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2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题1 必考点2 平面向量与复数运算、算法、合情推理课件 文

时间:2016-02-26


专题复习·数学(文)

专题一 集合、常用逻辑、平面向量、复数、 合情推理、不等式 必考点二
类 型

平面向量与复数运算、算法、合情推理
类型一 平面向量概念及线性运算
类型二 平面向量的数量积的计算与应用 类型三 复数的代数运算及几何意义

类型四 求算法与框图的输入或输出值
类型五 补写完善程序框图 类型六 合情推理

高考·预测

运筹帷幄之中

1 用平面向量的几何运算、坐标运算进行线性运算和数量积的运算. 2 复数的代数形式的四则运算及几何意义. 3 根据框图的程序进行程序结果、判断条件的求解. 4 以数表、数阵、图形、代数式为背景进行归纳推理与类比推理.

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.平面向量概念与运算 (1)平面向量的加法,减法的三角形法则和平行四边形法则. (2)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ, 使 b=λa. (3)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那 么对这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数 λ1, λ2 , 使 a=λ1e1+λ2e2, 其中 e1,e2 是一组基底.

知识 回扣
必记知识 重要结论

(4)平面向量的坐标运算 a=(x1,y1),b=(x2,y2) ①a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2); ②a∥b?(x1,y1)=λ(x2,y2)?x1y2-x2y1=0; ③a· b=|a||b|cos 〈a,b〉或 a· b=x1x2+y1y2.

知识 回扣
必记知识 重要结论

2.复数运算 设 z=a+bi,z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a,b,a1,b1,a2,b2∈R)
?a=0 (1)z 为实数?b=0,z 为虚数?b≠0;z 为纯虚数?? ?b≠0

(2)z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i z1 ?a1+b1i??a2-b2i ? a1a2+b1b2 b1a2-a1b2 = = 2 2 + 2 2 i(a2+b2i≠0) z2 ?a2+b2i??a2-b2i ? a2+b2 a2+b2

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.向量共线的充要条件:O 为平面上一点,则 A,B,P 三点共线的充要 → → → 条件是OP=λ1OA+λ2OB(其中 λ1+λ2=1).

→ 2.三角形中线向量公式:若 P 为△OAB 的边 AB 的中点,则向量OP与向 → → → 1 → → 量OA,OB的关系是OP= (OA+OB). 2 → → → 3 .三角形重心坐标的求法: G 为△ABC 的重心?GA+GB+ GC= 0?
?xA+xB+xC yA+yB+yC? → → → → → → ?.OA· G? OB=OB· OC=OC· OA?O 为△ABC 垂心. , 3 3 ? ?

知识 回扣
必记知识 重要结论

→ → → 4.已知OA=λOB+μOC(λ,μ 为常数).则 A、B、C 三点共线的充要条件 是 λ+μ=1.

5.a⊥b?a· b=0(a≠0,b≠0). 6.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.

1+i 1-i 7.z· z =|z| ,(1+i) =2i,(1-i) =-2i, =i, =-i. 1-i 1+i
2 2 2

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类型一 平面向量概念及线性运算

[ 例 1]

→ → → (1)在?ABCD 中,E 为 DC 中点,F 为 BC 中点,AC=λAE+μAF,

则 λ+μ=________.

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类型一 平面向量概念及线性运算

→ → → → → → → 利用AC=AB+AD,把AB、AD用基底AE、AF表示,结合向量三角形法则 求解. → → → ∵AC=AB+AD,又∵E、F 为 DC、BC 中点 → → 1→ → 4→ 2→ ?AE ? ? =AD+2AB,① ?AD=3AE-3AF 又? 得? 1 → → → → 4→ 2→ ?AF ? ? =AB+2AD.② ?AB=3AF-3AE → 4 → 2→ 4→ 2→ 2→ 2 → ∴AC= AF- AE+ AE- AF= AF+ AE 3 3 3 3 3 3 2 4 ∴λ=μ= ∴λ+μ= 3 3 4

3

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类型一 平面向量概念及线性运算

→ → 以 AC 为对角线, 以 AE、 AF 所在直线为邻边作平行四边形来表示AC=λAE → +μAF. 取 AD、AB 的中点 G、H. 连 CG,CH,CG∩AE=M,CH∩AF=N ∴CM∥AN,CN∥AM ∴四边形 ANCM 为平行四边形 → → → ∴AC=AM+AN,在△ ADC 中,M 为重心. → 2→ → 2→ ∴AM=3AE,同理AN=3AF 4 → 2→ 2→ ∴AC=3AE+3AF 2 2 4 ∴λ+μ=3+3=3.

3

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类型一 平面向量概念及线性运算

[ 特例法,在正方形 ABCD 中,建立坐标系求解.]
把?ABCD 用正方形 ABCD 表示,以 A 为原点,AB、AD 为 x 轴,y 轴建立 坐标系,设 B(2,0),D(0,2),C(2,2),E(1,2), F(2,1) → → → AC= (2,2),AE= (1,2),AF= (2,1) → → → 由AC=λAE+μAF
?2= λ+2μ ∴? ?2=2λ+μ

∴ (2,2)=λ(1,2)+ μ(2,1) 4 ∴λ+μ= . 3

4 3

?λ= 2 ? 3 ∴? 2 ?μ= ? 3

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类型一 平面向量概念及线性运算

(2)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=x e1+y e2,x,y∈R.若 e1,e2 的夹 π |x| 角为 ,则 的最大值等于________. 6 |b|

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类型一 平面向量概念及线性运算

?|x| ?2 |x| ? ? 为了便于计算可先求 的范围,结合二次函数求值域,再求 的范围. ?|b|? |b| ?|x| ?2 x2 x2 根据题意,得? ? = = ?|b|? ?xe1+ ye2?2 ?xe1?2+?ye2?2+2xye1· e2

x2 1 1 = = 2 2 = = . π ? ? 1 x + y + 3 xy ? y ? 3 y y 3 2 x2+ y2+2xycos ? + ?2+ ? ? 1 + + 6 x 2? 4 ? x? ?x
?y ? |x|?2 3?2 1 1 因为? + ? + ≥ ,所以 0<? ? ≤4, ? |b|? 2? 4 4 ?x

x2

|x| |x| 所以 0< ≤2,故 的最大值为 2. |b| |b| 2

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类型一 平面向量概念及线性运算

→ 可利用特值法:令 x=1,利用平行四边形法则数形结合得出OC=b,求 |b| 最小值. |x| 1 令 x=1,则 b=e1+ye2,要使 = 最大,则 |b|为最小, |b| |b| → 如图,过 A 点作直线 l∥OB,在 l 上任取点 C 都可以得OC=e1+ ye2,即 → b=OC, 要使 |b|最小为点 O 到 l 的距离,由∠OAC=30° , |x| 1 → 1 ∴ |OC|= ,∴ = =2. 2 |b| 1 2 2

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类型一 平面向量概念及线性运算

[建立平面直角坐标系,设出 e1 与 e2 的坐标,并表示 b 的坐标,利用坐标 x2 运算求 的表达式.] |b| ? 3 1? 建立如图所示的平面直角坐标系,设 e1= (1,0),e2=? , ?, 2? ?2
? 3 1? ? 3 1 ? ? ? ? 则 b=x(1,0)+ y , = x+ y, y ?. 2? ? 2 2 ? ? 2 ? 3 ?2 ?1 ?2 2 2 ∴ |b| =?x+ y? +? y? = x + y + 3xy, 2 ? ?2 ? ?
2

x2 x2 1 ∴ 2= 2 2 = ≤4, ? |b| x + y + 3xy ?y 1 3 ? + ? 2+ 4 ?x 2 ? 2

|x| ∴0< ≤2. |b|

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类型一 平面向量概念及线性运算

? ?1?向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”;平行四边形法则要保 证两向量“共起点”,结合几何法、代数法?坐标?求解. ?2?向量的夹角要求向量“共起点”,其范围为[0,π]. ?3?灵活应用向量运算的规律和平面向量基本定理.

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类型一 平面向量概念及线性运算
自我挑战

→ 1.已知△ABC 的重心为 G,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 aGA 3 → → +bGB+ cGC=0,则角 A 为( 3 π A. 6 π B. 4 π C. 3 ) π D. 2

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类型一 平面向量概念及线性运算
自我挑战

→ → → ∵△ABC 的重心为 G,∴GC=- (GA+GB), 3 → ? 3 ?→ ? 3 ?→ → → ? ? ? ∴aGA+bGB+ cGC= a- c GA+ b- c?GB=0 3 3 ? 3 ? ? ? 3 3 ∴a- c= 0,b- c=0, 3 3 3 3 ∴a= c, b= c, 3 3 1 2 2 1 2 b2+ c2-a2 3c + c -3c 3 ∴ cos A= = = , 2bc 2 3 2× c×c 3 π 又 A∈(0,π),∴A= . 6 A

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类型一 平面向量概念及线性运算
自我挑战

2.(2014· 高考新课标卷Ⅰ)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB → → 的中点,则EB+FC=( C ) → A.BC → C.AD 1→ B. AD 2 1→ D. BC 2

利用向量的加法法则求解. → → → → → → → → 1 → → 1 → → 如图, EB+FC=EC+CB+FB+BC=EC+FB= (AC+AB)= · 2AD=AD. 2 2

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类型二 平面向量的数量积的计算与应用

[ 例 2]

(1)已知 a,b 是单位向量,a· b=0,若向量 c 满足|c-a-b|=1, ) B.[ 2-1, 2+2] D.[1, 2+2]

则|c|的取值范围是( A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1]

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类型二 平面向量的数量积的计算与应用

利用代数法将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律及向量数 量积定义求解. ∵a· b=0,且 a,b 是单位向量,∴|a|= |b|= 1. 又∵ |c-a-b|2=c2-2c· (a+b)+2a· b+a2+b2=1,∴2c· (a+b)=c2+1. ∵ |a|= |b|=1 且 a· b=0,∴ |a+b|= 2, ∴ c2+1=2 2|c|cos θ(θ 是 c 与 a+b 的夹角). 又∵-1≤cos θ≤1,∴0<c2+1≤2 2|c|, ∴ c2-2 2|c|+ 1≤0,∴ 2-1≤|c|≤ 2+1.故选 A. A

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类型二 平面向量的数量积的计算与应用

用“平面几何图形辅助法”作出适合题意的向量 a,b,利用|c|的几何意 义求解. → → → → 如图,作OA=a ,OB=b ,且∠AOB =90° ,以OA,OB为邻边作正方形 → OADB,则OD=a+b,以 O 为圆心,OA=1 为半径作圆,在圆上任取一 → → 点 C,则 OC=1,若CD=c,则|c-(a+b)|=|CO|=1,符合题意.由图可 → → 知|CD|max= 2+1,|CD|min= 2-1.故选 A.

A

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类型二 平面向量的数量积的计算与应用

[ 建立平面直角坐标系,设出 a,b,c 的坐标来表示|c-a-b|.]
建立平面直角坐标系,设 a=(1,0),b= (0,1), c=(x, y), 则 c- (a+b)= (x-1, y-1), 又∵ |c-(a+b)|= 1,∴(x-1)2+ (y-1)2=1, ∴点 C(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=1 上, 又∵ |c|= x2+ y2,由圆的几何性质可得|c|max= 2+1,|c|min= 2-1.故选 A.

A

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类型二 平面向量的数量积的计算与应用

→ → 2 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点, 则AE· BD=________.
→ → → → 以AB、AD为基底表示AE和BD后直接计算数量积. → → 1→ → → → AE=AD+ AB,BD=AD-AB, 2 → → ? → 1 →? → → ∴AE· BD=?AD+ AB?· (AD-AB) 2 ? ? 1 → 2 1→2 2 = |AD| - |AB| =2 - ×22=2. 2 2

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类型二 平面向量的数量积的计算与应用

坐标法:先建立平面直角坐标系,结合向量数量积的坐标运算求解. 如图,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴, 建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2), → → ∴AE=(1,2),BD= (-2,2), → → ∴AE· BD=1×(-2)+2×2=2.

2

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类型二 平面向量的数量积的计算与应用

→ → [利用数量积的几何意义:AE在BD上的投影求解.]
BD=2 2,作 AM⊥BD 于 M 点,作 EN⊥BD 于 N 点.AE 在 BD 上的投 影为 MN. 可求得 BM= 2,DN= 2 . 2

? 2 2? ∴ MN=2 2-? 2+ ?= , 2? 2 ?

2 → → ∴AE· BD= ×2 2=2. 2
2

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类型二 平面向量的数量积的计算与应用

?1?向量的模的求法一是根据向量的定义,二是将向量的模转化为三角形 的某条边求其长. ?2?求非零向量 a,b 的夹角一般利用公式 cos〈a,b〉= a· b 先求出夹角 |a||b|

的余弦值,然后求夹角.也可以构造三角形,将所求夹角转化为三角形的 内角求解,更为直观形象. ?3?当向量以几何图形的形式?有向线段?出现时, 其数量积的计算可利用定 义法;当向量以坐标形式出现时,其数量积的计算用坐标法;如果建立 坐标系,表示向量的有向线段可用坐标表示,计算向量简单.

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类型二 平面向量的数量积的计算与应用
自我挑战

1. (2015· 高考全国卷Ⅱ)向量 a=(1, -1), b=(-1,2), 则(2a+b)· a=( C ) A.-1 B.0

C.1 D.2 法一:选 C.将(2a+b)· a 展开后再进行坐标运算. ∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a· b=-3, 从而(2a+b)· a=2a2+a· b=4-3=1. 法二:将 2a+b 看做一个向量并求出其坐标后再与 a 计算数量积.
∵a= (1,-1),b=(-1,2), ∴2a+b= (2,-2)+(-1,2)= (1,0), 从而(2a+b)· a=(1,0)· (1,-1)=1,故选 C.

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类型二 平面向量的数量积的计算与应用
自我挑战

2.(2015· 高考重庆卷)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b), 则 a 与 b 的夹角为( C ) π π 2π 5π A. B. C. D. 3 2 3 6 根据向量垂直的条件建立方程,进而求得 a 与 b 的夹角.
∵a⊥ (2a+b),∴a· (2a+b)=0, ∴2|a|2+a· b=0, 即 2|a|2+ |a||b|cos〈 a,b〉=0. 1 ∵ |b|= 4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=- , 2 2 ∵〈a,b〉∈[0, π],∴〈a,b〉= π. 3

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类型三 复数的代数运算及几何意义

[ 例 3] A.-4

(1)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( D ) 4 B.- 5 C.4 4 D. 5

利用复数的除法运算,直接求出复数 z. ∵ (3-4i)z= |4+3i|, |4+ 3i| 42+32 5?3+4i? 3 4 ∴z= = = = + i, 25 5 5 3-4i 3-4i 4 ∴z 的虚部为 .故选 D. 5

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类型三 复数的代数运算及几何意义

利用 z· z 为实数可观察估算 z. ∵|4+3i|=5, 3 4? 3 ∴(3-4i)z=|4+3i|可化为 5-5i? z = 1 为实数, 根据 z · z 为实数可估算 z = ? 5 ? 4 +5i,适合.故选 D.
? ? ? ?

D

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类型三 复数的代数运算及几何意义

[设 z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等求出 y.]
由题意可得(3-4i)(x+yi)= 5, ∴ (3x+4y)+ (3y-4x)i=5,
?3x+4y=5 4 ? ∴ ,∴y= .故选 D. 5 3 y - 4 x = 0 ?

D

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类型三 复数的代数运算及几何意义

(2)(2014· 高考新课标卷Ⅱ)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对 称,z1=2+i,则 z1z2=( A ) A.-5 B.5

C.-4+i D.-4-i 先根据点关于 y 轴对称,求出 z2,再计算. ∵z1=2+ i,在复平面内的对应点的坐标为(2,1),又 z1 与 z2 在复平面内的 对应点关于虚轴对称,则 z2 的对应点的坐标为(-2,1),即 z2=-2+ i, ∴z1z2=(2+ i)(-2+ i)= i2-4=-5.故选 A.

根据点的对 称性得出 z2=- z1 ,再根据 z z = |z|2 求值. z2=-2+ i=- z1 ,∴z1z2=-z1 z1 =- |z1|2=-5.选 A.

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类型三 复数的代数运算及几何意义

(1)复数的代数形式的运算,类比于多项式的乘除法与合并同类项,只是 利用 z z =|z|2,把 i2 换为-1,复数除法的关键是将分母实数化. (2)与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题,可设 z=a+bi(a,b∈ R),利用待定系数法求解. (3)

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类型三 复数的代数运算及几何意义
自我挑战

?1+i?2 014 ? 1.i 为虚数单位,则? =( B ) ?1-i?

A.-i C.i

B.-1 D.1

1+i ?1+i??1+i? 因为 = =i,所以原式=i2 014=i4×503+ 2=-1. 2 1-i

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类型三 复数的代数运算及几何意义
自我挑战

2.(2014· 高考山东卷)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若 a-i 与 2+bi 互 为共轭复数,则(a+bi)2=( D ) A.5-4i C.3-4i B.5+4i D.3+4i

先由共轭复数的条件求出 a,b 的值,再求(a+bi)2 的值.由题意知 a-i =2-bi,∴a=2,b=1, ∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.

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类型四 求算法与框图的输入或输出值

[ 例 4]

(1)(2014· 高考山东卷)执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值

3 为 1,则输出的 n 的值为________ .

按框图的程序一步步执行,直到不满足条件,输出结果. 由 x2-4x+3≤0,解得 1≤x≤3. 当 x=1 时,满足 1≤x≤3,所以 x=1+1=2,n=0+1=1; 当 x=2 时,满足 1≤x≤3,所以 x=2+1=3,n=1+1=2; 当 x=3 时,满足 1≤x≤3,所以 x=3+1=4,n=2+1=3; 当 x=4 时,不满足 1≤x≤3,所以输出 n=3.

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类型四 求算法与框图的输入或输出值

根据框图的作用,求解不等式 x2-4x+3≤0 的整数解的个数估算答案. 由 x2-4x+3≤0 得,1≤x≤3. 又∵x=1 及 x+1 都为整数,1≤x≤3 的整数为 1,2,3,共 3 个, 则 n=3.

3

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类型四 求算法与框图的输入或输出值

(2)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数 n 后,输出的 S∈(10,20),那么 n 的值为( B ) A.3 B.4

C.5 D.6 依据初始条件,逐步求出 S 的值,判断 n 的值.

由 S=0,k=1 得 S=1,k=2,应该为否,即 2≤n ?S=1+2×1=3, k=3 为否,即 3≤n ?S=1+2×3=7, k=4 为否,即 4≤n ?S=1+2×7=15, k=5 为是,即 5>n 综上,4≤n<5,∴n=4.故选 B.

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类型四 求算法与框图的输入或输出值

先读出框图的计算功能,再结合等比数列求和公式求解. 框图功能为求和,即 S=1+21+22+…+2n-1. 1× ?1-2n? 由于 S= =2n-1∈(10,20), 1-2 ∴10<2n-1<20,∴11<2n<21, ∴n=4,即求前 4 项和. ∴判断框内的条件为 k>4,即 n=4.故选 B.

B

小题 速解

类型四 求算法与框图的输入或输出值

求输出结果的题目,要认清输出变量是什么,有的是求函数值,有的是 求和、差、积、商的运算结果,有的是计数变量等.

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类型四 求算法与框图的输入或输出值
自我挑战

1.(2014· 高考新课标卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图,如果输入的 x,t 均 为 2,则输出的 S=( D ) A.4 C.6 B.5 D.7

在循环体部分的运算为:第一步,M=2,S=5,k=2;第二步,M=2, S=7,k=3.故输出结果为 7.

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类型四 求算法与框图的输入或输出值
自我挑战

2.执行如图所示的程序框图,若输出的 k=5,则输入的整数 p 的最大值 为( B ) A.7 C.31 B.15 D.63

由程序框图可知:①S=0,k=1;②S=1,k=2;③S=3,k=3;④S=7, k=4;⑤S=15,k=5.第⑤步后输出 k,此时 S=15≥p,则 p 的最大值为 15,故选 B.

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类型五 补写完善程序框图

[ 例 5]

(1)(2015· 高考重庆卷)执行如图所示的程序框图, 若输出 k 的值为 8,

则判断框内可填入的条件是( C ) 3 5 11 A.s≤ B.s≤ C.s≤ 4 6 12 根据程序框图表示的算法求解. 25 D.s≤ 24

1 1 1 3 由 s=0,k=0 满足条件,则 k=2,s= ,满足条件;k=4,s= + = , 2 2 4 4 3 1 11 11 1 25 满足条件; k=6, s= + = ,满足条件; k=8, s= + = ,不满 4 6 12 12 8 24 11 足条件,输出 k=8,所以应填 s≤ . 12 1 1 1 1 25 由题意可知 S=2+4+6+8=24,此时输出 8,是不满足条件,故选 C.

小题 速解

类型五 补写完善程序框图

(2)阅读如下程序框图,如果输出 i=5,那么在空白矩形框中应填入的语 句为( C ) A.S=2*i -2 C.S=2*i B.S=S=2*i-1 D.S=2*i +4

根据程序框图表示的算法对 i 的取值进行验证. 当 i=2 时,S=2×2+1=5<10;当 i=3 时,仍然循环,排除 D;当 i=4 时,S=2×4+1=9<10;当 i=5 时,不满足 S<10,即此时 S≥10,输出 i.此时 A 项求得 S=2×5-2=8, B 项求得 S=2×5- 1=9, C 项求得 S =2×5=10,故只有 C 项满足条件.故选 C.

小题 速解

类型五 补写完善程序框图

根据当 S≥10 时,输出 i,验证答案 由 D:S=2*i+4≥10,得 i≥3,即输出 i=3 即可 由 B:S=S=2*i-1≥10,得 i≥5,即输出 i=5 矛盾

C

小题 速解

类型五 补写完善程序框图

?1?循环结构有“当型循环”和“直到型循环”.当型循环是当满足条件时 执行循环体.直到型循环是直到满足条件时才跳出循环. ?2?首先看懂每个图形符号的意义和作用,其次“试走几步”循环体,体 会循环体的内容和功能,最后利用判断框中的条件确定循环的次数.

小题 速解

类型五 补写完善程序框图
自我挑战

1.给出 30 个数:1,2,4,7,11,16,?,要计算这 30 个数的和.下图给出了 该问题的程序框图,那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入 ( D ) A.i ≤30?和 p=p+i-1 C.i ≤31?和 p=p+i B.i ≤31?和 p=p+i+1 D.i ≤30?和 p=p+i

由题可知,程序要执行 30 次.所以①处应填 i≤30?,②处应填 p=p+ i.

小题 速解

类型五 补写完善程序框图
自我挑战

1 1 1 1 2.如图,给出的是计算 + + +?+ 的值的程序框图,其中判断 2 4 6 2 016 框内应填入的是( C ) A.i ≤2 021? C.i ≤2 017? B.i ≤2 019? D.i ≤2 015?

由题知,判断框内可填“i≤2016?”或“i≤2017?”或“i <2017?”或 “i <2018?”,故选 C.

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类型六 合情推理

[ 例 6] 12=1,

(1)观察下列等式:

12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, ?, 照此规律,第 n 个等式可为________.

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类型六 合情推理

分析式子的特点归纳出式子,利用等差数列的求和公式进行化简. (1)12=1, 12-22=-(1+2), 12-22+32=1+2+3, 12-22+32-42=-(1+2+3+4), ?, 12-22+32-42+?+ (-1)n+ 1n2 n?n+1? = (-1)n+ 1(1+2+ ?+n)=(-1)n+ 1 . 2 n?n+1? 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=(-1)n+1 2

小题 速解

类型六 合情推理

先观察等式右侧绝对值的规律,再总结符号规律. 设 a1=1,a2=3,a3=6,a4= 10 1×?1+1? 2×?2+1? 即 a1= ,a2= , 2 2 3×?3+1? 4×?4+1? a3= ,a4= , 2 2 其符号规律为(-1)n+ 1 n?n+1? ∴第 n 个等式右侧为(-1)n+ 1 . 2

n?n+1? 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=(-1)n+1 2

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类型六 合情推理

(2)对一个边长为 1 的正方形进行如下操作:第一步,将它分割成 3×3 方 格,接着用中心和四个角的 5 个小正方形构成如图 1 所示的几何图形, 5 其面积 S1= ;第二步,将图 1 的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行 9 与第一步相同的操作,得到图 2;依此类推,到第 n 步,所得图形的面积
?5? n Sn=? ? .若将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中,则到第 n 步,所 ? 9?

得几何体的体积 Vn=________.

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类型六 合情推理

对一个棱长为 1 的正方体进行如下操作:第一步,将它分割成 3×3×3 个小正方体, 接着用中心和 8 个角的 9 个小正方体, 构成新“几何体①”, 9 1 其体积 V1= = ;第二步,将新“几何体①”的 9 个小正方体中的每个 27 3 小正方体都进行与第一步相同的操作,得到新“几何体②”,其体积 V2
?1? 2 ?1? n ? ? ○ = ;?,依此类推,到第 n 步,所得新“几何体 ”的体积 Vn=? ? 3 ? ? ? 3?

?1?n ? ? ?3?

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类型六 合情推理

?1?在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找 出它们之间的联系,从而归纳出一般结论. ?2?在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过 类比,推导出类比对象的性质. ?3?归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.

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类型六 合情推理
自我挑战

1.已知 x∈(0,+∞),观察下列各式: 1 x+ ≥2 x 4 x x 4 x+ 2≥ + + 2≥3 x 2 2 x 27 x x x 27 x+ 3 = + + + 3 ≥4 x 3 3 3 x ? a nn 类比得 x+ n ≥n+1(n∈N*),则 a=________. x 由已知三个式子知 n=1 时,a=1;n=2 时,a=22=4;n=3 时,a=33

=27,由此归纳 a=nn.

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类型六 合情推理
自我挑战

→ → → → 2.对于命题:若 O 是线段 AB 上一点,则有|OB|· OA+|OA|· OB=0. 将它类比到平面的情形是: → → → 若 O 是△ABC 内一点, 则有 S△OBC· OA+S△O CA· OB+S△OBA· OC=0, 将它类 比到空间的情形应该是:若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有________.
将平面中的相关结论类比到空间,通常是将平面中的图形的面积类比为 空间中的几何体的体积, 因此依题意可知:若 O 为四面体 ABCD 内一点, → → → → 则有 VO· OA + V · OB + V · OC + V · OD =0. BCD OACD OABD OABC

→ → → → VOOA+VOOB+VOOC+VOOD=0 BCD· ACD· ABD· ABC·

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形与数相辅相成解向量

(1)向量的几何运算是用有向线段来表示向量,结合三角形、平行四边形 的性质求解,数形结合法是其主要方法. (2)向量的坐标表示可使向量运算代数化,从而利用代数方法研究几何问 题. (3)平面向量的代数与几何的双重性也体现了它的“大小 ”与 “方向 ”的 → → 双重性. 进行向量的计算, 二者同时作用, 不可偏费任何一方. 如OA+OB, → → → → → → OA· OB的计算,不仅有 |OA|· |OB|的计算问题,还有OA与OB方向问题.

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形与数相辅相成解向量

[例 1] 在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0), → → → → 动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是( A.[4,6] B.[ 19-1, 19+1] C.[2 3,2 7] D.[ 7-1, 7+1] )

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形与数相辅相成解向量

设出点 D 的坐标,利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解. → 设 D(x, y),则由|CD|=1, C(3,0),得(x-3)2+y2=1. → → → 又∵OA+OB+OD=(x-1, y+ 3), → → → ∴ |OA+OB+OD|= ?x- 1?2+ ?y+ 3?2 . → → → ∴ |OA+OB+OD|的几何意义是点 P(1,- 3)与圆(x-3)2+y2=1 上点之 → → → 间的距离. 由|PC|= 7知, |OA+OB+OD|的最大值是 1+ 7, 最小值是 7 -1.故选 D. D

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形与数相辅相成解向量

→ → 根据向量OA+OB的平行四边形法则及减法法则的几何意义,模的几何意 义求解. → → → → → 如图,设 M(-1, 3),则OA+OB=OM,取 N(1,- 3),∴OM=-ON. → → → → 由 |CD|=1, 可知点 D 在以 C 为圆心, 半径 r=1 的圆上, ∴OA+OB+OD → → → =OD-ON=ND, → → → → → → → ∴ |OA+OB+OD|= |ND|,∴ |ND|max= |NC|+1= 7+1, |ND|min= 7-1.

D

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形与数相辅相成解向量

[例 2]

→ → 已知三角形 ABC 中, AB=AC, BC=4, ∠BAC=120° , BE=3EC,

→ → 若 P 是 BC 边上的动点,则AP· AE的取值范围是________.

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形与数相辅相成解向量

4 3 因为 AB=AC,BC=4,∠BAC=120° ,所以∠ABC=30° ,AB= . 3 → → → 3→ 又因为BE=3EC,所以BE= BC, 4 → → → → → → → 设BP=tBC,则 0≤t≤1,AP=AB+BP=AB+tBC, → → → → 3→ AE=AB+BE=AB+ BC, 4 → → → → ? → 3→? ?AB+ BC? 所以AP· AE= (AB+tBC)· 4 ? ? → → → 3→ → 3 → =AB2+tBC· AB+ BC· AB+ tBC2 4 4 16 4 3 3 4 3 3 2 = +t×4× cos 150° + ×4× cos 150° + t×42=4t- , 3 3 4 3 4 3 2 2 10 ? 2 10? → → 因为 0≤t≤1,所以- ≤4t- ≤ ,即AP· AE的取值范围是?- , ?. 3 3 3 ? 3 3? ? 2 10? ?- , ? ? 3 3?


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