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16. 2013年全国高中数学联赛贵州预赛


预赛试题集锦(2014)
2013 年全国高中数学联赛贵州省预赛
一.填空题(每小题 8 分,共 80 分) 1.

高中竞赛

已知集合 A ? ?x log2012 x <log2013 x? , B ? x x2 ? ax ? a < x ,且 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 _______.
<

br />?

?

2. 3.

???? ??? ? 已知 ⊙O 是 △ ABC 的外接圆, AC ? 8 ,AB ? 6 ,则 AO ? BC ? _______.
△ ABC 内 接 于 单 位 圆 , 三 个 内 角 A 、B、 C 的 平 分 线 延 长 后 分 别 交 此 圆 于 A1 、B1 、 C1, 则

AA 1 ?cos

A B C ? BB ? CC 1 ? cos 1 ? cos 2 2 2 ? _______. s i nA ? s i n B ? s iC n

4. 5. 6. 7.

一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 ? 0 ,S15 ? 25 ,则 nS n 的最小值为_______.
? ,n 中与 n 互质的数的个数, 定义函数 ? (n) 表示 1,2 , 称此函数为欧拉函数, 则 ? (2013) ? _______.

1 1 已知 △ ABC 是边长为 2013 的正三角形, 点 D 、E 分别在边 BC 、CA 上, 且 BD ? BC , CE ? CA , 3 3
AD ? BE ? P , M 是线段 DC 的中点,则 PM ? _______.
( x ? 2013) 2 ? sin 2013 x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m ? _______. x 2 ? 2013 f(1) x ? bx ? ( c0 a , ) b? ? R x, ( f )x 恒 0成 立 , 则 已 知 f ( x)? a 2 的最小值是 ≥ < 2< f ( 0 )? f ? ( 1)

8. 9.

设函数 f ( x) ?

_______.
2 ?? 1? x ? ? ? ? ? 1 ,x > 0 , 则方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 ( a 为实常数) 10. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 , g ( x) ? ?? 2? ? 2 ??( x ? 3) ? 1 ,x ≤ 0 ,

的实根最多有_______个. 二.解答题(共 70 分) 11. (15 分)已知数列 ?an ? 中: a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? an ? 2an ?1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证: a1 ? a2 ? ? ? an < 2 .

a2 , ?, an 是 n 个正数, (2 ? a1 )(2 ? a2 )?(2 ? an ) ≥3n . 12. (15 分) 已知 a1 , 满足 a1 ? a2 ??? an ? 1 . 求证:
13. (20 分)如图,已知抛物线 C : y 2 = 4 x ,过点 A(1 ,2) 作抛物线 C 的弦 AP ,AQ .

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1

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预赛试题集锦(2014)

(1)若 AP ? AQ ,证明:直线 PQ 过定点,并求出定点坐标; (2)假设直线 PQ 过点 T (5 ,? 2) ,请问是否存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ ?若存在,求出
△ APQ 的个数,若不存在请说明理由.

y P A O Q x

k2 , ?, kn 和 n ,使得 k1 + k2 + ??? + kn ? 5n ? 4 ,且 14. (20 分)求正整数 k1 ,

1 1 1 ? ??? ? 1. k1 k2 kn

2

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解答
1、a 0 提示:集合 A={x|0 x 1},且满足 A B,则知 B={x|a ? x ? 1},故 a≤0. 2、14 提示:

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???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? AO ? BC=AO ? (AC-AB)
???? ???? ???? ??? ? = AO ? AC ? AO ? AB

???? ???? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? = |AC | ?|AO | cos( AO, AC)? | AB | ? | AO | cos( AO ? AB)
???? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? = | AC | ? | AC | ? | AB | ? | AB | 2 2

???? ??? ? = ﹙ (| AC |2 ? | AB |2 ) )
=14

1 A A 3、 2 提示: AA1 ? cos ? 2sin( B ? )cos( ) ? sin( A ? B) ? sin B ? sin C ? sin B 2 2 2 A B c ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos ? 2(sin A ? sin B ? sinC) 故原式=2 2 2 2

AA1 ? cos

4、8:27 提示:设球半径为 R,其内接圆锥的底半径为 r,高为 h,作横截面,则 =h(2R-h) .
1 π = πr 2 h ? h2 (2R ? h) 3 3

π π 4R 3 = h2 (4R ? 2h) ? ( ) 6 6 3
=

8 4 π ? R3 27 3

所以,所求比为 8:27﹒

h r

5、-49 提示: 由
1 10 =?0,?得 S15 =25 得 =-3?,d= ?所以 Sn ? n2 n ,则 3 3

1 10 n Sn ? n3 ? n2 3 3
令 f(n)=0 得 n=0 或 n=

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3

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所以 f(n)在[1,6]上递增,[7,

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)上递减﹒而 f(6)=-48,f(7)=-49,故最小值为-49

6、1200 提示:2013=3 11 =1200

由欧拉函数性质知 ﹙2013﹚=2013 ﹙1- ﹚

﹙1- ﹚

7、671 提示:易证 ABD≌ ACE,所以 APE= BAD+ ABP= CBD+ ABP=60 , 又 ECD=60 ,所以 P 、D、 C、 E 四点共圆,所以 DPC= DEC 连接 DE,由 ECD=60 及 CE= CD,得 DE ? CE 所以 CP ? DP,即 DPC 是直角三角形 因为 M 是斜边 DC 的中点, ,所以

1 PM== CD= BC= ? 2013 ? 671 3
8、提示: f(x)= =
x 2 ? 2 2013x + 2013 + sin 2013 x x 2 ? 2013

1 + 2 2013x + sin 2013x x 2 ? 2013
2 2013 x + sin 2013 x .所以 g(x)为奇函数,由奇函数的性质知 g ( x) max ? g ( x) min ? 0, 所以 x 2 ? 2013

g(x)= M+m=2

9、3 提示:由对任意 x R,f(x) 0 恒成立,得 = -4ac 0.又 a 0,所以 c ?
f (1) a?b?c a?b?c ? ? f (0) ? f (?1) c ? (a ? b ? c) b?a

b2 ﹒所以 4a

?

a?b?

b2 b b2 1? ? 2 4a ? a 4a b b?a ?1 a
) .

1 2 3 9 s ? s? b f (1) 4 2 4 ? s ? 9 ? 3 ? 3 (t ? 令 t= , 则 a f (0) ? f (?1) s 4 4s 2 f (1) ? 再令 s=t-1,则 f (0) ? f (?1) 1 1? t ? t2 4 (t ? 2) t ?1

4

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? 2? s 9 3 3 3 ? ? ? 2? ? ? 3 4 4s 2 4 2

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得此时 = 且 s

,即 s=3

10、6 提示:方程 g[f﹙x﹚]-a=0 的实根个数转化为函数 y= g[f﹙x﹚]与函数 y=a 的交点个数问题 (1)当 (0,1)时,函数 y=a 与 y=g(x)有两个交点 =-4 和 =-2,而此时方程 f(x)=-2 和 f

(x)=-4 的实根分别有 3 个和 1 个,共 4 个;
(2)当 a=1 时,函数 y=a 与 y=g(x)有两个交点 =-3 和 = ,而此时 f(x)=-3 和 f(x)= 的实根 分别有 2 个和 3 个,共 5 个; (3)当 a ﹙1, ﹚时,函数 y=a 与 y=g(x)有两个交点

﹙0, ﹚和

﹙ ,1﹚,而此时方程 f

(x)= 和 f(x)= 的实根分别有 3 个和 3 个,共六个;
(4)当 a [ ,+ ﹚时,函数 y=a 与 y=g(x)有一个交点 根有一个 综上,方程 g[ f(x)]-a=0(a 为正常数)的实根最多有 6 个. 11(1)由 an?1 ? an ? an ? 2an ?1 ﹒得 ﹙(
1 2 ? ? 1 所以 an ?1 an

(1,+ ) ,而此时方程 f(x)= 的实

1 1 1 ? 1) ? 2( ? 1) ? 2( ? 1) an ?1 an an

所以数列{

}是一个以 2 为首项,2 为公比的等比数列﹒

1 ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n an

,即 an ?

1 2 ?1
n

(2)当 n 1 时,

-1

成立,所以

1 1 1 ? n?1 ? ( )n?1 2 ?1 2 2
n

所以
a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? 1 ? 1 ?1? ?1? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 ?2? ?2?
2 n ?1

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?1? 1? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? 1 ? ?2? ? ? ? 1? 2
2

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12、因为 2 ? ai ? 1 ? 1 ? ai ? 33 ai ? 33 ai ,(i ? 1,2, ???, n)所以? 2 ? a1 ?? 2 ? a2 ? ??? ? 2 ? an ? =﹙1+1+ )(1+1+ ) . . .﹙1+1+ ﹚

33 a1 ? 33 a2 ????? 33 an ?

? 3n 3 a1a2 ??? a3

= 13 (1) 设 PQ 的直线方程为 x=my+n,点 P、Q 的坐标分别为 P ? x1 , y1 ?、Q ? x2 , y2 ? .
? x ? my ? n 由? 2 得 y 2 ? 4my ? 4n ? 0 ? y ? 4x



0得

+n 0, y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4n

????? ? ????? ? 由 AP ? AQ 得 | AP | ? | AQ | ? 0 ,所以

? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? ? y1 ? 2?? y2 ? 2? ? 0
又 x1 ? (
y12 y2 , x2 ? 2 ,则 4 4

-2) (

-2)[(

+2) (

+2)+16]=0 +2) ( y2 +2)+16=0

所以(

-2) (

-2)=0 或(

所以 n=-2m+1 或 2m+5.因为 ? ? 0 ,所以 n=2m+5,即直线 PQ 的方程为 x-5=m(y+2) ,所以 直线 PQ 过定点 T(5,-2) . 所以 n=2m+5,直线 PQ 的方程为 x=my+2n+5.

6

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设点 P、Q 的坐标分别为 P(
? x ? my+n 由? 2 ? y ? 4x

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) 、Q(




所以 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?8m ? 20
? x ? x2 , 因为 PQ 的中点为 ? 1 ? 2

y 2 - 4my - 8m - 20 = 0

y1 ? y2 ? ? y12 ? y2 2 即? , 2 ? 8 ? ?

y1 ? y2 ? ? ,又 2 ?

? y1 ? y2 ?

2

? 2 y1 y2

8

? 2m 2 ? 2m ? 5

所以 PQ 的中点为(2 由已知得
2

+2m+5,2m)

2m ? 2 ? ?m,即m3 ? m2 ? 3m ? 1 ? 0 2m ? 2m ? 5 ? 1

设 g(m)= m3 ? m2 ? 3m ? 1, 则g '(m) ? 3m3 ? 2m ? 3 ? 0 所以 g(m)在(0,1)内有一个零点,即函数 g(m)在 R 上只有一个零点 所以方程 m3 ? m2 ? 3m ? 1 ? 0 在 R 上只有一个零点

故满足条件的等腰三角形有且只有一个﹒ 14、由 0(i=1,2, . . . ,n) ,则

?1 1 1? 2 ? ? ? ??? ? ? ? k1 ? k2 ? ??? ? kn ? ? n ① k k k 2 n ? ? 1

所以,5n+4 ? n 2 ,解得 1 n 4. 由式①等号成立条件知,当 n=1 或 n=4.时,所有的 (i=1,2,﹒﹒, )均相等﹒

(1) 当 n=1 时, =1,即 k=1 (2) 当 n=4 时, k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 16 ,且

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1 1 1 1 ? ? ? ?1 k1 k2 k3 k4

解得k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 4
(3) 当 n=2 时,
k k 1 1 1 1 ? ? 6, 且 ? ? 1,此二式相乘得 2 ? 1 ? 4 k1 k2 k1 k2 k1 k2

则 为无理数,矛盾,无解 (4) 当 n=3 时, k1 ? k2 ? k3 ? 11且 不妨设=11,则 1=
1 1 1 ? ? ?1 k1 k2 k3

1 1 1 3 ? ? ? 解得k1 ? 3 k1 k2 k3 k1



时,则 + = , k1 ? k2 ? k3k2 ? k3 ? 9 ,得 k2 ? 3,k3 ? 6
=3 时, 则由 k1 ? k2 ? k3 ,=11,



k2 ? 3, k3 ? 3, 与k1 ? k2 ? k3 ? 11,
矛盾 综上,当 n=1 时,k=1;

当 n=4 时,
k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 4
当 n ? 3时, ? k1 , k2 , k3 ? ? ? 2,3,6? 及其循环解

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