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2012圆锥曲线 高考题汇编


1. (2012 年高考(天津理) 设椭圆 )

x2 y 2 + =1 (a >b>0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P 在 a 2 b2

椭圆上且异于 A, B 两点, O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

1 ,求椭圆的离心率; 2

(Ⅱ)若

|AP|=|OA| ,证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k|> 3 .

2. (2012 年高考(新课标理) 设抛物线 C : x )

2

? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,

已知以 F 为圆心,

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
(1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;
0

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值.

3.2012 年高考 ( (浙江理)如图,椭圆 C: )

1 x2 y 2 + ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1) 2 a 2 b2

的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

4. (2012 年高考(重庆理) (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) )

如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦点分别为 F1 , F2 ,线段

OF1 , OF2 的中点分别为 B1 , B2 ,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程

5. 2012 年高考 (四川理 ) 如图,动点 M 到两定点 ( )

A(? 1, 0)、 B(2, 0) 构成 ?MAB ,且

?MBA ? 2?MAB ,设动点 M 的轨迹为 C .
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | , 求

| PR | 的取值范围. | PQ |

y

M

A

O

B x

6. (2012 年高考(上海理) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x )

2

? y2 ? 1.

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求证:
2 2

OP⊥OQ;

(3)设椭圆 C2 : 4 x 2 ? y 2 ? 1. 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON, 求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

7. (2012 年高考(上海春) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. )

已知双曲线 C1 : x ?
2

y2 ? 1. 4

(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P (4, 3) 的双曲线 C 2 的标准方程; (2)直线 l : y ? x ? m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点.当 OA? OB ? 3 时, 求实数 m 的值.

??? ??? ? ?

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有 8. (2012 年高考 (陕西理) 已知椭圆 C1 : ) 4
相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

??? ?

??? ?

9. (2012 年高考(山东理) 在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x )

2

? 2 py( p ? 0) 的

焦点, M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,

点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;

3 . 4

(Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由;

1 2 ,直线 l : y ? kx ? 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B , l 4 1 2 2 与圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值. 2
(Ⅲ)若点 M 的横坐标为

x2 y 2 10 . 2012 年高 考(辽宁 理) 如图,椭圆C0 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0 ,a,b 为常数),动圆 ( ) a b

C1 : x2 ? y 2 ? t12 , b ? t1 ? a .点 A1, A2 分别为 C0 的左,右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C,D
四点. (Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
2 (Ⅱ)设动圆 C2 : x2 ? y 2 ? t2 与 C0 相交于 A , B , C , D 四点,其中 b ? t2 ? a ,

/

/

/

/

2 t1 ? t2 .若矩形 ABCD 与矩形 A/ B / C / D / 的面积相等,证明: t12 ? t2 为定值.

(文)如图,动圆 C1 : x ? y ? t ,1<t<3,
2 2 2

与椭圆 C2 :

x2 ? y 2 ? 1相交于 A,B,C,D 四点,点 A1, A2 分别为 C2 的左,右顶点。 9

(Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程。

11. (2012 年高考(江西理) 已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y) )

满足 MA ? MB ? OM ? (OA ? OB) ? 2 . (1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0 ,y0 )(-2<x0 <2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存在定点 P(0,t)(t<0),使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比 是常数?若存在,求 t 的值.若不存在,说明理由.

??? ???? ?

???? ??? ??? ? ? ?

12. (2012 年高考(江苏) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右 a 2 b2

e 焦点分别为 F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1 , ) 和 ? e , 0) 0)
心率. (1) 求椭圆的方程;

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离 2 ? ?

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 y 点 P. A P B

F1

O

F2

x

(第 19 题)

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

13. (2012 年高考(湖南理) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2 :(x-5) +y =9 外,且对 )

2

2

C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0 ,y0 )(y0 ≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于 点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.

2 2 14. (2012 年高考(湖北理) 设 A 是单位圆 x ? y ? 1 上的任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直 )

的 直 线 , D 是 直 线 l 与 x

轴 的 交 点 , 点 M 在 直 线 l 上 , 且 满 足

| DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C .

(Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上 的射影为点 N ,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都 有 PQ ? PH ?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。

15. (2012 年高考(广东理) (解析几何)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : )

x2 y2 ? ?1 a2 b2

( a ? b ? 0 )的离心率 e ?

2 且椭圆 C 上的点到点 Q ? 0, 2 ? 的距离的最大值为 3. 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在椭圆 C 上,是否存在点 M ? m, n ? ,使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相 交于不同的两点 A 、 B ,且 ?OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的
?OAB 的面积;若不存在,请说明理由.

16. (2012 年高考(福建理) 如图,椭圆 E : )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2
1 .过 F 的直线交椭圆于 1 2

左焦点为 F ,右焦点为 F2 ,离心率 e ? 1

A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8.
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相较于点

Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,
求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

17. (2012 年高考(大纲理) (注意:在试卷上作答无效) ) ........
2 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 有一个公共点 A ,
2 2 2

1 2

且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (1) 求 r ;

(2)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的 距离.

18. (2012 年高考(北京理) 已知曲线 C: )

(5 ? m) x2 ? (m ? 2) y 2 ? 8(m ? R)

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴的椭圆,求 m 的范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y ? kx ? 4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G 求证:A,G,N 三点共线.

x2 y 2 19. (2012 年高考(安徽理) 如图, F (?c,0), F2 (c,0) 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ) 1 a b
的左,右焦点,过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 P , 1 过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x ?

a2 于点 Q ; c

(I)若点 Q 的坐标为 (4, 4) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.


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