?

2 3

?

3 4

? ???????

n ?1 n

?

an a1

?

1 n

又? a 1 ?

, ? an ?
3n ? 1

例 6:已知 a 1 ? 3 , a n ? 1 ?

a n ( n ? 1) ,求 a n 。 3n ? 2 3 ( n ? 1) ? 1 3 ( n ? 2 ) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 ? ? ???? ? a1 解: a n ? 3 ( n ? 1) ? 2 3 ( n ? 2 ) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2

?

3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。

三、待定系数法 类型 3 a n ?1 ? pa n ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1) ? 0 ) )。 解法(待定系数法):把原递推公式转化为: a n ?1 ? t ? p ( a n ? t ) ,其中 t ? 比数列求解。 例 7. 已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ?1 ? 2 a n ? 3 ,求 a n . 解:设递推公式 a n ?1 ? 2 a n ? 3 可以转化为 a n ? 1 ? t ? 2 ( a n ? t ) 即 a n ? 1 ? 2 a n ? t ? t ? ? 3 .故递推公式为 a n ? 1 ? 3 ? 2 ( a n ? 3 ) , 令 b n ? a n ? 3 ,则 b1 ? a 1 ? 3 ? 4 ,且
b n ?1 bn ? a n ?1 ? 3 an ? 3 ? 2
n ?1

q 1? p

,再利用换元法转化为等

所以 ?b n ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 b n ? 4 ? 2 所以 a n ? 2
n ?1

? 2

n ?1

,

?3.

例 8 已知数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 , a n ? 2 a n ?1 ? 1( n ? 2 ) ,求 ? a n ? 的通项公式.

【解析】:利用 ( a n ? x ) ? 2 ( a n ? 1 ? x ) ,求得 a n ? 1 ? 2( a n ?1 ? 1) ,
? ? a n ? 1? 是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比为 2 的等比数列,即 a n ? 1 ? 2 ,
n

? an ? 2 ? 1
n

例 9.已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 ,且 a n ? 1 ? 3 a n ? 2 ,求 a n . 解:设 a n ? 1 ? t ? 3 ( a n ? t ) ,则 a n ? 1 ? 3 a n ? 2 t ? t ? 1 ,
a n ?1 ? 1 ? 3 ( a n ? 1) ? ?a n ? 1? 是以 ( a 1 ? 1) 为首项,以 3 为公比的等比数列

? a n ? 1 ? ( a 1 ? 1) ? 3

n ?1

? 2 ?3

n ?1

? an ? 2 ?3

n ?1

?1

四、倒数法 类型 4 a n ?
ma n ?1 k ( a n ?1 ? b ) 1 an ? k( 1 a n ?1 ? 1 m ) ? 1 an ? k? 1 a n ?1 ? k m
1 an

解法:考虑函数倒数关系有

令bn ?

则 ?b n ? 可归为

a n ?1 ? pa n ? q 型。(取倒数法)

例 10:已知数列{an}满足: a n ? 解:取倒数:
1 an ? 3 ? a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 3?

a n ?1 3 ? a n ?1 ? 1
1 a n ?1

, a 1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。

? 1 ? 1 1 1 ?? ? ? ( n ? 1) ? 3 ? 1 ? ( n ? 1) ? 3 ? a n ? ? 是等差数列, an a1 3n ? 2 ? an ?

例 11:已知数列 ? a n ? 中, , a1=1 a n ? 1 ?

2an an ? 2

,求数列 ? a n ? 的通项公式.

2an 1 an+2 1 1 1 1 1 解:由 an+1= 有 = = + 即 - = an+2 an+1 2an 2 an an+1 an 2 1 1 1 所以,数列{ }是首项为 =1、公差为 d= 的等差数列 an a1 2 1 1 n+1 2 则 =1+(n-1) = 从而 an= an 2 2 n+1 例 12:已知数列 ? a n ? ( n ? N ) 中, a1 ? 1 , a n ? 1 ?
*

an 2an ? 1
1 an

,求数列 ? a n ? 的通项公式.
1 a n ?1 ? 1 an ? 2,

【解析】:将 a n ? 1 ?

an 2an ? 1

取倒数得:

1 a n ?1

? 2?

,?

? 1 ? 1 1 1 ? 1 为首项,公差为 2 的等差数列. ? 1 ? 2 ( n ? 1) ,? a n ? . ? ? ? 是以 2n ? 1 a1 an ? an ?

五、其他综合 例 13 数列 ?a n ? 中前 n 项的和 S n ? 2 n ? a n ,求数列的通项公式 a n . 解:∵ a 1 ? S 1 ? 2 ? a 1 ? a 1 ? 1 当 n≥2 时,
a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 n ? a n ? ?2 ( n ? 1) ? a n ? 1 ? ? ? a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ? 1 2 a n ?1 ? 1 ? a n ? 2 ? 1 2 ( a n ?1 ? 2 )

令 b n ? a n ? 2 ,则 b n ?
1

1 2

b n ?1 ,且 b1 ? 1 ? 2 ? ? 1

?b n ? 是以 为公比的等比数列, b n
2

1 n ?1 1 n ?1 ? ?1? ( ) ? ?( ) 2 2

∴ an ? 2 ? ( )
2

1

n ?1

.

例 14 数列 ?a n ? 中, a 1 ?
2

1 2

,前 n 项的和 S n ? n a n ,求 a n .
2
2 2 2

解: a n ? S n ? S n ?1 ? n a n ? ( n ? 1) a n ?1 ? ( n ? 1) a n ? ( n ? 1) a n ?1
? an a n ?1 ? n ?1 n ?1


n ?1 n ? 2 1 1 1 ? ? ? ? n ?1 n 3 2 n ( n ? 1)

∴ an ?

an

?

a n ?1

?

a2 a1

a n ?1 a n ? 2

? a1 ?

∴ a n ?1 ?

1 ( n ? 1)( n ? 2 )

求数列通项公式的几种常用方法
常用方法有:直接观察法,定义法,公式法,已知 S n 求 a n 法,累加法,累乘法,待定系数法, 倒数法,对数变换法,迭代法,数学归纳法,换元法等 一、累加法: 类型 1 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 解法:把原递推公式转化为 a n ?1 ? a n ? f ( n ) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 1. 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1, a1 ? 1 ,求数列 { a n } 的通项公式。 2 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ? 2 ? 3 ? 1, a1 ? 3 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n

3. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ?

1 2

, a n ?1 ? a n ?

1 n ?n
2

,求 a n 。

4 (1)数列{an}满足 a1=1 且 a n = a n ?1 ? 3 n ? 2 (n≥2),求 a n 。 (2)数列{an}满足 a1=1 且 a n = a n ? 1 ?
二、累乘法: 类型 2
a n ?1 ? f ( n ) a n
a n ?1 an ? f ( n ) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解
1 2
n

(n≥2),求 a n 。

解法:把原递推公式转化为 即 an ?
an a n ?1 ? a n ?1 an?2 ?? ? a2 a1

? a1 ( n ? 2 ) 。

5. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 6、已知 a 1 ? 3 , a n ? 1 ?

2

3 3n ? 1

, a n ?1 ?

n n ?1

a n ,求 a n 。

3n ? 2

a n ( n ? 1) ,求 a n 。

三、待定系数法 类型 3 a n ?1 ? pa n ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1) ? 0 ) )。 解法(待定系数法):把原递推公式转化为: a n ?1 ? t ? p ( a n ? t ) ,其中 t ? 再利用换元法转化为等比数列求解。 7. 已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ?1 ? 2 a n ? 3 ,求 a n . 8 已知数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 , a n ? 2 a n ?1 ? 1( n ? 2 ) ,求 ? a n ? 的通项公式. 9.已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 ,且 a n ? 1 ? 3 a n ? 2 ,求 a n . 四、倒数法 类型 4 a n ?
1 an

q 1? p



ma n ?1 k ( a n ?1 ? b )
? k( 1 a n ?1 ? 1 m ) ? 1 an ? k? 1 a n ?1 ? k m
1 an

解法:考虑函数倒数关系有

令bn ?

则 ?b n ? 可归为

a n ?1 ? pa n ? q 型。(取倒数法)

10、已知数列{an}满足: a n ?

a n ?1 3 ? a n ?1 ? 1
2an an ? 2

, a 1 ? 1 ,求数列 ? a n ? 的通项公式。

11、已知数列 ? a n ? 中, , a1=1 a n ? 1 ?
*

,求数列 ? a n ? 的通项公式
an 2an ? 1

12、已知数列 ? a n ? ( n ? N ) 中, a1 ? 1 , a n ? 1 ?

,求数列 ? a n ? 的通项公式.

五、其他综合法 13 数列 ?a n ? 中前 n 项的和 S n ? 2 n ? a n ,求数列的通项公式 a n . 14 数列 ?a n ? 中, a 1 ?
1 2

,前 n 项的和 S n ? n a n ,求 a n .
2


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