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2013高考数学(理)一轮复习课件:专题二


专题二

高考三角函数与平面向量命题动向 高考命题分析

纵观近年各省的高考数学试题,出现了一些富有时代气息的三 角函数与平面向量考题,它们形式独特、背景鲜明、结构新 颖,主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问 题的能力.在新课标高考试卷中一般有2~4题,分值约占全卷 的14%~20%,因此,加强这些试题的命题动向研究,对指导

高考复习无疑有十分重要的意义.现聚焦高考三角函数与平面 向量试题,揭秘三角函数与平面向量高考命题动向,挖掘三角 函数与平面向量常见的考点及其求解策略,希望能给考生带来 帮助和启示.

高考命题特点 新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷 呈,奇花斗艳,其特点如下: (1)考小题,重基础:有关三角函数的小题其考查重点在于基 础知识:解析式;图象与图象变换;两域(定义域、值域);四 性(单调性、奇偶性、对称性、周期性);简单的三角变换(求 值、化简及比较大小).有关向量的考查主要是向量的线性运 算以及向量的数量积等知识.

(2)考大题,难度明显降低:有关三角函数的大题即解答题, 通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少,而着重考 查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加.大题中的向 量,主要是作为工具来考查的,多与三角、圆锥曲线相结合. (3)考应用,融入三角形与解析几何之中:既能考查解三角 形、圆锥曲线的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等 变换的技能,深受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形 内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量 平行与垂直的充要条件,向量的数量积等.

(4)考综合,体现三角的工具作用:由于近几年高考试题突出 能力立意,加强对知识性和应用性的考查,故常常在知识交汇 点处命题,而三角知识是基础中的基础,故考查与立体几何、 解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作 用.

高考动向透视
考查三角函数的概念及同角三角函数的 基本关系
高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现,即利用三角 函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变 形,或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的 值、求值域、求单调区间及图象判断等,而大题常常在综合性 问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数 的关系的应用等,在这类问题的求解中,常常使用的方法技巧 是“平方法”,“齐次化切”等.

? π? 【示例1】?(2011· 福建)若α∈ ?0,2? ,且sin2α+cos ? ?

1 2α= 4 ,则

tan α的值等于(

).

2 3 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 1 解析 由二倍角公式可得sin α+1-2sin α= ,即-sin2α=- 4
2 2

? π? 3 3 3 π 2 ?0, ? ,所以sin α= 2? 4 ,sin α= 4 ,又因为α∈ ? 2 ,即α= 3 ,所

π 以tan α=tan 3= 3,故选D. 答案 D

本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用.

考查三角函数的图象及其性质
三角函数的图象与性质主要包括:正弦(型)函数、余弦(型)函 数、正切(型)函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的 变换等五大块内容,在近年全国各地的高考试卷中都有考查三 角函数的图象与性质的试题,而且对三角函数的图象与性质的 考查不但有客观题,还有主观题,客观题常以选择题的形式出 现,往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质;解答题 主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题,难度 中等偏下.

?π ? 【示例2】?(2011· 浙江)已知函数f(x)=Asin ?3x+φ? ,x∈R,A> ? ?

π 0,0<φ< 2 ,y=f(x)的部分图象如图所示,P,Q分别为该图象 的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A). (1)求f(x)的最小正周期及φ的值; 2π (2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求A的值. 3

2π 解 (1)由题意得,T= π =6. 3
?π ? 因为P(1,A)在y=Asin?3x+φ?的图象上, ? ? ?π ? 所以sin?3+φ?=1. ? ?

π 又因为0<φ<2, π 所以φ=6.

(2)设点Q的坐标为(x0,-A), π π 3π 由题意可知 x0+ = ,得x0=4,所以Q(4,-A),如图,连 3 6 2 2π 接PQ,在△PRQ中,∠PRQ= ,由余弦定理得cos∠PRQ= 3 RP2+RQ2-PQ2 A2+9+A2-?9+4A2? 1 = =- ,解得A2=3.又A 2RP· RQ 2 2A· 9+A2 >0,所以A= 3.

本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知 识.

求单调区间
高考对三角函数的单调性考查,常以小题形式呈现,有时也会 出现在大题的某一小问中,属中档题.对于形如y=Asin(ωx+ φ)(或y=Acos(ωx+φ)),Aω≠0的单调区间的求法是:先考虑 A,ω的符号,再将ωx+φ视为一个整体,利用y=sin 区间,整体运算,解出x的范围即可. x的单调

【示例3】?(2011· 安徽)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实
? ?π?? ?π ? 数,若f(x)≤ ?f?6?? 对x∈R恒成立,且f ?2? >f(π),则f(x)的单调递 ? ? ?? ? ?

增区间是(

).

? π π? A.?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) ? ? ? π? B.?kπ,kπ+2?(k∈Z) ? ? ? π 2π? C.?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) ? ? ? ? π D.?kπ-2,kπ?(k∈Z) ? ?

解析

? ?π?? ?π ? ?π ? 因为当x∈R时,f(x)≤ ?f?6?? 恒成立,所以f ?6? =sin ?3+φ? ? ? ?? ? ? ? ?

?π ? π 5π =± 1,可得φ=2kπ+ 或φ=2kπ- .因为f ?2? =sin(π+φ)=-sin 6 6 ? ?

5π φ>f(π)=sin(2π+φ)=sin φ,故sin φ<0,所以φ=2kπ- ,所 6
? 5π? π 5π π ?2x- ? ,所以由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ得,函 以f(x)=sin 6? 2 6 2 ? ? π 2π? 数的单调递增区间为?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ?

答案 C

本题的亮点是引入参数φ与不等式恒成立问题,求解此类问题 的关键是:利用隐蔽条件“正弦函数的有界性”,把不等式恒 成立问题转化为含参数φ的方程,求出参数φ的值,注意利用已 知条件剔除增根;求出函数的解析式即可求其单调递增区间, 熟悉正弦函数的单调性可加快求解此类问题的速度.

【训练】 (2011· 新课标全国)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+
? π? φ)?ω>0,|φ|<2?的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( ? ? ? π? A.f(x)在?0,2?单调递减 ? ? ?π 3π? B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? ? π? C.f(x)在?0,2?单调递增 ? ? ?π 3π? D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ?

).

解析 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=

? π? 2 sin ?ωx+φ+4? ,由最 ? ?

π 小正周期为π得ω=2,又由f(-x)=f(x)可知f(x)为偶函数,|φ|< 2
? π? π 可得φ= ,所以f(x)= 2cos 2x在?0,2?单调递减. 4 ? ?

答案 A

求最值

高考对三角函数最值的考查,常以小题形式呈现,属中档 题.有时也在大题中的某一步呈现,属中档偏难题,高考常考 查以下两种类型:①化成y=Asin(ωx+φ)的形式后利用正弦函 数的单调性求其最值;②化成二次函数形式后利用配方法求其 最值.

【示例4】?(2011· 重庆)设a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+ cos
2

?π ? ? π? ?π 11π? ? -x? 满足f ?- ? =f(0),求函数f(x)在 ? , ? 上的最大值和 24 ? ?2 ? ? 3? ?4

最小值. a 解 f(x)=asin xcos x-cos x+sin x=2sin 2x-cos 2x.
2 2

? π? 由f?-3?=f(0)得- ? ?

3a 1 2 ·+2=-1,解得a=2 3. 2
? π? 2x=2sin?2x-6?. ? ?

因此f(x)= 3sin 2x-cos

?π π ? π ?π π ? 当x∈?4,3?时,2x-6∈?3,2?,f(x)为增函数, ? ? ? ? ?π 11π? π ?π 3π? 当x∈?3, 24 ?时,2x- ∈?2, 4 ?,f(x)为减函数, 6 ? ? ? ?

?π 11π? ?π ? 所以f(x)在?4, 24 ?上的最大值为f?3?=2. ? ? ? ? ?π? 又因为f?4?= ? ? ?11π? 3,f? 24 ?= ? ?

2, 2.

?π 11π? ?11π? 故f(x)在?4, 24 ?上的最小值为f? 24 ?= ? ? ? ?

本小题主要考查基本三角函数公式,以及运用三角函数公式 对相关函数的解析式进行化简的能力,同时考查数形结合思 想.

【训练】 ________. 解析

(2011· 上海)函数y=2sin

x-cos

x的最大值为

注意到y=

? 5? ? ?

? 2 1 sin x- cos x? = 5sin(x-θ).其中cos ? 5 5 ?

2 1 θ= ,sin θ= ,因此函数y=2sin x-cos x的最大值是 5. 5 5 答案 5

利用三角恒等变换求三角函数值
三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质,解三角形的基 础,在前几年的高考中单独命题的情况很少,但在今年的高考 中加强了对三角恒等变换的考查,大多是结合三角函数的图象 与性质,解三角形进行命题,但有的省份对三角恒等变换进行 了单独命题,由此可见,高考加大了对三角恒等变换的考查力 度,高考命题考查的重点性质是公式,同角三角函数基本关 系,两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.

? π? 【示例5】?(2011· 天津)已知函数f(x)=tan?2x+4?. ? ?

(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
? ?α? π? (2)设α∈?0,4?,若f?2?=2cos ? ? ? ?

2α,求α的大小.



π π π kπ (1)由2x+ 4 ≠ 2 +kπ,k∈Z,得x≠ 8 + 2 ,k∈Z,所以f(x)

? ? π kπ π ? ? 的定义域为?x∈R|x≠8+ 2 ,k∈Z?,f(x)的最小正周期为 . 2 ? ? ? ?

?α ? (2)由f?2 ?=2cos ? ?

? π? 2α,得tan?α+4?=2cos ? ?

2α,

? π? sin?α+4? ? ? =2(cos2α-sin2α), ? π? cos?α+4? ? ?

sin α+cos α 整理得 =2(cos α+sin α)(cos α-sin α). cos α-sin α
? π? 因为α∈?0,4?,所以sin ? ?
2

α+cos α≠0.

1 1 因此(cos α-sin α) = ,即sin 2α= . 2 2
? ? π? π? π π ?0, ?,得2α∈?0, ?.所以2α= ,即α= . 由α∈ 4? 2? 6 12 ? ?

本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式,同角三角 函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,正切函数的性质 等基础知识,考查基本运算能力.

?π ? 1 π π 【训练】 (2011· 浙江)若0<α< ,- <β<0,cos?4+α?= , 2 2 ? ? 3 ?π β ? cos?4-2?= ? ? ? β? 3 ,则cos?α+2?=( 3 ? ?

).

3 A. 3

3 5 3 6 B.- C. D.- 3 9 9

解析

? ??π ? ?π β?? ?π ? ?π β? β? 对于cos?α+2?=cos ??4+α?-?4-2?? =cos ?4+α? cos ?4-2? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?

?π ? ?π β? ?π ? ?π 3π? ?π β? ?π π? +sin?4+α?sin?4-2?,而?4+α?∈?4, 4 ?,?4-2?∈?4,2?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?π ? 2 2 ?π β ? 因此sin?4+α?= 3 ,sin?4-2?= ? ? ? ? ? β? 1 则cos?α+2?=3× ? ?

6 3,

3 2 2 6 5 3 3 + 3 × 3 = 9 .故选C.

答案

C

三角函数的综合应用
三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题,新 课标高考更加注重对知识点的综合应用意识的考查,而且新课 标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新,三角函数不仅 可以与集合、函数与方程、不等式等结合命题,而且还可以结 合线性规划知识命题,给今后的命题提出了新的挑战.

【示例6】?设函数f(θ)= 3 sin θ+cos θ,其中,角θ的顶点与 坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x, y),且0≤θ≤π.
?1 (1)若点P的坐标为? , ?2 ?

3? ? ,求f(θ)的值; 2? ? 上的一个动点,试确

?x+y≥1, ? (2)若点P(x,y)为平面区域Ω ?x≤1, ?y≤1 ?

定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.

? 3 ?sin θ= 2 , 解 (1)由点P的坐标和三角函数的定义可得? ?cos θ=1. 2 ? 3 1 于是f(θ)= 3sin θ+cos θ= 3× 2 +2=2. (2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC)如图所示,其中A(1,0), B(1,1),C(0,1). π 于是0≤θ≤ . 2

又f(θ)= 3sin θ+cos

? π? π π 2π ?θ+ ?,且 ≤θ+ ≤ , θ=2sin 6? 6 6 3 ?

π π π 故当θ+6=2,即θ=3时, f(θ)取得最大值,且最大值等于2; π π 当θ+6=6,即θ=0时,f(θ)取得最小值,且最小值等于1.

本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识,考查运算求 解能力.

有关解三角形的考查
新课标高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合 运用为主,在解题时,要分析清楚题目条件,利用正弦定理、 余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系, 并结合三角形的内角和为180° ,诱导公式,同角三角函数基本 关系,两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值.在 近几年的高考中,对解三角形的考查力度有所加强,而且更加 注重知识点的综合运用,没有怪题、偏题.下面我们就高考试 题研究一下解三角形的问题.

【示例7】?(2011· 江苏)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为 a,b,c.
? π? (1)若sin?A+6?=2cos ? ?

A,求A的值;

1 (2)若cos A=3,b=3c,求sin C的值. π π 解 (1)由题设知sin Acos6+cos Asin6=2cos A.从而sin A= 3 π cos A,所以cos A≠0,tan A= 3.因为0<A<π,所以A= . 3

1 (2)由cos A=3,b=3c及a2=b2+c2-2bccos A, 得a2=b2-c2. π 故△ABC是直角三角形,且B= . 2 1 所以sin C=cos A=3.

本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、 解三角形,考查运算求解能力.

【训练】 (2011· 天津)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知B=C,2b= 3a. (1)求cos A的值;
? π? (2)求cos?2A+4?的值. ? ?

3 解 (1)由B=C,2b= 3a,可得c=b= 2 a. 3 2 3 2 2 b2+c2-a2 4a +4a -a 1 所以cos A= 2bc = = . 3 3 3 2× 2 a× 2 a 1 2 2 2 (2)因为cos A= 3 ,A∈(0,π),所以sin A= 1-cos A= 3 , 7 cos 2A=2cos A-1=-9.
2

4 2 故sin 2A=2sin Acos A= 9 .
? π? 所以cos ?2A+4? =cos ? ?

π π ? 7? 2 4 2 ?- ? × 2Acos 4 -sin 2Asin 4 = 9 2 - 9 ? ?

8+7 2 2 × =- . 2 18

平面向量共线与垂直

高考对平面向量共线与垂直的考查,常以小题形式出现,属中 档题,有时也在大题的条件中出现,属中档偏难题.平面向量 的坐标表示可使平面向量运算完全代数化,从而使得我们可以 利用“方程的思想”破解向量共线与垂直的问题.

2π 【示例8】?(2011· 江苏)已知e1,e2是夹角为 3 的两个单位向量, a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a· b=0,则实数k的值为________. 解析 由题意知:a· b=(e1-2e2)· 1+e2)=0,即ke (ke 2ke1e2-2e2=0,即k+cos 2 5 4. 5 答案 4
2 1

+e1e2-

2π 2π 3 -2kcos 3 -2=0,化简可求得k=

本题从向量数量积为0入手,转化为关于两单位向量数量积的 关系式,再利用两向量数量积定义,转化为含k的方程,即可 求出k的值.

【训练】 +2b)=(

(2011· 广东)若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c· (a ).

A.4 B.3 C.2 D.0 解析 由a∥b及a⊥c,得b⊥c,则c· (a+2b)=c· a+2c· b=0.故 选D. 答案 D

平面向量夹角

高考对平面向量夹角的考查,常以小题形式出现,属中档 题.有时也在大题中出现,属中档题.两向量夹角公式其实是 平面向量数量积公式的变形和应用、有关两向量夹角问题的考 查,常见类型:①依条件等式,运算求夹角,此类问题求解过 程中应关注夹角取值范围;②依已知图形求两向量夹角,此类 题求解过程应抓住“两向量共起点”,便可避开陷阱,顺利求 解.

【示例9】?(2011· 新课标全国)已知a与b均为单位向量,其夹角 为θ,有下列四个命题:
? 2π? p1:|a+b|>1?θ∈?0, 3 ?; ? ? ?2π ? p2:|a+b|>1?θ∈? 3 ,π?; ? ? ? π? p3:|a-b|>1?θ∈?0,3?; ? ? ?π ? p4:|a-b|>1?θ∈?3,π?. ? ?

其中的真命题是( A.p1,p4

). D.p2,p4

B.p1,p3 C.p2,p3

解析

由|a+b|= a2+2a· 2= 2+2cos θ>1, b+b

1 2π 得2+2cos θ>1,∴cos θ>- ,∴0≤θ< . 2 3 由|a-b|= a2-2a· 2= 2-2cos θ>1, b+b 1 π 得2-2cos θ>1,∴cos θ< ,∴ <θ<π.∴p1,p4正确. 2 3 答案 A

此题考查向量的运算、向量的模及向量的夹角.

平面向量的模
高考对平面向量的模的考查,常以小题形式出现,属中档题, 常考查类型:①把向量放在适当的坐标系中,给有关向量赋予 具体坐标求向量的模,如向量a=(x,y),求向量a的模只需利 用公式|a|= x2+y2 即可求解.②不把向量放在坐标系中研

究,求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意 义或应用向量的数量积公式,关键是会把向量a的模进行如下 转化:|a|= a2.

【示例10】?(2011· 辽宁)若a,b,c均为单位向量,且a· b=0, (a-c)· (b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 B.1 C. 2 D.2 解析 由已知条件,向量a,b,c都是单位向量可以求出,a2 =1,b2=1,c2=1,由a· b=0,及(a-c)· (b-c)≤0,可以知 道,(a+b)· 2=1,因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a· c≥c b-2a· c -2b· c,所以有|a+b-c|2=3-2(a· c+b· c)≤1,故|a+b-c|≤1. 故选B. 答案 B ).

本小题主要考查了平面向量数量积的运算及应用它解决向量 模的问题.

1 【训练】 (2011· 全国)设向量a,b满足|a|=|b|=1,a· b=- , 2 则|a+2b|=( ).

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 解析 依题意得(a+2b) =a +4b
2 2 2

? 1? +4a· b=5+4× ?-2? =3,则 ? ?

|a+2b|= 3,故选B. 答案 B

向量的应用

近年的新课标高考,对于平面向量的应用的考查不仅体现在力 学中,还渗透到中学学科的各个分支,但不论题型如何变化, 都是把向量作为工具进行考查的,解题的关键是把这些以向量 形式出现的条件还其本来面目.

【示例11】?(2011· 湖北)已知向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a +b与a-b的夹角等于( π π π 3π A.-4 B.6 C.4 D. 4 解析 2a+b=(3,3),a-b=(0,3),则cos〈2a+b,a-b〉= ).

?2a+b?· ?a-b? 9 2 π = = 2 ,故夹角为4,选C. |2a+b|· |a-b| 3 2×3 答案 C

本题主要考查了向量的坐标运算及数量积运算.


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