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高中数学《2.2.2-1对数函数及其性质》课件新人教A版必修

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? 2.2.2 对数函数及其性质

? 第1课时 ? 对数函数的概念、图象与性质

目标要求

热点提示

1.初步理解对数函数 的概念. 2.初步掌握对数函 数的图象和性质.

1.判断一个函数是否是 对数函数. 2.以对数函数为载体, 考查对数函数性质.

/> ? 2009年春节晚会上,某报记者用仪器测量 到掌声最响亮的一次音量达到了90.1分 贝.分贝是计量声音强度相对大小的单 位.物理学家用声压级(sp1)来描述声音的 大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为 参考声压,把所要测量的声压P与参考声 压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数 值称为声压级,单位是分贝(dB).分贝值 在60以下为无害压,60~110为过渡压, 110以上为有害压.那么分贝y与声压p之间 能建立怎样的函数关系呢?

? 1.对数函数的概念 x ? 函数 y=logax(a>0且a≠1) 叫做对数函数,其 中 是自变量.

? 2.对数函数的图象与性质
定义 y=logax(a>0,且a≠1)

底数

a>1

0<a<1

图象

? 1.下列函数是对数函数的是 ( ) ? A.y=2log3x ? B.y=loga(2x)(a>0,且a≠1) ? C.y=logax2(a>0,且a≠1) ? D.y=lnt ? 答案:D

2.函数 y= log2x-2的定义域是 A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞)

(

)

? 3.(2010·天津高考)设a=log54,b= (log53)2,c=log45,则 ( ) ? A.a<c<b B.b<c<a ? C.a<b<c D.b<a<c ? 解析:∵0<log53<log54=a<1,∴b= (log53)2<a,又c=log45>log44=1, ∴b<a<c. ? 答案:D

25 4. 已知函数 f(x)=log5x, 则 f(3)+f( )=________. 3

1+x 1 5.已知 f(x)=lg ,x∈(-1,1),若 f(a)= ,求 f(-a). 2 1-x

类型一 对数函数的概念 【例 1】 求下列函数的定义域: (1)y=log(x+1)(16-4x); 2x+3 (2)y=log(3x-1)( ). x-1

? 思路分析:求定义域即求使解析式有意义 的x的取值范围.

?16-4x>0, ?x<2, ? ? 解:(1)由?x+1>0, 得?x>-1, ?x+1≠1, ?x≠0. ? ? 故所求函数的定义域为{x|-1<x<2 且 x≠0}. (2)要使函数 y 有意义,必须满足 ? ?x>-3, 2 ? 2 x + 3>0 , ? ? ?x>1, ?x-1>0, ? ? 解得? 1 ?x>3, ?3x-1>0, ? ? ?3x-1≠1. ? 2 x≠ . ? ? 3 ∴函数 y 的定义域为(1,+∞).

类型二 对数函数的图象 【例 2】 曲线是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 4 3 1 值取 3, , , ,则相应于 C1,C2,C3,C4 的 a 值依 3 5 10 次为 ( ) 4 3 1 A. 3, , , 3 5 10 4 1 3 B. 3, , , 3 10 5 4 3 1 C. , 3, , 3 5 10 4 1 3 D. , 3, , 3 10 5

解法一:因为对数的底数越大,函数图象越远离 y 轴的正方向,所以 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次由大 4 3 1 到小,即 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为 3, , , , 3 5 10 故选 A.

? 解法二:过(0,1)作平行于x轴的直线,与C1, C2,C3,C4的交点的横坐标为(a1,1),(a2,1), (a3,1),(a4,1),其中a1,a2,a3,a4分别为各 对数的底,显然a1>a2>a3>a4,所以C1,C2, C3,C4的底值依次由大到小,故选A. ? 答案:A

? 温馨提示:直线x=1把第一象限分成两个区 域,每个区域中对数函数的底数从左向右 逐渐增大.如上图,曲线C1,C2,C3,C4 分别相当于 ? 则有a1>a2>a3>a4>0.可总结出下表:

增减情况 底的关系

同增 a>b>1

同减 1>a>b>0

图象

性质

①若x>1,则 logbx>logax>0; ②若0<x<1,则 0>logax>logbx.

①若x>1,则 0>logbx>logax; ②若0<x<1,则 logax>logbx>0.

? 【例3】 已知a>0且a≠1,函数y=ax与y= loga(-x)的图象可能是 ( )

? ? ? ?

思路分析:由题目可获取以下主要信息: ①两函数的底数都是a; ②对数函数的真数为-x. 解答本题可先由函数定义域判断函数图象 的位置,再对底数a进行讨论,最后确定选 项.

? 解析:由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0) 知,图象应在y轴左侧,可排除A、D选 项. ? 当a>1时,y=ax应为增函数,y=loga(-x) 应为减函数,可知B项正确. ? 而对C项,由图象知y=ax递减?0<a<1?y =loga(-x)应为增函数,与C图不符. ? 答案:B

? 温馨提示:利用函数代数性质寻找图象的 几何特征,体现了依数论形的思想方法.

类型三 对数函数性质的简单应用 ? 2? ? 2 【例 4】 (1)若?loga3? ? <1,求 a 的取值范围; ? ? (2)解不等式:2loga(x-4)>loga(x-2).

? 思路分析:(1)解这类问题,实际上可将不 等号两边化为同底的对数式,然后根据单 调性来解;(2)注意利用函数图象,可帮助 思考与判断,并注意底数不等于1.

? 2? ? 2 解:(1)∵?loga3? ? <1, ? ?

2 1 2 ∴-1<loga <1,即 loga <loga <logaa. 3 a 3 ①当 a>1 时,y=logax 为增函数, 1 2 3 3 ∴ < <a,∴a> ,结合 a>1,故 a> ; a 3 2 2 ②当 0<a<1 时,y=logax 为减函数, 1 2 2 2 ∴ > >a,∴a< ,结合 0<a<1,∴0<a< , a 3 3 3 ? ? ? ? 2 3 ? ? ? ∴a 的取值范围是 a?0<a<3或a>2 ?. ? ? ? ? ?

2 ? ?loga(x-4) >loga(x-2), (2)原不等式等价于? ? ?x-4>0.

①当 a>1

2 ? ?(x-4) >x-2, 时,又等价于? ? ?x-4>0, 2 ? ?(x-4) <x-2, 时,又等价于? ? ?x-4>0,

解之得 x>6. ②当 0<a<1

解之得 4<x<6. ∴不等式的解集当 a>1 时为(6,+∞);当 0<a<1 时 为(4,6).

? 温馨提示:解对数不等式要注意定义域的 扩大,解题有两个途径,一是不同解变形, 最后一定要验根;二是解的过程中加上限 制条件,使定义域保持不变,即进行同解 变形,最后通过解不等式组得原不等式的 解,这样解出后就不必验根了.

求下列函数的定义域: (1)f(x)=log(2x-1)(5-x); 2x+3 (2)f(x)= +log2(3x+1). x -2

? ?2x-1>0且2x-1≠1, 解:(1)? ? ?5-x>0,

1 解得 <x<5 且 x≠1. 2
? ? ? 1 ? ? ∴函数定义域为:?x|2<x<5且x≠1? . ? ? ?

?2x+3≥0, ? (2)?3x+1>0, ?x-2≠0, ?

1 解得 x>- 且 x≠2. 3

? ? 1 ? ? ? ∴函数定义域为:?x|x>-3且x≠2? . ? ? ?

?

如右图是对数函数①y=logax,②y= logbx,③y=logcx,④y=logdx的图象,则 a,b,c,d与1的大小关系是 ( )

? ? ? ? ?

A.a>b>1>c>d B.b>a>1>d>c C.1>a>b>c>d D.a>b>1>d>c 解析:图中画出直线y=1,分别与①②③ ④交于A(a,1),B(b,1),C(c,1),D(d,1),由 图象可知c<d<1<a<b. ? 答案:B

?

函数y=ax与y=-logax(a>0且a≠1)在同 一坐标系中的图象形状可能是 ( )

? 解析:∵y=ax与y=-logax的单调性相反, 可排除C、D选项,又y=-logax中x>0,可 排除B.

若 a∈R,且 loga(2a+1)<loga(3a)<0,则 a 的取值 范围是 ( ) 1 1 A.(0, ) B.(0, ) 3 2 1 1 C.( ,1) D.( ,1) 2 3

? ?a>1, ?2a+1>0, 解析:原不等式等价于? ?2a+1<3a, ? ?0<3a<1, ?0<a<1, ? 或?2a+1>3a, ?3a>1, ? 1 解得:a∈? 或 <a<1.故选 D. 3

? 1.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的性质 的助记口诀: ? 对数增减有思路,函数图象看底数, ? 底数只能大于0,等于1来也不行, ? 底数若是大于1,图象从下往上增, ? 底数0到1之间,图象从上往下减. ? 无论函数增和减,图象都过(1,0)点.

? 2.对数式logax的符号(x>0,a>0,且a≠1): ? 当x<1,a<1或x>1,a>1时,logax>0,即当 真数x和底数a同大于(或小于)1时,对数 logax>0,也就是为正数,简称为“同正”; ? 当x<1,a>1或x>1,a<1时,logax<0,即当 真数x和底数a中一个大于1,而另一个小于 1时,也就是说真数x和底数a的取值范围 “相异”时,对数logax<0,即为负数,简 称为“异负”. ? 因此对数的符号简称为“同正异负”.

? 3.直线y=1与对数函数y=logax(a>0,a≠1) 的图象交点的横坐标就是底数a的大 小.在第一象限内,对数函数y=logax(a>0, a≠1)的图象,底数小的靠左边,也可以说 底数越小越靠近y轴.


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