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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第2章 第15讲 函数与方程

时间:2012-07-30


1.方程x2-2x=0的实数根的个数是_______.

3

(2,3) 2.设x0是方程lnx+x=4的解,则x0在区间________上.
解析:设f(x)=lnx+x-4.

因为f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0.

0, ? 2-ax的零点为___________. g(x)=bx 2

3.若 函数 f(x)=ax+b 只有一个零点 2 ,则函数 1

4.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取 a>1 值范围是___________ . 解析:由题意知即为方程x2+2x+a=0无实数解, 即4-4a<0,解得a>1.

5.用二分法求函数f(x)=x3+2x-1的零点时,第一次计 算f(0)<0,f(0.5)>0,得到零点x0∈ (0,0.5) f(0.25) 间表示);第二次计算的值是________. (用区

函数零点的存在 性判断与求解
【 例 1】

? 1 ? 求 函 数 y= x - 2 x
3

2

- x+ 2 的 零 点 ; 1 2 x+ 2 的 零 点 的 个 数 .

? 2 ? 判 断 函 数 f ? x ? = lo g 2 x+

【 解 析 】 1 ? 由 y= x - 2 x - x+ 2 ?
3 2

= x ( x- 2 )- ( x- 2 ) = ( x- 2 )( x -1)= ( x- 2 )( x-1)( x+1). 令 ( x- 2 )( x-1)( x+1)= 0, 解 得 x= 2 或 x=1 或 x= -1. 所 以 函 数 y= x - 2 x - x+ 2 的 零 点 为 -1,1, 2.
3 2 2

2

? 2 ? 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 (0, + ? ).
令f

? x ? = lo g 2 x+

1 2

x+ 2 = 0, 得 lo g 2 x= - 1 2 x- 2.

1 2

x- 2.

设 y 1= lo g 2 x, y 2= -

易 知 函 数 y 1= lo g 2 x 在 (0, + ? ) 上 是 单 调 增 函 数 , y 2= - 1 2 x- 2 在 (0, + ? ) 上 是 单 调 减 函 数 .

由于它们的图象只有一个交点, 所以函数f

? x ? = lo g 2 x+

1 2

x ? 2的 零 点 只 有1个 .

函数零点的存在性问题常用的办法有三种:
一是零点存在的性质定理,即考察变号零点 所在区间端点值的符号; 二是直接解方程,求出方程的根或讨论方程 根的存在性;

三是构造函数,利用函数图象的交点判断函
数零点的存在性.本题(1)是转化为方程求零点; 本题(2)是构造函数,利用函数图象的性质研究函 数零点的存在性.

【变式练习1】

(1)求函数y=x3-3x的零点;
(2)已知函数f(x)=x2 -2x+lg(2m-1) 有两个异号零点,求实数m的取值范 围.

【 解 析 】 1 ? 令 y= x - 3 = 0, 得 x = 3 . ?
3 x 3 x

设 y 1= x , y 2= 3 , 易 知 两 函 数 在 (0, + ? )
3 x

上 都 是 增 函 数 , 且 y 1 ? R , y 2 ? (0, + ? ), 它 们 的 图 象 只 有 一 个 交 点 , 所 以 函 数 y= x - 3 的 零 点 只 有 一 个 , 是 x= 3.
3 x

? 2 ? 函 数 f ? x ? 的 图 象 是 抛 物 线 , 对 称 轴 方 程 是 x=1.
要使函数存在两个异号零点, ? f ? 0 ? ? lg ? 2 m ? 1 ? ? 0 1 只需 ? , 解 得 ? m ? 1. 2 ?2m ? 1 ? 0 所 以 实 数 m的 取 值 范 围 是 ( 1 2 ,1 )

用二分法求方程 的近似解
【例2】

求方程x3-x-1=0在区间[0,2]上的实
数根(精确度为0.1).

【解析】考察函数f

? x ? = x - x-1 ,
3

设 精 确 度 为 0 .1 的 零 点 为 x 0 . 因 为 f ? 0 ? = - 1 ? 0, f ? 2 ? = 8 - 2 - 1 = 5 ? 0 , 所以函数f

? x ? = x 3- x-1 在 ? 0, 2 ? 上 有 零 点 ,

取 中 点 x 0=1. 因 为 f ? 1 ? = -1 ? 0, 所 以 x 0 ? ?1, 2 ? ; 取 x 0=1.5 , 因 为 f ? 1.5 ? = 0 .8 7 5 ? 0, 所 以 x 0 ? ?1,1.5 ? ;

取 x 0=1.2 5 , 因 为 f ? 1.2 5 ? = - 所 以 x 0 ? [1.2 5 , ; 1.5]

19 64

? 0,

取 x 0=1.3 7 5 , 因 为 f ? 1.3 7 5 ? ? 0, 所 以 x 0 ? [1.2 5 , 7 5]; 1.3 取 x 0=1.3 1 2 5 , 因 为 f ? 1.3 1 2 5 ? ? 0, 所 以 x 0 ? [1.3 1 2 5 , 7 5]. 1.3 因 为 1.3 7 5 -1.3 1 2 5 = 0 .0 6 2 5 ? 0 .1 , 所 以 取 x 0=1.3 7 5.

在用二分法求解方程时,初始区间的
选定往往需要通过分析函数的性质(了解

函数的大致图象)或者试验估值,并逐步
将零点值的区间范围缩小.初始区间的端 点不一定选在两个相邻整数之间,初始区

间选取不同,不影响最终的计算结果.

【变式练习2】

求方程x3 -2x-5=0在区间[2,3]内的
实根,取区间中点x0=2.5,那么下一 [2,2.5] 个有解区间是 _______________ 【解析】设f(x)=x3-2x-5,则f(2)= -1<0,f(2.5)=5.625>0,f(3)=16>0,

故下一个有根区间是[2,2.5].

函数零点的综合应用
【 例 3】 已 知 集 合 P= [ , ], 函 数 y= lo g 2 ( a x - 2 x+ 2 ) 2 2 的 定 义 域 为 S. 1
2

?1 ? 若 P ?

S ? ? , 求 实 数 a的 取 值 范 围 ;
2

? 2 ? 若 方 程 lo g 2 ( a x

- 2 x+ 2 )= 2 在 [ ,]上 有 解 , 2 2

1

求 实 数 a的 取 值 范 围 .

【 解 析 】 1 ? 因 为 P I S ? ? , 故 存 在 P中 的 元 ? 2x ? 2 1 素 使 a x - 2 x+ 2 ? 0, 则 有 a ? ( ? x ? 2 ). 2 x 2
2

令f

? x ?=
1 2

2x ? 2 x
2

, 则 f ? ? x ?=

2 x ? 2? 2 x ? 2 ? x
3



4 ? 2x x
3

.

当x?[ 所以f

,2 ] 时 , f ? ? x ? ? 0, 1 2 1 2 ,2 ] , 使 a ? f ,2 ] 上 是 单 调 增 函 数 .

? x ? 在[

依题意,只需存在x?[ 故a ? ? f ?

? x ?.

? x ? ? m in = - 4.所 以 实 数 a的 取 值 范 围 为 (- 4 , + ? ). ?

? 2 ?由 方 程 lo g 2 ( a x
2

2

- 2 x+ 2 )= 2 在 [ 1 2

1 2

, 2 ]上 有 解 ,

即 方 程 a x - 2 x- 2= 0 在 [

, 2 ]上 有 解 ,

2x ? 2 1 则 a= ( ? x ? 2 ). 2 x 2 令f

? x ?=
1 2

2x ? 2 x
2

则 f ? ? x ?=

2 x ? 2(2 x ? 2) x
3

=-

4 ? 2x x
3

.

当x?[ 则?f ?

, 2 ]时 , f ? ? x ? ? 0 .所 以 f 1 2 )=1 2, f ? ? 3 2

? x ? 在[

1 2

, 2 ]上 是 减 函 数 , 3 2 .

? x ? ? m ax = f ( ?

? x ? ? m in = f ? 2 ? = ?
,1 2 ]

所 以 实 数 a的 取 值 范 围 为 [

本 题 是 研 究 方 程 根 的 存 在 性 , 问 题 ?1 ? 的 意 义 是 在 区 间[ 1 2 , 2 ]上 , 存 在 x 0 使 a x 0 ? 2 x 0 ? 2 ? 0 即 可 , 认 清
2

了这一点,对于a ? ? f ?

? x ? ? m in = - 4 就 容 易 理 解 了 ; ?

本问可以不用导数方法,用间接法也能求解,即在 ?? ? 0 区 间 [ , 2 ]上 , a x - 2 x+ 2 ? 0 恒 成 立 , 则 ? ,得a 2 ?a ? 0 1
2

?a ? ? ? ?;或 ? f ? ?f ?

? 0 1 ( ) ? 0 , 得 a ? - 4 , 于 是 a ? - 4 ;2 ? 问 是 ? 2 (2) ? 0

常规问题,可以用二次函数的零点的分布来做.

【变式练习3】

已知关于x的方程9-|x-2|-4·3-|x-2|-a=0
有实数根,求实数a的取值范围.

【 解 析 】 方 法 1 : 令 t= 3
2

- | x - 2|

(0 ? t ? 1), 则 问 题

转 化 为 方 程 t - 4 t- a= 0 在 ? 0,1 ? 上 有 解 . 设 f ? t ? = t - 4 t- a, 图 象 的 对 称 轴 方 程 为 t= 2 ,
2

知 函 数 f ? t ? 在 ? 0,1 ? 只 有 一 个 零 点 . ? f (0 ) ? 0 于是 ? ,即 ? f (1) ? 0 ??a ? 0 , 解 得 -3 ? a ? 0. ? ??3 ? a ? 0

所 以 实 数 a的 取 值 范 围 为 [- 3, 0 ). 方 法 2: 用 函 数 思 想 方 法 求 解 . 令 t= 3
- | x - 2|

(0 ? t ? 1). 则 由 t - 4 t- a= 0,
2 2

得 a= t - 4 t= ( t- 2 ) - 4. 因 为 t ? ? 0,1 ? , 故 根 据 单 调 性 易 得 a ? [- 3, 0 ).

2

1.已 知 函 数 f

?x? ?
2

x ? a x ? b的 两 个 零 点 是 2 和 3 ,
2

则 函 数 g ? x ? ? bx ? ax ? 1的 零 点 是

?

1

解析: 由题意可得,f

和 ? .   2 3

1

? x ? ? ? x ? 2? ? x ? 3? ?

x ? 5x ? 6,
2

所 以 a ? 5, b ? ?6, 由 g ? x ? ? ? 6 x ? 5 x ? 1 ? 0,
2

得x ? ?

1 2

或x ? ?

1 3

2.已知关于x的方程ax+2a+1=0在(- 1,1)上有一个实数根,则实数a的取值范 1 围是_____________ (-1 , - )  
3

3.函 数 f

?x? ?

ln ? x ? 1 ? ?

2 x

的零点所在的区

间 是 ( n, n ? 1), 则 正 整 数 n ?
解 析 : 设 x0是 函 数 f

1
2 x 的零

? x ? ? ln ? x ? 1 ? ?

点 , 而 f ? 1 ? ? 0, f ? 2 ? ? 0, 所 以 x 0 所 在 的 区 间 是 ? 1, 2 ? , 所 以 n ? 1.

4. 函 数 f(x) = lgx - sinx 的 零 点 个 数 为 _________ 3 【解析】在同一坐标系中作出函数y= sinx,y=lgx的图象如图,即可知道交点 个数是3,即原函数的零点个数是3.

5.设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c =0,f(0)>0,f(1)>0,求证:方程 f(x)=0在(0,1)内有两个实根.

【 证 明 】 因 为 f ? 0 ? ? 0, f ? 1 ? ? 0, 所 以 c ? 0, 3 a+ 2 b+ c ? 0 . 由 条 件 a+ b+ c= 0, 消 去 b, 得 a ? c ? 0 . 因 为 f ( ) ? a ? b ? c ? ? a ? 0, 2 4 4 1 1 所 以 方 程 f ? x ? = 0 在 区 间 (0, ) 与 ( , 1) 2 2 内分别有一实根. 故方程f 1 3 1

? x ? = 0 在 ? 0,1 ?内 有 两 个 实 根 .

1.函数的零点 函数的零点不是点,而是函数y=f(x)的图 象与x轴交点的横坐标,所以零点是一个实数, 一个使函数值为0的实数.函数的零点分变号零 点和不变号零点两种.变号零点可以用二分法 求解,不变号零点一般通过函数图象判断,如 函数y=|x-1|有一个零点x=1,它是不变号零 点.所以f(a)· f(b)<0是函数f(x)在区间[a,b]上存 在零点的必要非充分条件.

2.方程根的分布 求方程的根或根的近似值,就是求函 数的零点值或其近似值.将方程根的问题 转化为函数的零点问题,不仅直观展现了 方程根的几何意义,重要的是能够简化运 算程序,提高解决问题的效率. 3.函数与方程的综合应用 数形结合是这种转化的重要基础,把 数量关系和空间形式结合起来是函数综合 应用借以考查数学综合能力的重要题型.


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