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(适用)吉林省长春市2014届高三毕业班第二次调研测试数学(理)试题

时间:2015-12-21


2014 年长春市高中毕业班第二次调研测试



学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟,其中第Ⅱ卷 22 题—24 题为选考题,其它题为必考题。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将

条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的, .... 请将正确选填涂在答题卡上). A. M ? N ? R C. N ? (?R M ) ? R 2.设 i 是虚数单位,则 1 ? i ? A. 0 A. ? B. 4 B. ? 1.设集合 M ? ?x | x ? 2?,集合 N ? ?x | 0 ? x ? 1?,则下列关系中正确的是 B. M ? (?R N ) ? R D. M ? N ? M

2 等于 i
C. 2 D. 2

3.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (1, 0) , c ? (3, 4) ,若 ? 为实数, (b + ?a ) ? c ,则 ? 的值为

1 3 11 C. D. 2 5 3 x ?1 4.已知命题 p :函数 y ? 2 ? a 的图象恒过定点 (1,2) ;命题 q :若函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,则函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则下列命题为真命题的是 A. p ? q B. p ? q C. ? p ? q D. p ? ? q 5. 运行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 254 ,则①应为 A.n≤5 ? B.n≤6 ? C.n≤7 ? D.n≤8 ? 3 11
6.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1 ;
第 5 题图
2 ③在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1, ? ) (? ? 0) ,若 ? 位于区域 (0,1) 内的概率为 0.4 ,则 ? 位于区

域 (0, 2) 内的概率为 0.8 ; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,判断“ X 与 Y 有关系”的把握越大.其中真命题的 序号为 A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
2

7.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 A.

3 5 5

B.2

C.

11 5

D.3

8.计划将排球、篮球、乒乓球 3 个项目的比赛安排在 4 个不同的体育馆举办,每个项目的比赛只能安排在一个体育 馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案共有 A. 60 种 B. 42 种 C. 36 种 D. 24 种 9.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为 A. 2+

1+ 5 ? 2

B. 2+

1+2 5 ? 2 2+ 5 ? 2
第 9 题图

C. 2+ 1+ 5 ?

?

?

D. 2+

2 x 10.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? 2 ,则 y ? f ( x) 的图象大致为

A

B

C

D

11.已知直线 l 与双曲线 C 交于 A , B 两点( A , B 在同一支上), F1 , F2 为双曲线的两个焦点,则 F1 , F2 在 A.以 A , B 为焦点的椭圆上或线段 AB 的垂直平分线上 B.以 A , B 为焦点的双曲线上或线段 AB 的垂直平分线上 C.以 AB 为直径的圆上或线段 AB 的垂直平分线上 D.以上说法均不正确 12 .设函数 f ( x ) 是定义在 (?? ,0) 上的可导函数,其导函数为 f ?( x ) ,且有 2 f ( x ) ? xf ? ( x)? x ,则不等式
2

( x ? 2014)2 f ( x ? 2014) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为 A. ? ??, ?2012? B. ? ?2012, 0? C. ? ??, ?2016?

D. ? ?2016, 0?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 在△ ABC 中,三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 sin A ? sin C ?sin B ? 3sin Asin C ,则 B
2 2 2

= 14. 设(

. .

1 2 ? x 2 ) 3 的展开式的常数项为a , 则直线 y ? ax 与曲线 y ? x 围成图形的面积为 x 15.用一个边长为 4 的正三角形硬纸,沿各边中点连线垂直折 起三个小三角形,做成一个蛋托,半径为 1 的鸡蛋(视为
球体)放在其上(如图) ,则鸡蛋中心(球心)与蛋托底 16.已知数列?an ? 中, a1 ? 1 , a2n ? n ? an , a2n?1 ? an ? 1 , 则 a1 ? a2 ? a3 ? …… ? a100 = . 面的距离为 .

第 15 题图

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 已知 ? 为锐角,且 tan? ?

2 ? 1 ,函数 f ( x) ? 2 x ? tan 2? ? sin( 2? ?

?
4

) ,数列

f (a n ) . f ( x ) (1) 求函数 的表达式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .

?an ?的首项 a1 ? 1 , an?1 ?

18. (本小题满分 12 分) 据 IEC(国际电工委员会)调查显示,小型风力发电项目投资较少,且开发前景广阔,但受风力自然资源影响, 项目投资存在一定风险.根据测算,风能风区分类标准如下: 风能分类 平均风速 m/s 一类风区 8.5~10 二类风区 6.5~8.5

假设投资 A 项目的资金为 x ( x ≥0)万元,投资 B 项目资金为 y ( y ≥0)万元,调研结果是:未来一年内, 位于一类风区的 A 项目获利 30% 的可能性为 0.6 , 亏损 20% 的可能性为 0.4 ; 位于二类风区的 B 项目获利 35% 的可能性为 0.6 ,亏损 10% 的可能性是 0.1 ,不赔不赚的可能性是 0.3 . (1)记投资 A,B 项目的利润分别为? 和? ,试写出随机变量? 与? 的分布列和期望 E? , E? ; (2)某公司计划用不超过 100 万元的资金投资于 A,B 项目,且公司要求对 A 项目的投 资不得低于 B 项目,根据(1)的条件和市场调研,试估计一年后两个项目的平均利 润之和 z ? E? ? E? 的最大值.

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是等腰梯形, 且 AB ∥ CD , O 是 AB 中点, PO ? 平面 ABCD ,

1 AB ? 4 , M 是 PA 中点. 2 (1)证明:平面 PBC // 平面 ODM ; (2)求平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值. PO ? CD ? DA ?

第 19 题图

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 10 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (1, 0) ,点 H (2, ) 在椭圆上. 2 a b 3
2 2 2

(1)求椭圆的方程; (2)点 M 在圆 x ? y ? b 上,且 M 在第一象限,过 M 作圆

x2 ? y 2 ? b2 的切线交椭圆于 P , Q 两点,问:△ PF2Q 的
周长是否为定值?如果是, 求出定值; 如果不是, 说明理由.
第 20 题 图

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ,且 x1 ? x2 ,证明:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f ?( 1 2 ) . x2 ? x1 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做作,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图, AB 是圆 O 的直径,G 是 AB 延长线上的一点,GCD 是圆 O 的割线,过点 G 作 AG 的垂线,交直线 AC 于点 E , 交直线 AD 于点 F ,过点 G 作圆 O 的切线,切点为 H . (1)求证: C , D, E , F 四点共圆; (2)若 GH ? 8, GE ? 4 ,求 EF 的长.

第 22 题图

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲.

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 3? 1t ? ? 2
圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin(? ? (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)若 P( x, y ) 是直线 l 与圆面 ? ≤ 4sin(? ?

?
6

).

?
6

) 的公共点,求 3x ? y 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f ( x) ? x ? 2a , a ? R . (1)若不等式 f ( x) ? 1 的解集为 ?x | 1 ? x ? 3? ,求 a 的值; (2)若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ? 3 ,求 a 的取值范围 .

2014 年长春市高中毕业班第二次调研测试答案
1. 【答案】 :B 【解析】 : M ? ?x | x ? 2?, ?R N ? ?x | x ? 0 或 x ? 1 ? ,则 M ? (?R N ) ? R ,故选 B 2. 【答案】 :D 【解析】 : 1? i ? 3. 【答案】 :D 【解析】 :函数 y ? 2 ? a
x ?1

2 = 1 ? i ? 2i ? 1 ? i ? 2 ,故选 D i
的图象可看出先把函数 y ? a 的图象上每一个点的横坐标向左平移一个单位,再将所
x x

得图象沿 x 轴作翻折, 最后再将所有点的坐标向上平移 2 个单位得到, 而 y ? a 的图象恒过 (0,1) , 所以 y ? 2 ? a

x ?1

的图象恒过 (?1,1) , 因此 p 为假命题; 若函数 f ( x ? 1) 为偶函数, 即图象关于 y 轴对称, f ( x ) 的图象即 f ( x ? 1) 整 体向左平移一个单位得到,所以 f ( x ) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,因此 q 为假命题;参考四个选项可知,选 D 4. 【答案】 :A 【解析】 : b ? ?a ? (1,0) ? ? (1, 2) ? (1 ? ? , 2? ) , c ? (3, 4) ,又 (b + ?a ) ? c , ∴ (b + ?a) ? c = 0 ,即 (1 ? ? , 2? ) ? (3, 4) ? 3 ? 3? ? 8? ? 0 ,解得 ? ? ? 5. 【答案】 :C
n 【解析】 :由程序框图算法可知, S ? 2 ? 2 ? … …… ? 2 ,由于输出 S ? 254 ,即

3 ,故选 A 11
n 2(1 ?2 ) ? 254 ,解得 n ? 7 , 1? 2

1

2

故①应为“ n ? 7 ? ”,故选 C 6. 【答案】 :D 【解析】 :①应为系统(等距)抽样;②线性相关系数 r 的绝对值越接近 1,两变量间线性关系越密切;③变量 ?

~ N (1, ? 2 ) , P(0 ? ? ? 2) ? 2P(0 ? ? ? 1) ? 0.8 ;④ 随机变量 K 2 的观测值 k 越大,判断“ X 与 Y 有关系”的把
握越大.故选 D 7. 【答案】 :B 【解析】 :由题可知 l2 : x ? ?1 是抛物线 y ? 4 x 的准线,设抛物线的焦点 (1, 0) 为 F ,则动点 P 到 l2 的距离等于
2

PF ,则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值,即焦点 F 到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,所以最小值


4?0?6 ? 2 ,故选 B 5
3 【解析】 :若 3 个项目分别安排在不同的场馆,则安排方案共有 A4 ? 24 种;若有两个项目安排在同一个场馆,另

8. 【答案】 :A

2 2 一个安排在其他场馆,则安排方案共有 C3 ? A4 ? 36 种;所以在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案共

有 24 ? 36 ? 60 种.故选 A 9. 【答案】 :A 【解析】 :由几何体的三视图可知,该几何体是一个沿旋转轴作截面,截取的半个圆锥,底面半径是 1,高是 2, 所以母线长为

5 ,所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和,即

1 1 1 1? 5 ? ? ? ? 5 ? ?2 ?2= 2 ? ? ,故选 A 2 2 2 2
10. 【答案】 :A 【解析】 : f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? 2 ? ( x ? 1) ? 2 ,令 g (x) ?( x ?1 ),h (x ) ? 2
2 x 2 x 2 x

h(x) ,在同一 ,则 f (x) ? g (x) ?

坐标系下作出两个函数的简图,根据函数图象的变化趋势可以发现 g ( x) 与 h( x) 共有三个交点,横坐标从小到大依 次设为 x1 , x2 , x3 ,在 (??, x1 ) 区间上有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 ;在区间 ( x1 , x2 ) 有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 ; 在区间 ( x2 , x3 ) 有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 ;在区间 ( x3 , ??) 有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 .故选 A 11. 【答案】 :B 【解析】 :当直线 l 垂直于实轴时,则易知 F1 , F2 在 AB 的垂直平分线上;当直线 l 不垂直于实轴时,不妨设双曲 线焦点在 x 轴, F1 , F2 分别为双曲线的左、右焦点,且 A 、 B 都在右支上,由双曲线定义: AF 1 ? | AF 2 |? 2a ,

BF1 ? BF2 ? 2a ,则 AF2 ? BF2 ? AF1 ? BF 1 ? AB ,由双曲线定义可知, F1 , F2 在以 A 、 B 为焦点的双曲线
上,故选 B 12.【答案】 :C 【解析】 : 由 2 f ( x) ? xf ?( x) ? x ,x ? 0 得:2 xf ( x) ? x f ?( x) ? x , 即 [ x f ( x)]? ? x ? 0 , 令 F( x) ? xf x ()
2 2 3 2 3 2

, ,

则 当 x ? 0 时 , F ?( x )? 0, 即 F ( x) 在 ( ??, 0) 是 减 函 数 ,

F ( x ? 2014) ? (2014 ? x)2 f ( x ? 2014)

F (?2) ? 4 f (?2) , F (2014 ? x) ? F (?2) ? 0 , F ( x) 在 (??, 0) 是减函数,所以由 F (2014 ? x) ? F (?2) 得, 2014 ? x ? ?2 ,即 x ? ?2016 ,故选 C
13.【答案】 :

? 6
2 2 2

a 2 ? c2 ? b2 3 【解析】 :由正弦定理, a ? c ? b ? 3ac ,所以 , ? 2ac 2
即 cos B ?

? 3 ,∴ B ? 6 2

14.【答案】 :

9 2

r r ?3 2r r 3r ?3 【解析】 : Tr ?1 ? C3 x x ? C3 x ,令 r ? 1 ,∴ a ? 3 ,所以直线为 y ? 3x 与 y ? x2 的交点为 (0, 0) 和 (3,9) ,

2 ∴直线 y ? ax 与曲线 y ? x 围成图形的面积 S ?

3 2 1 3 2 ?0 (3x ? x )dx ? ( 2 x ? 3 x )
3

3 0

?

9 2

15.【答案】 : 3?

6 3

【解析】 :由题意可知蛋槽的高为 3 ,且折起三个小三角形顶点构成边长为 1 的等边三角形 A?B ?C ? ,所以球心到面

A?B?C ? 的距离 d ? 1 ? (
16.【答案】 : 1306

6 3 2 6 ,∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为 3 ? ) ? 3 3 3

【解析】 : an ? n ? a2n , an ? a2 n?1 ? 1 ,∴ a2n?1 ? a2n ? n ? 1 ,

a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? …… ?(a98 ? a99 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ?50=1275 a100 ? 50 ? a50 ? 50 ? (25 ? a25 ) ? 25 ? a12 ? 1 ? 26 ? (6 ? a6 ) ? 32 ? (3 ? a3 ) ? 29 ? (a1 ? 1) ? 31 a1 ? a2 ? a3 ? …… ? a100 = 1275 ? 31 ? 1306
17【解析】 : (1)由 tan 2? ? 所 以

? 2 tan a 2( 2 ? 1) , ?? 是锐角,? 2? ? ? ? 1 2 4 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2
? f ( x) ? 2 x ? 1

? sin( 2? ?

?
4

) ?1

(2)? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) ,? an?1 ? 2an ? 1

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,

an?1 ? 1 ? 2 (常数) an ? 1

??an ? 1?是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比 q ? 2 的等比数列,? an ? 2n ? 1 ,
∴ Sn ?

2(2 n ? 1) ? n ? 2 n ?1 ? 2 ? n 2 ?1

18.【解析】 : (1)A 项目投资利润 ? 的分布列

?
P

0.3 x 0.6

?0.2 x 0.4

E? ? 0.18x ? 0.08x ? 0.1x
B 项目投资利润? 的分布列

?
P

0.35 y

?0.1 y

0

0.6

0.1

0.3

E? ? 0.21y ? 0.01y ? 0.2 y …………………………………………………………………6 分
? x ? y ? 100 ? (2)由题意可知 x , y 满足的约束条件为 ? x ? y ………………9 分 ? x, y ? 0 ?
由(1)可知, z ? E? ? E? ? 0.1x ? 0.2 y 当 x ? 50, y ? 50 , z 取得最大值 15. ∴对 A、B 项目各投资 50 万元,可使公司获得最大利润,最大利润是 15 万元.…………12 分 19.【解析】 : (1) 证明:

AB为圆O直径 ? BC ? CD DA ? 4 且 AB ∥ ∥ CD ,…………2 分 ? CD ?? DA ?2 ? ? BC BC ? CD ? DA?

则 CD 平行且等于 BO ,即四边形 OBCD 为平行四边形,所以 BC // OD .

AO ? BO ? ? ? AO ? BO ? ? OMOD // PB OD //? 平面PBC ? ? ? ? OM // PB // 平面 PBC ? ? ? ODM AM ? PM ? ? ? 平面 ? ? 平面 ODM // 平面 PBC// 平面PBC …………6 分 AM ? PM ? ?? ?平面 OM // PBC ? ? OM // 平面 PBC ? ????????????????????????? BC // OD ? ????????????????????????? BC // OD ? ?
(2) 『解法 1』 : 延长 AD 、BC 交于点 E , 连结 PE , 则 PBC ? 平面 PAD ? PE , 易证△ PBE 与△ PAE 全等, 过 A 作 AQ ? PE 于 Q ,连 BQ ,则 BQ ? PE ,由二面角定义可知,平面角 ?AQB 为所求角或其补角. 易求 PE ? 8 ,又 AE ? 8 , PA ? 4 2 ,由面积桥求得 AQ ? 2 7 ? BQ ,所以 cos ?AQB ?

28 ? 28 ? 64 1 ?? 7 2? 2 7 ? 2 7

?0
所以所求角为 ? ? ?AQB ,所以 cos(? ? ?AQB) ?

1 7
1 7

因此平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为 『解法 2』 :

以 O 为原点, BA 方向为 x 轴,以平面 ABCD 内过 O 点且垂直于 AB 方向为 y 轴 以 OP 方向为 z 轴,建立如图所 示空间直角坐标系. 则 P(0, 0, 4) , B(?4, 0, 0) , A(4, 0, 0) ,

C(?2, ?2 3,0) , D(2, ?2 3,0) ,…………8 分 ??? ? ??? ? 所以 PB ? (?4,0, ?4) , BC ? (2, ?2 3,0) ,
可求得平面 PBC 的法向量为 n1 ? ( 3,1, ? 3) 又 PA ? (4,0, ?4) , AD ? (?2, ?2 3,0) , 可求得平面 PAD 的法向量为 n2 ? ( 3, ?1, 3) 则 cos ? ?

z
P

??

M
C B O D A

y

??? ?

????

?? ?

x

| 3 ? 3 ? 1? (?1) ? (? 3) ? 3 | 1 ? , 7 3 ?1? 3 ? 3 ?1? 3
1 . 7
…………12 分

因此平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为 20【解析】 : (1) 『解法 1』 :

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ? (Ⅰ)由题意,得 ? 4 ,………………………………………2 分 40 ? 2 ? 2 ?1 ? a 9b
2 ? ?a ? 9 解得 ? 2 ………………………………………4 分 ? ?b ? 8

x2 y2 ? ? 1 .………………………………………5 分 ∴椭圆方程为 9 8

? 右焦点为 F2 (1, 0) ,? c ? 1
左焦点为 F1 (?1,0) ,点 H (2,

『解法 2』 :

2 10 ) 在椭圆上 3

2a ? HF1 ? HF2 ? (2 ? 1)2 ? (
所以 a ? 3 , b ? 2 2 所以椭圆方程为 (2) 『解法 1』 :

2 10 2 2 10 2 ) ? (2 ? 1)2 ? ( ) ?6 3 3

x2 y 2 ? ? 1 …………………………5 分 9 8

由题意,设 PQ 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0)

∵ PQ 与圆 x 2 ? y 2 ? 8 相切 ∴

|m| 1? k
2

? 2 2 ,即 m ? 2 2 1? k 2 …………………………6 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 x2 ,得 (8 ? 9k ) x ? 18kmx? 9m ? 72 ? 0 ……………7 分 ?1 ? ? 8 ?9
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

? 18km 9m 2 ? 72 x x ? , …………8 分 1 2 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

2 2 ∴ | PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

? 1? k 2 (

? 18km 2 9m2 ? 72 ) ? 4 ? 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

? 1? k

2

4 ? 9 ? 8(9k 2 ? m 2 ? 8) (8 ? 9k 2 ) 2

m ? 12 2 | k | ? 6km 2 2 ? ? …………10 分 2 8 ? 9k 8 ? 9k 2
又 PF2
2

? ? x1 ? 1? ? y12 ? ? x1 ? 1? ? 8(1 ?
2 2

x12 1 ) ? ( x1 ? 9) 2 9 9

1 1 ? PF2 ? (9 ? x1 ) ? 3 ? x1 3 3 1 1 同理 QF2 ? (9 ? x2 ) ? 3 ? x2 3 3
∴ | F2 P | ? | F2Q |? 6 ? ( x1 ? x2 ) ? 6 ?

1 3

6km …………11 分 8 ? 9k 2

∴ | F2 P | ? | F2Q | ? | PQ |? 6 ? 『解法 2』 : 设 P?x1 , y1 ? , Q( x2 , y2 ) ,
2 2

6km 6km ? ? 6 (定值)…………12 分 2 8 ? 9k 8 ? 9k 2

x12 y12 ? ?1 9 8
2

?x

1

? 3?

PF2 ? ? x1 ? 1? ? y12 ? ? x1 ? 1? ? 8(1 ?

x12 1 ) ? ( x1 ? 9) 2 9 9

1 1 ? PF2 ? (9 ? x1 ) ? 3 ? x1 ………………………………8 分 3 3

连接 OM , OP ,由相切条件知: PM

2

x12 1 ?| OP | ? | OM | ? x ? y ? 8 ? x ? 8(1 ? ) ? 8 ? x12 9 9
2 2 2 1 2 1 2 1

1 ? PM ? x1 3
1 1 ? PF2 ? PM ? 3 ? x1 ? x1 ? 3 ………………………………10 分 3 3 1 1 同理可求? QF2 ? QM ? 3 ? x2 ? x2 ? 3 3 3 所以 F2 P ? F2Q ? PQ ? 3 ? 3 ? 6 为定值.………………………………12 分
21【解析】 (1)定义域为 (0, ??)

f ?( x) ? ln x ? x ?

1 ? 1 ? ln x x
1 1 1 1 ∴ x ? ;令 f ?( x) ? 0 则 ln x ? ?1 ? ln ∴0 ? x ? e e e e 1 e

令 f ?( x) ? 0 则 ln x ? ?1 ? ln

∴ f ( x) 的单调增区间是 ( , ??) ,单调减区间是 (0, )

1 e

1 1 1 1 f ( x) 极小值 ? f ( ) ? ln ? ? , f ( x) 无极大值 e e e e
(2)证明:不妨设 x1 ? x 2 ,

k AB ? f ?(

x1 ? x2 x ln x2 ? x1 ln x1 x ?x )? 2 ? ln 1 2 ? 1 2 x2 ? x1 2

x2 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ln
x2 ln

x1 ? x2 x ?x ? x1 ln 1 2 ? x2 ? x1 2 2

2 x2 2 x1 ? x1 ln ? x2 ? x1 x1 ? x2 x1 ? x2
2?

x2 x x1 x 2 ? ln ? 2 ?1 两边同除以 x1 得, 2 ln x x1 1 ? x2 1 ? 2 x1 1 x1 x1


2t 2 x2 ? ln ? t ?1 ? t ,则 t ? 1 ,即证: t ln 1? t 1? t x1 2t 2 ? ln ? t ?1 1? t 1? t

令 g (t ) ? t ln

g ?(t ) ? ln

2t 1 ? t t ?1 t ?1 2t 1? t 2 1? t 2 ? ? ln(1 ? )? ?t? ? ? ? ? 1 ? ln 2 2 1? t 1? t t ?1 t ?1 1? t 2t (1 ? t ) 2 (1 ? t )



t ?1 ? x( x ? 0) , h( x) ? ln(1 ? x) ? x t ?1 1 ?x ?1 ? ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 上单调递减,所以 h( x) ? h(0) ? 0 1? x 1? x t ?1 t ?1 )? ? 0 恒成立 t ?1 t ?1

h?( x) ?

即 ln(1 ? x) ? x ,即 g ?(t ) ? ln(1 ?

∴ g (t ) 在 (1, ??) 上是减函数,所以 g (t ) ? g (1) ? 0 ∴ t ln

2t 2 ? ln ? t ? 1 得证 1? t 1? t x1 ? x2 ) 成立 2

所以 k AB ? f ?( 22.【解析】 :

(1)证明:连结 DB ,∵ AB 是圆 O 的直径, ∴ ?ADB ? 90 ,
?

A

在 Rt ?ABD 和 Rt ?AFG 中, ?ABD ? ?AFE 又∵ ?ABD ? ?ACD ∴ ?ACD ? ?AFE ∴ C , D, E , F 四点共圆。 (2)∵ C , D, E , F 四点共圆,∴ GE ? GF ? GC ? GD ∵ GH 是圆 O 的切线,∴ GH ? GC ? GD ∴ GH ? GE ? GF
2 2

D

O

C

B

H

F

E

G

又因为 GH ? 6, GE ? 4 ∴ GF ? 9 ∴ EF ? GF ? GE ? 5 22.【解析】 : (1)因为圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? ) 6 所以 ? ? 4 ? sin(? ?
2

?

?
6

) ? 4? (

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2

又 ? ? x ? y , x ? ? cos? , y ? ? sin ?
2 2 2

所以 x ? y ? 2 3 y ? 2 x
2 2

所以圆 C 的普通方程 x 2 ? y 2 ?2 x ? 2 3 y ? 0 (2) 『解法 1』 : 设 z ? 3x ? y 由圆 C 的方程 x ? y ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4
2 2

所以圆 C 的圆心是 (?1, 3) ,半径是 2
? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 代入 z ? 3x ? y 得 z ? ?t 将? ? y ? 3 ? 1t ? ? 2

又直线 l 过 C(?1, 3) ,圆 C 的半径是 2 ,所以 ?2 ? t ? 2 所以 ?2 ? ?t ? 2 即 3x ? y 的取值范围是 [?2, 2] 『解法 2』 : 直线 l 的参数方程化成普通方程为: x ? 3 y ? 2 …………6 分 由?

? ?x ? 3 y ? 2 , 2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 3 ) ? 4

解得 P 1 (?1 ? 3, 3 ? 1) , P 2 (?1 ? 3, 3 ? 1) …………8 分 ∵ P( x, y ) 是直线 l 与圆面 ? ? 4sin(? ? ) 的公共点, 6 ∴点 P 在线段 P 1 P2 上, ∴ 3x ? y 的最大值是 3(?1 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? 2 , 最小值是 3(?1 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? ?2 ∴ 3x ? y 的取值范围是 [?2,2] …………10 分 24.【解析】 : 由题意可得 | x ? 2a |? 1 可化为 2a ? 1 ? x ? 2a ? 1 ,

?

? 2a ? 1 ? 1 ,解得 a ? 1 . ? ?2 a ? 1 ? 3
(2)令 g ( x) ? f ( x) ? x ?| x ? 2a | ? x ? ?

?2 x ? 2a, x ? 2a , x ? 2a ? 2a,

所以函数 g ( x) ? f ( x) ? x 最小值为 2 a , 根据题意可得 2a ? 3 ,即 a ?

3 3? ? ,所以 a 的取值范围为 ? ? ?, ? 2 2? ?


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