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南大2006级概率论与数理统计试题A答案实际使用的

时间:2012-12-29


2006 级概率论与数理统计试题 A 答案实际使用的
一、填空题
1.设A,B为随机事件,已知P A ? 0.3,P ? B ? ? 0.4,P ? A ? B ? ? 0.5, 则P B | A ? B ? _____

?

?

? ?

1 1. 解: 4 P( B( A ? B)) P( AB ? BB) P( AB) P( A ? AB) P( A) ? P( AB) ? ? ? ? P( A ? B) P( A ? B) P( A ? B) P( A ? B) P( A) ? P( B) ? P( AB) P( A) ? P( A ? B) 0.2 1 ? ? ? 。 P( A) ? P( B) ? P( A ? B) 0.8 4 P( B A ? B) ?
2.一道单项选择题同时列出5个答案,一个考生可能真正理解而选对答案, 1 1 也可能乱猜一个。假设他知道正确答案的概率为 ,乱猜选对答案的概率为 。 3 5 如果已知他选对了,则它确实知道正确答案的概率为____

5 2. 解: 7 设事件A表示考生选对了,事件B表示考生知道正确答案。由全概率公式,得 1 2 1 7 P A) P B)(A B) P B)(A B) ? 1 ? ? ? ( ?( P ?( P ? 3 3 5 15 再由贝叶斯公式,得 P B A) ( ? P B)(A B) 1 15 5 ( P ? ? ? 。 P( A) 3 7 7

3. 设随机变量X 在区间(0, 2)上服从均匀分布,则随机变量Y ? X 2在区间 (0, 4)内的概率密度f(y) ___________ . ? Y
答案:

1 4 y

??2 ? 4.设随机变量?的期望E ?? ? 为一非负值, 且E ? ? 1? ? 2, ? 2 ? ?? ? 1 D ? ? 1? ? , 则E ?? ? ? ____ . ?2 ? 2
答案:2

5. 设随机变量X,Y 相互独立,且均服从参数为?的指数分布,P( X ? 1) ? e?2 , 则? ? _______, P{min( X , Y ) ? 1} ? __________ .
答案:2; 1 ? e
?4

6.设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从参数为(0 ? p ? 1)的(0 -1)分布。 p ? 1 (X ? Y 为偶数) 令随机变量Z ? ? ’要使X 和Z 相互独立,则p ? _______ . ?0 (X ? Y 为奇数)

6.解

1 2 当X 和Z 独立时,任何一个联合概率都等于边际概率的乘积,故应有 P( X ? 0, Z ? 0) ? P( X ? 0) P( Z ? 0),

即P( X ? 0, Y ? 1) ? P( X ? 0)[ P( X ? 0, Y ? 1) ? P( X ? 1, Y ? 0)], 再由X , Y 独立同分布,得 P( X ? 0) P(Y ? 1) ? 2 P( X ? 0) P( X ? 0) P(Y ? 1) 1 1 即P( X ? 0)=1-p= ,p= 2 2
7. 设X 1 ,? , X n , X n ?1为来自正态总体N ( ? , ? 2 )的简单随机样本,记 Xn ? 则统计量 Tn ? c ? X n ?1 ? X n Sn 1 n 1 n ? X i , Sn2 ? n ? 1 ? ( X i ? X )2 , n i ?1 i ?1

在c ? _______ 时,服从参数为 ___________ 的t分布.

7.答案是: 分析

由于X i ?1 ? i ? n ? 1? 相互独立且均服从正态分布N ? ? , ? 2 ? , 所以X n ? N

n , ? n ? 1? . n ?1

? ?2 ? 2 ? ? , ? , X n ?1 ? N ? ? , ? ? , 又X n与X n ?1相互独立,因此 ? n ? ? n ? 1 2 ? X n ?1 ? X n X n ?1 ? X n ? N ? 0, ? ?, ? N ? 0,1? ? n ? n ?1 ? n 又

? n ? 1? S2n ?
?
2

??

? Xi ? Xn ? ? ? 2 ? n ? 1? ? ? i ?1 ? ?
n

2 2 X n ?1 , X n ,Sn 相互独立,从而X n ?1 ? X n与Sn 相互独立,所以

X n ?1 ? X n n ?1 ? n ? 1 X n ?1 ? X n n ? ? t ? n ? 1? n Sn ? n ? 1? S2n ? 2 ? n ? 1? 因此在c ? n ?1 时,T 服从参数为(n-1)的t分布. n

二、选择题 1. 设A, B, C为三个事件, 且A, B互相独立, 则以下结论中不正确的是(
( A)若P(C ) ? 1, 则AC与BC也独立. ( B)若P(C ) ? 1, 则A ? C与B也独立. (C )若P(C ) ? 0, 则A ? C与B也独立. ( D)若C ? B, 则A与C也独立.
答案:D

)

2. 设随机变量X ~ N (0,1), X 的分布函数为?( x), 则P( X ? 2)的值为( ( A)2 ?1 ? ?(2) ?. (C )2 ? ?(2).
答案:A

)

( B)2?(2) ? 1 ( D)1 ? 2?(2).

3.设E ( X ) ? 1, E (Y ) ? 2, D( X ) ? 1, D(Y ) ? 4, ? XY ? 0.6.则E (2 X ? Y ? 1) 2 ? ( ( A)2.1
答案:C

)

( B)3.2

(C ) 4.2

( D) 4.8

1 4.假设随机变量X 与Y 都服从正态分布N ? 0,? 2 ? , 且P ? X ? 1, Y ? ? 1? ? , 4 则p ? X ? 1, Y ? ?1} ? ( ) ( A) 1 4 ( B) 2 4 (C ) 3 4 ( D)1

4.答案是:(A) 1 分析 记A ? ? X ? 1?,B ? ?Y ? ?1?,已知(AB) ,要计算 P ? 4

P ? X ? 1,Y ? ?1? ? P AB) P A ? B) 1 ? P A ? B) ( ?( ? (
? 1 ? P A) P B) P AB) ( -( ? (
其中

P A) P ? X ? 1? ? ?( ( ?

1

?

), 1

P B) P ?Y ? ?1? ? ?(( ? 所以 P ? X ? 1,Y ? ?1? ? 1 ? ?(

?
1

) ? 1 ? ?( )-1 ? ?(

1

?

) . 1 1 ? . 4 4

1

?

?

)?

5.设总体X 的数学期望为? , X 1 , X 2 ,..., X n为来自X 的样本, 则下列结论中正确的是( ( A) X 1是?的无偏估计量. ( B) X 1是?的极大似然估计量. (C ) X 1是?的相合(一致)估计量. ( D) X 1不是?的估计量.
答案:A

)

6.设X 1,X 2 ?,X n是取自正态总体X ~ N 0, ? 2)的简单随机样本,则 (

? 2的无偏估计量是(

)

? A? ?C ?

1 ? X i2 n i ?1 1 n2

n

? B? ? D?

1 n 2 ? Xi n ? 1 i ?1 1 n 2 ? Xi n ? 1 i ?1

? X i2
i ?1

n

6. 解

选A. 事实上 E( 1 n 2 1 n 1 n X i ) ? ? E ( X i2 ) ? ? {D( X i ) ? [ E ( X i )]2 } ? n i ?1 n i ?1 n i ?1 1 n ? ? (? 2 ? 0) ? ? 2 n i ?1

故选A.
2 7.假设总体X ? N ( ? , ? 2 ),关于总体X 的方差? 2有假设H 0 : ? 2 ? ? 0, 2 其中? 0 是已知常数;X 1 ,?, X n是来自总体X 的简单随机样本,S 2是样 2 本方差,Sn 是二阶样本中心矩;则假设H 0的? 2检验可以使用统计量(

)

(A) T1 ? (C) T3 ?
答案: T ?

2 (n ? 1)Sn

?2

(B) T2 ? (D) T4 ?

2 nSn 2 ?0

(n ? 1)S 2

nS 2
2 ?0

?2

应该选(B)。由正态总体的抽样分布知,对于样本方差S 2,统计量

(n ? 1) S 2

?

2 0

?

1

?

2 0 i ?1

?(X

n

i

? X )2

2 服从自由度为n-1的? 2分布,并且可利用统计量T来构造假设H 0 : ? 2 ? ? 0的

否定域。由于 T2 ?
2 nSn

?

2 0

?

1

?

2 0 i ?1

?(X

n

i

? X )2 ? T

可见假设H 0的检验? 2可以使用统计量T2,因此(B)是正确选项,而(D)是错误 选项。 由于T1和T3都含未知参数,因此根本不是统计量,所以(A)(C)(D)都 是错误选项,只有(B)是正确选项。
三、计算题

1.有两个裁判组,第一组由3个人组成,其中两个人独立的以概率p做出 正确的裁定,而第三个人以掷硬币决定,最后结果根据多数人的意见 决定。第二组由一个人组成,他以概率p做出正确的裁定。试问这两个 裁判组哪组做出正确裁定的概率大?
1.解:设A、B、C分别表示事件 “第一组的三个人均做出正确裁定”, D表示“第一组人做出正确裁定”,则 D ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ,由题设

1 2 由于A、B、C是相互独立的,利用加法定理得 P ? A ? ? P ? B ? ? p, P ? C ? ?

P ? D ? ? P ? ABC ? ? P ABC ? P ABC ? P ABC

? ? ? ? P ? A? P ? B ? P ? C ? ? P ? A ? P ? B ? P ? C ? ? P ? A ? P ? B ? P ? C ? ? P ? A ? P ? B ? P ?C ?
1 1 1 1 ? p ? p ? ? p ? p ? ? p ?1 ? p ? ? ? ?1 ? p ? ? p ? 2 2 2 2 ?p

?

? ?

这样,两个裁判组正确裁定的概率一样大

其中G ? ?? x, y ? | 0 ? x ? 2, 0 ? y ? x 2 ? .求:

? Axy, ? x, y ? ? G ? 2.设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度函数f ? x, y ? ? ? , ? 0, ? x, y ? ? G ?

?1? 系数A; ? 2 ? X 和Y的边缘密度函数; ? 3? 条件概率密度函数f X |Y ? x | y ? 和fY | X ? y | x ? .
2. 解(1)由联合密度函数的归一性可得

? ?
??

??

??

??

f ( x, y )dxdy ? ?? Axydxdy ? ? Axdx ? ydy ?
0 0 G

2

x2

A 2 5 16 ?0 x dx ? 3 A ? 1 2

故A ?

3 16

(2)当0 ? x ? 2时 f(x) ? ? X f(y) ? ? Y
?? ??

f x, y )dy ? ? (

x2

0

3 3 5 xydy ? x 16 32

当0 ? y ? 4时 A 2 3 3 ?0 16 xydx ? 32 y (4 ? y ) ?? 2 所以X 和Y的边缘密度函数分别为 f x, y )dx ? ( ?3 5 ( ? x 0 ? x ? 2) f(x)= ? 32 X ?0, 其他 ? ?3 ) ? y (4 ? y(0 ? y ? 4) f(y)= ? 32 Y ?0, 其他 ? (3)当0 ? y ? 4时 ? 2x ( y ? x ? 2) f x, y ) ? ( f X (x | y )= = ? 4-y |Y f(y) ? Y 其他 ?0, 当0 ? x ? 2时 ?2y 2 f x, y ) ? 4(0 ? y ? x ) ( fY |(y | x)= =? x X fx x) ? ( 其他 ?0,
3.设二维随机变量( X , Y )在区域D ? ? ( x, y ) | x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 ? 上服从 均匀分布.求 : (1)( X , Y )关于X 的边缘概率密度; (2) Z ? X ? Y的分布函数与概率密度.
??

3.解: ( X , Y )的概率密度为 ?2, f ( x, y ) ? ? ? 0, (1) f x ( x) ? ?
?? ??

y

( x, y ) ? D , 其他.

X+y=z D

f ( x, y )dy
z X+y=1 X+y=0 f ( x, y )dxdy x

0 ? x ? 1; ? 2 ? 2 x, ?? 其他. ? 0, (2)设Z ? X ? Y的分布函数为FZ ( z ), 则 FZ ( z ) ? P ( Z ? z ) ? P ( X ? Y ? z ) ?
x? y? z

??

当z ? 0时 ? 0, ? z z?x ? ? ? ? [ ? 2dy ]dx 当0 ? z ? 1时 0 0 ? 当z ? 1时 ? 1 ? ? 0, ? 2 ? 2z ?? , 2 ? ? 1, ? 即Z ? X ? Y的分布函数为 ?0, ? FZ ( z ) ? ? z 2 , ? 1, ? Z的概率密度为 ?2 z , 0 ? z ? 1, f Z ( x) ? FZ? ( z ) ? ? 其他. ? 0,
4.设袋中有2个红球与3个绿球,n个人轮流摸球,每个人摸出2个球,然后 将球放回袋中,让下一个人摸.求n个人总共摸到红球数的期望与方差.

当z ? 0时, 当0 ? z ? 1时, 当z ? 1时. 当z ? 0时, 当0 ? z ? 1时, 当z ? 1时.

4.设X i ? “第i个人摸到的红球数”, i=1,, ,n,X= n个人总共摸 2? “ 到的红球数”,则X= ? X i
i=1 n

P ? X i ? 0? ?

C32 3 ? C52 10

1 1 C2C3 3 P ? X i ? 1? ? 2 ? C5 5

P ? X i ? 2? ? 故 E( X i ) ? 0 ?

2 C2 1 ? 2 C5 10

3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? 10 5 10 5
2

3 3 1 ?4? 16 9 D ( X i ) ? 0 ? ? 1? ? 4 ? ? ? ? ? 1 ? ? 10 5 10 ? 5 ? 25 25 由于X i与X j之间相互独立(i ? j),则 E ( X )? ? E ( X i ) ? 0.8n
i ?1 n

D( X ) ? ? D( X i ) ? 0.36n
i ?1

n

5. 设总体X 服从如下密度函数的分布 ( x ? 0) 2?? x 其中? ? 0, 设X 1 , X 2 ,?, X n是来自总体X 的样本. 求?与? 2的极大似然估计. e
2? 2

f ( x) ?

1

?

(ln x ? ? )2

? n 2 ? n ? ? (ln xi ? ? ) ? 1 ? 5. L ? ? , ? 2 ? ? ? exp ? ? i ?1 2? 2 2?? xi ? ? i ?1 ? ? ? ? n n 1 n 1 ln( ? , ? 2 ) ? ? ln(2?? 2 ) ? ? ln ? ? 2 (ln X i ? ? ) 2 2 xi i ?1 2? i ?1 解方程组 ? ?lnL( ? , ? 2 ) 1 n ? ? 2 ? (ln xi ? ? )(?1) ? 0 ? ?? ? i ?1 ? ? 2 n ? ?lnL( ? , ? ) ? ? n 1 ? 1 ? (ln xi ? ? )2 ? 0 ? ?? 2 2 ? 2 2(? 2 ) 2 i ?1 ? 得?的极大似然估计为

?= ? 2的极大似然估计为 ?2 ?

1 n ? ln xi n i ?1 1 n ? (ln xi ? ? )2 n i ?1


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