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【高三总复习】2013高中数学技能特训:2-9 定积分与微积分基本定理(理)(人教B版) 含解析


2-9 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1 1.?4xdx 等于(
?2

) B.2ln2 D.ln2

A.-2ln2 C.-ln2 [答案] D

1 4 [解析] ?4xdx=lnx|2=ln4-ln2=ln2. ?
2

? 2 x∈[0,1], ?x 2.(

2011· 汕头模拟)设 f(x)=? 则?2f(x)dx 等于 ? ?0 ?2-x x∈?1,2].

(

) 3 A.4 [答案] C [解析] ?2f(x)dx=?1x2dx+?2(2-x)dx
?0 ?0 ?1

4 B.5

5 C.6

D.不存在

1 ??2 5 ? 1 =3x3|1+ ?2x-2x2??1=6. 0 ? ?? 3.曲线 y=cosx(0≤x≤2π)与直线 y=1 所围成的图形面积是 ( ) A.2π 3π C. 2 B.3π D.π

[答案] A [解析] 如右图, S=∫2π(1-cosx)dx 0
2π =(x-sinx)|0 =2π.

[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决,
?π ? 但若把积分区间改为?6,π?,则对称性就无能为力了. ? ?

? 4. 2 ? ?- π
2

π

(sinx+cosx)dx 的值是(

)

π A.0 B.4 C.2 D.4 [答案] C [解析]

? 2 ? ?-π
2

π

π π (sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)|2-2=2.

5.已知正方形四个顶点分别为 O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1), 曲线 y=x2(x≥0)与 x 轴,直线 x=1 构成区域 M,现将一个质点随机 地投入正方形中,则质点落在区域 M 内的概率是( 1 1 1 2 A.2 B.4 C.3 D.5 )

[答案] C 1 1 [解析] 如图,正方形面积 1,区域 M 的面积为 S=?1x2dx=3x3|0
?0

1 1 =3,故所求概率 p=3.

6.设 f(x)=?x (1-t)3dt,则 f(x)的展开式中 x 的系数是(
?0

)

A.-1 B.1 C.-4 D.4 [答案] B [解析] 1 1 1 f(x)=?x (1-t)3dt=-4(1-t)4|x =4-4(1-x)4,故展开式 0
?0

1 1 中 x 的系数为-4×(-C4)=1,故选 B. 7.已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若?1-1f(x)dx=2f(a)成立,则 a
?

=________. 1 [答案] -1 或3. [解析] ?1-1(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|1 1=4, - ? ∴2(3a2+2a+1)=4 1 即 3a2+2a-1=0,解得 a=-1 或 a=3.

8.(2011· 潍坊模拟)抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________. 2 [答案] 3 [解析] ∵y′=-2x+4, ∴在点 A(1,0)处切线斜率 k1=2,方程为 y=2(x-1), 在点 B(3,0)处切线斜率 k2=-2,方程为 y=-2(x-3).

? ? ?y=2?x-1?, ?x=2, 由? 得? ?y=-2?x-3?, ?y=2. ? ?

故所求面积 S=?2[(2x-2)-(-x2+4x-3)]dx+?3 [(-2x+6)-
?1 ?2

1 1 1 1 2 2 3 (-x2+4x-3)]dx=(3x3-x2+x)|1+(3x3-3x2+9x)|2=3+3=3.

9.若函数

?-x-1 ?-1≤x<0?, f(x)=? π cosx ?0≤x<2?, ?

的图象与坐标轴所围

成的封闭图形的面积为 a,则 a 的值为________.

3 [答案] 2 1 π 1 π 3 [解析] 由图可知 a=2+∫20cosxdx=2+sinx|20=2.

10.

(2011· 福州月考)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a, b∈R)的图象如 图所示,它与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函数图象所围区域(图中 1 阴影部分)的面积为12,求 a 的值. [解析] f ′(x)=-3x2+2ax+b,∵f ′(0)=0,∴b=0, ∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0,得 x=0 或 x=a(a<0). ∴S 阴影=?0[0-(-x3+ax2)]dx
?a

1 1 1 1 0 =(4x4-3ax3)|a=12a4=12, ∵a<0,∴a=-1.

能力拓展提升 11.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为 直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图所示).那么 对于图中给定的 t0 和 t1,下列判断中一定正确的是

(

)

A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B.在 t1 时刻,甲车在乙车后面 C.在 t0 时刻,两车的位置相同 D.t0 时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断 在 t0、t1 时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何 意义知: 车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 分,即速度函数 v(t)的图象与 t 轴以及时间段围成区域的面积.从图 象知:在 t0 时刻,v 甲的图象与 t 轴和 t=0,t=t0 围成区域的面积大于 v 乙的图象与 t 轴和 t=0,t=t0 围成区域的面积,因此,在 t0 时刻,甲 车在乙车的前面,而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度,所以选 项 C、D 错误;同样,在 t1 时刻,v 甲的图象与 t 轴和 t=t1 围成区域

的面积,仍然大于 v 乙的图象与 t 轴和 t=t1 围成区域的面积,所以, 可以断定:在 t1 时刻,甲车还是在乙车的前面.所以选 A. π π 12.(2012· 山东日照模拟)向平面区域 Ω={(x,y)|-4 ≤x≤4 , 0≤y≤1}内随机投掷一点,该点落在曲线 y=cos2x 下方的概率是 ( ) π A.4 π C.2-1 [答案] D π [解析] 平面区域 Ω 是矩形区域,其面积是2,在这个区域中曲 π π π 1 线 y=cos2x 下方区域的面积是∫4 - 4 cos2xdx=2∫4 0cos2xdx=2(2 π 1 2 sin2x)|40=1.故所求的概率是π=π.故选 D. 2 13.(2012· 郑州二测)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3=?3 4xdx,则公比 q 的值为( A.1 1 C.1 或-2 [答案] C 6 6 3 [解析] 因为 S3=?34xdx=2x2|0=18, 所以q+q2+6=18, 化简得
?0 ?0

1 B.2 2 D.π

) 1 B.-2 1 D.-1 或-2

1 2q2-q-1=0,解得 q=1 或 q=-2,故选 C.

14.(2012· 太原模拟)已知(xlnx)′=lnx+1,则?e lnxdx=(
?1

)

A.1 B.e C.e-1 D.e+1 [答案] A [解析]
?1

由(xlnx)′=lnx+1,联想到(xlnx-x)′=(lnx+1)-1=

lnx,于是?e lnxdx=(xlnx-x)|e =(elne-e)-(1×ln1-1)=1. 1 15.有一条直线与抛物线 y=x2 相交于 A、B 两点,线段 AB 与抛 4 物线所围成图形的面积恒等于3,求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程. [解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为 A(a,a2),B(b,b2), 不妨设 a<b, b2-a2 则直线 AB 的方程为 y-a = (x-a), b-a
2

即 y=(a+b)x-ab. 则直线 AB 与抛物线围成图形的面积为 S=?b[(a+b)x-ab-x2]dx
?a

a+b 2 x3 b 1 =( 2 x -abx- 3 )|a=6(b-a)3, 1 4 ∴6(b-a)3=3, 解得 b-a=2.设线段 AB 的中点坐标为 P(x,y),

?x=a+b, 2 其中? a +b y= 2 . ?
2 2

? ?x=a+1, 将 b-a=2 代入得? 2 ? ?y=a +2a+2.

消去 a 得 y=x2+1. ∴线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为 y=x2+1. 16.

由曲线 y=x2 和直线 x=0、x=1、y=t2,t∈(0,1)所围成的图形为 如图阴影部分,求其面积的最小值. 1 [解析] S1=t3-?t x2dx=t3-3t3
?0

2 =3t3, 1 1 2 1 4 S2=?1x2dx-(1-t)t2=3-3t3-(1-t)t2=3t3-t2+3,S1+S2=3t3
?t

1 -t2+3,t∈(0,1). 4 1 1 令 y=3t3-t2+3,则 y′=4t2-2t,令 y′=0 得 t=0 或 t=2, 1 1 1 ∵t∈(0,1),∴当 0<t<2时,y′<0,当2<t<1 时,y′>0,∴当 t=2时, 1 1 y 取最小值,即当 t=2时,S1+S2 取到最小值,最小值为4.

1.如图,D 是边长为 4 的正方形区域,E 是区域 D 内函数 y= x2 图象下方的点构成的区域, 向区域 D 中随机投一点, 则该点落入区 域 E 中的概率为( )

1 1 1 1 A.5 B.4 C.3 D.2 [答案] C 1 16 [解析] 阴影部分面积 S=2?2x2dx=2×3x3|2= 3 ,又正方形面积 0
?0

S′=42=16,∴所求概率 P=

S 1 =3. S′ 1 6 ) 展开式的常数项是( x )

2. a=?πsinxdx, 设 则二项式(a x-
?0

A.160 C.-20 [答案] D

B.20 D.-160

1? ? r [解析] a=?πsinxdx=-cosx|π=2,Tr+1=C6(2 x)6-r?- ?r=(- 0 x? ? ?
0

1)r26-rCr x3-r, 6 ∵Tr+1 为常数项,∴3-r=0,∴r=3,
3 ∴(-1)3×23×C6=-160,故选 D.

3.在函数 y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点 P(t,|t|),此函数与 x 轴,直线 x=-1 及 x=t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S,则 S

与 t 的函数关系图可表示为(

)

[答案] B 1 1 1 [解析] 当 t≤0 时, ?t-1-xdx=-2x2|t-1=2-2t2; t>0 时, S= 当
?

1 1 1 1 1 S=2+?t xdx=2+2x2|t0=2+2t2,故选 B. ?
0

4.(2011· 龙岩质检)已知函数 f(x)=sin5x+1,根据函数的性质、 π π 积分的性质和积分的几何意义, 探求∫2-2f(x)dx 的值, 结果是( 1 π A.6+2 C.1 [答案] B B.π D.0 )

[解析]

? 2 f(x)dx=? 2 sin5xdx+? 2 1dx,由于函数 ? ? ? π π ?- ?- ?- π
2 2 2
π π

π

π

π

y=

π π ? ? sin x 是奇函数,所以 2 sin5xdx=0,而 2 1dx=x|2-2=π,故选 ? ? π ?- ?-π
5

2

2

B. 5.设点 P 在曲线 y=x2 上从原点到 A(2,4)移动,如果把由直线 OP,直线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积分别记作 S1、S2.如图所示, 当 S1=S2 时,点 P 的坐标是( )

?4 16? A.?3, 9 ? ? ? ?4 15? C.?3, 7 ? ? ?

?4 16? B.?5, 9 ? ? ? ?4 13? D.?5, 7 ? ? ?

[答案] A [解析] 设 P(t,t2)(0≤t≤2),则直线 OP:y=tx,∴S1=?t (tx-
?0 ?4 16? t3 8 t3 4 2 2 x )dx= 6 ; 2=? (x -tx)dx=3-2t+ 6 , S1=S2, t=3, ?3, 9 ?. S 若 则 ∴P ? ? ?
2 t

π 6.(2011· 潍坊二模)曲线 y=sinx、y=cosx 与直线 x=0、x=2所 围成的平面区域的面积为( )

A.? ? C.? ?

π 2

? ?0

(sinx-cosx)dx

B.2? ?

π 4

? ?0

(sinx-cosx)dx

π 2

? ?0

(cosx-sinx)dx

D.2? ?

π 4

? ?0

(cosx-sinx)dx

[答案] D [解析]

π π 在同一坐标系中作出函数 y=sinx(0≤x≤2)与 y=cosx(0≤x≤2) π 2 的图象,可以发现两图象交于点 P(4, 2 ),两图象与直线 x=0,x= π π π 所围成的平面区域关于直线 x=4对称,在[0,4)上,cosx>sinx,由 x 2 π =0,y=cosx、y=sinx 在[0,4]上围成的平面区域面积为? ? ? sinx)dx,故选 D.
π 4

(cosx-

?0


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