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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

时间:2014-07-23


第四节

数系的扩充与复数的引 入

[主干知识梳理] 一、复数的有关概念 1.复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b 分别是它的 实部 和 虚部 .若 b=0 ,则a+bi为实数;



,则 b ≠0 a+bi为虚数;若

a=0,b≠0 ,则a+bi



为纯虚数.

2.复数相等:a+bi=c+di? a=c,b=d

(a,b,c,d∈R).

3.共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭? a=c,b+d=0 (a,b,c,d

∈R).

→ 4.复数的模:向量OZ的长度叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a +bi|,即|z|=|a+bi|= a2+b2.

【创新探究】 数形结合思想在复数中的应用 (2014· 姜堰模拟)已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则 y 的最大值为__________. x 【思路导析】 利用|z-2|= 3,结合模的几何意义得出复数 y z 对应的动点的轨迹图形后,结合图形转化求 的最大值. x

【解析】 ∵z=x+yi, ∴z-2=x-2+yi, ∴|z-2|= (x-2)2+y2= 3, 即(x-2)2+y2=3,故复数 z 表示的 点的轨迹是以(2,0)为圆心, 3为半径的圆. y y-0 又 = 可看作圆上的动点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,如图 x x-0
?y? ? 可知? ?x?max= ? ?

3 = 3. 1 3

【答案】

【高手支招】 由复数的几何意义可将与其有关的模的问题 转化为轨迹图形,最值问题可借助于图形直观地解决.体现

了数形结合思想的应用.

[体验高考]

1.(2013·湖南高考)复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上
对应的点位于 ( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

B [z=i(1+i)=-1+i,故对应的点(-1,1)在第二象
限.]

(2-i)2 2.(2013· 山东高考)复数 z= (i 为虚数单位),则|z|= i ( A.25 C.5 B. 41 D. 5 )

4-4i-1 3-4i C [z= = =-4-3i, i i 所以|z|= (-4)2+(-3)2=5. 故选 C.]

3.(理)(2013· 新课标全国Ⅰ高考)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|, 则 z 的虚部为 ( A.-4 C.4 4 B.- 5 4 D. 5 )

D [∵(3-4i)z=|4+3i|, 5(3+4i) 5 3 4 ∴z= = = + i. 3-4i (3-4i)(3+4i) 5 5 4 故 z 的虚部为 ,选 D.] 5

1+2i 3.(文)(2013· 新课标全国Ⅰ高考) 2= (1-i) ( 1 A.-1- i 2 1 C.1+ i 2 1 B.-1+ i 2 1 D.1- i 2 )

1+2i 1+2i (1+2i)i -2+i 1 B [ = = = =-1+ i.] 2 2 2 (1-i)2 -2i

4.(2013· 天津高考)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i)· (1+i) =bi,则 a+bi=__________. 解析 由(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,
? ?a-1=0, 得? ? ?a+1=b,

解方程组,得 a=1,b=2,则 a+bi=1+2i. 答案 1+2i

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