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高三数学理科附加题训练6


高三数学理科附加题训练(6)
1、已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各条棱长都相等, P 为 A1 B 上的点, A1 P ? ? A1 B ,且

PC ? AB .
(1) 求 ? 的值; (2) 求异面直线 PC 与 AC1 所成角的余弦值。

A1

B1

C1



P
解:(Ⅰ)设正三棱柱的棱长为 2 ,建立如图所示的直角坐标系,则:

A
C
z
A1

A(0, ?1,0) , B( 3, 0, 0) , C (0,1,0) ,
A1 (0, ?1, 2) , B1 ( 3, 0, 2) , C1 (0,1, 2) ,
所 以

B

??? ? AB ? (

???? 3 , 1 , CA1 ? (0, ?2, 2) 0 ) ,

B1

C1 P A O



???? A1 B ? ( 3,1, ?2) ,
因为 PC ? AB ,

???? ???? ??? ? ??? ??? ? ? 所以 CP ? AB ? 0 , (CA1 ? A1 P ) ? AB ? 0 ,
???? ??? ? ???? ???? ??? ? CA1 ? AB 1 ? (CA1 ? ? A1 B) ? AB ? 0 , ? ? ? ???? ??? ? A1 B ? AB 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: CP ? (

x

B

C

y

???? ? 3 3 , ? ,1) , AC1 ? (0, 2, 2) , 2 2 ??? ???? ? ? ??? ???? ? ? CP ? AC1 ?3 ? 2 2 ? ? cos ? CP, AC1 ?? ??? ???? ? ?? , 8 | CP | ? | AC1 | 2 ? 2 2

??? ?

所以异面直线 PC 与 AC1 所成角的余弦值是

2 . 8

2、如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

A1E ? CF ? 1 .
⑴求两条异面直线 AC1 与 D1 E 所成角的余弦值; ⑵求直线 AC1 与平面 BED1 F 所成角的正弦值.

3、如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 ABC ⊥平面 APC , AB ? BC ? AP ? PC ? 2 , ?ABC ? ?APC ? 90 ? . (1)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (2)若动点 M 在底面三角形 ABC 上, 二面角 M-PA-C 的余弦值为 解:取 AC 中点 O,因为 AB=BC,所以 OB ? OC , ∵平面 ABC ⊥平面 APC 平面 ABC ? 平面 APC =AC, ∴ OB ? 平面 PAC ∴ OB ? OP …………………………1′ 以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为 AB=BC=PA= 2 ,所以 OB=OC=OP=1 从而 O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0), C(0,1,0),P(0,0,1), ……………………2′ ∴ BC ? (?1,0,1), PB ? (1,0,?1), AP ? (0,1,1) 设平面 PBC 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) , 由 BC ? n1 ? 0, PB ? n1 ? 0 得方程组

3 11 , BM 的最小值. 求 11

P

A
B

C

z

P

A

O

C

y

?? x ? y ? 0 ,取 ? ?x ? z ? 0
n1 ? (1,1,1) …………………………3′
∴ cos ? AP, n1 ??

B

x

AP ? n1 AP n1

?

6 3
6 。…………………………4′ 3

∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为

(2)由题意平面 PAC 的法向量 n 2 ? (1,0,0) ,…………………………5′ 设平面 PAM 的法向量为 n3 ? ( x, y, z ), M (m, n,0) ∵ AP ? (0,1,1), AM ? (m, n ? 1,0) 又因为 AP ? n3 ? 0, AM ? n3 ? 0

∴?

?y ? z ? 0 ?mx ? (m ? 1) y ? 0

取 n3 ? (

n ?1 ,?1,1) ,…………………………7′ m

∴ cos ? n 2 , n3 ??

n 2 ? n3 n 2 n3

?

n ?1 m ? n ?1? ? ? ?2 ? m ?
2

?

3 11 11

? n ?1? ∴? ? ?9 ? m ?
∴ n ? 1 ? 3m 或 n ? 1 ? ?3m (舍去) ∴B 点到 AM 的最小值为垂直距离 d ?

2

10 。…………………………10′ 5

4、如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互 相垂直, AB ?

2, AF ? 1 .

E F C B

(1)求二面角 A-DF-B 的大小; (2)在线段 AC 上找一点 P,使 PF 与 AD 所成的角为 60 试确定点 P 的位置. D
0

A


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