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北大高等代数1-28

时间:2010-06-02


第一学期第二十八次课

命题 如果 n 维空间 V 上的线性变换 A 的矩阵相似于对角矩阵,则 A 在任一不变子空 间 M 上(的限制)的矩阵相似于对角矩阵. 证明 若 V 上的线性变换 A 的矩阵相似于对角矩阵,则 V 可以分解为特征子空间的直 和.记 A 的所有特征值为 λ1 , λ2 , , λt ,则 V = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ ⊕ Vλt ,取 M i = M ∩ Vλi ,断 言 M = M 1 ⊕ M 2 ⊕ ⊕ M t .首先要证明 M = M 1 + M 2 + M t . " "显然; " "

α ∈ M ,则存在 α i ∈ Vλi ,使得 α = α1 + α 2 + + α t ,两边同

时用 A j ( j = 1, 2, , t 1) 作用,得到表达式

1 1 α1 α 1 Aα λ λ2 λt α 2 , = 1 t 1 t 1 A α λ λ2t 1 λtt 1 α t 1
于是

1 1 α1 1 λ2 λt α 2 = λ1 t 1 α λ λ2t 1 λtt 1 t 1

1

α Aα , t 1 A α

" 即 α i 可以表示成 α , Aα , , At 1α 的线性组合,于是 α i ∈ M , "得证. 再 证 明 M = M 1 + M 2 + M t 是 直 和 . 设 0 = β1 + β 2 + + βt , 其 中

βi ∈ M i , 则

βi ∈ Vλ ,由于 V = Vλ ⊕ Vλ ⊕ ⊕ Vλ ,于是 βi = 0 ,零向量表示法唯一.
i 1 2 t

于是 M 可以分解成为特征子空间的直和,即有 A |M 可对角化.证毕.

第四章 §5 商空间上诱导的线性变换
4.5.1 线性变换在(关于不变子空间的)商空间上的诱导变换的定义 线性变换在(关于不变子空间的) 给定 K 上的线性空间 V , M 是 V 的一个 A —不变子空间,定义变换

A: V / M →V / M

α + M Aα + M

,

需 要 验 证 A 的 合 理 性 . 设 α '+ M = α + M , 则 存 在 γ ∈ M , 使 得 α ' = α + γ , 于 是

Aα ' = A(α + γ ) = Aα + Aγ , 而 由 于 M 是 A 的 不 变 子 空 间 , 于 是 Aγ ∈ M , 便 有
Aα + M = Aα '+ M .于是 A 的定义与商空间上的元素的选取无关,即 A 的定义合理.对
于此定义,即有 A(α ) = A(α ) .容易验证 A 是 V / M 上的线性变换.

诱导变换. 定义 上面定义的线性变换 A 称为 V 内线性变换 A 在商空间 V / M 内的诱导变换 诱导变换 设 dimV = n , dim M = r ,若给定 M 的一组基 ε 1 , ε 2 , , ε r ,将其扩充成为 V 的一组 基 ε 1 , ε 2 , , ε n , A 在此组基下的矩阵为 若

A11 0

A12 ,则 ε r +1 , ε r + 2 , , ε n 构成商空间的一 A22

组基,且 A 在此组基下的矩阵为 ( A22 ) .于是,有: 命题 设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换,W 是 A 的不变子空间,则 A 的特征多项 式等于 A |W 的特征多项式与 A 在商空间 V / W 上的诱导变换的特征多项式的乘积. 命题 设 A 是数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性变换,则 A 的特征多项式的根都属 于 K 当且仅当 A 在 V 的某组基下的矩阵为上三角形. 证明 必要性 对 n 作归纳 1 时命题成立,设 n 1 成立,取 A 关于某个特征值 λ0 的一 个特征向量 ξ 0 ,取 M = L(ξ 0 ) ,由上一个命题, n 1 维线性空间 V / M 上的线性变换 A 的 特征值都属于 K , 于是在某组基 ε 2 , ε 3 , , ε n 下的矩阵成上三角形, 易证 ξ 0 , ε 2 , , ε n 是 V 的 一组基,且 A 在 ξ 0 , ε 2 , , ε n 下的矩阵成上三角形. 充分性 显然. 证毕. 推论

上的有限维线性空间上的线性变换在适当的基下的矩阵成上三角形.

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