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三角函数分类汇编


2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编 第四章《三角函数》
一、选择题(共 21 题) 1.(安徽卷)将函数 y ? sin ? x (? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? 图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是 A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ?

? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如

? 6 ?

?

?
3

6

) )

B. y ? sin( x ? D. y ? sin(2 x ?

?
6

) )

?
3

? ? ? , 0 ? 平移, ? 6 ? ? 7? ? 3? ? )? 平移后的图象所对应的解析式为 y ? sin ? ( x ? ) ,由图象知, ? ( ,所以 6 12 6 2 ? ? 2 ,因此选 C。 sin x ? a (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是 2.(安徽卷)设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? sin x
解: 将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ?

?

A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值

B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值

sin x ? a (0 ? x ? ? ) 的值域为函数 sin x a a y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域,又 a ? 0 ,所以 y ? 1 ? , t ? (0,1] 是一个减函减,故选 B。 t t
解:令 t ? sin x, t ? (0,1] ,则函数 f ? x ? ? 3.(北京卷)函数 y=1+cosx 的图象 (A)关于 x 轴对称 (B)关于 y 轴对称 (C)关于原点对称 解:函数 y=1+cos 是偶函数,故选 B (D)关于直线 x=

? 对称 2

? 3 ? , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于 5 2 4 1 1 A. B.7 C.- D.-7 7 7 ? 3 3 ? 1 ? tan ? 1 ? ,选 A. 解:由 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan ? ? ? , tan(? ? ) = 2 5 4 4 1 ? tan ? 7 ? ? 5.(福建卷)已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? , ]上的最小值是-2,则? 的最小 3 4
4.(福建卷)已知 ? ∈( 值等于 A.

2 3

B.

3 2

C.2

D.3

解:函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ωx 的取值范围是 , ? 3 4? ?

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?? ? ?? 3? 3 ? ?? ?? ? ? ? 3 , 4 ? , ∴ ? 3 ≤ ? 2 或 4 ≥ 2 ,∴ ? 的最小值等于 2 ,选 B. ? ?
6.(湖北卷)若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? 3 5 3
D. ?

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

解 : 由 sin2A = 2sinAcosA?0 , 可 知 A 这 锐 角 , 所 以 sinA + cosA?0 , 又

( s iA ? n

5 c A2 s ? ) ? 1 As i ,故选 A o ?n 2 3
? ,则 f (x) 的最小正周期是 4
B. π C.

7.(湖南卷)设点 P 是函数 f ( x) ? sin?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称 轴上的距离的最小值 A.2π

? ? D. 2 4 解析:设点 P 是函数 f ( x) ? sin?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上
的距离的最小值

? ,∴ 最小正周期为 π,选 B. 4
(B)1 (C)-1 (D)±1

8.(江苏卷)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a= (A)0

【思路点拨】本题考查函数的奇偶性,三角函数 sinx 的奇偶性的判断,本题是一道送分的 概念题 【正确解答】解法 1 由题意可知, f ( x) ? ? f (? x) 得 a=0 解法 2:函数的定义域为 R,又 f(x)为奇函数,故其图象必过原点即 f(0)=0,所以得 a=0, 解法 3 由 f(x)是奇函数图象法函数画出 f ?x? ? sin x ? a , x ? R 的图象选 A 【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其 前提条件是函数的定义域必须关于原点对称. 若函数 f(x)为奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? y ? f ( x) 的图象关于原点对称. 若函数 f(x)为偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称.
x ? 9(江苏卷)为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像 3 6

上所有的点 (A)向左平移 (B)向右平移

? ?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3
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(C)向左平移 (D)向右平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换,这是一道平时训练的比较多的一种类型。 【正确解答】先将 y ? 2 sin x, x ? R 的图象向左平移 得到函数 y ? 2sin( x ?

?

?
6

? 个单位长度, 6

), x ? R 的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 x ? ? ), x ? R 的图像,选择 C。 3 6

(纵坐标不变)得到函数 y ? 2 sin(

【解后反思】由函数 y ? sin x, x ? R 的图象经过变换得到函数 y ? A sin(? x ? ? ), x ? R (1)y=Asinx, . x?R(A>0 且 A?1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍得到的 (2)函数 y=sinω x, x?R (ω >0 且ω ?1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短
王新敞
奎屯 新疆

倍(纵坐标不变) ? (3) 函数 y=sin(x+ ? ), x∈R(其中 ? ≠0)的图象, 可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 ? >0 时)或向右(当 ? <0 时=平行移动| ? |个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向: (ω >1)或伸长(0<ω <1)到原来的
王新敞
奎屯 新疆

1

“加左” “减右”),可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但注意: 先伸缩时,平移的单位把 x 前面的系数提取出来。 10.(江西卷)函数 y ? 4sin ? 2 x ? A.

? ?

?? ? ? 1 的最小正周期为( ??
C. 2?



? ?

B. ?

D. 4?

解:T=

2? =? ,故选 B 2
1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是 2 2
(C) ? ?1,

11.(辽宁卷)已知函数 f ( x) ? (A) ??1,1? (B) ? ?

? ?

2 ? ,1? 2 ?

? ?

2? ? 2 ?

(D) ? ?1, ?

? ?

2? ? 2 ?

【解析】 f ( x) ?

?cos x(sin x ? cos x) 1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? ? 2 2 ?sin x(sin x ? cos x)

即等价于 {sin x,cos x}min ,故选择答案 C。 【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识,同时考查了简单的转化和估 算能力。 12.(辽宁卷)函数 y ? sin ?

?1 ? x ? 3 ? 的最小正周期是( ?2 ?
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π B. π 2 2? 解: T ? ? 4? ,选 D 1 2
A. 13.(全国卷 I)函数 f ? x ? ? tan ? x ?

C. 2π

D. 4π

? ?

??

? 的单调增区间为 4?
B. k? , ? k ? 1? ? , k ? Z

A. ? k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??

?,k ? Z 2?

?

?

C. ? k? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? , k ? Z 4 4? ? ?

D. ? k? ?

? ?

?
4

, k? ?

3? 4

? ?,k ? Z ?

解:函数 f ? x ? ? tan ? x ?

??

? 的单调增区间满足 k? ? ? x ? ? k? ? , 4? 2 4 2

?

?

?

∴ 单调增区间为 ? k? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? , k ? Z ,选 C. 4 4?
π (C) 4 π (D) 2

14.(全国 II)函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是 (A)2π (B)4π

解析: y ? sin 2 x cos 2 x ?

1 2? ? sin 4 x 所以最小正周期为 T ? ? ,故选 D 2 4 2

考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 本题比较容易. 15.(全国 II)若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)= (A)3-cos2x (B)3-sin2x (C)3+cos2x 解析: f (sin x) ? 3 ? cos 2 x ? 3 ? (1 ? 2sin x) ? 2sin x ? 2
2 2

(D)3+sin2x

所以 f ( x) ? 2x ? 2 ,因此 f (cos x) ? 2cos x ? 2 ? (2cos x ?1) ? 3 ? 3 ? cos 2 x 故选 C
2 2 2

本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般 16.(陕西卷)"等式 sin(α +γ )=sin2β 成立"是"α 、β 、γ 成等差数列"的( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:若等式 sin(α+γ)=sin2β 成立,则 α+γ=kπ+(-1)k·2β,此时 α、β、γ 不一定成等差数列, 若 α、β、γ 成等差数列,则 2β=α+γ,等式 sin(α+γ)=sin2β 成立,所以“等式 sin(α+γ)=sin2β 成立”是“α、β、γ 成等差数列”的.必要而不充分条件。选 A. 17.(四川卷)下列函数中,图象的一部分如右图所示的是 (A) y ? sin ? x ?

? ?

??
? 6?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

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(C) y ? cos ? 4 x ? 解析:从图象看出,

? ?

??
? 3?

(D) y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

1 ? ? ? ? ? ,所以函数的最小正周期为 π,函数应为 y= sin 2 x 向 T= 4 12 6 4 ? ? ? ? ? ? 左平移了 个单位,即 y ? sin 2( x ? ) = sin(2 x ? ) ? cos(? ? 2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,选 D. 6 6 3 2 3 6 ? 18.(天津卷)已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、b 为常数,a ? 0 , x ? R )在 x ? 4 3? ? x) 是( 处取得最小值,则函数 y ? f ( ) 4 3? ,0) 对称 A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 B.偶函数且它的图象关于点 ( 2 3? ,0) 对称 D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 ( 2
解析:函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x (a 、b 为常数, a ? 0, x ? R) ,∴ f ( x) ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) 的 周 期 为 2π , 若 函 数 在 x ?

?

4 3? 3? 3? 3? y ? f ( ? x ) = sin( ? x ? ) ? sin x ,所以 y ? f ( ? x ) 是奇函数且它的图象关于 4 4 4 4

x 处 取 得 最 小 值 , 不 妨 设 f ( x) ? si n( ?

3? ) 则函数 , 4

点 (? ,0) 对称,选 D. 19.(天津卷)设 ?,? ? ? ? , ? ,那么“ ? ? ? ”是“ tan ? ? tan ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 解析:在开区间 ( ? B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? π π? ? 2 2?



? ?

, ) 中,函数 y ? tan x 为单调增函数,所以设 ? , ? ? ( ? , ), 那么 2 2 2 2

? ?

"? ? ? " 是 "tan ? ? tan ? " 的充分必要条件,选 C.
20.(浙江卷)函数 y=

1 2 sin2+4sin x,x ? R 的值域是 2 3 1 , ] 2 2
(C) ? [

(A) [

1 3 , ] 2 2

(B) [

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

(D) ? [

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

【考点分析】本题考查三角函数的性质,基础题。 解析: y ?

1 1 1 1 2 ? ?? 1 sin 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? ? sin? 2 x ? ? ? ,故选择 C。 2 2 2 2 2 4? 2 ?

【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法,即将函数化为 y ? A sin ??x ? ? ? ? b 或 y ? A cos??x ? ? ? ? b 的模式。 21.(重庆卷)若 ? , ? ? (0, ) , cos(? ?

? 2

? 1 ? 3 , sin( ? ? ) ? ? ,则 cos(? ? ? ) 的值等于 )? 2 2 2 2
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(A) ?

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

解:由 ? , ? ? (0,

?
2

) ,则 ?-

?

? (- , ) (- , ) , -? ? ,又 2 4 2 2 2 4

? ?

?

? ?

cos(? ?

?
2

)?

? 1 ? ? ? ? 3 , sin( ? ? ) ? ? ,所以 ?- = ? , -?=- 2 2 2 6 2 6 2
,所以 cos(? ? ? ) = ?

解得 ?=?=

?
3

1 ,故选 B 2

二、填空题(共 10 题) 22. (福建卷) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? 最小值是____。 解:函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 , ? 的 则 , ? 3 4? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ωx 的取值范围是 , ? 3 4? ?

?? ? ?? 3? 3 ? ?? ?? ? ≤? 或 ≥ , ∴ ? ,∴ ? 的最小值等于 . ? , ? 3 4 ? 3 2 4 2 2 ? ?
23.(湖南卷)若 f ( x) ? a sin( x ? 可以是 可).

) ? b sin( x ? )(ab ? 0) 是偶函数,则有序实数对( a , b ) 4 4 .(注:只要填满足 a ? b ? 0 的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即

?

?

解析. ab≠0, f ( x) ? a sin( x ? ) ? b sin( x ? ) ? a( 是偶函数,只要 a+b=0 即可,可以取 a=1,b=-1.

? 4

? 4

2 2 2 2 sin x ? cos x) ? b( sin x ? cos x) 2 2 2 2

? ? 24.(湖南卷)若 f ( x) ? a sin(x ? ) ? 3 sin(x ? ) 是偶函数,则 a= 4 4
解析: f ( x) ? a sin( x ?

.

? ? 2 2 2 2 ) ? 3sin( x ? ) ? a( sin x ? cos x) ? 3( sin x ? cos x) 是 4 4 2 2 2 2

偶函数,取 a=-3,可得 f ( x) ? ?3 2 cos x 为偶函数。 25.(江苏卷) cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? = 【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值

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cot 200 cos100 ? 3 sin100 tan 700 ? 2 cos 400 cos 200 cos100 3 sin100 sin 700 ? ? ? 2 cos 400 0 0 sin 20 cos 70 【正确解答】 0 0 cos 20 cos10 ? 3 sin100 cos 200 ? ? 2 cos 400 0 sin 20
cos 200 (cos100 ? 3 sin100 ) ? 2 cos 400 0 sin 20 0 2 cos 20 (cos100 sin 300 ? sin100 cos 300 ) ? ? 2 cos 400 0 sin 20 0 0 2 cos 20 sin 40 ? 2sin 200 cos 400 ? sin 200 ?2 ?
【解后反思】 方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决 “三看” 即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化, (2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相 近的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子, 看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称, 就可以使用. 26.(全国卷 I)设函数 f ? x ? ? cos 则 ? ? __________。 解析:

?

3x ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 。若 f ? x ? ? f / ? x? 是奇函数,

?

f '( x) ? ? 3 sin( 3 x ? ? ) ,则 f ? x ? ? f / ? x ? =
?
?

cos( 3x ? ? ) ? 3sin( 3x ? ? ) ? 2sin( ? 3x ? ? ) 为奇函数,∴φ= . 6 6
27.(陕西卷)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 解析:cos43° cos77° +sin43° cos167° cos 43? cos 77? ? sin 43? sin 77? ? cos120? =- = 28.( 上 海 卷 ) 如 果 c o ? = s

1 ? , 且 ? 是 第 四 象 限 的 角 , 那 么 cos( ? ? ) = 5 2 解:已知 ? cos(? ? ? ) ? ?sin? ? ?(? 1? cos 2 ? ) ? 2 6 ; 2 5
29.(上海卷)函数 y ? sin x cos x 的最小正周期是_________。 解:函数 y ? sin x cos x =

1 . 2

1 sin2x,它的最小正周期是 π。 2

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30.( 重 庆 卷 ) 已 知 ? , ? ? ?

3 ? ? 12 ? 3? ? ? , ? ? , sin( ? ? ? )= - , sin ? ? ? ? ? , 则 5 4 ? 13 ? 4 ? ?

cos ?? ?

? ?

??

? =________. 4?

解:

?, ? ??

? 12 3? 3 ? 3? ? , ? ? ,sin ?? ? ? ? ? ? , sin( ? ? ) ? , ? ? ? ? ( , 2? ) , 4 13 2 5 ? 4 ?

? 3? 4 ? 5 ? ( , ) ,∴ cos(? ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? ? , 4 2 4 5 4 13 ? ? ? ? 则 cos(? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? ( ? ? )] = cos(? ? ? ) cos( ? ? ) ? sin(? ? ? )sin( ? ? ) 4 4 4 4 4 5 3 12 56 ?? = ? (? ) ? (? ) ? 5 13 5 13 65 ?? ?
31.(重庆卷)已知 sin ? ?

2 5 ? , ? ? ? ? ,则 tan ? ? 2 5



解:由 sin ? ?

2 5 ? 5 , ? ? ? ? ?cos?=- ,所以 tan ? ? -2 2 5 5
3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3

三、解答题(共 16 题) 32.(安徽卷)已知

(Ⅰ)求 tan ? 的值;

5sin 2
(Ⅱ)求

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8
的值。

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ? 10 2 解:(Ⅰ)由 tan ? ? cot ? ? ? 得 3tan ? ? 10 tan ? ? 3 ? 0 ,即 3 1 3? 1 tan ? ? ?3或 tan ? ? ? ,又 ? ? ? ? ,所以 tan ? ? ? 为所求。 3 4 3 1- cos ? 1+ cos ? ? ? ? ? ? 4sin ? ? 11 ?8 5sin 2 ? 8sin cos ? 11cos 2 ? 8 5 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ) = ?? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ? 5 ? 5cos ? ? 8sin ? ? 11 ? 11cos ? ? 16 8sin ? ? 6cos ? 8 tan ? ? 6 5 2 ? = = =? 。 6 ?2 2 cos ? ?2 2 cos ? ?2 2 ? 4 33.(安徽卷)已知 0 ? ? ? ,sin ? ? 2 5 2 sin ? ? sin 2? (Ⅰ)求 的值; cos 2 ? ? cos 2?
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(Ⅱ)求 tan(? ?

5? ) 的值。 4

解:(Ⅰ)由 0 ? ? ?
2

?
2

,sin ? ?

sin 2 ? ? sin 2? 4 3 ,得 cos ? ? ,所以 = 5 5 cos 2 ? ? cos 2?

sin ? ? 2sin ? cos ? ? 20 。 3cos 2 ? ? 1 sin ? 4 5? tan ? ? 1 1 ? ,∴ tan(? ? ) ? ? 。 (Ⅱ)∵ tan ? ? cos ? 3 4 1 ? tan ? 7

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 34.(北京卷)已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 解: (1)依题意,有 cosx?0,解得 x?k?+ 即 f ( x ) 的定义域为{x|x?R,且 x?k?+

?

? ,k?Z} 2

? , 2

4 ,求 f (? ) 的值. 3

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 =-2sinx+2cosx? f (? ) =-2sin?+2cos? (2) f ( x) ? cos x 4 4 3 由 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 可得 sin?=- ,cos?= 3 5 5 14 ? f (? ) =-2sin?+2cos?= 5 1 ? sin 2 x 35.(北京卷)已知函数 f(x)= cos x
(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)设α 是第四象限的角,且 tan ? = ? 解:(Ⅰ)由 cosx≠0 得 x≠kπ +

?

? (k∈Z), 2 ? 故 f(x)的定义域为{|x|x≠kπ + ,k∈Z}. 2 4 (Ⅱ)因为 tanα = ? ,且α 是第四象限的角, 3
1 ? sin 2? 1 ? 2sin ? cos ? 故 f(α )= = cos ? cos ?

4 ,求 f( ? )的值. 3

所以 sinα = ?

4 3 ,cosα = , 5 5

? 4? 3 1? 2? ? ? ?? ? 5 ? 5 = 49 . = 3 15 5

36.(福建卷)已知函数 f(x)=sin2x+ 3 xcosx+2cos2x,x ? R.
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(I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? 本小题主要考查三角函数的基本公式、 三角恒等变换、 三角函数的图象和性质等基本知 识,以及推理和运算能力。满分 12 分。 解: (I) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 ?
? f ( x) 的最小正周期 T ?
由题意得 2k? ?

?
2

? 2x ?

?

2? ? ?. 2 ? 2 k? ?

?
2

6

,k ? Z,



k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
? 个单位长度,得到 12 ? 3 y ? sin(2 x ? ) 的 图 象 , 再把 所 得图 象上 所 有 的 点向 上 平移 个 单 位 长 度 ,就 得 到 6 2 ? 3 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象。 6 2 ? ? 3 方 法 二 : 把 y ? sin 2 x 图 象 上 所 有 的 点 按 向 量 a ? (? , ) 平 移 , 就 得 到 12 2 ? 3 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象。 6 2 ?
(II)方法一: 先把 y ? sin 2 图象上所有点向左平移 x

37.(广东卷)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (III)若 f (? ) ?

2

), x ? R .

3 ,求 sin 2? 的值. 4

解: f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?

2

) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? 2? ? 2? ; 1

?
4

)

(Ⅰ) f (x) 的最小正周期为 T ?

(Ⅱ) f (x) 的最大值为 2 和最小值 ? ( Ⅲ ) 因 为 f (? ) ?

2;

3 3 7 , 即 sin ? ? cos ? ? ? ? ? ① ? 2 sin ? cos ? ? ? , 即 4 4 16
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sin 2? ? ?

7 16
?

sin( ? 2? ) 2 ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), 求 θ 的值. 38.(湖南卷)已知 3 sin? ? cos(? ? ? )

解析: 由已知条件得 3 sin? ? 即 3 sin? ? 2 sin2 ? ? 0 . 解得 sin? ?
3 或 sin? ? 0 . 2

cos 2? ? cos? ? 1 . ? cos?

由 0<θ<π 知 sin? ?

3 ? 2? ,从而 ? ? 或? ? . 3 3 2

39.(辽宁卷)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (I) 函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (II) 函数 f ( x ) 的单调增区间. 【解析】(I) 解法一:

f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4

?当 2 x ?

?

4

? 2 k? ?

?

2

,即 x ? k? ?

?

8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .

函数 f ( x ) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ? 解法二:

?
8

(k ? Z )} .

f ( x) ? (sin 2 x ? cos2 x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? 2sin x cos x ?1 ? 2cos2 x ? sin 2x ? cos 2x ? 2
? 2 ? 2 sin(2 x ?

?
4

)

?当 2 x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .

函数 f ( x ) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ? (II)解: f ( x) ? 2 ? 2 sin(2 x ? 即: k? ?

?
8

(k ? Z )} .

?
4

) 由题意得: 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

3? ? 3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 因此函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) . 8 8 8 8

【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合 运用三角有关知识的能力. 40.(山东卷)已知函数 f(x)=A sin (? x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? <
2

? 函数,且 y=f(x)的最大值为 2

2,其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2).
第 11 页 共 93 页

(1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008).

A A ? cos(2? x ? 2? ). 2 2 A A ? y ? f ( x) 的最大值为 2, A ? 0 .? ? ? 2, A ? 2. 2 2 1 2? ? ) ? 2, ? ? . 又? 其图象相邻两对称轴间的距离为 2, ? ? 0 ,? ( 2 2? 4 2 2 ? ? ? f ( x) ? ? cos( x ? 2? ) ? 1 ? cos( x ? 2? ) . 2 2 2 2
解: (I) y ? A sin (? x ? ? ) ?
2

? y ? f ( x) 过 (1, 2) 点,? cos( ? 2? ) ? ?1. 2
?

?

?

2

? 2? ? 2k? ? ? , k ? Z , ? 2? ? 2k? ?

?

又? 0 ? ? ?

?
2

, ?? ?

?
4

2

, k ? Z , ?? ? k? ?

?
4

,k ? Z,

.

(II)解法一:? ? ?

?

4

,? y ? 1 ? cos(

?

x ? ) ? 1 ? sin x. 2 2 2

?

?

? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 .
又? y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,

? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.
解法二:? f ( x) ? 2sin (
2

?

f (2) ? f (4) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 (? ? ? ) ? 2, ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 4. 2
2008 ? 4 ? 502 , f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008. ? 又 y ? f ( x) 的周期为 4,
π π 41(陕西卷)已知函数 f(x)= 3sin(2x- )+2sin2(x- ) (x∈R) 6 12 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. π π 解:(Ⅰ) f(x)= 3sin(2x- )+1-cos2(x- ) 6 12 = 2[ 3 π 1 π sin2(x- )- cos2(x- )]+1 2 12 2 12

?

? 3? x ? ? ) ? f (1) ? f (3) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2, 4 4 4

π π =2sin[2(x- )- ]+1 12 6 π = 2sin(2x- ) +1 3 2π ∴ T= =π 2

第 12 页 共 93 页

π (Ⅱ)当 f(x)取最大值时, sin(2x- )=1,有 3 即 x=kπ+ 5π 12

π π 2x- =2kπ+ 3 2 5π , 12 (k∈Z)}.

(k∈Z) ∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ+

42.(上海卷)求函数 y =2 cos( x ? [解]

?
4

) cos( x ?

?
4

) + 3 sin 2x 的值域和最小正周期.

y ? 2 c o sx(? ? ) c x ? ? ? ) 3 s i n 2 os( x 4 4 ? 2( 1 cos 2 x ? 1 sin 2 x ) ? 3sin 2 x 2 2 ? cos2 x ? 3sin 2 x ? 2sin(2 x ? ? ) 6 4 4

∴ 函数 y ? 2cos( x ? ? )cos( x ? ? ) ? 3sin2 x 的值域是 [?2,2] ,最小正周期是 ? ;

?? ? sin ? ? ? ? 5 4? ? 43.(上海卷)已知 ? 是第一象限的角,且 cos ? ? ,求 的值。 13 cos ? 2? ? 4? ?
2 2 (cos? ? sin ? ) (cos? ? sin ? ) 2 1 4 = 2 解: ? 2 2 ? ? 2 cos( 2? ? 4? ) cos 2? 2 cos? ? sin ? cos ? ? sin ?

sin(? ?

?

)

由已知可得 sin ? ?

12 , 13

∴原式=

2 1 13 2 ? ?? . 5 12 2 14 ? 13 13
5 π ?π π? , ? ? ? , ? .求 cos 2? 和 sin(2? ? ) 的值. 2 4 ?4 2?

44. (天津卷)已知 tan ? ? cot ? ?

本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识,考查基本运算能力。

5 sin ? cos ? 5 2 5 4 ,得 ? ? ,则 ? ,sin 2? ? . 2 cos ? sin ? 2 sin ? 2 5 ? ? ? 3 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? , 因为 ? ? ( , ), 所以 2? ? ( , ? ), 4 2 2 5
解法一:由 tan ? ? cot ? ?

? ? ? 4 2 3 2 2 sin(2? ? ) ? sin 2? .cos ? cos 2? .sin ? ? ? ? ? . 4 4 4 5 2 5 2 10
解法二:由 tan ? ? cot ? ? 解得 tan ? ? 2 或 tan ? ?

1 ? ? 1 . 由已知 ? ? ( , ), 故舍去 tan ? ? , 得 2 4 2 2
第 13 页 共 93 页

5 ,得 2

tan ? ?

1 5 ? , tan ? 2

tan ? ? 2.

因此, sin ? ?

2 5 5 , cos ? ? . 那么 5 5
4 , 5

3 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? , 5

且 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 故 sin(2? ?

?
4

) ? sin 2? .cos

?
4

? cos 2? .sin

?

4 2 3 2 2 ? ? ? ? ? . 4 5 2 5 2 10

45.(浙江卷)如图,函数 y=2sin(π xφ ),x∈R,(其中 0≤φ ≤ 的图象与 y 轴交于点(0,1). (Ⅰ)求φ 的值;

? ) 2

(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM与PN的夹角 . 本题主要考查三角函数的图像, 已知三角函数求角, 向量夹角的计算等基础知识和基本的运 算能力。

1 ? ? . 因为 0 ? ? ? , ? ? . 所以 2 2 6 ? 1 1 5 (II)由函数 y ? 2sin(? x ? ) 及其图像,得 M (? , 0), P( , ?2), N ( , 0), 6 6 3 6 ???? ??? ? ? ???? ? ???? ???? ??? ? ? 15 1 1 PM ? PN ? ??? ? ? , 所以 PM ? (? , 2), PN ? ( , ?2), 从而 cos ? PM , PN ?? ???? 17 2 2 | PM | ? | PN |
解: I) ( 因为函数图像过点 (0,1) , 所以 2sin ? ? 1, 即 sin ? ? 故 ? PM , PN ?? arccos

???? ??? ? ?

15 . 17

46.(重庆卷)设函数 f(x)= 3 cos2cos+sin ? rcos ? x+a(其中 ? >0,a ? R),且 f(x)的图象在 y 轴右 侧的第一个高点的横坐标为 (Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)如果 f(x)在区间 ??

x . 6

? ? 5? ? , ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值. ? 3 6 ?
3 2 1 2 3 ?? 2

解:(I)f ( x )?

c o s 2 ? ?x

s ?n ? i x 2 3 ?? 2

? ? ? ? sin ? 2? x ? ?? 3 ? ?
依题意得 2? ? 1 . 2
第 14 页 共 93 页

?

6

?

?

3

?

?
2

,

解之得? ?

(II)由(I)知,f(x)=sin(x+

3 ?? 3 2 ? 7? ? ? ? 5? ? ? 又当x ? ? ? , 时,x ? ? ? 0, , 3 6 ? 3 6 ? ? ? ? ? 1 ? 故? ? sin( x ? ) ? 1, 2 3 ? ) 1 ? ? 5? ? 从而f ( x )在 ? ? , 上取得最小值 ? ? 3 6 ? 2 ? ? 因此,由题 设知 ? 1 ? 2 3 ?? ? 2 3.故? ? 3 ?? 2 3 ?1 2

?

?? ? 47.(上海春)已知函数 f ( x) ? 2 sin? x ? ? ? 2 cos x, 6? ?
(1)若 sin x ? 解: (1)? sin x ?

?? ? x?? ,? ? . ?2 ?

4 ,求函数 f (x) 的值; 5
4 , 5

(2)求函数 f (x) 的值域.

3 ?? ? x ? ? , ? ? , ? cos x ? ? , 5 ?2 ?

? 3 ? 1 f ( x) ? 2? s i n ? c o s ? ? 2c o s x x? x ? 2 2 ? ?
? 3 sin x ? cos x

?

4 3 3? . 5 5

?? ? (2) f ( x) ? 2 sin? x ? ? , 6? ?
?

?
2

? x ?? ,

?

?
3

?x?

?
6

?

5? , 6

1 ?? ? ? sin? x ? ? ? 1 , 2 6? ?

? 函数 f (x) 的值域为 [1, 2 ] .

2007 年高考数学试题分类详解 三角函数
一、选择题 1. (全国 1 理) ? 是第四象限角, tan ? ? ? A.

1 5

B. ?

1 5

5 ,则 sin ? ? 12 5 C. 13

D. ?

5 13

第 15 页 共 93 页

解. ? 是第四象限角, tan ? ? ?

5 1 5 ,则 sin ? ? - ?? 2 12 13 1 ? tan ?
2 2

2、 (全国 1 理 12)函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos A. (

? ? ? ? ? , ) C. (0, ) D. ( ? , ) 3 3 6 2 6 6 3 2 2 x 2 解.函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos = cos x ? cos x ?1 ,从复合函数的角度看,原函数看作 2 1 g (t ) ? t 2 ? t ?1 , t ? cos x ,对于 g (t ) ? t2 ? t ?1 ,当 t ? [?1, ] 时, g (t ) 为减函数,当 2 1 ? 2? 1 1 t ? [ ,1] 时, g (t ) 为增函数,当 x ? ( , ) 时,t ? cos x 减函数,且 t ? (? , ) ,∴ 原 2 3 3 2 2
, )
B. ( 函数此时是单调增,选 A。 3、 (山东文 4)要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ?

? 2?

x 的一个单调增区间是 2

? ?

?? ? 的图象( ??



? 个单位 ? ? C.向左平移 个单位 ?
A.向右平移

? 个单位 ? ? D.向左平移 个单位 ?
B.向右平移

【答案】A【分析】 本题看似简单,必须注意到余弦函数是偶函数。注意题中给出的函数 : 不同名,而 y ? cos ? x ?

? ?

? ? ? ?? ?? ? ? ? cos ? ? x ? ? sin[ 2 ? ( ? ? x)] ? sin( x ? ? ) ,故应选 A。 ?? ?? ?
( )

4、 (天津理 3) "? ?

2? ?? ? " 是 "tan ? ? 2 cos ? ? ? ? " 的 3 ?2 ?
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A

?2 ? ?? ? ?2 ? 【分析】 tan ? ? tan ? ? ? ? ? 3, 2 cos ? ? ? ? ? 2sin(?? ) ? ?2sin ? ? ? ? ? 3 可知充分, ?3 ? ?2 ? ?3 ?

?? ? 当 ? ? 0? 时 tan ? ? 0, 2 cos ? ? ? ? ? 0 可知不必要.故选 A ?2 ?
5、 (天津文 9)设函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ? ( x ? R) ,则 f ( x) ( 3?
B.在区间 ? ??, ?



A.在区间 ?

? 2? 7 ? ? , 上是增函数 ?3 6? ?

? ?

?? 上是减函数 2? ?

第 16 页 共 93 页

C.在区间 ? , ? 上是增函数 8 4

?? ?? ? ?

D.在区间 ? , ? 上是减函数 3 6

? ? 5? ? ? ?

解.A 【解析】 由函数图象的变换可知: f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ?? ? ? 的图象是将 f ( x) ? sin ? x ? ? 3? 3? ?

的图象 x 轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为 ? ,则函数在区间

k? ? x ?
在区间 ?

? ? ? ? 2? 7? ? k ? ? 即 k ? ? ? x ? k ? ? 上为增函数,当 k ? 1 时有: ?x? ,故 3 2 3 6 3 6

? 2? 7 ? ? , 上 f ( x) 是增函数. ?3 6? ?
12 ,则 sin ? ? 13 5 C. 12

6、 (全国 1 文 2) ? 是第四象限角, cos ? ? A.

5 5 D. ? 13 12 12 5 2 解. ? 是第四象限角, cos ? ? ,则 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? ,选 B。 13 13
B. ? 7、 (全国 1 文 10)函数 y ? 2cos2 x 的一个单调增区间是 A. ( ?

5 13

? ?

, ) 4 4
2

B. (0,

?
2

)

C. (

? 3?
4 ,

解.函数 y ? 2cos x = 1 ? cos 2x ,它的一个单调增区间是 ( 8、 (广东文9)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( 运动的最小正周期T 和初相 ? 分别为

?

4

)

D. (

?
2

,? )

?
3

x ? ? )(| ? |?

?
2

2

, ? ) ,选 D。

) 的图象经过点(0,1),则该简谐

【解析】依题意 2sin ? ? 1 ,结合 | ? |? 9、 (山东理 5) 函数 y ? sin(2 x ? (A) ? ,1 (B)

?
2

可得 ? ?

?
6

,易得 T ? 6 ,故选(A).

?

) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期和最大值分别为 6 3

?

? , 2 (C) 2? ,1 (D) 2? , 2

【答案】:A【分析】 :化成 y ? A sin(? x ? ? ) 的形式进行判断即 y ? cos 2 x 。 10、 (全国 2 理 1)sin2100 = (A)

3 2

(B) -

3 2
1 ,选 D。 2

(C)

1 2

(D) -

1 2

解.sin2100 = ? sin 30? ? ?

11、 (全国 2 理 2 文 3)函数 f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是
第 17 页 共 93 页

(A)(-

? ? ? 3? , ) (B) ( , ) 4 4 4 4

(C) (?,

3? 3? ) (D) ( ,2?) 2 2

解、函数 f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(?, 12、 (全国 2 文 1) cos330 ? (
?

3? ),选 C。 2



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

解. cos 330? ? cos 30? ?

3 ,选 C。 2
π 3

13、 (安徽理 6)函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C, :

11 ? 对称; 12 π 5π ) 内是增函数; ②函数 f (x) 在区间 (? , 12 12 π ③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C . 3
①图象 C 关于直线 x ? 以上三个论断中正确论断的个数为 (A)0 (B)1 解析:函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ①图象 C 关于直线 2 x ? (C)2 (D)3

11 ? 对称;①正 3 2 12 π 5π ? π 5π ? ? ) 时, 2 x ? ∈(- , ),∴ 函数 f (x) 在区间 (? , ) 内是 确;②x∈ (? , 2 2 12 12 3 12 12 π 增 函 数 ; ② 正 确 ; ③ 由 y ? 3 sin 2 x 的 图 象 向 右 平 移 个单位长度可以得到 3 2? y ? 3 s i n (x2? ) ,得不到图象,③错误;∴ 正确的结论有 2 个,选 C。 3 14、 (北京文理 1)已知 cos ? ?tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( ) ? k? ?
对称,当 k=1 时,图象 C 关于 x ? A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

?

π ) 的图象为 C 3

?

解析:∵ cos ? ?tan ? ? 0 ,∴ 当 cosθ<0,tanθ>0 时,θ∈第三象限;当 cosθ>0,tanθ<0 时, θ∈第四象限,选 C。 15、 (北京文 3)函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是( A. )

π 2

B. π

C. 2π

D. 4π

解析:函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x = 2 sin(2 x ?

?
4

) ,它的最小正周期是 π,选 B。

第 18 页 共 93 页

16、 (江苏 1)下列函数中,周期为 A. y ? sin

? 的是(D) 2
C. y ? cos

x 2

B. y ? sin 2 x

解析:利用公式 T ?

2?

x 4

D. y ? cos 4 x

?

即可得到答案 D。

17、 (江苏 5)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是(D) A. [ ?? , ?

5? ] 6

B. [?

5? ? ,? ] 6 6

C. [?

?
3

, 0]
故x?

D. [?

?
6

, 0]

解析: f ( x ) ? 2 sin( x ?

?
3

) 因

x?

?

?? ? 4 ? ?? ? , ? ? 3 ? 3 3?

?

?? ? 1 ? ?? ? , ? ? 3 ? 2 3?

得 x ? ??

? 1 ? , 0? ? 6

选D

18、 (福建理 5)已知函数 f(x)=sin(

)(

)的最小正周期为 ,则该函数的图象

A 关于点( ,0)对称

B 关于直线 x= 对称

C 关于点( ,0)对称

D 关于直线 x= 对称

解析:由函 数 f(x)= sin(

)(

)的最小正周期为 得 ? ? 2 ,由 2x+

? =kπ 得 3

x=

1 ? 1 ? ? k? ? ,对称点为( k? ? ,0) k ? z ) ( ,当 k=1 时为( ,0) ,选 A 2 6 2 6 3

19、(福建文 3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于 A.0 B.

1 2

C.

3 2

D.1

解析:sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin215°+cos215°=1,选 D 20、 (福建文 5)函数 y=sin(2x+ A.关于点(

? ? ,0)对称 B.关于直线 x= 对称 3 4 ? ? C.关于点( ,0)对称 D.关于直线 x= 对称 4 3 ? 1 ? 1 ? ? 解析: 2x+ =kπ 得 x= k? ? , 由 对称点为 ( k? ? , ( k ? z ) 当 k=1 时为 0) , ( , 3 2 6 2 6 3
第 19 页 共 93 页

? )的图象 3

0) ,选 A 21、 (江西理 3)若 tan ? A. ?2

?π ? ? ? ? ? 3 ,则 cot ? 等于( ?4 ?
1 2
C.



B. ?

1 2

D. 2

? tan? 1 ?π ? 4 ? 3 ? tan? ? ? ,所以 cot ? = ?2 ,选 A ?? ? ? 3 得 ? 2 ?4 ? 1 ? tan tan? 4 π 22、 (江西理 5)若 0 ? x ? ,则下列命题中正确的是( ) 2 3 3 A. sin x ? x B. sin x ? x π π 4 2 4 2 C. sin x ? 2 x D. sin x ? 2 x π π ? ? 解析:用特殊值法,取x= 可排除 B、C,取 x= 可排除 A,选 D 3 6 tan
解析:由 tan ? 23、 (江西文 2)函数 y ? 5 tan(2 x ? 1) 的最小正周期为( A. )

?

π 4

B.

解析: T ?

? , 选 B. 2

π 2

C. π

D. 2π

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于( ) 3 1 1 A. ?3 B. ? C. 3 D. 3 3 4 3? tan ? ? tan ? 3 ? 1 . 所以选 D. 解析: tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 ? 4 3 3 π 25、 (江西文 8)若 0 ? x ? ,则下列命题正确的是( ) 2 2 2 3 3 A. sin x ? x B. sin x ? x C. sin x ? x D. sin x ? x π π π π ? 1 2 ? 1 3 ? 1 解析: 取x ? ? sin x ? , 右边 ? ? , ? ? , 显然 A、C、D 不正确,选 B. 6 2 ? 6 3 ? 6 2
24、 (江西文 4)若 tan ? ? 3 , tan ? ? 26、 (湖北文 1)tan690°的值为
3 3 答案:选 A

+A.-

B.

3 3

C. 3

D. 3

解析:tan690°=tan(720°-30°)=-tan30°=-

3 ,故选 A 3

第 20 页 共 93 页

27、 (浙江理 2)若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , ? ? 的最小正周期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,则( )

? ) 2

1 ? ,? ? 2 6 ? C. ? ? 2,? ? 6 【答案】 D :
A. ? ? 【分析】 :由 T ?

1 ? ,? ? 2 3 ? D. ? ? 2,? ? 3
B. ? ?

2?

?

? ? ?? ? 2. 由 f (0) ? 3 ? 2sin ? ? 3 ?sin ? ?

3 . 2

?? ?

? ? ?? ? . 故选 D. 2 3

28、(浙江文2)已知 cos ?

? 3 ?? ? ,且 ? ? ,则tan ? = ?? ? ? 2 ?2 ? 2
3 3
(C) - 3 (D)

(A) ? 【答案】 C :

3 3

(B)

3

【分析】 :由 cos ?

? 1 3 3 ?? ? ,得 sin ? ? ? ,又 ? ? ,∴ cos ? ? ?? ? ? 2 2 2 ?2 ? 2

∴tan ? =- 3 29、 (海、宁文理 3)函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?
y



y
? ? 3

1
? 6

1
?

? ? 2

O
?1

x

?

? ?? O 3 2

?1

? 6

? x

A.

B.

y
1
? ? 2

y
?
? 3

?

? O ? 6

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O
?1
D.

?

x

C. 【答案】 A :
第 21 页 共 93 页

【分析】 f (? ) ? sin ? 2? ? :

? ?

π? 3 , 排除B、D, ??? 3? 2

? ? ? π? f ( ) ? sin ? 2 ? ? ? ? 0, 排除C。也可由五点法作图验证。 6 6 3? ?
30、 (海、宁文理 9)若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
1 2
C.



A. ?

7 2

B. ?

1 2

D.

7 2

【答案】 C : 【分析】 :

cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? 2 ? ? ? 2(sin ? ? cos ? ) ? ? , π? 2 ? 2 sin ? ? ? ? (sin ? ? cos ? ) 4? ? 2

1 ? cos ? ? sin ? ? . 2
31、 (重庆理 5)在 ?ABC 中, AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 则 BC =( ) A. 3 ? 3 【答案】 A : 【分析】 ? AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 由正弦定理得: : B. 2 C.2 D. 3 ? 3

a c BC AB ? ,? ? ? ? sin A sin C sin 45 sin 75?

3 , 6? 2 4

? BC ? 3 ? 3.
32、 (重庆文 6)下列各式中,值为 (A) 2sin15? cos15? (C) 2 sin2 15? ? 1 【答案】 B : 【分析】 cos 15? ? sin 15? ? cos30? ? :
2 2

3 的是 2

(B) cos 2 15? ? sin2 15? (D) sin2 15? ? cos 2 15?

3 . 2

第 22 页 共 93 页

33、 (辽宁理 5)若 ? ? ? 对应的点在( A.第一象限

?3 5 ? π, π ? ,则复数 (cos? ? sin ? ) ? (sin ? ? cos? )i 在复平面内所 ?4 4 ?
C.第三象限 D.第四象限

) B.第二象限

解析:取θ =π 得 (cos ? ? sin ? ) ? (sin ? ? cos ? )i =-1+i,第二象限,选 B 34、 (陕西文理 4)已知 sin ? ? (A) ?
5 ,则 sin4 ? ? cos 4 ? 的值为 5 1 1 (B) ? (C) 5 5
2 2 2

3 5

(D)

3 5

解析: sin4 ? ? cos 4 ? = sin ? ? cos ? = 2 sin ? ? 1 = ?
1 35、 (广东理 3)若函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( x ? R) ,则 f(x)是 2

3 ,选 A 5

? 的奇函数; (B)最小正周期为 ? 的奇函数; 2 (C)最小正周期为 2 ? 的偶函数; (D)最小正周期为 ? 的偶函数; 答案:D;
(A)最小正周期为

二、填空题 1 、 ( 安 徽 文 15) 函 数 f ( x) ? 3 s i n2(x ? (写出所有正确结论的编号). ① 图象 C 关于直线 x ? ② 图象 C 关于点 (

?
3

) 的 图 象 为 C, 如 下 结 论 中 正 确 的 是

11 ? 对称; 12

2? ,0) 对称; 3 ? 5? ③ 函数 f ( x)在区间 (? , )内是增函数; 12 12
④ y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 由 解析:函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ① 图象 C 关于直线 2 x ? 正确;

? 个单位长度可以得到图象 C. 3

?
3

) 的图象为 C,

?
3

? k? ?

?
2

对称,当 k=1 时,图象 C 关于 x ?

11 ? 对称;① 12

k? ? 2? ? , 0) 对称,当 k=1 时,恰好为关于点 ( ,0) 对称;②正确; 2 6 3 π 5π ? π 5π ? ? ) 时, 2 x ? ∈(- , ),∴ 函数 f (x) 在区间 (? , ) 内是增 ③ (? , x∈ 2 2 12 12 3 12 12
② 图象 C 关于点 ( 函数;③正确;
第 23 页 共 93 页

④ y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 由 象 C. ④不正确。所以应填①②③。

2? ? ) ,得不到图 个单位长度可以得 y ? 3sin(2 x ? 3 3 1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3

2、 (北京文 12 理 11)在 △ ABC 中,若 tan A ? . 解析:在 △ ABC 中,若 tan A ?

1 1 , C ? 150? ,∴ A 为锐角, sin A ? , BC ? 1 , 3 10

则根据正弦定理 AB ?

BC ? sin C 10 = 。 . sin A 2

3、 (北京文理 13)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是我国以古 代数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小 正方形拼成的一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形 的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 . 解析:图中小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,∴ 每一个直角三

?a 2 ? b 2 ? 25 ? 角形的面积是 6,设直角三角形的两条直角边长分别为 a, b,则 ? 1 ,∴ 两条直 ab ? 6 ? ? 2
角边的长分别为 3,4,直角三角形中较小的锐角为 ? ,cosθ= 4、 (江苏 11)若 cos(? ? ? ) ?

4 7 ,cos2θ=2cos2θ-1= 。 5 25
1/2 .

1 3 , cos(? ? ? ) ? ,.则 tan ? tan ? ? 5 5 1 解析: cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 5 3 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 5

2 ? ?cos? cos ? ? 5 ? 求出 ? ?sin ? sin ? ? 1 ? 5 ?

?t a n t a n ? ? ?

sin sin ? ? 1 ? co?co s s ? 2

5、 (江苏 16)某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm ,秒针均匀地绕点 O 旋转,当 时间 t ? 0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A, B 两点的距离 d (cm) 表示成 t ( s ) 的函 数,则 d ?

?t 1 0 s i n 60

,其中 t ?[0,60] 。

解析: ?AOB ?

t ?t ? 2? ? 60 30

d ? 2 ? 5 ? sin

?AOB ?t ? 10 sin 2 60

第 24 页 共 93 页

6、 (上海理 6)函数 f ? x ? ? sin ? x ? 【答案】 π 【解析】 y ? sin( x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? 的最小正周期是 T ? _____ 3? ? 2?
? ?

?

) sin( x ? ) ? (sin x cos ? cos x sin ) cos x 3 2 3 3

?

1 3 1 3 1 ? cos 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 2 4 2 2 ? 3 1 ? ? sin(2 x ? ) 4 2 3
?T ? ? 。


π? ? 7、 (上海文 4)函数 y ? sec x?cos ? x ? ? 的最小正周期 T ? 2? ? 【答案】 ? π? 1 ? ?(? sin x) ? ? tan x ? T ? ? 【解析】 y ? sec x?cos ? x ? ? ? 2 ? cos x ?

8、 (湖南理 12)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 ,

c ? 3 ,则 B ?
【答案】



5π 6
5π 1? 3 ? 7 3 ?? , ,所以 B ? . 6 2 2 ?1? 3

【解析】由正弦定理得 cos B ?

, , 9、 湖南文 12) 在 ?ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a、b、c , a ? 1c ? 3 C ? ( 角 B、 若
则 A= .

?
3



π 【答案】 6

3 π a c a sin C 1 ? ? sin A ? ? 2 ? ,所以 A= 【解析】由正弦定理得 6 sin A sin C c 3 2
10、 (浙江理 12)已知 sin ? ? cos ? ? 【答案】 ? :

1 ? 3? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4



7 25

【分析】 :本题只需将已知式两边平方即可。∵ sin ? ? cos ? ?

1 ∴两边平方得: 5 1 1 24 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? ,即 1 ? sin 2? ? ,∴ sin 2? ? ? 25 25 25
第 25 页 共 93 页

?cos 2? ? ? 1 ? sin2 2? ? ?
11、(浙江文12)若 sin ? ? cos ? ? 【答案】 ? :

7 . 25

1 ,则sin 2θ的值是________. 5

24 25

【分析】 :本题只需将已知式两边平方即可。∵ sin ? ? cos ? ?

1 ∴两边平方得: 5 1 1 24 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? ,即 1 ? sin 2? ? ,∴ sin 2? ? ? 25 25 25


12、 (重庆文 13)在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC= 【答案】 3 :

【分析】 :由余弦定理得: AC ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60 ? 3.? AC ? 3.
2 2 2 ?

13、 (四川文理 16)下面有 5 个命题: ①函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 ? . ②终边在 y 轴上的角的集合是 {? | ? ?

k? , k ? Z}. 2

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象有 3 个公共点. ④把函数 y ? 3sin(2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象向右平移

?
2

? 得到 y ? 3sin 2 x 的图象. 6

) 在 [0, ? ] 上是减函数.

其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号)
4 4 2 2 解析:① y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? ?cos2x ,正确;②错误;③ y ? sin x ,

y ? tan x 和 y ? x 在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.
三、解答题 1 、( 安 徽 理 16 ) 已 知 0 ? ? ?

? ?? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的 最 小 正 周 期 , ? ?? ?

? ? 1 ? a ? ? t a n ? ? ? ?, ? ? 4 ? ? ?

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) ? 2) 的值. , ?1 b ? (cos ?, ,且 a ?b ? m .求 cos ? ? sin ? ?

本小题主要考查周期函数、 平面向量数量积与三角函数基本关系式, 考查运算能力和推理能 力.本小题满分 12 分. 解:因为 ? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的最小正周期,故 ? ? π . 8?
第 26 页 共 93 页

· 因 a b ? m ,又 a b ? cos ? tan ? ? ? · ·
故 cos ? tan ? ? ? · 由于 0 ? ? ?

? ?

1 ? ? ??2. 4 ?

? ?

1 ? ? ? ? m?2. 4 ?

π ,所以 4

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2π) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? 2cos 2 ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

? 2cos ?

1 ? tan ? π? ? ? 2cos ? tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m) · 1 ? tan ? 4? ?

2、 (安徽文 20)设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t sin
2

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , x ? R , 2 2

其中 t ≤1 ,将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) . (I)求 g (t ) 的表达式;

, (II)讨论 g (t ) 在区间 (?11) 内的单调性并求极值.
本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数 的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题 的综合能力.本小题满分 14 分. 解: (I)我们有

x x f ( x) ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 2 2

? sin 2 x ? 1 ? 2t sin ? 4t 2 ? t 2 ? 3t ? 4 ? sin 2 x ? 2t sin x ? t 2 ? 4t 3 ? 3t ? 3

? (sin x ? t )2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
2 由于 (sin x ? t ) ≥ 0 , t ≤1 ,故当 sin x ? t 时, f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ,即

g (t ) ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
第 27 页 共 93 页

(II)我们有 g ?(t ) ? 12t 2 ? 3 ? 3(2t ? 1)(2t ?1), ??? t ? 1. 列表如下:

t
g ?(t )
g (t )

?? ? ? ? ?1, ? 2? ?

?

1 2

? 1 ?? ?? , ? ? 2 2?

1 2
0
极小值 g ? ?

?1 ? 1? ? , ?2 ?

?
?

0
极大值 g ? ?

?
? 1? ? ? 2?

?
?1? ?2?
?

?

由此可见, g (t ) 在区间 ? ?1 ? ,

? ?

1? ?1 ? ? 1 1? 1? ? 和 ? , 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值为 2? ?2 ? ? 2 2?

?1? ? ?? g ? ? ? 2 ,极大值为 g ? ? ? ? 4 . ?2? ? 2?

3、 (福建理 17)在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 本小题主要考查两角和差公式, 用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运 算能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,

1 3 ? 4 5 ? ?1 . ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (Ⅱ)? C ? ? , 4
? AB 边最大,即 AB ? 17 .
又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,

? ?

?? ??

? 角 A 最小, BC 边为最小边.
第 28 页 共 93 页

sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得: BC ? AB ? sin C sin A sin C 17

所以,最小边 BC ? 2 .

4) 0) 0) 4、 (广东理 16)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3, , B(0, , C (c, .
(1)若 c ? 5 ,求 sin ∠ A 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围. 解析:
c o ?A ? s

( 1 ) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) , 若 c=5 ,

??? ?

????

则 AC ? (2, ?4) , ∴

????

???? ??? ? 2 5 ?6 ? 1 6 1 ,∴sin∠A= ; c?o A C A ,B s ?? ? 5 5? 2 5 5 ? ?3c ? 9 ? 16 ? 0 25 25 2)若∠A 为钝角,则 ? 解得 c ? ,∴c 的取值范围是 ( , ??) ; c?0 3 3 ?

5、 (海南宁夏理 17)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可 以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现测 得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔 顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得 所以 BC ?

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s sin ? · ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s tan ? sin ? · . sin(? ? ? )

在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ?

6、 (湖北理 16)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB?AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

角为 ? .
第 29 页 共 93 页

(I) ? 的取值范围; II) 求 ( 求函数 f (? ) ? 2sin 2 ?

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

本小题主要考查平面向量数量积的计算、 解三角形、 三角公式、 三角函数的性质等基本知识, 考查推理和运算能力.

, 解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A B,C 的对边分别为 a,b,c ,
则由

1 ?π π? bc sin ? ? 3 , 0 ≤ bc cos ? ≤ 6 ,可得 0 ≤ cot ? ≤1,∴? ? ? , ? . 2 ?4 2?

(Ⅱ) f (? ) ? 2sin 2 ?

? ?π ? ?π ?? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ?4 ? ?2 ?? ?

π? ? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1. 3? ? π ? π 2π ? π? ? ?π π? ∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? ,∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1≤ 3 . 3 ?6 3 ? 3? ? ?4 2?
即当 ? ?

5π π 时, f (? )max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? )min ? 2 . 12 4

7、 (湖北文 16)已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2 本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识, 以及运用三角公式、 三角函数的图象和性质 解题的能力. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

?π π? ? ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ? ?4 2?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3 f ( x)min ? 2 . ,
第 30 页 共 93 页

(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) . ,

8、 (湖南理 16)已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6 π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π (k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 ? π? 1 3 sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

1? π ?? 1 ? ?1 ? cos ? 2 x ? 6 ?? ? 1 ? 2 sin 2 x 2? ? ??

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 ?cos ? 2 x ? 6 ? ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin 2 x ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2

第 31 页 共 93 页

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

? ?

5π π? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ? ? ? π? π? π? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? .求: 8? 8? 8? ? ?

9、 (湖南文 16)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? (I)函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)函数 f ( x ) 的单调增区间.

π 4 π π π ? 2 sin(2 x ? ? ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x . 4 4 2 2π ? π; (I)函数 f ( x ) 的最小正周期是 T ? 2 π (II)当 2kπ ? π ≤ 2 x ≤ 2kπ ,即 kπ ? ≤ x ≤k π ( k ? Z )时,函数 f ( x) ? 2 cos 2 x 2 π 是增函数,故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [kπ ? ,kπ] ( k ? Z ) . 2
解: f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin(2 x ? )

π 4

0 10、 (江西理 18)如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤ ? ≤ ) 的图象与 y 轴交于点

π 2

(0,3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 .
(1)求 ? 和 ? 的值; (2) 已知点 A ? ,? , P 是该函数图象上一点, Q( x0,y0 ) 点 0 点

y

3
O
A

P

?π ?2

? ?

x

是 PA 的中点,当 y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ? 3 , 2

解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ? 因为 0 ≤ ? ≤

? ? ,所以 ? ? . 2 6
x?0

又因为 y? ? ?2? sin(? x ? ? ) , y? 因此 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?2 , ? ?

? ,所以 ? ? 2 , 6

? ?

?? ?. 6?

第 32 页 共 93 页

(2)因为点 A ? ,? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 0

?? ?2

? ?

3 , 2

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

? ?

? ? ,3 ? . 2 ? ?? 5? ? 3 ? . ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6? 6 ? 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ? 因为

? ?

? 7? 5? 19? ≤ x0 ≤ ? ,所以 ≤ 4 x0 ? ≤ , 2 6 6 6 5? 11? 5? 13? ? ? 从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? . 6 6 6 6 2? 3? 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4
11、 (全国卷 1 理 17)设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

a ? 2b sin A .
(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

? ? ? ? ? ? ? A? ?B, ?B? ? ? . 2 2 2 2 6 3 2? ? ? ? A? ? , 3 3 6
第 33 页 共 93 页

所以

1 ? ?? 3 . sin ? A ? ? ? 2 ? 3? 2 3 ?? 3 ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ?
? 3 3? ? 2 , ?. 2? ? ?
? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周 ?

由此有

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

12、 (全国卷 2 理 17)在 △ ABC 中,已知内角 A ? 长为 y . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ?
所以,当 x ?

? 5? ? ?? 2? 3 ? x? ? ?, ? ? ? ??

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?


13、 (山东理 20)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方
第 34 页 共 93 页

120? A 2

B2

105? A 1


B1


航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方 1 向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北 偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 解法一:如图,连结 A1B1 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 ,
?

?

A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 , 60



120? A 2

? A1 A2 ? A2 B1 ,
又 ∠A A2 B2 ? 180 ?120 ? 60 , 1
? ? ?

B2

105?

A1

B1
乙 甲

? A1 A2 B2 是等边三角形, △

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, A B1 ? 20 , 1

∠B1 A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,
在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 ?A1B2 ? 45? cos

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?
? 200 .

2 2

? B1B2 ? 10 2 .
因此,乙船的速度的大小为

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里. 解 法 二 : 如 图 , 连 结 A2 B1 , 由 已 知 A B2 ? 20 , A1 A2 ? 30 2 ? 1

20 ? 10 2 , 60

∠B1 A1 A2 ? 105? ,
cos105? ? cos(45? ? 60? )
第 35 页 共 93 页

? cos 45? cos 60? ? sin 45? sin 60?

?

2(1 ? 3) , 4



120? A 2

sin105? ? sin(45? ? 60? )
? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60?

B2

105? A 1


B1


?

2(1 ? 3) . 4

在 △ A2 A1 B1 中,由余弦定理,
2 2 A2 B12 ? A2 B2 ? A1 A2 ? 2 A1B1 ?A1 A2 ? cos105?

? (10 2)2 ? 202 ? 2 ?10 2 ? 20 ?

2(1 ? 3) 4

? 100(4 ? 2 3) .

? A1B1 ? 10(1 ? 3) .
由正弦定理

sin∠A1 A2 B1 ?

A1B1 20 2(1 ? 3) 2 , ? ∠B1 A1 A2 ? sin ? ? A2 B2 4 2 10(1 ? 3)

?∠A1 A2 B1 ? 45? ,即∠B1 A2 B1 ? 60? ? 45? ? 15? ,
cos15? ? sin105? ? 2(1 ? 3) . 4

在 △B1 A1 B2 中,由已知 A B2 ? 10 2 ,由余弦定理, 1
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A2 B2 ? 2 A2 B1 ?A2 B2 ? cos15?

? 102 (1 ? 3)2 ? (10 2)2 ? 2 ?10(1 ? 3) ?10 2 ?
? 200 .

2(1 ? 3) 4

? B1B2 ? 10 2 ,

第 36 页 共 93 页

乙船的速度的大小为

10 2 ? 60 ? 30 2 海里/小时. 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

14、 (山东文 17)在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, C ? 3 7 . tan (1)求 cos C ;

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2 sin C ? ?3 7 解: (1)? tan C ? 3 7, cos C CA (2)若 CB ? ?
又? sin C ? cos C ? 1
2 2

??? ??? ? ?

解得 cos C ? ?

1 . 8

? tan C ? 0 ,? C 是锐角.

1 ? cos C ? . 8 ??? ??? 5 ? ? CA (2)? CB ? ? , 2 5 ? ab cos C ? , 2
? ab ? 20 .
又? a ? b ? 9

? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 . ? a 2 ? b2 ? 41. ?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .
?c ? 6 .
cos · 1) 15、 (陕西理 17)设函数 f ( x) ? a b ,其中向量 a ? (m, 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x, , x ? R ,
且 y ? f ( x) 的图象经过点 ? ,? . 2 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合.
第 37 页 共 93 页

?π ?4

? ?

b 解: (Ⅰ) f ( x) ? a? ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x ,
由已知 f ?

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? ? ? π? ?, 4?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ?

π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?
由 sin ? 2 x ?

? ?

? 3π ? π? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? . 4? 8 ? ?
π , 4

a 16、 上海理 17) △ ABC 中, ,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边. a ? 2, ( 在 若

C?

cos

B 2 5 ,求 △ ABC 的面积 S . ? 2 5

4 3 解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 1 1 10 4 8 , ? S ? ac? B ? ? 2 ? ? ? . sin 2 2 7 5 7 7
? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

17、 (四川理 17)已知 cos ? ? (Ⅰ)求 tan 2? 的值. (Ⅱ)求 ? .

本题考察三角恒等变形的主要基本公式、 三角函数值的符号, 已知三角函数值求角以及计算 能力。 解: (Ⅰ)由 cos ? ?
2 1 ? , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

∴ tan ? ?

sin ? 4 3 7 ? ? ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 2 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 47

?

?

第 38 页 共 93 页

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ? 又∵ cos ?? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

13 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:

cos ? ? cos ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ?
所以 ? ?

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 7 14 7 14 2

?
3

, 18、 (天津理 17)已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R .
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数

? π 3π ? ? ?

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.
(Ⅰ)解: f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (Ⅱ) 解法一: 因为 f ( x) ?

π? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?

π? ? ? π 3π ? ? 3π 3π ? 在区间 ? , ? 2 sin ? 2 x ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数, 4? ? ?8 8 ? ?8 4?

上为减函数, f ? 又

π ? 3π ? ? 3π π ? ?π? ? 3π ? ? ? 0 ,f ? ? ? 2 ,f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 , 4 ? 4 ? ? 2 4? ?8? ? 8 ? ? π 3π ? ? ?

故函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 8 4 解法二:作函数 f ( x) ?

π? ? ? π 9π ? 2 sin ? 2 x ? ? 在长度为一个周期的区间 ? , ? 上的图象如下: 4? ? ?8 4 ?

第 39 页 共 93 页

由图象得函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 f ? ? ? ?1 . ?8 4 ? ? 4 ?

? π 3π ?

? 3π ?

19、 (天津文 17)在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

4 . 5

? ?

?? ? 的值. 6?

本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识,考查 基本运算能力.满分 12 分.

3 ? 4? (Ⅰ)解:在 △ ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? ? ,由正弦定理, 5 ? 5?
2

2

BC AC ? . sin A sin B AC 2 3 2 sin A ? ? ? . 所以 sin B ? BC 3 5 5 4 (Ⅱ)解:因为 cos A ? ? ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5

21 ?2? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 2 ?

21 17 ?1 ? , 5 25

2 21 4 21 sin 2B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? . 5 5 15

第 40 页 共 93 页

?? ? ? ? sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin 6? 6 6 ? ? 4 21 3 17 1 ? ? ? 25 2 25 2 12 7 ? 17 . 50

?

20、 (浙江理 18)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,
两式相减,得 AB ? 1 . (II)由 △ ABC 的面积 由余弦定理,得 cos C ?

1 1 1 BC ?AC ? C ? sin C ,得 BC ?AC ? , sin 2 6 3

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC ?BC ( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? , 2 AC ?BC 2

?
所以 C ? 60 .
?

21、 (重庆理 17)设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 6

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 2

4 5

? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3

第 41 页 共 93 页

? 3 ? 1 ? 2 3? ? 2 cos 2 x ? 2 sin 2 x ? ? 3 ? ? ?

?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 . 6? ?
故 f ( x ) 的最大值为 2 3 ? 3 ; 最小正周期 T ?

2? ? ?. 2

(Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ? 又由 0 ? ? ?

? ?

?? ?? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos ? 2? ? ? ? ?1 . 6? 6? ?

? ? ? ? ? 5 ?. 得 ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? 2 6 6 6 6 12 4 ? 从而 tan ? ? tan ? 3 . 5 3

π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? 22、 (重庆文 18)已知函数 f ( x) ? . π? ? sin ? x ? ? 2? ?
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若角 ? 在第一象限且 cos ? ? 解: (Ⅰ) 由 sin ? x ?

3 ,求 f (? ) . 5

? ?

π π π? ? ? 0 得 x ? ? 2 ? kπ ,即 x ? kπ ? 2 (k ?Z) . 2?

故 f ( x ) 的定义域为 ? x ? R | x ? kπ ? ,k ? Z ? .

? ?

π 2

? ?

4 ?3? (Ⅱ)由已知条件得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?
2

2

π? ? 1 ? 2 cos ? 2? ? ? 4? ? 从而 f (? ) ? π? ? sin ? ? ? ? 2? ?

第 42 页 共 93 页

π π? ? 1 ? 2 ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? 4 4? ? ? cos ?

?

1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? cos ?
14 . 5

? 2(cos ? ? sin ? ) ?

2008 年高考数学试题分类汇编 三角函数
一. 选择题:
π? ? 1.(全国一 8)为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 3? ?

( A

) B.向右平移
5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6

A.向左平移

2.(全国二 8)若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于
M ,N 两点,则 MN 的最大值为( B



A.1

B. 2

C. 3

D.2

3.(四川卷3) ? tan x ? cot x ? cos2 x ? ( D ) (A)tan x
cot x

(B)sin x

(C)cos x

(D)

4.(四川卷5)若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是:( C )
?? ? ? (A) , ? ? ?3 2? ?? ? (B) , ? ? ? ?3 ? ? ? 4? ? (C) , ? ? ?3 3 ? ? ? 3? ? (D) , ? ? ?3 2 ?

5.(天津卷 6)把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 的图象所表示的函数是 C
第 43 页 共 93 页

? 个单位 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到 2

? x ? (A) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (B) y ? sin( ? ) , x ? R 3 2 6 ? 2? (C) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (D) y ? sin(2 x ? ) , x ? R 3 3 5? 2? 2? 6.(天津卷 9)设 a ? sin , b ? cos , c ? tan ,则 D 7 7 7 (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) b ? c ? a (D) b ? a ? c ? 7.(安徽卷 5)将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 3 ? ( ? , 0) 中心对称,则向量 ? 的坐标可能为( C ) 12 ? ? ? ? A. ( ? , 0) B. (? , 0) C. ( , 0) D. ( , 0) 12 6 12 6 π 4 7π 3 , 则 sin(α ? )的值是 8.(山东卷 5)已知 cos(α - )+sinα = 6 5 6
(A)2 3 5

(B)

2 3 5

(C)-

4 5

(D)

4 5

? 9. 湖北卷 5) ( 将函数 y ? 3sin( x ? ? ) 的图象 F 按向量 ( ,3) 平移得到图象 F ? ,若 F ? 3 ? 的一条对称轴是直线 x ? ,则 ? 的一个可能取值是 A 4 5 5 11 11 ? ? A. B. ? ? C. D. ? ? 12 12 12 12
?? ? ? 10.(湖南卷 6)函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ? , ? 上的最大值是 ?4 2?

(

C A.1

) B.
1? 3 2

C.

3 2

D.1+ 3

11.(重庆卷 10)函数 f(x)=

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是 B 3 ? 2 cos x ? 2sin x

(A)[-

2 ,0 ] 2

(B)[-1,0]

(C)[- 2,0 ]

(D)[- 3,0 ]

12.(福建卷 9)函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象,则 m 的值可以为 A ? A. B. ? C.- ? D. 2 ? - 2
第 44 页 共 93 页

13.(浙江卷 5)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 象和直线 y ? (A)0
1 的交点个数是 C 2 (B)1

x 3? ? )( x ? [0, ]) 的图 2? 2 2

(C)2

(D)4

14.(浙江卷 8)若 cosa ? 2 sin a ? ? 5, 则 tan a =B (A)
1 2

(B)2

(C) ?

1 2

(D) ? 2

15.(海南卷 1)已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0) 在区间[0, ]的图像如下: 2π 那么ω = ( A. 1 C. 1/2 16.(海南卷 7)
1 2

B )

B. 2 D. 1/3
3 ? sin 700 =( 2 ? cos 2 100

C )
3 2

A.

B.

2 2

C. 2

D.

二. 填空题:
? 1.(上海卷 6)函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 2

2. 山东卷 15) ( 已知 a,, 为△ABC 的三个内角 A,, 的对边, b c B C 向量 m= 3,?1 ) ( ,

n=(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B=

π . 6

? ?? ? 3. ( 江 苏 卷 1 ) f ? x ? ? cos ? ? x ? ? 的 最 小 正 周 期 为 , 其 中 ? ? 0 , 则 5 6? ?

?=

.10

4.(广东卷 12)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小正周 期是 .?

?? ? ? ?? ? ?? 5.(辽宁卷 16)已知 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 3? ? ?6? ?3?
14 ? ? ?? ? , ? 有最小值,无最大值,则 ? =__________. 3 ?6 3?

三. 解答题:
第 45 页 共 93 页

1.(全国一 17)(本小题满分 10 分) . (注意:在试题卷上作答无效) ......... 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. 解析: (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c. 5

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 2 4
2.(全国二 17)(本小题满分 10 分) . 在 △ ABC 中, cos B ? ? (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? 解:

5 4 , cos C ? . 13 5 33 ,求 BC 的长. 2

5 12 ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5
(Ⅰ)由 cos B ? ? 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? (Ⅱ)由 S△ ABC ?

33 . ··········· ····· 分 ··········· ····· ·········· ····· 5 65

33 1 33 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65 故 AB ? AC ? 65 , ······································ 分 ··········· ·········· ··········· ····· 8 ·········· ··········· ··········· ····· AB ? sin B 20 ? AB , 又 AC ? sin C 13 20 13 AB 2 ? 65 , AB ? . 故 13 2 AB ? sin A 11 ? . ······························· 10 分 所以 BC ? ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· sin C 2
3.(北京卷 15)(本小题共 13 分) .
第 46 页 共 93 页

已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? (Ⅰ)求 ? 的值;

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3 解: (Ⅰ) f ( x) ?

? 2π ? ? ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

1 π ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , ? ? 2 6? ? ? ? π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

4.(四川卷 17)(本小题满分 12 分) . 求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

【解】 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x :
2 4

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11? 中的最大值为 ,
2

第 47 页 共 93 页

zm a x? ? ? ?1 1 ?
最小值为

2

?6 ?1 0

zm i n? ?1 ? 1 ?

2

?6 ?6

故当 sin 2 x ? ?1 时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 5.(天津卷 17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合. (17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数

? . 2

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.
(Ⅰ)解:

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ?

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2? 2 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
?
16 ? k? ?k ? Z ? 时, sin ? 4 x ? ? ? 取得最大值 1,所以函数 ? ? 2 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

? k? ? ? f ?x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z ?. 16 2 ? ?
6.(安徽卷 17)(本小题满分 12 分) . 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2
第 48 页 共 93 页

? ?

解: (1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? s i n (x2? ∴周期T ?
由 2x ?

?
6

)

?
6

2? ?? 2

? k? ?

?

2

(k ? Z ), 得x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

∴ 函数图象的对称轴方程为 x ? k? ?
(2)? x ? [? 因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
?
6 ) 在区间 [?

? ?

3

(k ? Z )

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 12 3 3 2

? ?

? ?

3

时, f ( x ) 取最大值 1

又 ? f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [? 7.(山东卷 17) (本小题满分 12 分)

? ?

已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)美洲 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 解: (Ⅰ)f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )

第 49 页 共 93 页

= 2?

? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )? 2 ? 2 ?
π ) 6

=2sin( ?x ? ? -

因为 f(x)为偶函数, 所以 对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

π π )=sin( ?x ? ? - ). 6 6 π π π π 即-sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - )=sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - ), 6 6 6 6 π π 整理得 sin ?x cos( ? - )=0.因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos( ? - )=0. 6 6 π π π 又因为 0< ? <π ,故 ? - = .所以 f(x)=2sin( ?x + )=2cos ?x . 6 2 2
因此 sin(- ?x ? ? -

2?
由题意得

?

? 2?

?
2

,   所以  ? =2.

故 因为

f(x)=2cos2x.

? ? 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横坐标 6 6 ? ? 伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f ( ? ) 的图象. 4 6
(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个

f ( ) ? 2 cos ? 2 . 8 4

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 所以     ( x) ? f ( ? ) ? 2 cos?2( ? )? ? 2 cos f ( ? ). g 4 6 2 3 ? 4 6 ?
?
2 ?

当 即

2kπ ≤

?

3 2? 8? 4kπ +≤ ≤x≤4kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3

≤2 kπ + π

(k∈Z),

因此 g(x)的单调递减区间为

2? 8? ? ? ?4k? ? 3 ,4k? ? 3 ? ? ?

(k∈Z)

8.(江苏卷 15) .如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们

的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值;
第 50 页 共 93 页

2 2 5 , . 10 5

(Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值. 【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式. 由条件的 cos ? ?

2 2 5 7 2 5 ,因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? = ,cos ? ? ,sin ? ? 10 5 10 5
1 2

因此 tan ? ? 7, tan ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )=

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?

(Ⅱ) tan 2 ? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?
3? 3? ,∴ ? ? 2 ? = 2 4 A? B C ? tan ? 4, 2 2

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ?

9.(江西卷 17)(本小题满分 12 分) . 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a ? 2 3 , tan

2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c

A? B C C C ? tan ? 4 得 cot ? tan ? 4 2 2 2 2 C C cos sin 1 2 ? 2 ?4 ∴ ∴ ?4 C C C C sin cos sin cos 2 2 2 2 1 ∴ sin C ? ,又 C ? (0, ? ) 2 ? 5? ∴ C ? ,或C ? 6 6
解:由

tan

由 2sin B cos C ? sin A 得 2sin B cos B ? sin( B ? C ) 即 sin( B ? C ) ? 0 ∴B ?C

B?C ?

?
6 2? 3

A ? ? ? (B ? C) ?
由正弦定理

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

第 51 页 共 93 页

1 sin B b?c?a ? 2 3? 2 ? 2 sin A 3 2
10.(湖北卷 16).已知函数

f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域. 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代 数式的化简变形和运算能力.(满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? cos x?

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x? 1 ? sin x 1 ? cos x

? cos x?

(1 ? sin x)2 (1 ? cos x)2 ? sin x? cos2 x sin 2 x

1 ? sin x 1 ? cos x ? cos x? ? sin x? . cos x sin x
? 17? ? ? x ? ? ?, ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ? ?
1 ? sin x 1 ? cos x ? g ( x) ? cos x? ? sin x? ? cos x ? sin x
? sin x ? cos x ? 2
= 2 sin ? x ? (Ⅱ)由 ?<x ?

? ?

?? ? ? 2. 4?

17 ? 5? ? 5? , <x ? ? . 得 12 4 4 3

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? ? sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3?
又 sin

5? 5? 3? ? 5? ? 17 ? ? <sin ,? sin ? sin( x ? )<sin (当 x ? ? ?, , ?) 3 4 2 4 4 2 ? ?

即 ?1 ? sin( x ? )< ?

? 4

2 ? , ?? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, 2 4
第 52 页 共 93 页

故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ?3 .

?

?

11.(陕西卷 17)(本小题满分 12 分) . 已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
x x x x ? x π? ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 4 2 2 ?2 3?

解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? ? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?

? 函数 g ( x) 是偶函数.
12.(重庆卷 17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求:
?

(Ⅰ)

a 的值; c

(Ⅱ)cotB +cot C 的值. 解: (Ⅰ)由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2b cos A
c = ( c) ?c ? 2? c? ? ?
2 2

1 3

1 3

1 2

7 2 c , 9



a 7 ? . c 3
第 53 页 共 93 页

(Ⅱ)解法一: cot B ? cot C

cos B sin C ? cos C sin B sin B sin C sin( B ? C ) sin A ? , = sin B sin C sin B sin C
= 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得

7 2 c sin A 1 a 2 9 14 14 3 ? · ? · ? ? . 1 sin B sin C sin A bc 9 3 c· 3 3 c 3
2

故 cot B ? cot C ?

14 3 . 9

解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有

7 2 2 1 2 c ? c ? ( c) a 2 ? c 2 ? b2 9 3 cos B ? ? 2ac 7 2? c?c 3


5 2 7

.

故 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? 同理可得

25 3 ? . 28 2 7

7 2 1 2 2 c ? c ?c a 2 ? b2 ? c 2 9 1 9 cos C ? ? ?? , 2ab 7 1 2 7 2? c? c 3 3

sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ?

1 3 3 ? . 28 2 7

从而 cot B ? cot C ? 13.(福建卷 17) (本小题满分 12 分)

cos B cos C 5 1 14 3 ? ? 3? 3? . sin B sin C 3 9 9

已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m?n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函 数的最值等基本知识,考查运算能力.满分 12 分.
第 54 页 共 93 页

解: (Ⅰ)由题意得 m? ? 3sin A ? cos A ? 1, n

? ? 1 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ? . 6 6 2 ? ? ? 由 A 为锐角得 A ? ? , A ? . 6 6 3 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? , 2 3 . 2 1 3 因为 x∈R,所以 sin x???1,1? ,因此,当 sin x ? 时,f(x)有最大值 . 2 2
所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) ?
2 2

1 2

当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是 ? ?3, ? . 2

? ?

3? ?

14.(广东卷 16)(本小题满分 13 分) .

0 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点

?π 1? M ? , ?. ? 3 2?
(1) f ( x ) 的解析式; 2) 求 ( 已知 ?,? ? ? 0, ? , f (? ) ? 且 的值.

? ?

π? 2?

3 12 ,f ( ? ) ? , f (? ? ? ) 求 5 13

n ? 【解析】 依题意有 A ? 1 , f ( ) ?i( x ) ? , (1) 则 x s 将点 M (
而 0 ? ? ? ? ,? ( 2 ) 依

? 1

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 12 题 意 有 cos ? ? , cos ? ? , 而 ?, ? ? 5 13

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2
?

( 0 , , 2

)

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65
15.(辽宁卷 17)(本小题满分 12 分) . 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ )若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ )若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 本小题主要考查三角形的边角关系, 三角函数公式等基础知识, 考查综合应用三角函
第 55 页 共 93 页

? . 3

数有关知识的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ··········· 分 ·········· 4 ·········· 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ···················· 分 ··········· ········· ·········· ········· 6 ?ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , ······························· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 8 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 . ·······················12 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · ab sin C ? 2 3

2009 年高考数学试题分类汇编——三角函数
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知 ?ABC 中,?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2
o 且 ?A ? 75 ,则 b ?

A.2 【答案】A

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos30 ?
0 0 0 0 0 0 0

2? 6 4

由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?
0 0

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
2

2.(2009 年广东卷文)函数 y ? 2 cos ( x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数

?
4

) ? 1是

B. 最小正周期为 ? 的偶函数
第 56 页 共 93 页

C. 最小正周期为 【答案】A

? 的奇函数 2

D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

【解析】因为 y ? 2cos 2 ( x ? A.

?

2? ?? ? ? ? ,所以选 ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

3.(2009 全国卷Ⅰ理)如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 3 ?

| ? | 的最小值为(C) (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

解: ? 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? 4? ? ? ? ? k? ?? ? k? ? 2 ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 C 3 3 3

4.(2009 全国卷Ⅰ理)若 解:令 tan x ? t , ?

?

?
4

4

?x?

?

?x?

?
2

2

,则函数 y ? tan 2x tan x 的最大值为
3



?t ? 1,

? y ? tan 2 x tan 3 x ?

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( 2? ) ? ? t4 t2 t 2 4 4
)

5.(2009 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是 ( ...

答案:D 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 要求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? .
第 57 页 共 93 页

2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合 a

6.(2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( ...



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D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题,但考查的知识点因含有参数而丰富, 结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度. 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 要求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 7.(2009 北京文) ? ? “

2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合 a

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 本题主要考查 本题主要考查三角函数的基本概念、 简易逻辑中充要条件的判断. 属 于基础知识、基本运算的考查.
.w .k

当? ?

?
6

3 1 ? ? 反之,当 cos 2? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6
或 2? ? 2k? ? 8. ( 2009 (

时, cos 2? ? cos

?

?

1 , 2

?

3

? ? ? k? ?

?

北 京 理 )“ ? ?

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.

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1 ? 2 k? ( k ? Z ) ” 是 “ c o ? ? 2 ” 的 s 6 2

) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 本题主要考查三角函数的基本概念、 简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基本运算的考查. 当? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? , 6 3? 3 2 ?
第 58 页 共 93 页

反之,当 cos 2? ?

1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

或 2? ? 2k? ?

?

3

? ? ? k? ?

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.
? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得 4

9.(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 图象的函数解析式是( A. y ? cos 2 x ). B. y ? 2cos2 x

4 ? ? ( ) x 【 解 析 】 : 将 函 数 y ? si n 2 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? s i n 2 x ? 即 4 4 ? y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?

)

D. y ? 2sin2 x

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 B.
答案:B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 10.(2009 山东卷文)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 图象的函数解析式是( A. y ? 2cos x
2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得 4

). B. y ? 2sin x
2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? cos 2 x

x 【 解 析 】 : 将 函 数 y ? si n 2 的 图 象 向 左 平 移

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2

?

? ? ( ) 个单位,得到函数 y ? sin 2x ? 即 4 4

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 A.
答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 11.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? (A)

12 13

(B)

5 13

12 ,则 cos A ? 5 5 12 (C) ? (D) ? 13 13

答案:D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? 选 D 和 B,再由 cot A ? sin A 5 13 ? ? 12. (2009 全国卷Ⅱ文) 若将函数 y ? tan( ?x ? )(? ? 0) 的图像向右平移 个单位长度后, 4 6
解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?
第 59 页 共 93 页

与函数 y ? tan( ?x ? (A)

1 6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为 6 1 1 1 (B) (C) (D) 2 4 3

?

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答案:D 解析:本题考查正切函数图像及图像平移,由平移及周期性得出ω min=

1 2

13. 2009 安徽卷理) ( 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) ,y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 (A) [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 (C) [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 [解析]: f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ? (B) [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 (D) [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

14.(2009 安徽卷文)设函数 导数 A. 的取值范围是 B. C.
x ?1

,其中

,则

D.

【解析】 f ?(1) ? sin ? ? x2 ? 3 cos ? ? x

? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 3

?

? ? 2 ? ? 5 ? ?? ? ?0, ? ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? ? f ?(1) ? ? 2, 2 ? ,选 D。 ? ? 3 ? 2 ? ? 12 ?
【答案】D 15.(2009 江西卷文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 A. 2? 答案:A 【解析】由 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x ? cos x ? 3 sin x ? 2sin( x ? B.

3? 2

C. ?

D.

? 2

?
6

) 可得最小正周期为

2? ,故选 A.
16.(2009 江西卷理)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? C. 3 ? 1 D. 3 ? 2

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为

A.1

B. 2

第 60 页 共 93 页

答案:B 【解析】因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x = cos x ? 3 sin x = 2 cos( x ? 当x?

?
3

)

?
3

是,函数取得最大值为 2. 故选 B

17.(2009 天津卷文)已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将

y ? f (x) 的图像向左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( )
A 【答案】D 【解析】由已知,周期为 ? ? 数, sin[ 2( x ? ? ) ?

? 2

B

3? 8

C

? 4

D

? 8

?
4

2? , w ? 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函 w

] ? ? cos 2 x ,故选 D

【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的 运用。 18.(2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析

式为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

A.( ?

?
6

, ?2)

B. (?

?
6

, 2)

C. ( ? 2 ) , 6

?

D.( , 2) 6

?

【答案】B 【 解 析 】 直 接 用 代 入 法 检 验 比 较 简 单 . 或 者 设 a ? ( x?, y?) , 根 据 定 义

v

y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? ] ? 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x? , y? 。 6
19.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. 函数 f (x) 的最小正周期为 2 ? 数 C.函数 f (x) 的图象关于直线 x =0 对称 【答案】D 【解析】∵ f ( x) ? sin( x ? D. 函数 f (x) 是奇函数

?

?

2

)( x ? R) ,下面结论错误的是 ..
B. 函数 f (x) 在区间[0,

? ]上是增函 2

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D 12 , 则 cos A ? 5

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 20.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ?

第 61 页 共 93 页

5 5 C. ? 13 13 ? 12 解:已知 ?ABC 中, cot A ? ? ,? A ? ( , ? ) . 2 5
A. B.

12 13

D. ?

12 13

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

21. (2009 全国卷Ⅱ理) 若将函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度 4?

后,与函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??
1 4
?

? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6?
C.

A.

1 6

B.

1 3

D.

1 2

? ? 向右平移 6 个单位 ? ? ?? ? ? 解: y ? tan ? ? x ? ? ?????? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? ? 4? 6 4 6? ? ?
?

?
4

?

?
6

? ? k? ?

又? ? ? 0 ??min

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2 1 ? .故选 D 2

?

22.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 【答案】 :B [解析]∵ f ( x) ? B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

1 1 sin 2 x ∴ f ( x) min ? ? .故选 B 2 2

2 2 23.(2009 辽宁卷文)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

(A) ?

4 3
2

(B)

5 4
2

(C) ?

3 4

(D)

4 5

【解析】 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

= 【答案】D

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = ? 4 ?1 5 tan 2 ? ? 1

24. (2009 辽宁卷理) 已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示,f ( ) ? ?

?

2

2 ) , f0 = 则 ( 3

第 62 页 共 93 页

(A) ?

2 3

(B)

2 3

(C)-

1 2

(D)

1 2

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2π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对称 3 3 2 12

2 2π π 所以 f( )=-f( )= 3 2 3
【答案】B 25.(2009 辽宁卷理)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A) (

1 3

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|<

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3

【答案】A 26.(2009 宁夏海南卷理)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

(B) p2 , p4
2

(3) p1 , p3

(4) p2 , p4

解析: p1 : ? x ? R, sin

x 1 2 x + cos = 是假命题; p2 是真命题,如 x=y=0 时成立; p3 是 2 2 2

真命题,? ? x ? ? 0, ? ? , sin x ? 0, ? 命题, 如x=

1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin x ? sin x =sinx; p4 是假 2

?
2

,y=2? 时,sinx=cosy,但x+y ?
o

?
2

。选 A.

27.(2009 全国卷Ⅰ文) sin585 的值为
第 63 页 共 93 页

(A) ?

2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。 解: sin585 ? sin( 360 ? 225 ) ? sin( 180 ? 45 ) ? ? sin45 ? ?
o o o o o o

2 ,故选择 A。 2

28.(2009 全国卷Ⅰ文)已知 tan a =4,cot ? = (A)

1 ,则 tan(a+ ? )= 3

7 11

(B) ?

7 11

(C)

7 13

(D) ?

7 13

【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式,基础题。 解:由题 tan? ? 3 , tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan? 4? 3 7 ? ? ? ,故选择 B。 1 ? tan? ? tan ? 1 ? 12 11
4? , 0) 中心对称, 那么 ? 3

29. 2009 全国卷Ⅰ文) ( 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( 的最小值为 (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题。 解: ? 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? ? 13? ? ? ? ? k? ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 A 3 2 6 6

? 29.(2009 陕西卷文)若 tan ? ? 2 ,则 OA ? OB ? AB ? 2?AOB ? 60 的值为

(A)0 (B) 答案:B.

3 4

(C)1 (D)

5 4

解析: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以 cos ? (cos ? ? 0) 得,

2 sin ? ? cos ? 2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 3 cos ? 原式= = = ? 故选 B. sin ? ? 2 cos ? sin ? ? 2 cos ? tan? +2 4 cos ? ? 30.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? )( x ? R) ,下面结论错误的是 .. 2
A. 函数 f (x) 的最小正周期为 2 ? 数
第 64 页 共 93 页

B. 函数 f (x) 在区间[0,

? ]上是增函 2

C.函数 f (x) 的图象关于直线 x =0 对称 【答案】D 【解析】∵ f ( x) ? sin( x ?

D. 函数 f (x) 是奇函数

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 31.(2009 湖北卷文) “sin ? = A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】 cos 2a ? 由 故选 A.
1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 2 2
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B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 2 2 可得 sin a ? ? , sin a ? 是sin a ? 成立的充分不必要条件, 故 2 2 2 4

? 32. 2009 湖北卷文) ( 函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F/, /的解析式 y=f(x), F 6
当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于

? A. ( ,?2) 6
【答案】D

? B. ( ,2) 6

C. (?

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

【解析】由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ?

?

?
6

, 2) 时,

F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇函数,故选 D.

33.(2009 宁夏海南卷文)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4 【答案】A 【解析】因为 sin
2

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

(B) p2 , p4

(3) p1 , p3

(4) p2 , p3

x 2 x + cos =1,故 p1 是假命题;当 x=y 时, p2 成立,故 p2 是真命题; 2 2

1 ? cos 2 x 1 ? (1 ? 2sin 2 x) =|sinx|, 因为 x ? ? 0, ? ? , 所以, |sinx|=sinx, p3 正 ? 2 2
第 65 页 共 93 页

确;当 x=

? 9? ? ,y= 时,有 sin x ? cos y ,但 x ? y ? ,故 p4 假命题,选.A。 4 2 4

34.(2009 湖南卷理)将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函数 y=sin ( x ? A.

?
6

) 的图象,则 ? 等于
B.

(D) C.

? 6

5? 6

7? 6

D.

11? 6

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【答案】 :D 【解析】解析由函数 y ? sin x 向左平移 ? 的单位得到 y ? sin( x ? ? ) 的图象,由条件知函数

y ? sin( x ? ? ) 可 化 为 函 数 y ? sin( x ? ) , 易 知 比 较 各 答 案 , 只 有 6 11? ? y ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ,所以选 D 项。 6 6
35.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

?

2

)( x ? R ) ,下面结论错误的是 ..

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2?

B.函数 f ( x ) 在区间 ? 0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称 D.函数 f ( x ) 是奇函数 【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等,基础题。 (同文 4) 解析:由函数的 f ( x) ? sin( x ? 择 D. 36.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0

?
2

) ? ? cos x( x ? R) 可以得到函数 f ( x) 是偶函数,所以选


0 0 0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

【答案】C 解析因为 sin160 ? sin(180 ?12 ) ? sin12 ,cos10 ? cos(90 ? 80 ) ? sin80 ,由于正弦
? ? 函 数 y ? s i nx 在 区 间 [ 0 , 9 0 上 为 递 增 函 数 , 因 此 sin11 ? sin12 ? sin 80 , 即 ]
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

s i n 1? 1 ?

? s i n 1? 0 6

c ?。s 1 0 o

37.(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 得到函数

?
4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了

第 66 页 共 93 页

g ( x )? c o s x ? 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4
A 向左平移

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移

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【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。 解析:由题知 ? ? 2 ,所以

f ( x ) ? sin( x ? 2
二、填空题

?

) ? cos[ ? ( 2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) ,故选择 A。 4 2 4 4 8
4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

?

?

?

?

1.(2009 北京文)若 sin ? ? ? 【答案】 ?

.

3 5
2

【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

3 3 ? 4? ? 由已知, 在第三象限, cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? , ∴ ∴应填 ? . 5 5 ? 5?
2

2. 2009 江苏卷) ( 函数 y ? A sin(? x ? ? )( A, ? , ? 为常数,A ? 0, ? ? 0 ) 在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .

【解析】 考查三角函数的周期知识。

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3

3.(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 2 cos A



AC 的取值范围为 ( 2, 3) .
解: 设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得
? ? ?

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
?

由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,
? ? 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?
? ? ? ? ?

2 3 ? cos ? ? , 2 2

? AC ? 2cos? ? ( 2, 3).
第 67 页 共 93 页

4.(2009 宁夏海南卷理)已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示, ( 则 ? =________________

T?
解析:由图可知,

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 ?5 ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?

答案:

9? 10

5. ( 2009 宁 夏 海 南 卷 文 ) 已 知 函 数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的 图 像 如 图 所 示 , 则

? 7? ? f? ?? ? 12 ?



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【答案】0 【解析】由图象知最小正周期 T= (x)=0,即 2 sin(3 ?

2 5? ? 2? 2? ? ? )= ( = ,故 ? =3,又 x= 时,f 3 4 4 3 ? 4

?
4

? ? )=0,可得 ? ?

?
4

,所以, f ?

? 7? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) =0。 ?

6.(2009 湖南卷理)若 x∈(0, 【答案】 2 2 : 【 解 析 】 由 x ? (0,

? ? )则 2tanx+tan( -x)的最小值为 2 2 . 2 2

?
2

) , 知 t a?n? 1

2 t ?? a n

?
2

0 , t? ? n ?( a 2

?

? ? c o所 以 ) ? t t ? n a

1

0 ,

t ? ?n (? a

? ? 2 t a ?当且仅当 tan? 2 2 时取等号,即最小值是 ) n 2 , t ? n a

2 2。
7.(2009 年上海卷理)函数 y ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值是_____________________ .
2

【答案】 1 ? 2
第 68 页 共 93 页

【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

?

8.(2009 年上海卷理)在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 ,? ? 成图形的面积是________. 【答案】

?

3

, ? cos? ? ? sin ? ? 1围

3? 3 4

【解析】化为普通方程,分别为:y=0,y= 3 x,x+y=1,画出三条直线的图象如右图,

可求得 A(

3 ?1 3 ? 3 1 3 ? 3 3? 3 , ) ,B(1,0) ,三角形 AOB 的面积为: ? 1 ? = 4 2 2 2 2

时 9..(2009 年上海卷理)当 0 ? x ? 1 ,不等式 sin
_______________. 【答案】k≤1 【 解 析 】 作 出 y1 ? sin

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是

?x
2

与 y 2 ? kx 的 图 象 , 要 使 不 等 式

sin

?x
2

? kx 成立,由图可知须 k≤1。

10. (2009 年上海卷理)已知函数 f ( x) ? sin x ? t an x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足

? ? ?? 且公差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 , 则当 k =____________ an ? ? ? , ? , ? 2 2?
是, f (ak ) ? 0 . 【答案】14 【解析】函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于 2 2

原点对称,因为 a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 , 所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 , 所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 11.(2009 上海卷文)函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值是
2



【答案】 1 ? 2 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

?

第 69 页 共 93 页

12.(2009 上海卷文)已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x 。项数为 27 的等差数列 {an } 满足

? ? ?? 则当 k= an ? ? ? , ? , 且公差 d ? 0 ,若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (a27 ) ? 0 , ? 2 2?

时,

f (ak ) ? 0. 。
【答案】14 【解析】函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于 2 2

原点对称,因为 a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 , 所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 ,所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 13.(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

【答案】1 【解析】因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 4 4 4 4 4 4
14.(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则? =

?

4

?

?

?

4

?

4

? cos

?
4

?

4π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 4π ∴T= = ω 3 【答案】 ? ω=

3 2

3 2

三、解答题 1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

第 70 页 共 93 页

【解析】 (1) Q a ? b ,? a g ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? b 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? 2 2

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2.(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 10 分) ............ (注意:在试题卷上作答无效) 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin A cosC ? 3 cos sin ,求 b A C
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左
2 2

侧 是 二 次 的 右 侧 是 一 次 的 , 学 生 总 感 觉 用 余 弦 定 理 不 好 处 理 , 而 对 已 知 条 件 (2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解 法 一 : 在 ?ABC 中 ? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?3 ?c, 化 简 并 整 理 得 : 2(a2 ? c2 )? b2. 又 由 已 知 有 : a? 2ab 2bc
a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 。
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2 ?????????????① 又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C
由正弦定理得 sin B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A ?????????② c

由①,②解得 b ? 4 。
第 71 页 共 93 页

评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提 高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒: 两纲中明确不再 考的知识和方法了解就行,不必强化训练。 3.(2009 浙江理) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满 足 cos

A 2 5 , ? 2 5 ??? ??? ? ? A B? A C 3 . ?

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

解析: (I)因为 cos

??? ??? ? ? 3 4 A 2 5 2 A ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 , ,? cos A ? 2 cos ? 2 5 5 2 5
1 bc sin A ? 2 2
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得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

( II ) 对 于 bc ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5

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4.(2009 浙江文) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满 足 cos

A 2 5 , ? 2 5 ??? ??? ? ? A B? A C 3 . ?

(I)求 ?ABC 的面积;
2

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

解析: (Ⅰ) cos A ? 2 cos

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5
2

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又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? 所以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 , 5 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

5.(2009 北京文) (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上 的最值等基础知识,主要考查基本运算能力.
第 72 页 共 93 页

(Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

6.(2009 北京理) (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ?

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基 础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ?

?
3

, cos A ?

2? 3 ? A,sin A ? , ∴C ? 3 5
∴ sin C ? sin ?

4 , 5

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2
3 3? 4 3 ,sin C ? , 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5
∴△ABC 的面积 S ?

?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 ab sin C ? ? ? 3 ? ? . 2 2 5 10 50

7.(2009 江苏卷) (本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角 的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。
第 73 页 共 93 页

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

8.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

解: (1)f(x)=cos(2x+

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ? 所以

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C =- , 4 2 2 1 , 3

3 , 2
2 3 3 ,

因为 C 为锐角, 所以

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中, cosB=

sin ? B

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 . 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的 性质以及三角形中的三角关系. 9.(2009 山
2







)(











12



)







f(x)=2 sin x cos

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(3) 求 ? .的值; (4) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为
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0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 6 2 2
a b b sin A 1 2 ? ,也就是 sin B ? , ? 2? ? sin A sin B a 2 2

a ? 1, b ? 2, 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12 4 6 4 12

?

或B ?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数 的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 10.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、 b、c, cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B. 2

解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数值 的制约,并利用正弦定理得到 sinB= 解:由 cos(A ? C)+cosB=

3 ? (负值舍掉),从而求出 B= 。 2 3

3 及 B=π ? (A+C)得 2 3 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2
cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= sinAsinC=

3 , 2

3 . 4
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又由 b =ac 及正弦定理得
2 s i n B ? s iA n

2

s Cn i

,



sin 2 B ?

3 , 4

sin ? B
于是 B= 又由

3 2



sin ?? B

3 (舍去) , 2

π 2 π 或 B= . 3 3

b2 ? a c b ? a 或 b ? c 知

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所以

B=

π 。 3

11.( 2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

解 : 1 ) ∵ a 与 b 互 相 垂 直 , 则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 , 即 si n? ? 2 cos? , 代 入 (
2 sin2 ? ? c o s ? ? 1



sin ? ? ?

2 5 5 , cos? ? ? 5 5





? ? ?( 0 , , )∴
2

sin ? ?
( 2

2 5 5 . , cos? ? 5 5
) ∵

0?? ?

?
2



0 ?? ?

?
2





?

?
2

? ? ?? ?

?
2





cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 10





c

? ? cos[? ? (? ? ?o ? c ? c )]

? ? ?) ?s ? o ? o ?) ? s s ?

2 .i 2

is

s

n

n

(

12.(2009 安徽卷理) (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。本小 题满分 12 分 解: Ⅰ) C ? A ? ( 由

1 . 3

? ? B ? , C ?A ? ? B , A ? ? , n A ? 且 ∴ ∴s n i s i ( 2 4 2

? B 2 B )? c n ) ? o s ( i ? s 4 2 2 2
C

B 2



1 1 3 ∴ sin A ? (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3
2

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

A

B

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∴ BC ?

AC sin A ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

13.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分)



ABC 中,C-A=

, sinB=



(I)求 sinA 的值; (II)设 AC= ,求 ABC 的面积。

【思路】 (1)依据三角函数恒等变形可得关于 sin A 的式子,这之中要运用到倍角公式; (2)应用正弦定理可得出边长,进而用面积公式可求出 S? . ? ? B 【解析】 (1)∵ c ? A ? 且c ? A ? ? ? B ∴ A ? ? 2 4 2 ∴ sin A ? sin(

?
4

?

B 2 B B )? (cos ? sin ) 2 2 2 2

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1 B B 1 1 ∴ sin2 A ? (cos ? sin )2 ? (1 ? sin B) ? 2 2 2 2 3

又 sin A ? 0 ∴ cos A ?

3 3

AC ? sin A AC BC ? (2)如图,由正弦定理得 BC ? ∴ BC ? ? sin B sin B sin A

6? 1 3

3 3 ?3 2

又sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A ? sin B ? 3 2 2 1 6 ? ?? ? 3 3 3 3
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1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2. 2 2 3 14.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分)

∴ S ? ABC ?

在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c .

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .

??? ??? ? ?

第 77 页 共 93 页

解: (1)由 (1 ? 3)c ? 2b



b 1 3 sin B ? ? ? c 2 2 sin C

sin(? ?
则有

?

6 sin C

? C)

?

sin

得 cot C ? 1 即 C ?

?
4

5? 5? cos C ? cos sin C 1 3 1 3 6 6 = cot C ? ? ? 2 2 2 2 sin C

. 推出 ab cos C ? 1 ? 3 ;而 C ?

(2) 由 CB ? CA ? 1 ? 3

??? ??? ? ?

?
4

,

即得

2 ab ? 1 ? 3 , 2
?a ? 2 ? ? 解得 ?b ? 1 ? 3 ?c ? 2 ? ?

? 2 ab ? 1 ? 3 ? ? 2 ? 则有 ?(1 ? 3)c ? 2b ? a c ? ? ? sin A sin C ?

15.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) △ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c . 解:(1) 因为 tan C ?

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sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). ? 2? 即 2C ? A ? B , 得 C ? ,所以. B ? A ? 3 3 1 ? 5? 又因为 sin( B ? A) ? cos C ? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? (舍去) 2 6 6 ? 5? 得 A ? ,B ? 4 12 1 6? 2 ac ? 3 ? 3 , (2) S?ABC ? ac sin B ? 2 8

第 78 页 共 93 页



a c ? , 2 3 2 2 得 a ? 2 2, c ? 2 3.

a c ? , 即 sin A sin C

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16.(2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

【答案】

2 10
中,根据正弦定理,

【 解 析 】 1 ) 解 : 在 ?ABC (

AB BC ? ,于是 sin C sin A

AB ? s i n C

BC ? 2 BC ? 2 5 sin A

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正 弦和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。 17.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 、 、 在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、 B C所 对 的 边 分 别 为 a、 b c, 且

sin ? A

5 5

, s i? B n

10 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10 2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10

【解析】 (I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

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cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ? (II)由(I)知 C ? 由

2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

?
4

????????????????6 分

3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2 ?1


b ?1

a ? 2, c ? 5

????????????????12 分

18.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 10 分) 设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , cos( A ? C ) ? cos B ?

3 , 2

b2 ? ac ,求 B 。
s ( 分 析 : 由 c o A? C ? )
c o A? C ? ) s (
展开得 sin A sin C ? 进而得 sin B ?

3 B ? , 易 想 到 先 将 B ? ? ? ( A ? C) 代 入 c o s 2

3 3 B ?得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? c o s 然后利用两角和与差的余弦公式 2 2。

3 2 2 ; 又由 b ? ac , 利用正弦定理进行边角互化, sin B ? sin A sin C , 得 4

? 2? 2? 3 .故 B ? 或 。 大部分考生做到这里忽略了检验, 事实上, B ? 当 3 3 3 2
1 3 ,进而得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾, 2 2 2? 。不过这种方法学生不易想到。 3

时,由 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ? 应舍去。

也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ?
2

评析:本小题考生得分易,但得满分难。 19.(2009 湖南卷文) (每小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2).

?

?

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(Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ?

?

?

?

?

?

?

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

?

?

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1 , 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 ? 3? . 因此 ? ? ,或 ? ? 4 2 ?
20.(2009 福建卷理) (本小题满分 13 分) 如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

?

? >0) x ? [0,4]的图象,且图象的最高点为

S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛 运动员的安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A ,
o

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识,考查运算求解能力以及 应用数学知识分析和解决实际问题的能力,考查化归与转化思想、数形结合思想, 解法一 (Ⅰ)依题意,有 A ? 2 3 , 当 x ? 4 是,? y ? 2 3 sin
? M (4, 3) 又 p(8, 3)

T 2? ? ? ,? ? ? 。? y ? 2 3 sin x ? 3 ,又 T ? 4 ? 6 6

2? ?3 3

? MP ? 42 ? 32 ? 5
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(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60° 由正弦定理得
? NP ? MP NP MN ? ? 0 sin ? sin(60 0 ? ? ) sin 120

10 3 10 3 sin(600 ? ? ) sin ? , ? MN ? 3 3 10 3 10 3 10 3 1 3 sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) 3 3 3 2 3

故 NP ? MN ?
?

10 3 sin(? ? 600 ) 3

? 0°< ? <60°,? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长

亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段道 MNP 最长 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 由余弦定理得 MN 2 ? NP 2 ? 2MN ?NP?cos ∠MNP= MP 2 即 MN 2 ? NP 2 ? MN ?NP ? 25 故 (MN ? NP)2 ? 25 ? MN ?NP ? (
MN ? NP 2 ) 2

10 3 3 从而 (MN ? NP)2 ? 25 ,即 MN ? NP ? 3 4 当且仅当 MN ? NP 时,折线段道 MNP 最长 注:本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、 解法二给出的两种设计方式,

还可以设计为:① N ( 平分线上等

12 ? 3 9 ? 4 3 12 ? 3 9 ? 4 3 , ) , ) ;② N ( ;③点 N 在线段 MP 的垂直 2 6 2 6

21.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量 船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角 均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距 离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449) (18)解:
0 0 0

? ? 在 ?ACD 中, DAC =30°, ADC =60°- ?DAC =
30°, 所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA
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5分

在 ?ABC 中,

AB AC ? , sin?BCA sin?ABC

即 AB=

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20 3 2? 6 ? 0.33km 20

因此, BD ?

故 B、D 的距离约为 0.33km。 12 分 22.(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测 量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ,30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的 仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B, D 的距离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
0 0 0

(17)解: 在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 分 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
ACsin60 ? 3 2? 6 , 即 AB= sin 15? ? 20

……5

AB

AC

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。

……12 分

23.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分) 为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计 一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式 写出计算 M,N 间的距离的步骤。

第 83 页 共 93 页

?1 , ?1

(17) 解: 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角;B 点到 M, ……….3 分

N 的俯角 ?2 , ?2 ;A,B 的距离 d (如图所示) . ②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM ?

d sin ? 2 sin(?1 ? ? 2 )



第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 sin( ? 2 ? ?1 )



第三步: 计算 MN. 由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ?1 ,?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 ,? 2 ;A,B 的距离 d (如 图所示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM ?

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ?2 ? ?1 )

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ? 24.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 图象上一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

第 84 页 共 93 页

2? 2? 2? , ?2)得A ? 2 由 T ? ? 得? ? ? ?2 3 T ? 2? 4? 4? , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? 故 ? ? 2 k? ? (k ? Z ) 所以 3 2 6
解析:(1)由最低点为 M ( 又 ? ? (0,

?

2

) ,所以 ? ?

?

(Ⅱ)因为 x ? [0, 所以当 2x+

?
12

6

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

], 2 x ?

?

?

当2x+

?
6

?

?

6 3

?

?
6

?[ , ] 6 6 3

? ?

6

)

时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;

, 即x ?

?
12

时,f ( x)取得最大值 3 ;

25.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分)

2 ? 2? , ?2) . 交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ 17、解(1)由最低点为 M (

已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?

)的图象与 x 轴的

? T ? 2? 2? ? ?2 得 = ,即 T ? ? , ? ? T ? 2 2 2 2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 故 3 2 6 ? ? ? 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? ] (2)? x ? [ , ],      2 x ? ? [ , 12 2 6 3 6 ? ? ? ? 7? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6 ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2] 2
由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为
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2? , ?2) 得 A=2. 3

, ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

26.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、 B C所 对 的 边 分 别 为 a、 b c, 且 、 、 在

sin ? A

5 5

, s i? B n

10 10

(I)求 A ? B 的值;
第 85 页 共 93 页

(II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

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【解析】 (I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10 2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ? (II)由(I)知 C ? 由

?
4

????????????????6 分

3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1

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2b ? b ? 2 ?1



b ?1

a ? 2, c ? 5

????????????????12 分

27.(2009 湖北卷文) (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

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Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?

?
3
第 86 页 共 93 页

(2)解法 1: Q c ?

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得
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a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

由②变形得 (a+b)2 ? 25, 故a ? b ? 5 解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13   ? ? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9
4 2 2 2

所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 故a?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2

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28.(2009 宁夏海南卷文) (本小题满分 12 分) 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点 进行测量, 已知 AB ? 50m ,BC ? 120m , A 处测得水深 AD ? 80m , 于 于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。 (17) 解: 作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.
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DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . ... 分 ...6
在 ?DEF 中,由余弦定理,

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 cos ?DEF ? ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65
... ...12 分 29.(2009 湖南卷理)(本小题满分 12 分)
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第 87 页 共 93 页

在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的大小。
2

??? ???? ?

??? ???? ?

解:设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

??? ???? ?

??? ???? ?

3 2

?
6
2

2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a 2 ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ???? ?

3 4

所以 sin C ? sin(

1 3 3 5? 3 , sin C ? ( cos C ? ,因此 sin C ) ? ? C) ? 2 2 4 6 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? 5? ? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 6 3 3 3 6 ? ? ? 2? 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? ,故 3 3 6 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 6 3 6 6 6 3
30.(2009 天津卷理) (本小题满分 12 分) 在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?

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本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两 角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分。 (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A AB BC ? sinC sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos2 A ?
5 5

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A-

4 3 ,cos2A=cos2A-sin2A= 5 5

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? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10
第 88 页 共 93 页

31.(2009 四川卷理) (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中 , A, B 为 锐 角 , 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

c o sA2 ?

3 5

10 ,Bs?i n 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。

本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等 基础知识及基本运算能力。 解: (Ⅰ)? A 、 B 为锐角, sin B ?

10 3 10 2 ,? cos B ? 1 ? sin b ? 10 10
2

又 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ?

3 , 5

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? sin A ?

5 2 5 2 , cos A ? 1 ? sin A ? , 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
?0 ? A ? B ? ?

?A? B ?

?
4

????????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ? 由正弦定理

3? 2 ,? sin C ? . 4 2

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a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b
Q a ? b ? 2 ? 1, ? 2b ? b ? 2 ?1 ,? b ? 1

?a ? 2,c ? 5

??????????????12 分
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32.(2009 福建卷文) (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?
2

第 89 页 共 93 页

(I)若 cos

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求 3

函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应 的函数是偶函数。 解法一: (I)由 cos 即 cos(

?
?
4

cos ? ? sin

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?

2

,?? ?

?

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(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

4

)

2?

T ? ? 2 3

, 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4

?

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x)? s i? 3? m? ) ? n x( 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
即m ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? 解法二: (I)同解法一

? 12

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

)

2?

T ? ? 2 3

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?

,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ?

? ?

??
4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立
亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4
第 90 页 共 93 页

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3x)sin(3m ? ) 4 4
? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3 x sin(3m ? ) 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

?

?

?

? cos(3m ? ) ? 0 4
故 3m ?

?

4

) ? 0 对 x ? R 恒成立。

?

?m ?

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

4

? k? ?

?
2

(k ? Z )
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从而,最小正实数 m ?

? 12

33.(2009 重庆卷理) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ]时

4 3

y ? g ( x) 的最大值.
解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

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故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

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g ( x )? f ( 2 x ? ? )

3 s i n [? x( ? 2 ) 4 3

?

?

]

= 3 sin[

?

2

?

?

= 3 cos(

?

x? ] 4 3

?

x? ) 4 3
第 91 页 共 93 页

?

当0 ? x ?

3 ? ? ? 2? 4 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 4 3 4 3 3 3
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? 3 gm a ? 3 c o s? x 3 2
解法二:

因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] , y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 且 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( 当

4 3

2 3

?

4 3

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6 4 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 3

x? ) 4 3

?

2 3

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gmax ? 3 sin

?
6

?

3 . 2

34.(2009 重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos
2 2

? x(? ? 0) 的最小正周期为

(Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移

2? . 3

? 个单位长度得到,求 2

y ? g ( x) 的单调增区间.
解: (Ⅰ)

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ?1 ? 2cos 2? x
? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 2? 2? 3 ? 依题意得 ,故 ? 的最小正周期为 . 2? 3 2
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?

(Ⅱ)依题意得: g ( x) ? 由 2 k? ?

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?

5? ? ≤ 2 k? ? (k ? Z ) 2 4 2 2 ? 2 7? (k ? Z ) \ 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? 3 4 3 12 ≤ 3x ?
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?

35.(2009 上海卷文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题
第 92 页 共 93 页

满分 8 分 . 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

??

? n?( s i B n

? ? , s, p ? () ? 2, a ? 2) . Ai n b

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B,

?? ?
??

??

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 u u v v 解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0
即a?

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? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ?
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1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

第 93 页 共 93 页


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