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数学:2.2《等差数列》课件2(苏教版必修五)


知识回顾 1.{an}为等差数列 ?an+1- an=d ? an+1=an+d

? an= a1+(n-1) d ? an= kn + b(k、b为常数)
2.a、b、c成等差数列 ? b为a、c 的等差中项 a?c ? b? ? 2b= a+c 2

结论归纳:
数列{an}是公差为d 的等差数列。 数列a1,a

3,a5,a7,……是公差为 2d 等差数列 数列a2,a4,a6,a8,……是公差为 2d 等差数列 数列ma2,ma4,ma6,ma8,……是公差为2md 等 差数列 数列a1+a2, a2+a3, a3+a4, a3+a4,……是公差 为 2d 等差数列

等差数列的性质
1.

2.

3.

【说明】 3.更一般的情形,an= am+(n - m) d 4.在等差数列{an}中,由 m+n=p+q

,d=

an ? am n?m
am+an=ap+aq

m,n,p,q∈N★
注意:①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的;

②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项,如a1+a2=a3 成立吗?

5. 在等差数列{an}中a1+an

=

a2+ an-1 = a3+ an-2

=…

数列?a n ?是等差数列, , n, p, q ? N ? , 且m ? n ? p ? q, m 求证:a m ? a n ? a p ? a q .

? 的首项是 1 , 公差是d, 证明:设 an ? a
则am ? a1 ? (m ? 1)d ,
a p ? a1 ? ( p ? 1)d ,

an ? a1 ? (n ? 1)d ,
aq ? a1 ? (q ? 1)d ,

? am ? an ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d ,
a p ? aq ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d , ? m ? n ? p ? q,? am ? an ? a p ? aq .

课堂练习

由练习1可知:对于数列a1,a2,a3,a4,…… 观察其规律,可以写出通项公式

例如:数列9,99,999,9999,……观察其规律, 可以写出通项公式 那么:数列1,11,111,1111,……观察其规律, 可以写出通项公式

例题分析
例 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20
分析:由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12

及 a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10 (2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8

分析: a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又已知 a3+a11=10,
3 ∴ a6+a7+a8= (a3+a11)=15 2

已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求公差d. 三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的 积为12,求此三数.

例.已知a1 ? 1, a n ? 1 ? 数列的前 项 5

1 a n ?1

(n ? 2), 写出这个

解:a1=1,
1 a2 ? 1? ? 2 1
1 3 a3 ? 1 ? ? 2 2

2 5 a4 ? 1 ? ? 3 3

3 8 a5 ? 1 ? ? 5 5

? a1=4

? a2=5=a1+1
? a3=6=a2+1 ? …………

? an=an-1+1 (2≤n≤7)

定义:已知数列{an}的第1项(或前几 项),

且任意一项an与前一项an-1(或前几项)间的关 系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数 列的递推公式

1 1 ? 已知数列 a n ?中,a1 ? 3, ? ? 5(n ? 2), a n a n ?1 则a n ? ____.

? 已 知数 列 a n ?满 足,a1 ? 1,
a n ?1 2a n ? ? (n ? N ), 则a n ? ____. an ? 2

? 设数列 a n ?是等差数列, p ? q, a q ? p(p ? q ), a
试求a p ? q .
解:设公差为d , 则因为a p ? aq ? ( p ? q )d ,

a p ? aq q ? p 所以d ? ? ? ?1. p?q p?q
从而a p?q ? a p ? qd ? q ? q ? (?1) ? 0.
所以a p ?q ? 0.

Sn法:若数列的前n项和记为Sn,即
Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an

?
Sn-1

∴当n≥2时,有an=Sn-Sn-1
(n ? 1) ?S1 即a n ? ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

例.已知{an}的前 n项和Sn=n2+n-2 ,求an.
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =n2+n-2-(n-1)2-(n-1) +2

?0 ? an ? ? ?2 n

=2n 当n=1时,a1=0

(n ? 1)

( n ? 2)

1.若Sn=n2-1,求an 2.若Sn=2n2-3n,求an
? 0 (n ? 1) an ? ? ?2n ? 1 (n ? 2)

an=4n ? 5

在某个活动中,学校为烘托节日气氛, 在200米长的校园主干道一侧,从起点开始, 每隔3米插一面彩旗,由近及远排成一列, 迎风飘扬。问最后一面旗子会插在终点处 吗?一共应插多少面旗子?

?
0 3 6 9

… …

200

若从距离起点2米开始,每隔3米插一面 彩旗,则在距离起点80米处是否应该插旗? 若是,是第几面旗子?

?
2 5 8 11



80

1 ↓ 2 ↓

2
↓ ↓
5

3
↓ ↓
8

4 ???
↓ ↓
11 ? ? ?

n ↓ ↓

3 ?1

3 ? 2 ? 1 3 ? 3 ? 1 3 ? 4 ? 1 ? ? ? 3n ?1

? an ? 3n ? 2. 令 3n ? 1 ? 80 ,得n ? 27

答:应该插第27面旗子

思考题:如何求下列和?
①前100个自然数的和:1+2+3+…+100=

5050 ;

②前n个偶数的和:2+4+6+…+2n=

n(n+1) .


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