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浙江省2014届理科数学复习试题选编30:椭圆(学生版)


浙江省 2014 届理科数学复习试题选编 30:椭圆

一、选择题

x2 y2 1 . (浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷) 已知椭圆 : 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 和圆 a b

O : x 2 ? y 2 ? b 2 , 过椭圆上一点 P 引圆 O 的两条切线 , 切点分别为

A, B . 若椭圆上存在点 P , 使得
PA ? PB ? 0 ,则椭圆离心率 e 的取值范围是
A. [ ,1) ( )

1 2

B. (0,

2 ] 2

C. [ ,

1 2

2 ] 2

D. [

2 ,1) 2
( )

2 . (浙江省宁波市十校 2013 届高三下学期能力测试联考数学(理)试题)在直角坐标平面中, ?ABC 的两个

顶点

??? ? ??? ? ??? ? ?? A. B 的坐标分别为 A(-1,0),B(1,0),平面内两点 G.M 同时满足下列条件 :(1) GA ? GB ? GC ? O
(2) | MA |?| MB |?| MC | (3) GM / / AB 则 ?ABC 的顶点 C 的轨迹方程为

????

????

???? ?

???? ?

??? ?





A.

x2 ? y2 ? 1 3
2

( y ? 0)

B.

x2 ? y2 ? 1 3
2

( y ? 0)

C. x ?

y2 ?1 3

( y ? 0)

D. x ?

y2 ?1 3

( y ? 0)

3 . (浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学(理)试卷 )从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃

镜中划出一块面积最大的矩形 , 其面积的取值范围是 3b ,4b

?

2

2

? ,则这一椭圆离心率 e
3 3 , ] 3 2

的取值范围是 ( )

A. [

5 3 , ] 3 2

B. [

3 2 , ] 3 2

C. [

5 2 , ] 3 2

D. [

4 . (温州市 2013 年高三第一次适应性测试理科数学试题) 椭圆 M:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴上的两个顶点 a2 b2
??? ? ??? ?

为 A 、 B ,点 P 为椭圆 M 上除 A 、 B 外的一个动点,若 QA?PA ? 0 且 QB ?PB ? 0 ,则动点 Q 在下列哪 种曲线上运动 A.圆 ( B.椭圆 C.双曲线 )

??? ? ??? ?

D.抛物线 5 . (浙江省杭州二中 2013 届高三 6 月适应性考试数学(理)试题)如图,等腰梯形 ABCD 中, AB // CD 且

AB ? 2 AD ,设 ?DAB ? ? , ? ? (0, ) ,以 A 、B 为焦点,且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ;以 C 、D 2
为焦点,且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 ,则
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?

D

C

A

B
B.当 ? 增大时, e1 减小, e1 ? e2 为定值 D.当 ? 增大时, e1 减小, e1 ? e2 减小





A.当 ? 增大时, e1 增大, e1 ? e2 为定值 C.当 ? 增大时, e1 增大, e1 ? e2 增大

6 . ( 浙 江 省 宁 波 市 金 兰 合 作 组 织 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 F1 F2 是 椭 圆

E:

x2 y 2 3a 上一点, ?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左.右焦点 , P 为直线 x ? 2 a b 2
( )

形,则 E 的离心率为

1 A. 2
x2 a2 ? y2 b2

2 B. 3

? C. ?

? D. ?

7 . (浙江省乐清市普通高中 2013 届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题) A(a,0), B(0, b) 是椭圆

? 1 ( a ? b ? 0) 的两个顶点, F1 (?c,0) 是它的左焦点,线段 AB 被椭圆截得的弦长等于线段 AB

的中点到 F1 的距离,则椭圆离心率为 A.
1 2

( C.
46 ? 2 7



B.

2 7

D.

46 ? 2 7

8 . (浙江省丽水市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试卷)离心率为 e1 的椭圆与离心率为 e 2 的双曲线有

相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列, 则

e12 ? 1 ? 2 e2 ?1
B. ? e2 C. ?





A. ? e1

1 e1

D. ?

1 e2

x2 y 2 ? ? 1 ,则当在此椭圆上 9 . (浙江省重点中学协作体 2013 届高三摸底测试数学(理)试题)已知椭圆 4 3
存在不同两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称时 m 的取值范围为 A. ? ( B. ? )

3 3 ?m? 13 13

2 3 2 3 ?m? 13 13

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C. ?

3 3 ?m? 13 13

D. ?

2 3 2 3 ?m? 13 13

10. (浙江省宁波市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的

内接三 角形,已知点 A 是椭圆的一个短轴端点,如果以 A 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅 有三个,则椭圆的离心率的取值范围是 ( ) A. (0,

2 ) 2

B. (

2 6 , ) 2 3

C. (

2 ,1) 2

D. (

6 ,1) 3

11. (浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学(理)试卷 )已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,过右焦点 F 9 5
( ( ) )

做不垂直于 x 轴的弦交椭圆于 A.B 两点,AB 的垂直平分线交 x 轴于 N,则

NF : AB ?
A.

1 2

B. 1
3

C. 2 3

D. 1
4

12. (浙江省建人高复 2013 届高三第五次月考数学(理)试题)设点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一 a2 b2

点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, I 为 ?PF1 F2 的内心,若 S ?IPF1 ? S ?IPF 2 ? 2S ?IF1F2 ,则该椭圆的离 心率是 A. ( B. )

1 2

2 2

C.

3 2

D.

1 4

二、填空题 13. (浙江省温州中学 2013 届高三第三次模拟考试数学 (理) 试题) 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 16 12

与椭圆相交于点 A 、 B , 则 ?FAB 的周长的最大值是________.
14. (浙江省宁波市十校 2013 届高三下学期能力测试联考数学(理)试题)已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,满

足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是______.
15. (浙江省宁波市金兰合作组织 2013 届高三上学期期中联考数学 (理) 试题) 椭圆

???? ? ?????

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F , 4 3

直线 x ? m 与椭圆相交于点 A . B ,当 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积是____________.
16. (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试二数学(理)试题)过椭圆

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F 且不垂直 9 5
NF AB ? ________;

于 x 轴的直线交椭圆于 A、B 两点,AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N ,则
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17. (浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2

右焦点为 F(3,0),且点 (?3,

3 2 ) 在椭圆 C 上,则椭圆 C 的标准方程为______. 2

18. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x

2 . 过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点 , 且△ABF2 的周长为 16, 那么 C 的方程为 2 ________________. 轴上 , 离心率为
19. (浙江省“六市六校”联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的内接平行 16 9

四边形 ABCD 的各边所在直线的斜率都存在,则直线

AB 与直线 BC 斜率乘积为__________.
三、解答题 20 . (浙江省稽阳联谊学校 2013 届高三 4 月联考数学 ( 理 ) 试题( word 版) ) 已知离心率为

2 的椭圆 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上有一点 P ,直线 l : y ? kx ? m,(k , m ? 0) 与此椭圆交于 A, B 两点(如图), a 2 b2 ??? ? ??? ? 若 OA ? BP . (I)证明:四边形 OAPB 的对角线不可能垂直; | AB | (II)若直线 l 与 OP 的倾斜角互补,记短轴端点到 l 的距离为 d ,求 的值. d

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x2 y 2 21. (浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学(理)试题)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离 a b
心率为

3 ,且经过点 A(0, ?1) . 2

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

3 (Ⅱ)如果过点 (0, ) 的直线与椭圆交于 M , N 两点( M , N 点与 A 点不重合), 5
求 AM ? AN 的值; 当 ?AMN 为等 腰直角三角形时,求直线 MN 的方程.
22. (浙江省宁波市 2013 届高三第二次模拟考试数学 (理) 试题) ( 本小题满分 15 分)[来源:Z、 xx、 k.Com][来

???? ? ????

源:学_科_网 Z_X_X_K] 如图,已知椭圆 E :

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0)的离心率是

2 ,P1、P2 是椭圆 E 的长轴的两个端点(P2 位 2

于 P1 右 侧 ), 点 F 是 椭 圆 E 的 右 焦 点 , 点 Q 是 x 轴 上 位 不 动 声 色 P2 右 侧 的 一 点 且 满 足

1 1 2 ? ? ? 2. | P1Q | | P2 Q | | FQ |
(1)求椭圆 E 的方程以及点 Q 的坐标; (2)过点 Q 的动直线 l 交椭圆 E 于 A、B 两点,连接 AF 并延长交椭圆于点 C,连结 AF 并延长交椭圆于点 D.[来源:学科网] ①求证:B、C 关于 x 轴对称; ②当四边形 ABCD 的面积取得最大值时,求直线 l 的方程;

4 2 2 23. (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试一数学(理)试题)已知圆 O: x ? y ? ,直线 l: y ? kx ? m 9

与椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 相交于 P、Q 两点,O 为原点. 2

(Ⅰ)若直线 l 过椭圆 C 的左焦点,且与圆 O 交于 A、B 两点,且 ?AOB ? 60 ? ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)如图,若 ?POQ 重心恰好在圆上,求 m 的取值范围.

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y P

Q

O

x

(第 21 题)

24. (浙江省温州市 2013 届高三第三次适应性测试数学(理)试题(word 版) )已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1的 a2 b2

离心率 e ?

1 , F (1,0) ,是椭圆 C 的右焦点,若不经过原点 O 的直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C 相 2
2

交于不同的两点 A 、 B ,记直线 OA, OB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,且 k1 ? k 2 ? k . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:直线 AB 的斜率为定值,并求 ?AOB 面积的最大值.

25. (浙江省诸暨中学 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点到 a 2 b2

左焦点为 F 的最大距离是 2 ? 3 ,已知点 M (1, e) 在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交椭圆于 P 、 Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 x 轴上的 射影为点 N ,直线 QN 交椭圆于另一点 H . 证明:对任意的 k ? 0 ,点 P 恒在以线段 QH 为直径的圆内.

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26. (浙江省丽水市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试卷)已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过

点 P (2,3),且它的离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

1 . 2

(Ⅱ)与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭圆于 M,N 两点 , 若椭圆上一点 C 满足
2 2

OM ? ON ? ? OC ,求实数 ? 的取值范围.

27. (浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a2 b2 2 右焦点 F2 与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,过 F2 作与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆交于 S , T 两点,与抛物 CD ?2 2. 线交于 C , D 两点,且 ST (1)求椭圆 E 的方程; (2)若过点 M ( 2,0) 的直线与椭圆 E 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆 E 上一点,且满足
OA ? OB ? t OP (0 为坐标原点),当 PA ? PB ?

2 5 时,求实数 t 的取值范围. 3

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28. (浙江省温州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)如图.直线 l:y=kx+1

与椭圆

C1:

x2 y2 ? ? 1 交于A,C 16 4

两点,

A. C 在 X 轴两侧,B ,D 是圆 C2: X 2 + Y 2 = 16 上的两点. 且 A 与 B.

C 与 D 的横坐标相同. 纵 坐标同号.

(I) 求证:点 B 纵坐标是点 A 纵坐标的 2 倍,并计算|AB|-|CD|的取值范围; (II) 试问直线 BD 是否经过一个定点?若是,求出定点的坐标:若不是,说明理由.

29 . ( 浙 江 省 湖 州 市 2013 年 高 三 第 二 次 教 学 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 (word 版 ) ) 已 知 椭 圆
2 2 x 2 ? y ? 1 a ? 1 0 的右焦点 F 在圆 D : x ? my ? 3? m ? 0 ? 交椭圆于 C: ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 上 , 直线 l : 2 3 a M, N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1 ,且直线 N1M 与 x 轴交于点 P ,试问 ?PMN 的面积是否存在最大 值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

?

?

30. (浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

右焦点分别为 F1 (?c,0),F2 (c,0) ,已知点 (1, e) 和 ( e,

3 ) 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2

(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P ,(I)若

AF1 ? BF2 ?

6 ,求直线 AF 1 ? PF2 是定值. 1 的斜率;(II)求证: PF 2
y

A P F1 O F2 B x

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31. (浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考数学(理)试题)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的 a 2 b2

动点到焦点距离的最小值为 2 ? 1 .以原点为圆心、 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点, P 为椭圆上一点, 且满足

OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点).当 | AB |?

2 5 时,求实数 t 的值. 3

32. (浙江省温州市十校联合体 2013 届高三上学期期末联考理科数学试卷) 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

称圆心在坐标原点 O ,半径为 a 2 ? b 2 的圆是椭圆 C 的“伴随圆”. 若椭圆 C 的一个焦点为 F2 ( 2, 0) , 其短轴上的一个端点到 F2 距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (Ⅱ)若过点 P(0, m)(m ? 0) 的直线与椭圆 C 只有一个公共点,且截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为
2 2 ,求 m 的值;

(Ⅲ)过椭圆 C 的“伴椭圆”上一动点 Q 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个公共点,当直线 l1 , l2 都有斜率时,试判断直线 l1 , l2 的斜率之积是否为定值,并说明理由.

33. (浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学 (理) 试卷 ) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) . a 2 b2

3 ,求椭圆的标准方程; 2 (2)在(1)的条件下,设过定点 M ?0,2 ? 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B ,且 ?AOB 为锐 角(其中 O 为坐标 原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围;
(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )相交于 P, S , R, Q 四 a 2 b2 点,设原点 O 到四 边形 PQSR 一边的距离为 d ,试求 d ? 1 时, a, b 满足的条件.
(3)如图,过原点 O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆

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y R P

O S Q

x

34. (浙江省杭州高中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题) (本小题满分 15 分) 已知点 D (0,?2) ,过点 D

作抛物线 C1 : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的切线 l ,切点 A 在第二象限,如图. (1)求切点 A 的纵坐标; (2)若离 心率为

x2 y2 3 的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 恰好经过切点 A ,设切线 l 交椭圆的另一点为 B , 2 a b

记切线 l , OA, OB 的斜率分别为 k , k1 , k 2 ,若 k1 ? 2k 2 ? 4k ,求椭圆方程.

(第 21 题图)

35. (浙江省宁波市十校 2013 届高三下学期能力测试联考数学 (理) 试题) 如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

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的离心率为

2 , x 轴被曲线 C2 : y ? x 2 ? b 截得的线段长等于 C1 的短轴长. C2 与 y 轴的交点为 M ,过 2

坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A、B ,直线 MA, MB 分别与 C1 相交于点 D、E . (1)求 C1 . C2 的方程; (2)求证: MA ? MB .

(3)记 ?MAB, ?MDE 的面积分别为 S1、S2 ,若

S1 ? ? ,求 ? 的取值范围. S2

y A E O B M D x

36. (浙江省一级重点中学 (六校) 2013 届高三第一次联考数学 (理) 试题) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的离心率为

1 ;直线 l 过点 A(4,0) , B(0, 2) ,且与椭圆 C 相切于点 P . 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)是否存在过点 A(4,0) 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M 、 N ,使得

36 AP ? 35 AM ? AN ? 若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

2

37 . (浙江省考试院 2013 届高三上学期测试数学(理)试题) 如图,F1,F2 是离心率为

2 的椭圆 2

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,直线:x=- 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1 : 3.设 A,B 是 2 a b 2 C 上的两个动点,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; ???? ? ???? ? (Ⅱ) 求 F2 P ? F2Q 的取值范围.
C:
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y P M A F1 O F2 x B

Q 1 x=- 2 (第 21 题图)

38. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试 (三) 数学 (理) 试题 ) 如图,已知椭圆 C :
'

x2 y2 ? ? 1, 4 3

直线 l 的方程为 x ? 4 ,过右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于异于左顶点 A 的 P, Q 两点,直线 AP 、 AQ 交 直线 l 分别于点 M 、 N . (Ⅰ)当 AP ? AQ ?

9 ' 时,求此时直线 l 的方程; 2

(Ⅱ)试问 M 、 N 两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

39. (浙江省绍兴市 2013 届高三教学质量调测数学(理)试题(word 版) )已知 A 是圆 x

2

? y

2

? 4 上的一

个动点,过点 A 作两条直线 l 1 , l 2 ,它们与椭圆 (Ⅰ)若 A ( ? 2 , 0 ) ,求直线 l 1 , l 2 的方程;

x 3

2

? y

2

? 1 都只有一个公共点,且分别交圆于点 M , N .

(Ⅱ)(i)求证:对于圆上的任一点 A ,都有 l 1 ? l 2 成立;(ii)求△ AMN

面积的取值范围.

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y A M O N

x

40.(浙江省嘉兴市第一中学 2013 届高三一模数学(理)试题)已知椭圆 C: x ? y 2 ? 1 的左、右焦点分

2

2

别为 F1,F2, O 为原点. (I)如图①,点 M 为椭圆 C 上的一点,N 是 MF1 的中点,且 NF2 丄 MF1,求点 M 到 y 轴的距离; (II) 如图②,直线 l: :y=k + m 与椭圆 C 上相交于 P,G 两点,若在椭圆 C 上存 在点 R,使 OPRQ 为平行四 边形,求 m 的取值范围.

x2 y 2 41. (2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心 a b
率为

1 3 ,右焦点到直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 0 的距离为 . 2 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
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(Ⅱ)若直线 l2 : y ? kx ? m(km ? 0) 与椭圆 C 交于 A、 B 两点,且线段 AB 中点恰好在直线上,求△OAB 的 面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点).
42. (浙江省黄岩中学 2013 年高三 5 月适应性考试数学(理)试卷 )已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右 a2 b2

焦点为 F(1,0),短轴的端点分别为 B1,B2,且 FB1 ? FB2 ? ?a . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 且斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D.设弦 MN 的中点为 P,试求

| DP | 的取值范围. | MN |

43. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(五)数学(理)试题) 若 P( x 0 , y 0 ) ( x 0 ? ? a ) 是椭圆

E:

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 上一点, M , N 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 PM , PN 的斜率的乘积等于

?

1 . 4

(Ⅰ)求椭圆 E 的离心率 e 的值; (Ⅱ)过椭圆 E 的右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆于 A, B 两点, O 为坐标原点, ①若△AOB 的面积为
2 6 ,求此椭圆 E 的方程; 5

②若 C 为椭圆上一点,满足 ? OA ? OC ? OB ,求实数 ? 的值.
y B M A
O N

F

x

( 第 21 题)

44 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) ) 如图 , 点 P(0,?1) 是椭圆

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C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相 a 2 b2

垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C 2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程;
y l1 D O P A (第 21 题图) l2 B x

(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

45. (浙江省海宁市 2013 届高三 2 月期初测试数学(理)试题)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l 过点 M (m, 0) . 4 3 (Ⅰ)若直线 l 交 y 轴于点 N ,当 m ? ?1 时, MN 中点恰在椭圆 C 上,求直线 l 的方程;
(Ⅱ)如图,若直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,当 m ? ?4 时,在 x 轴上是否存在点 P ,使得 ?PAB 为等边三 角形?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理由.
y
B A
l

M

O O

x

46. (浙江省名校新高考研究联盟 2013 届高三第一次联考数学(理)试题)已知中心在原点,焦点在坐标轴上

的椭圆 ? ,它的离心率为

? 的两条切线,切点分别是 A,B. (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程;

1 2 ,一个焦点和抛物线 y ? ?4 x 的焦点重合,过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 2

第 15 页,共 46 页

x2 y2 xx y y ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 上的点 ? x0 , y0 ? 处的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 求证:直 2 a b a b 线 AB 恒过定点 C ;并出求定点 C 的坐标. (Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过的定点)
(Ⅱ)若在椭圆 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
47 .( 浙 江 省 六 校 联 盟 2013 届 高 三 回 头 联 考 理 科 数 学 试 题 ) 已 知 点 P ? ?1,

? ?

3? ? 是椭圆 2?

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 F1、F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,O 是坐标原点,PF1⊥x 轴. a 2 b2
??? ? ??? ? ??? ?

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程: (Ⅱ)设 A、B 是椭圆 E 上两个动点, PA ? PB ? ? PO(0 ? ? ? 4, ? ? 2) .求证:直线 AB 的斜率为定值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当△PAB 面积取得最大值时,求 ? 的值.

48. (浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校 2013 届高三回头考联考数学(理)试题 )已知点 P ? ?1,

? ?

3? ? 是椭圆 2?

E:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点,F1、F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,O 是坐标原 点,PF1⊥x 轴. a2 b2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 A、B 是椭圆 E 上两个动点, PA ? PB ? ? PO ( 0 ? ? ? 4, ? ? 2 ).求证:直线 AB 的斜率为定值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当△PAB 面积取得最大值时,求 λ 的值.

49. ( 【解析】浙江省镇海中学 2013 届高三 5 月模拟数学(理)试题)已知斜率为 k ( k ? 0) 的直线 l 交椭圆

C:

x2 ? y 2 ? 1 于 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 两点. 4

(1)记直线 OM , ON 的斜率分别为 k1 , k2 ,当 3(k1 ? k2 ) ? 8k 时,证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 过点 D (1, 0) ,设 ?OMD 与 ?OND 的面积比为 t ,当 k 2 ?

5 时,求 t 的取值范围. 12

第 16 页,共 46 页

浙江省 2014 届理科数学复习试题选编 30:椭圆参考答案 一、选择题 1.

→ → D 解析:∵ PA·PB=0?PA⊥PB.又 PA,PB 为圆 O 切线,∴ OA⊥PA,OB⊥PB. ∴ 四边形 OAPB 为正方形.∴ OP= 2b≤a,即 a2≥2b2=2(a2-c2)?a2≤2c2,∴ 2 ≤e<1. 2

C 3. A
2. 4.

B 5. B

C 7. D 8. A
6.

B 10. D 11. B
9. 12. A 二、填空题 13.

16

14. (0, 15. 3 16.

2 ) 2

1 解:特值法:当 AB 为长轴时,AB=6, NF=2 3

17.

x2 y2 ? ?1 18 9
x2 y2

x2 y2 18. + =1 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 16 8 a b
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2 2 因为离心率为 ,所以 = 2 2

b2 b2 1 1- 2,解得 2= ,即 a2=2b2. a a 2 x2 y2

又△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a,,所以 4a=16,a=4,所以 b=2 2,所以椭圆方程为 + =1. 16 8
19.

-

9 16

三、解答题 20.

(I)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 当e ?

2 2 2 2 时, a ? 2b ,所以椭圆方程为 x ? 2 y ? 2b ,联立直线 l : y ? kx ? m 2
2 2 2 2

可得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2b ? 0

4km ? x1 ? x2 ? ? ? 2m ? 1 ? 2k 2 由韦达定理可得 ? ,所以 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 2 1 ? 2k 2 ? x x ? 2m ? 2b ? 1 2 1 ? 2k 2 ? ??? ? ??? ? ??? ? 4km 2m ? OP ? OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,? P(? , ), 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
? kOP ? yP y1 ? y2 1 1 ? ? ? ,故 kOP ?k ? ? ? ?1 xP x1 ? x2 2k 2

所以四边形 OABP 的对角线不可能垂直 (II) l 与直线 OP 的倾斜角互补,则有 kOP ? ?k ,即 ?
2 2

1 1 ? ?k ,故 k 2 ? 2k 2
2

因为 P(?2km, m) 在椭圆上,代入有: (?2km) ? m ? 2b ,故 b ? 2m
2

2

短轴端点 B(0, ?b) 到 l 的距离 d ?

| ?b ? m | k 2 ?1

?

| ? 2m ? m | 3 2

| AB |? k 2 ? 1 | x1 ? x2 |? 3 | m |

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即c ?
21.

| AB | 6 3 ? 3 6 3 ,? ? . d 2 4

22.

第 19 页,共 46 页

23.

第 20 页,共 46 页

24.

第 21 页,共 46 页

25.

第 22 页,共 46 页

26.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

9 ?4 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? a 2 ? ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?
所以椭圆的标准方程为:

?a ? 4 ? 解得 ?b ? 2 3 ?c ? 2 ?

x2 y2 ? ?1 16 12
2

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
2

(Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切 所以,

t?k 1? k 2

t 2 ?1 ? 1 ? 2k ? (t ? 0) t

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把 y ? kx ? t 代入

x2 y2 ? ? 1 并整理得: 16 12

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 48) ? 0
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,则有

x1 ? x2 ? ?

8kt 3 ? 4k 2 6t 3 ? 4k 2

y1 ? y 2 ? kx1 ? t ? kx2 ? t ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ?
因为, ? OC ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) 所以, C ? ?

?

? 8k t , 2 ? (3 ? 4k ) ?

? 6t ? 2 (3 ? 4k ) ? ? ?

又因为点 C 在椭圆上, 所以,

4k 2 t 2 3t 2 ? ?1 (3 ? 4k 2 ) 2 ?2 (3 ? 4k 2 ) 2 ?2
t2 1 ? 2 1 1 3 ? 4k ( 2 )2 ? ( 2 ) ? 1 t t
所以 (

? ?2 ?

因为 t 2 ? 0 所以 所以

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1 2 t t

0 ? ?2 ? 1

? 的取值范围为 (?1, 0) ? (0 , 1)

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

27. (1)设椭圆的半长轴.半短轴.半焦距为 a, b, c ,则 c

? 1 ,且 CD ? 4, ST ?

2b 2 , a

?

CD ST

?

2 2 2a ? 2 2 ,又 a ? b ? 1 , 2 b

? a ? 2, b ? 1 ,

?

x2 ? y2 ?1 2

x2 ? y 2 ? 1 ,消 y 得: (2)由题,直线 l 斜率存在,设直线 l : y ? k ( x ? 2) ,联立 2

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(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,由 ? ? 0 ,得 k 2 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由韦达定理得 x1 ? x 2 ?

1 2



8k 2 , x x ? 8k ? 2 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 4k ?

? 4k , 1 ? 2k 2

则 PA ? PB ? BA ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2

8 ? 16k 2 2 5 ? 2 1 ? 2k 3

?k 2 ?

1 13 2 或k ? ? (舍)② 4 14 1 1 ? k2 ? 4 2

由 ①②得:

则 AB 的中点 D(

4k 2 ? 2k , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
8k 2 ? 4k , ) 代入椭圆方程得: 2 (1 ? 2k )t (1 ? 2k 2 )t

? OA ? OB ? 2OD ? t OP ,得 P (

4 2 2 32k 4 16k 2 ? ? 1 ,即 t 2 ? 32k ? 16k ? 16k ? 16 2 2 2 2 2 2 (1 ? 2k ) t (1 ? 2k ) t 1 (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2 ?2 2

k

1 1 8 ? ? k 2 ? ,? ? t 2 ? 4 ,即 t ? ( 2 6 ,2) ? (?2,? 2 6 ) 4 2 3 3 3
28. (I)证明:设 A( x1 , y1 ), B ( x1 , y2 ) ,根据题意:

? x12 ? 4 y12 ? 16 2 ? y2 ? 4 y12 ? 2 2 ? x1 ? y2 ? 16

∵ y1 , y2 同号,∴ y2 ? 2 y1

设 C ( x3 , y3 ), D ( x3 , y4 ) ,同理可得 y4 ? 2 y3 ∴ | AB |?| y1 |,| CD |?| y3 | ,

? x 2 ? 4 y 2 ? 16 ? (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 12 ? 0 由? ? y ? kx ? 1
∵ A, C 在 x 轴的两侧 ∴ y1 y3 ? 0

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∴ (kx1 ? 1)(kx3 ? 1) ? k x1 x3 ? k ( x1 ? x3 ) ? 1 ?
2

1 ? 16k 2 ?0 4k 2 ? 1

∴k2 ?

1 16

【这里 k 的取值范围直接从图中观察得到,照样给分】 ∴ | AB | ? | CD | ? | y1 | ? | y3 | ? y1 ? y3 ? k ( x1 ? x3 ) ? 2 ? (II)解:∵直线 BD 的斜率 k ? ?

8 ? (0, ) 4k ? 1 5
2

2

2 y3 ? 2 y1 ? 2k x3 ? x1

∴直线 BD 的方程为 y ? 2k ( x ? x1 ) ? 2 y1 ? 2kx ? 2(kx1 ? y1 ) ∵ y1 ? kx1 ? 1 ∴直线 BD 的方程为 y ? 2kx ? 2

∴直线 BD 过定点 (0, 2)

0 ? ,半径是 1 , 29.解:(Ⅰ)由题设知,圆 D : ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 的圆心坐标是 ? 2 ,
2

0 ? , ?1, 0? 故圆 D 与 x 轴交与两点 ? 3 ,
所以,在椭圆中 c ? 3 或 c ? 1 ,又 b2 ? 3 , 所以, a 2 ? 12 或 a 2 ? 4 (舍去,因为 a ? 10 )
2 y2 于是,椭圆 C 的方程为 x ? ?1 12 3

y1 ? 、 N ? x2 , ? y2 ? (Ⅱ)因为 M ? x1 ,

? x2 y 2 ? ? ?1 联立方程 ? 12 3 ? ? ? x ? my ? 3

?m

2

? 4 y 2 ? 6my ? 3 ? 0 ,

?

m ,y y ?? 3 所以 y1 ? y2 ? ? 6 1 2 2 m ?4 m2 ? 4
因为直线 N1M 的方程为 则x?

y ? y1 x ? x1 ,令 y ? 0 , ? ? y2 ? y1 x2 ? x1

y1 ? x2 ? x1 ? y x ? y2 x1 2my1 y2 ? 3 ? y1 ? y2 ? ? x1 ? 1 2 ? y2 ? y1 y1 ? y2 y2 ? y1

?6m ? 18m 2 2 0? ? m ? 4 m ? 4 ? ?24m ? 4 ,所以点 P ? 4 , ?6m ?6m m2 ? 4
解法一: S?PMN ? 1 FP ? y1 ? y2 ? 1 2 2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2

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?1? 2

?m

36m2
2

?4

? ?
2

?

12 ?2 3 m2 ? 4

?

?m

m2 ? 1
2

?4

?

2

? 2 3?

?

1 ? 2 3 ? 1 ? 1. 9 12 m ?1 ? 2 ?6 m ?1
2

?

当且仅当 m2 ? 1 ? 3 即 m ? ? 2 时等号成立. 故 ?PMN 的面积存在最大值 1 (或: S?PMN ? 2 3 令t ?

?

m2 ? 1 ? 2 3 ? 1 2 2 2 m ?4 m ?4

?

?

?

2

?

1 . m2 ? 4

1 ? 0, 1? , 4? ? m ?4
2

?

则 S?PMN ? 2 3 ? ?3t 2 ? t ? 2 3 ? ?3 t ? 1 6

1 ?1 . ? ? ? 12
2

1 ? 时等号成立,此时 m2 ? 2 . 当且仅当 t ? 1 ? 0 , 6 4? ?
故 ?PMN 的面积存在最大值为 1 解法二: MN ?

?

? x1 ? x2 ?
?

2

? ? y1 ? y2 ? ?
2

?m

2

2 ? 1 ?? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? ? ?

?

?

?

? 2 m 2 ? 1 ? 36m ? 2 m ?4 ? ?

?

?

?

2

? 12 ? ? 4 3 ? m 2 ? 1 . m2 ? 4 ? m2 ? 4 ? ?
4?3 m ?1
2

点 P 到直线 l 的距离是

?

1 m2 ? 1

2 1 所以, S?PMN ? 4 3 ? ? m2 ? 1 ? 2 3 2 m2 ? 1 m ? 4

?m

m2 ? 1
2

?4

?

2

1 ? ? 1 ? 2 3 ? ?3 ? ? 2 ? m2 ? 4 ?m ?4?
令t ?

2

1 ? 0, 1? , 4? ? m2 ? 4
1 ?1 . ? ? ? 12
2

?

则 S?PMN ? 2 3 ? ?3t 2 ? t ? 2 3 ? ?3 t ? 1 6

1 ? 时等号成立,此时 m2 ? 2 . 当且仅当 t ? 1 ? 0 , 6 4? ?
故 ?PMN 的面积存在最大值为 1
30.解 (1) 由题设知 a ? b ? c , e ?
2 2 2

?

c . a
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由点(1,e)在椭圆上,得

1 c2 ? ?1 a 2 a 2b 2

解得 b 2 ? 1 ,于是 c 2 ? a 2 ? 1,

e2 3 a2 ?1 3 3 又点 在椭圆上,所以 2 ? ? 1 ,即 4 ? ? 1 ,解得 a 2 ? 2 ( e, ) 2 2 4 a 4b a
因此,所求椭圆的方程是

x2 ? y2 ? 1 2

(2) 由(1)知 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,又直线 AF1 与 BF2 平行,所以可设直线 AF1 的方程为 x ? 1 ? my , 直线 BF2 的方程为 x ? 1 ? my .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), y1 ? 0, y 2 ? 0

? x1 2 2 m ? 2m 2 ? 2 ? y1 ? 1 ? 2 由? 2 得 (m 2 ? 2) y1 ? 2my1 ? 1 ? 0 ,解得 y1 ? m2 ? 2 ? x ? 1 ? my 1 ? 1
故 AF1 ?

( x1 ? 1) 2 ? y1 ? (my1 ) 2 ? y1 ? 2 (m 2 ? 1) ? m m 2 ? 1 ?② m2 ? 2

2

2

2 (m 2 ? 1) ? m m 2 ? 1 ?① m2 ? 2

同理, BF2 ?

(ⅰ)由①②得 AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 6 ? 解得 m 2 ? 2 , 2 2 m ?2
1 2 ? m 2

因为 m ? 0 ,故 m ?

2 ,所以直线 AF1 的斜率为

(ⅱ)因为直线 AF1 与 BF2 平行,所以

PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB BF2 ? ? ,于是 PF1 AF1 PF1 AF1

故 PF1 ?

AF1 BF1 .由点 B 在椭圆上知 BF1 ? BF2 ? 2 2 AF1 ? BF2 AF1 BF2 (2 2 ? BF2 ) .同理 PF2 ? (2 2 ? AF1 ) AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 2 AF1 ? BF2 AF1 BF2 (2 2 ? BF2 ) ? (2 2 ? AF1 ) ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

从而 PF1 ? 因此

PF1 ? PF2 ?

第 28 页,共 46 页

又由①②知 AF1 ? BF2 ?

2 2 (m 2 ? 1) m2 ? 1 , AF ? BF ? 1 2 m2 ? 2 m2 ? 2
2 3 2 .因此 PF1 ? PF2 是定值 ? 2 2

所以 PF1 ? PF2 ? 2 2 ?
31.解:(Ⅰ)由题意知 a ? c ?

2 ? 1;

又因为 b ?

2 ? 1 ,所以 a 2 ? 2 , b 2 ? 1 1?1

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?
x1 ? x2 ?

1 2

8k 2 8k 2 ? 2 2 5 , .又由 | AB |? ,得, x ? x ? 1 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3
2 5 3

1 ? k 2 | x1 ? x2 |?
可得. k 2 ? 又 由

1 4

OA ? OB ? t OP

,



( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y )

,



x1 ? x2 8k 2 y ? y2 1 ?4k x? ? ,y? 1 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? 2 t t (1 ? 2k ) t t t (1 ? 2k 2 )


(8k 2 ) 2 (?4k ) 2 ? 2 ? 2 ,即 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 2 2 2 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )
2 6 8 ,即 t ? ? 3 3

得, t 2 ?

32. (1)椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 ; 3
2 2

椭圆 C 的“伴椭圆”方程为: x ? y ? 4
第 29 页,共 46 页

(2)设直线方程为: y ? kx ? m 因为截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 2 , 所以圆心到直线的距离为 2

d?

|m| 1? k
2

? 2 , m 2 ? 2(1 ? k 2 )

? x2 ? 3 y2 ? 3 2 2 2 又? 得 (1 ? 3k ) x ? 6mkx ? 3m ? 3 ? 0 ? y ? kx ? m
? ? 1 ? 3k 2 ? m2 ? 0

? m2 ? 4 , m ? ?2
(3)设 Q ( x0 , y0 ) ,直线 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 由(2)可知 1 ? 3k 2 ? m2 ? 1 ? 3k 2 ? ( y0 ? kx0 )2 ? 0
2 2 即 (3 ? x0 )k 2 ? 2 y0 x0k ? 1 ? y0 ?0

? k1k2 ?

2 1 ? y0 2 3 ? x0

2 2 又? x0 ? y0 ?4

? k1k2 ? ?1 为定值
33.解: (1)

x2 ? y2 ? 1 4 (2)显然直线 x=0 不满足题设条件,可设直线 l: y ? kx ? 2, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 由? 4 得 (1 ? 4k ) x ? 16 kx ? 12 ? 0 . ? ? y ? kx ? 2
? ? ? (16 k ) 2 ? 4 ? 12(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,? k ? (??,? 3 ) ? ( 3 ,??) (1)
又 x1 ? x2 ?

由 0? ? ?AOB ? 90 ? OA ? OB ? 0. ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0. 所以

? 16 k 12 , x1 x2 ? 2 1 ? 4k ??? 1 ? 4k 2 ??? ? ??? ? ? ??? ? ?

2

2

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? (kx1 ? 2)( kx2 ? 2) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ?2 ? k ? 2
(2)由(1) (2)得 k ? (?2,?

3 3 ) ? ( ,2) 。 2 2
第 30 页,共 46 页

(3)由椭圆的对称性可知 PQSR 是菱形,原点 O 到各边的距离相等。

x y 1 1 ? ? 1 ,由 d=1 得 2 ? 2 ? 1 ,?? a b a b 1 1 当 P 不在 y 轴上时,设直线 PS 的斜率为 k, P( x1 , kx1 ) ,则直线 RQ 的斜率为 ? , Q( x2 , ? x2 ) k k ? y ? kx 1 1 k2 ? 由 ? x2 y 2 ,得 2 ? 2 ? 2 (1),同理 12 ? 12 ? 21 2 x1 a b x2 a k b ? 2 ? 2 ?1 b ?a 1 1 (2)在 Rt△OPQ 中,由 d ? | PQ |? | OP | ? | OQ | ,即 | PQ |2 ?| OP |2 ? | OQ |2 2 2 x x2 2 k2 1 2 2 2 2 所 以 ( x1 ? x2 )2 ? (kx1 ? 2 ) ? , 化 简 得 ? 2 ?1? k2 [ x1 ? (kx ) ] ? [ x ? ( ) ] 1 2 2 x2 x1 k k
当 P 在 y 轴上,Q 在 x 轴上时,直线 PQ 的方程为



1 1 1 1 1 k2 ? ) ? ? 2 ? 1 ? k 2 ,即 2 ? 2 ? 1 。 2 2 2 2 a k b a b a b 1 1 综上,d=1 时 a,b 满足条件 2 ? 2 ? 1 a b
k2(

x 34.解:(1)设切点 A( x 0 , y 0 ) ,且 y 0 ? 0 ,ks**5u 2p x x x 由切线 l 的斜率为 k ? 0 ,得 l 的方程为 y ? 0 x ? 0 ,又点 D (0,?2) 在 l 上, p 2p p ? x0 ? 2 ,即点 A 的纵坐标 y 0 ? 2 . 2p 2 p

2 2

2

(2)由(Ⅰ) 得 A(?2 p ,2) ,切线斜率 k ? ?

设 B ( x1 , y1 ) ,切线方程为 y ? kx ? 2 ,由 e ? 且过 A(?2 p ,2) ,? b ? p ? 4
2

x2 y2 3 ,得 a 2 ? 4b 2 ,所以椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 2 4b b

由?

? y ? kx ? 2 ? x ? 4 y ? 4b
2 2 2

? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 16 ? 4b 2 ? 0 ,

16k ? x0 ? x1 ? ? ? 1 ? 4k 2 ?? , 2 ? x x ? 16 ? 4b ? 0 1 1 ? 4k 2 ?

k1 ? 2 k 2 ?

y 0 2 y1 x1 y 0 ? 2 x0 y1 x1 (kx0 ? 2) ? 2 x0 (kx1 ? 2) 2 x ? 4 x0 ? ? ? ? 3k ? 1 x0 x1 x0 x1 x0 x1 x0 x1

第 31 页,共 46 页

32k ?4 p 2 32k ? 4 p (1 ? 4k 2 ) 2( x1 ? x0 ) ? 2 x0 ? 3k ? ? 3k ? 1 ? 4k ? 3 k ? ? 4k x0 x1 16 ? 4b 2 16 ? 4b 2 1 ? 4k 2
将k ? ?

2 p

, b ? p ? 4 代入得: p ? 32 ,所以 b ? 36, a ? 144 ,
2 2 2

椭圆方程为
35.

x2 y2 ? ? 1. 144 36

36.解: (Ⅰ)由题得过两点 A(4,0) , B(0, 2) 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0

因为

c 1 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c . a 2
第 32 页,共 46 页

设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1, 4c 2 3c 2

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 2 2 由 ? x2 消去 x 得, 4 y ? 12 y ? 12 ? 3c ? 0 . y2 ? 2 ? 2 ? 1, ? 4c 3c
又因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 ? ? 12 ? 4 ? 4(12 ? 3c ) ? 0 ,解得 c ? 1 .
2 2

2

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)易知直线 m 的斜率存在,设直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,

? y ? k ( x ? 4), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 消去 y ,整理得 (3 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0 ? 1, ? ? 3 ? 4
由题意知 ? ? (32k ) ? 4(3 ? 4k )(64k ? 12) ? 0 ,
2 2 2 2

解得 ?

1 1 ?k? 2 2
32k 2 64k 2 ? 12 x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

x2 y 2 ? ? 1 相切, 又直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与椭圆 C : 4 3
? x ? 2 y ? 4 ? 0, 3 3 ? 由 ? x2 y2 解得 x ? 1, y ? ,所以 P(1, ) 2 2 ? ? 1, ? 3 ? 4
则 AP ?
2

45 36 45 81 . 所以 AM ? AN ? ? ? . 4 35 4 7
(4 ? x1 ) 2 ? y12 ? (4 ? x2 ) 2 ? y2 2

又 AM ? AN ?

? (4 ? x1 ) 2 ? k 2 (4 ? x1 ) 2 ? (4 ? x2 ) 2 ? k 2 (4 ? x2 ) 2

? (k 2 ? 1)(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ? (k 2 ? 1)( x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16)

? (k 2 ? 1)(

64k 2 ? 12 32k 2 ? 4 ? ? 16) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? (k 2 ? 1)

36 . 3 ? 4k 2
第 33 页,共 46 页

所以 (k 2 ? 1)

2 36 81 .经检验成立. ? ,解得 k ? ? 2 4 3 ? 4k 7 2 ( x ? 4) 4

所以直线 m 的方程为 y ? ?

37. 本题主要考查椭圆的几何性质 ,直线与椭圆的位置关系等基础知识 ,同时考查解析几何的基本思想方法

综合解题能力.满分 15 分.

1 2 =1, (Ⅰ) 设 F2(c,0),则 1 3 c? 2 c?
所以 c=1. 因为离心率 e=
2 2

,所以 a= 2 .

所以椭圆 C 的方程为
y B A F1 M O F2

x2 ? y2 ? 1 2

x

x=- 1 2 (第 21 题图)

(Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=-

1 ,此时 P( ? 2 ,0)、Q( 2 ,0) 2

???? ? ???? ? F2 P ? F2Q ? ?1.
当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(-

1 ,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). 2

? x12 ? y12 ? 1, ? ? 2 由 ? 2 得 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? ? 2
(x1+x2)+2(y1+y2) ?

y1 ? y2 =0, x1 ? x2

则-1+4mk=0,故 k=

1 . 4m

此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?4m ,PQ 的直线方程为
1 y ? m ? ?4m( x ? ) . 2
第 34 页,共 46 页



y ? ?4mx ? m .

? y ? ?4mx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y,整理得 2 ? ? y ?1 ?2

(32m2 ? 1) x 2 ? 16m2 x ? 2m2 ? 2 ? 0 .

16m2 2m 2 ? 2 所以 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 32m2 ? 1 32m2 ? 1
于是 F2 P ? F2 Q ? (x1-1)(x2-1)+y1y2
? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? (4mx1 ? m)(4mx2 ? m)
? (1 ? 16m 2 ) x1 x2 ? (4m 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 1 ? m 2

(1 ? 16m2 )(2m2 ? 2) (4m2 ? 1)(?16m2 ) ? ? ? 1 ? m2 2 2 32m ? 1 32m ? 1 ? 19m 2 ? 1 . 32m 2 ? 1
19 51 . ? 32 32t

令 t=1+32m2,1<t<29,则 F2 P ? F2Q ? 又 1<t<29,所以 ?1 ? F2 P ? F2Q ?

125 . 232 125 综上, F2 P ? F2Q 的取值范围为[ ?1 , ) 232
38.解:(Ⅰ)①当直线 PQ 的斜率不存在时,由 F (1,0) 可知 PQ 方程为 x

???? ? ???? ?

?1

代入椭圆 C :

x2 y2 3 3 ? ? 1 得 P(1, ), Q(1,? ) 又 A(?2,0) 4 3 2 2

3 3 27 不满足 ? AP ? (3, ), AQ ? (3,? ), AP ? AQ ? 2 2 4
②当直线 PQ 的斜率存在时,设 PQ 方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0)

x2 y2 ? ? 1 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 代入椭圆 C : 4 3
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 得 x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 9k 2 3 ? 4k 2

y1 y 2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? k 2 (? x1 ? x 2 ? x1 x 2 ? 1) ?

第 35 页,共 46 页

AP ? AQ ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 ? y1 y 2 27 k 2 9 ? ? 2 2 3 ? 4k
-? k ? ?

6 2

故直线 l 的方程; y ? ?
'

6 ?x ? 1? 2

39.解:(Ⅰ)设 y ? k ( x ? 2 ) ,代入

x 3

2

? y

2

2 2 2 2 ? 1 消去 y ,得 (1 ? 3k ) x ? 12k x ?12k ? 3 ? 0

由 ? ? 0 得, k

2

? 1 ? 0 ,
2

设 l 1 , l 2 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,得 k 1 ? ? 1 , k

? 1 .

所以直线 l 1 , l 2 的方程分别为 y ? ? x ? 2 , y ? x ? 2 (Ⅱ)(i)证明:①当 l 1 , l 2 中有一条斜率不存在时,不妨设 l 1 无斜率, 因为 l 1 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为 x ? ? 圆交于点 (

3 .当 l 1 方程为 x ?

3 时,此时 l 1 与

3 , ? 1 ) ,所以 l 2 方程为 y ? 1 (或 y ? ? 1 ),显然直线 l 1 , l 2 垂直;
第 36 页,共 46 页

同理可证 l 1 方程为 x ? ?

3 时,直线 l 1 , l 2 垂直
2 0

②当 l 1 , l 2 斜率都存在时,设点 A ( x 0 , y 0 ) ,且 x

? y

2 0

? 4 .

设经过点 A ( x 0 , y 0 ) 与椭圆只有一个公共点的直线为 y ? k ( x ? x 0 ) ? y 0 ,

代入

x 3

2

? y

2

? 1 消去 y ,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ?3( y0 ? kx0 ) 2 ? 3 ? 0 .

由 ? ? 0 化简整理得 (3 ? x0 ) k ? 2 x0 y0 k ?1 ? y0 ? 0 ,
2 2 2

因为 x

2 0

? y

2 0

2 2 )k 2 ? 2 x0 y0 k ? x0 ?3 ? 0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0

设 l 1 , l 2 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,因为 l 1 , l 2 与椭圆只有一个公共点, 所以 k 1 , k 2 满足上述方程 (3 ? x0 ) k ? 2 x0 y0 k ? x0 ? 3 ? 0 ,所以 k 1 k
2 2 2

2

? ? 1 ,即 l 1 , l 2

垂直. 综上, l 1 ? l 2 成立 (ii)方法 1:记原点到直线 l 1 , l 2 的距离分别为 d 1 , d
2

,
2 0

则△ AMN 面积

S ? 2 d 1d

2

? 2

| y0 ? k1x0 | | y0 ? k 2x0 | | y ? ? 2 2 2 1 ? k1 1 ? k2 9 9 ? 2 x
2 0

2 0

? x

? (k1 ? k 2)x0 y0 |
2 2 2

2 ? k1 ? k

?

( 12

? 2 x 9 ? 2 x

2 0 2 0

)

2

?

9 ? 2 x

2 0

?
2

? 6
3 ,4 ] .
3 ,4 ]
2

因为 9 ? 2 x 所以△ AMN

0

? [ 1 , 9 ] ,所以 S ? [ 2
面积的取值范围为 [ 2

方法:2:记原点到直线 l 1 , l 2 的距离分别为 d 1 , d 满足 S 且d
2 1 2

,因为 d

2 1

? d

2 2

? 4 ,所以△ AMN 面积 S

? 4d1 d

2

2 2

? 4d
2

2 1

(4 ? d

2 1

) ? ? 4 ( d 1 ? 2 ) 2 ? 16 , 3 ,4 ] .

2

? [ 1 , 3 ] ,所以 S

? [ 12 , 16 ] ,即 S ? [ 2
3 ,4 ]

所以△ AMN

面积的取值范围为 [ 2

40.解(Ⅰ) F1 ( ?1, 0) ,

设 M ( x 0 , y 0 ) ,则 MF1 的中点为

N(

x0 ? 1 y0 , ) 2 2 ,
第 37 页,共 46 页

∵ MF1 ? NF2 ,∴ MF1 ? NF2 ? 0 ,即 ∴ x0 ? 2 x0 ? 3 ? y0 ? 0
x0 2 ? y0 ? 1 又有 2 ,
2
2 2

( x0 ? 1, y0 ) ? (

x0 ? 3 y0 , )?0 2 2 ,

(1)

(2)

由(1)、(2)解得 x 0 ? 2 ? 2 2 ( x 0 ? 2 ? 2 2 舍去) 所以点 M 到 y 轴的距离为 2 2 ? 2 (Ⅱ)设 P ( x 1 , y 1 ) , Q( x 2 , y 2 ) , ∵OPRQ 为平行四边形,∴ x1 ? x2 ? x R , y 1 ? y 2 ? y R
( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 1 2 ∵R 点在椭圆上,∴ , ( x1 ? x 2 ) 2 ? [ k ( x 1 ? x 2 ) ? 2m ] 2 ? 1 2 即 ,
2 2 2 化简得, (1 ? 2k )( x1 ? x2 ) ? 8km ( x1 ? x2 ) ? 8m ? 2 .(1)



? x2 ? ? y2 ? 1 ? 2 ? y ? kx ? m ?

2 2 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 .

2 2 由 ? ? 0 ,得 2k ? 1 ? m (2),



x1 ? x 2 ? ?

4km 1 ? 2k 2
16(1 ? 2k 2 )k 2 m 2 ? 32k 2 m 2 1 ? 2k 2 ? 8m 2 ? 2

代入(1)式,得

(1 ? 2k 2 ) 2

,

2 2 化简得 4m ? 1 ? 2k ,代入(2)式,得 m ? 0

又 4m ? 1 ? 2k ? 1 , ∴
41.解:

2

2

m??

1 1 m? 2或 2

c 1 ? , c ? 1, a 2 x2 y2 所以 a ? 2 ,所求椭圆方程为 ? ? 1. 4 3
(I)由题意得 e ? (II)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,把直线 l 2 : y ? kx ? m 代入椭圆方程
第 38 页,共 46 页

x2 y2 ? ? 1 得到 4 3

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 ,
2 2 因此 x1 ? x2 ?

4m 2 ? 12 ? 8km , , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? 4km 3m , 2 ), 2 4k ? 3 4k ? 3 ? 4km 3m 又 M 在直线 l1 上,得 3 ? ? 4? 2 ?0, 2 4k ? 3 4k ? 3 m? ? 0. ? k ? 1,
所以 AB 中点 M ( 故 x1 ? x 2 ?

4m 2 ? 12 ? 8m , x1 x 2 ? , 7 7
2

所以 | AB |? 1 ? k | x1 ? x 2 |? 原点 O 到 AB 的距离为 d ?

4 6 7 ? m2 , 7
,

|m| 2

得到 S ?

2 3 2 3 m 2 ? (7 ? m 2 ) m 2 (7 ? m 2 ) ? ? ? 3, 7 7 2
2

当且仅当 m ?

7 取到等号,检验 ? ? 0 成立. 2

42. (Ⅰ)由右焦点为 F(1,0),得 c ? 1 ,由 FB1 ? FB2
2
2

? ? a ,得 1 ? b 2 ? ? a ,又 b 2 ? a 2 ? 1 ,

x2 y2 可得 1 ? (a ? 1) ? ? a ,解得 a ? 2, b ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1; 4 3
(Ⅱ)将 l : y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y2 ? ? 1 ,得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 , 4 3 x1 ? x2 4k 2 3k , ? , y0 ? k ( x0 ? 1) ? ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P ( x0 , y0 ), 则 x0 ?

3k 1 4k 2 MN 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y ? ? ? (x ? ) , 令 y?0 , 可 得 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2 D(

3 k4 ? k2 12(k 2 ? 1) k2 1 | PD | 1 k2 | PD | ? , | MN | ? , 0 ) , , 所以 ? ? (0, ) 2 2 2 2 3 ? 4k 4 | MN | 4 k ? 1 4k ? 3 4k ? 3 3 k4 ? k2 12(k 2 ? 1) 1 | PD | 1 k2 , | MN | ? , 所以 ? ? (0, ) 2 2 2 4 | MN | 4 k ? 1 4k ? 3 4k ? 3
2 2

| PD |?

y0 y0 x y 1 43. (Ⅰ)由 02 ? 02 ? 1 , ? ?? , x0 ? a x0 ? a 4 a b
第 39 页,共 46 页

得: a 2 ? 4b 2 , c 2 ? 3b 2 ,所以 e ? (Ⅱ)①设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 由方程组 ?

c 3 ? a 2

? x 2 ? 4 y 2 ? 4b 2 ?x ? y ? c

得: 5 y 2 ? 2cy ? b 2 ? 0 ,

b2 4 2 则 y1 ? y2 ? ? c , y1 y 2 ? ? , y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 2b, 5 5 5 1 1 4 2 △AOB 的面积 S ? c ? y1 ? y2 ? ? 3b ? 2b ? 6 ,得 b ? 1 , 2 2 5 5

则所求椭圆的方程是:

x2 ? y2 ?1 4

x2 ? y 2 ? 1; 44.解:(Ⅰ)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是 4
1 ?0 (Ⅱ) 因 为 直 线 l1 ? l2 , 且 都 过 点 P(0, ?1) , 所 以 设 直 线 l1 : y ? k x? 1 ? k x? y? ,直线

l2 : y ? ?
d? 1

1 x ?1 ? x ? k y ? k ? 0, 所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 k
,所以直线 l1 被圆 x ? y ? 4 所截的弦 AB ? 2 4 ? d
2 2
2

1? k2

?

2 3 ? 4k 2 1? k2

;

第 40 页,共 46 页

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ? | DP | ? (1 ? ) ? ,所以 k2 ? 4 k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

S ?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2

?

32 4k ? 3 4k ? 3
2

2

2

?

13 4k ? 3
13 4k 2 ? 3
2

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

当 4k ? 3 ?

? k2 ?

5 10 10 ?k?? x ?1 时等号成立,此时直线 l1 : y ? ? 2 2 2

1 n 45. (Ⅰ)设点 N (0, n) ,则 MN 的中点为 (? , ) 2 2

1 n (? )2 ( ) 2 3 2 ∴ ? 2 ?1 ∴ n ? ? 5 4 3 2

∴直线 l 的方程为: y ? ?

3 5( x ? 1) . 2

(Ⅱ)假设在 x 轴上存在点 P , 使得 ?PAB 为等边三角形 . 设直线 l 为 x ? ty ? 4, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则

? x ? ty ? 4 ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12

∴ (3t 2 ? 4) y 2 ? 24ty ? 36 ? 0

∴ y1 ? y2 ?

24t 36 , y1 y2 ? 2 , ? ? 144(t 2 ? 4) ? 0 2 3t ? 4 3t ? 4 ?16 12t , 2 ) 2 3t ? 4 3t ? 4 12t 16 ? ?t ( x ? 2 ) 3t 2 ? 4 3t ? 4

∴ AB 中点为 (

∴ AB 的中垂线为: y ?

12t 2 ? 12 | 2 12 t 2 ? 1 4 3 t ? 4 ∴点 P 为 (? 2 ∴ 到直线 的距离 d ? ? P l , 0) 3t 2 ? 4 3t ? 4 t2 ?1 |

∵ | AB |?

12 t 2 ? 4 1? t2 3t 2 ? 4



12 t 2 ? 1 3 12 t 2 ? 4 ? ? 1? t2 3t 2 ? 4 2 3t 2 ? 4
第 41 页,共 46 页

∴t ? ?

4 3 3

1 ∴存在点 P 为 (? , 0) . 5

46.解:(I)设椭圆方程为

x2 y2 c 1 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? .抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点是 ?? 1,0 ? ,故 c ? 1 ,又 ? ,所 2 a b a 2

以 a ? 2, b ?

a2 ? c2 ? 3 ,
x2 y2 ? ?1 4 3

所以所求的椭圆 ? 方程为

(II) 设 切 点 坐 标 为 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 直 线 l 上 一 点 M 的 坐 标 ?4, t ? . 则 切 线 方 程 分 别 为

x1 x y1 y x x y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 .又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 的坐标都适 4 3 4 3 3 3 t t 合方程 x ? y ? 1 ,而两点之间确定唯一的一条直线,故直线 AB 的方程是 x ? y ? 1 ,显然对任意实数 3 3
t,点(1,0)都适合这个方程,故直线 AB 恒过定点 C ?1,0 ? (III)将直线 AB 的方程 x ? ?
2

t y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3
2

? t2 ? 2 ? t ? ? 4? 3? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? ? y ? 2ty ? 9 ? 0 ? 3 ? ?3 ?
所以 y1 ? y2 ?

6t ? 27 , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2

不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0

AC ?

?x1 ? 1?2 ? y12

? t2 ? 2 t2 ? 9 t2 ? 9 ? BC ? ? y2 ? ? ? 1 y ? y , 同理 1 ?9 ? 1 3 3 ? ?

?1 1 ? 1 1 3 3 y ?y 3 ? ? ?? ? ? ? ? 2 1 ?? ? 所以 ? ? AC BC t 2 ? 9 ? y1 y2 ? t 2 ? 9 y1 y2 t2 ? 9
108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ? 27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 t 2 ? 12
4 AC ? BC . 3 4 故存在实数 ? ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 3
即 AC ? BC ?
47.
2

? y2 ? y1 ?2
y1 y2

第 42 页,共 46 页

48.

第 43 页,共 46 页

(Ⅲ)设直线 AB 的方程为 y=
2 2

1 x+t, 2
2 2

与 3x ? 4 y ? 12 联立消去 y 并整理得 x +tx+t -3=0,

△=3(4-t ),

2

AB|= 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ?

1 15 ? 3(4 ? t 2 ) ? ? 4 ?t2 , 4 2
,

点 P 到直线 AB 的距离为 d=

2|t ?2| 5

△PAB 的面积为 S= 设 f(t)=S = ?
2

3 1 ? 4 ? t2 | t ? 2 |, |AB|×d= 2 2

3 4 3 (t -4t +16t-16) (-2<t<2), 4 81 , 4

f’(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2,由 f’(t)=0 及-2< t<2 得 t=-1.
当 t∈(-2,-1)时,f’(t)>0,当 t∈(-1,2)时,f’(t)<0,f(t)=-1 时取得最大值 所以 S 的最大值为

9 .此时 x1+x2=-t=1= ? -2, ? =3 2

49.解: (1)解法 1:依题意可设直线 l 的方程为 y = kx + n ,其中 k

? 0.

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=

2kx1 x2 + n( x1 + x2 ) 8k =x1 x2 4n 2 - 4
1 , 2

24k = 8k ,而 k ? 0 ,则有 n = 4n 2 - 4 1 1 从而直线 l 过定点 (0, ) 或 (0, ? ) 2 2
由条件有 解法 2:依题意可设直线 l 的方程为 x = my + n ,

代入椭圆方程得: (m + 4) y + 2mny + n - 4 = 0 ,

2

2

2

ì 2mn ? ? y1 + y2 = - 2 ? ? m +4 则有 ? í 2 ? n - 4 ? y1 y2 = 2 ? ? m +4 ? ?
则 k1 + k2 =

y1 y2 y x + y2 x1 y1 (my2 + n) + y2 (my1 + n) + = 1 2 = x1 x2 x1 x2 (my1 + n)(my2 + n)

=

2my1 y2 + n( y1 + y2 ) 2m = 2 2 m y1 y2 + mn( y1 + y2 ) + n m - n2
2
2

6m 8 1 = ,得 n = m 2 m - n m 2 1 1 1 则直线 l 的方程为 x = my m ,从而直线 l 过定点 (0, ) 或 (0, ? ) 2 2 2
由条件有 (2)依题意可设直线 l 的方程为 y = k ( x - 1) ,其中 k ? 0 . 代入椭圆方程得: (1 + 4k ) x - 8k x + 4k - 4 = 0 ,
2 2 2 2

ì ? 8k 2 ? x1 + x2 = ? ? 1 + 4k 2 ? 则有 í ? 4k 2 - 4 ? x x = ? 1 2 ? 1 + 4k 2 ? ?
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从而有 y1 + y2 = k ( x1 + x2 - 2) = -

2k ① 1 + 4k 2

3k 2 ② y1 y2 = k ( x1 - 1)( x2 - 1) = k [x1 x2 - ( x1 + x2 ) + 1]= 1 + 4k 2
2 2

由①②得

( y1 + y2 ) 2 4 , =y1 y2 3(1 + 4k 2 )

由0 ? k2 ?

4 4 1 5 ,得 <<2 12 3 3(1 + 4k ) 2

又t ?

y ( y + y2 ) 2 y y 1 S ?OMD y = 1 + 2 + 2= - t- + 2, ? 1 ,因 y1 y2 < 0 ,故 t = - 1 ,又 1 y1 y2 y2 y1 t S ?OND y2 y2

从而有 -

?3t 2 ? 10t ? 3 ? 0 4 1 1 , < - t - + 2 < - ,得 ? 2 3 t 2 ? 2t ? 5t ? 2 ? 0
1 1 ?t ? 3 2

解得 2 ? t ? 3 或

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