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1.4数列在日常经济生活中的应用

时间:2015-09-28


1.4 数列在日常经济生活中的应 用

你知道吗?

单利 单利的计算是仅在原有本金上计算
利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其 公式为 利息=本金×利率×存期

若以符号P代表本金,n代表存期,r代表 利率,S代表本金和利息和(简称本利和),则 有
S=P(1+nr)

说明

复利 把上期末的本利和作为下一
期的本金,在计算时每一期的本金,在

计算时每一期的数额是不同的.复利
的计算公式是 S=P(1+r)n

零存整取模型 例1. 银行有一种叫做零存整取的储蓄业务,即每 月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到 约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定 每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税). (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期 为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式. (2)若每月初存入500元,月利率为0.5%,到第24个 月末整取时的本利和是多少?

零存整取模型 例1. 银行有一种叫做零存整取的储蓄业务,即 每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存; 到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取. 规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税). (3)若每月初存入一定金额,月利率是0.5%,希望 到第12个月末整取时取得本利和为2000元.那么 每月初应存入的金额是多少?

零存整取模型 解 (1)根据题意,第1个月存入的x元,到期 利息为 x ? r ? n ;第2个月存入的x元,到期利息 为 x ? r ? ?n ? 1? ;……第n个月存入的x元,到期利 息为 xr ; 不难看出,这是一个等差数列求和 的问题. 各月的利息之和为
n( n ? 1)r xr(1 ? 2 ? ? ? n) ? x( 元 ) 2

零存整取模型 而本金为nx元,这样就得到本利和公式
n( n ? 1)r y ? nx ? x( 元 ) 2


n( n ? 1)r ? ? y ? x ?n ? (元) ? 2 ? ?

?n ? N ? ?

零存整取模型 (2)每月存入500元,月利率为0.3%,根据 n( n ? 1)r ? ? 公式 y ? x ?n ? ? ,本利和
? 2

? 36? 37 ? ? y ? 500? ?36 ? ? 0.3%? ? 18999 (元) 2 ? ? n( n ? 1)r ? ? (3)依题意在式子 y ? x ?n ? 中, ? 2 ? ?

y=2000, r=0.3%, n=12

y 2000 x? ? ? 163 .48 (元) n( n ? 1)r 12 ? 6 ? 13 ? 0.3% n? 2

答 每月应存入163.48元.

定期自动转存模型 例2. 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存. 例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如 果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务, 第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款 自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨 论以下问题: (1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利 率为r,连存n年后,再取出本利和.试求出储户年 后所得的本利和的公式;

定期自动转存模型 例2. 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存. 例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如 果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务, 第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款 自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨 论以下问题: (2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率 为1.98%,那么5年后共得本利和多少万元?

思考交流 银行整存整取定期储蓄年利率如表所示:
存期 1年 2年 3年 5年

年利率/%

2.79

3.33

3.96

4.41

某公司欲将10万元存入银行5年,可按以下方案办理 (不考虑利息税): (1)直接存入5年定期; (2)先存2年定期,取出本利和后再存3年定期. 问题1:计算出不同存法到期后的本利和,哪种存款方 式更合算?

问题2:你能设计出更好的存款方案吗?

分期付款的有关规定
? 1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同,各次付款的时间 间隔相同. ? 2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算,即上月(年 )的利息要计入本金. ? 3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和, 等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和,这在市场 经济中是相对公平的.

分期付款模型 例3. 小华准备购买一台售价为5000元的电 脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款 全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2 个月第1次付款,再过2个月第2次付款…… 购买后12个月第6次付款,每次付款金额相 同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计 算.求小华每期付的金额是多少? 分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额.

设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠 2 款数为Ak元,则 A2 ? 5000 ? ?1 ? 0.008 ? ? x

A4 ? A2 ?1 ? 0.008? ? x
2
2

[[[[? 5000 ? ?1 ? 0.008? ? ?1.008? x ? x
4 2

A6 ? A4 ?1 ? 0.008 ? ? x [[[[? 5000 ? ?1 ? 0.008 ? ? ?1.008 ? x ? ?1.008 ? x ? x
6 4 2

?? 2 A12 ? A10 ?1 ? 0.008? ? x

[[[[[? 5000 ? ?1 ? 0.008? ? ?1.008? x ? ?1.008? x
12 10 8

[[[[[[[? ?1.008? x ? ?1.008? x ? ?1.008? x ? x
6 4 2

由题意年底还清,所以 A12 ? 0 解得:

x?

5000 ? ?1.008 ?
2 4

12 10

1 ? ?1.008 ? ? ?1.008 ? ? ? ? ?1.008 ?

[[? 880.8(元)
答:小华每次付款的金额为880.8元.

例3. 小华准备购买一台售价为5000元的电脑, 采用分期付款的方式,并在一年内将款全部付 清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1 次付款,再过2个月第2次付款……购买后12个 月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率 为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付 的金额是多少?
分析2:小华在12月中共付款6次,它们在12个月后的本 利和的累加与一年后付款总额相等.

购买2个月后第1次付款 x 元,此 x 元到10个月后 本利和为 x ?1 ? 0.008 ? 元
10

解:设小华每期还款 x 元,则

购买4个月后第2次付款 x 元,此 x 元到8个月后 本利和为 x ?1 ? 0.008 ? 元
8

同理,购买12个月后第6次付款 x 元,此 x 元当月的
本利和为 x ?1 ? 0.008 ? 元
0

又,小华一年后应还给商场的总金额增值为:

5000 ? ?1 ? 0.008 ? 元
12

? x ?1 ? 1.008 ? 1.008 ? ? ? 1.008
2 4

10

x?

5000 ? ?1.008 ?
4

? ? 5000 ?1.008
10

12

12

1 ? ?1.008 ? ? ?1.008 ? ? ? ? ?1.008 ?
2

[[? 880.8(元)

思考交流
商场出售电脑,提出了如下的3种付款方式,以供 顾客选择.请分别算出各种付款方式每次应付款金额.
方案 类别 1 分几次 付款方法 付清 3次 购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4 个月第3次付款 购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款, ……,再 过12个月第6次付款 购买后1个月第1次付款,再过2个月第2次付款, ……,再 过12个月第12次付款

2

6次

3

12次

练一练

某林场原有木材量为a m3,木材以 每年25℅的增长率生成,而每年要砍伐

的木材量为x m3,为使20 年木材存有
量至少翻两番,求每年砍伐量x的最大 值.(取lg2=0.3)

小结:
? 1、银行零存整取模型:单利与 复利的区别; ? 2、利用数列解决实际问题的步 骤:审题-----建立数列模型(等 差或等比)------解模-----作答

作业:
–习题1-4第1、2题


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